Mix Examples - Real Numbers Questions in Gujarati

(A) દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે છેદને $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલી સંખ્યા $\frac{33}{2^2 \cdot 5^1}$ છે.
$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^{(2-1)} = 5^1$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\frac{33 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5^1} = \frac{165}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{165}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{165}{10^2} = \frac{165}{100} = 1.65$.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $2$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r,$ જ્યાં શેષ $r$ એ $0 \leq r < b$ શરતનું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ એ શૂન્ય અથવા શૂન્ય કરતાં મોટી હોઈ શકે છે,પરંતુ તે હંમેશા ભાજક $b$ કરતાં નાની હોવી જોઈએ.

(C) બેકી પૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ,જે પૂર્ણાંક $2$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેને બેકી પૂર્ણાંક કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બેકી પૂર્ણાંકને $2m$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે $(m \in \mathbb{Z})$.
જો આપણે $m$ ની કિંમતો મૂકીએ:
જો $m = 0$ હોય,તો $2m = 0$.
જો $m = 1$ હોય,તો $2m = 2$.
જો $m = 2$ હોય,તો $2m = 4$.
જો $m = -1$ હોય,તો $2m = -2$.
આમ,દરેક બેકી પૂર્ણાંક $2m$ ના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ પૂર્ણાંક $2$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે બેકી પૂર્ણાંક છે,જેને કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $2q$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
એકી પૂર્ણાંક એવો પૂર્ણાંક છે જે $2$ વડે વિભાજ્ય નથી.
જ્યારે આપણે કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2$ વડે ભાગીએ છીએ,ત્યારે શેષ હંમેશા $1$ વધે છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$ હોય.
$b = 2$ માટે,આપણી પાસે $a = 2q + r$ છે,જ્યાં $r = 0$ અથવા $r = 1$ હોય.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 2q$ (બેકી પૂર્ણાંક).
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 2q + 1$ (એકી પૂર્ણાંક).
તેથી,દરેક એકી પૂર્ણાંક એ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $2q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a = n^{2} - 1$.
કિસ્સો $I$: જો $n$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય,તો ધારો કે $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તો $a = (2k)^{2} - 1 = 4k^{2} - 1$. આ હંમેશા એકી સંખ્યા છે,તેથી તે $8$ વડે વિભાજ્ય ન હોઈ શકે.
કિસ્સો $II$: જો $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો ધારો કે $n = 2k + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તો $a = (2k + 1)^{2} - 1 = (4k^{2} + 4k + 1) - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k + 1)$.
અહીં $k$ અને $k + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી હશે. તેથી,ગુણાકાર $k(k + 1)$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $k(k + 1) = 2m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.
તો $a = 4(2m) = 8m$.
આમ,$a$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,જ્યારે $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $n^{2} - 1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. શોધતા:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
તેથી,$HCF(65, 117) = 13$ મળે છે.
આપેલ છે કે ગુ.સા.અ. ને $65m - 117$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી:
$65m - 117 = 13$
$65m = 13 + 117$
$65m = 130$
$m = \frac{130}{65}$
$m = 2$

(C) અહીં $70$ અને $125$ ને કોઈ સંખ્યા વડે ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે છે.
આ શેષને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી બાદ કરતા આપણને મળે છે:
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
માંગેલ સંખ્યા એ $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ છે.
યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરતા:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,ગુ.સા.અ. $13$ મળે છે.
તેથી,$13$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે $70$ અને $125$ ને ભાગતા અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ આપે છે.

(D) આપેલ છે કે,$a = x^3 y^2 = x \times x \times x \times y \times y$.
અને $b = x y^3 = x \times y \times y \times y$.
બે સંખ્યાઓનો $HCF$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં,સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $x$ અને $y$ છે.
$x$ ની સૌથી નાની ઘાત $x^1$ છે અને $y$ ની સૌથી નાની ઘાત $y^2$ છે.
તેથી,$HCF(a, b) = x^1 \times y^2 = x y^2$.

(A) આપેલ છે કે,$p = a b^{2}$ અને $q = a^{3} b$,જ્યાં $a$ અને $b$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
$LCM(p, q)$ શોધવા માટે,આપણે અભિવ્યક્તિઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈએ છીએ.
અહીં અવિભાજ્ય અવયવો $a$ અને $b$ છે.
$a$ ની મહત્તમ ઘાત $a^{3}$ છે (જે $q$ માં છે).
$b$ ની મહત્તમ ઘાત $b^{2}$ છે (જે $p$ માં છે).
તેથી,$LCM(p, q) = a^{3} \times b^{2} = a^{3} b^{2}$.

(B) ધારો કે $r$ એ શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે અને $i$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે તેમનો ગુણાકાર $p = r \times i$ સંમેય છે.
તો $p = \frac{a}{b}$ થાય,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંક છે અને $b \neq 0$.
$r$ શૂન્યતર સંમેય હોવાથી,$r = \frac{p}{q}$ લખી શકાય,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $p, q \neq 0$.
તેથી $i = \frac{p}{r} = \frac{p}{q} \times \frac{b}{a} = \frac{pb}{qa}$ થાય.
અહીં $p, b, q, a$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{pb}{qa}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આ હકીકત $i$ અસંમેય છે તેની વિરુદ્ધ છે.
તેથી,શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$\frac{3}{4} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) $1$ થી $10$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$1$ થી $10$ સુધીની દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો:
$1 = 1$
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2^1 \times 5^1$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરીશું:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$
આમ,$1$ થી $10$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા $2520$ છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{14587}{1250}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થશે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$1250 = 2^1 \times 5^4$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $n$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે,જ્યાં $n$ એ છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાંથી મહત્તમ ઘાતાંક છે (જ્યારે અપૂર્ણાંક તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં હોય).
અહીં,ઘાતાંકો $1$ અને $4$ છે. મહત્તમ ઘાતાંક $4$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{14587}{1250} = \frac{14587}{2^1 \times 5^4} = \frac{14587 \times 2^3}{2^1 \times 5^4 \times 2^3} = \frac{14587 \times 8}{2^4 \times 5^4} = \frac{116696}{10^4} = \frac{116696}{10000} = 11.6696$.
પરિણામ $11.6696$ હોવાથી,દશાંશ નિરૂપણ ચાર દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(B) ના.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=3$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી:
$a = 3q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 3$.
અહીં $r$ એ $0 \leq r < 3$ શરતનું પાલન કરતો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1$ અને $2$ છે.
તેથી,શેષ માત્ર $0$ અને $1$ જ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(NO) ના,સંખ્યા $6^{n}$ નો અંત $5$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.
કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $5$ અંક સાથે થાય તે માટે તેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય અવયવ $5$ હોવો જરૂરી છે.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અહીં $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $3$ છે,અને $5$ એ અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ નો અંત ક્યારેય $5$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.

(B) ના,દરેક ધન પૂર્ણાંક $4q + 2$ સ્વરૂપનો હોઈ શકે નહીં.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ અને ધન પૂર્ણાંક $a = 4$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $b = 4q + r$,જ્યાં $0 \le r < 4$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2,$ અને $3$ છે.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ ને નીચેનામાંથી કોઈ એક સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે: $4q, 4q + 1, 4q + 2,$ અથવા $4q + 3$.
આમ,ધન પૂર્ણાંક $4q, 4q + 1,$ અથવા $4q + 3$ સ્વરૂપમાં પણ હોઈ શકે છે,તેથી તે માત્ર $4q + 2$ સ્વરૂપ પૂરતું મર્યાદિત નથી.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $(n+1)$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં,એક સંખ્યા બેકી (even) અને બીજી એકી (odd) હોય છે.
બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર $n(n+1)$ હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હશે કારણ કે તેમાંની ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n + 1)$ અને $(n + 2)$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય જ છે. તેથી,કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હશે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક (એટલે કે $3$ વડે વિભાજ્ય) હોય જ છે.
આમ,આ ગુણાકાર $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય છે. $2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી (તેમનો ગુ.સા.અ. $1$ છે),તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે પણ વિભાજ્ય હોય.
તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(N/A) ના,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ ને $b = 3q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \leq r < 3$. આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $3k, 3k + 1$ અથવા $3k + 2$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિસ્સો $1$: જો $b = 3k$ હોય,તો $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3k^2$.
કિસ્સો $2$: જો $b = 3k + 1$ હોય,તો $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 2k$.
કિસ્સો $3$: જો $b = 3k + 2$ હોય,તો $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 4k + 1$.
બધા કિસ્સાઓમાં,ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કાં તો $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(B) ના. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $3q, 3q + 1$ અથવા $3q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ચાલો આ સ્વરૂપોના વર્ગની તપાસ કરીએ:
$1.$ જો પૂર્ણાંક $3q$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
$2.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 1$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
$3.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 2$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે. તે ક્યારેય $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(A) $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે આપેલી બંને સંખ્યાઓને ભાગી શકે છે.
આપેલ છે કે $525$ અને $3000$ એ $3, 5, 15, 25$ અને $75$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી આમાં સૌથી મોટી સંખ્યા $75$ છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમર્થન:
$3000 = 525 \times 5 + 375$
$525 = 375 \times 1 + 150$
$375 = 150 \times 2 + 75$
$150 = 75 \times 2 + 0$
જ્યારે ભાજક $75$ હોય ત્યારે શેષ $0$ મળે છે,તેથી $HCF(525, 3000) = 75$ થાય છે.

(N/A) આપણી પાસે છે,$3 \times 5 \times 7 + 7 = 105 + 7 = 112$.
હવે,આપણે $112$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2 \times 2 \times 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
કારણ કે $112$ ને અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $7$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તેના બે કરતા વધારે અવયવો છે (જેમ કે,$1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112$).
વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને બે કરતા વધારે અવયવો હોય તેને વિભાજ્ય સંખ્યા કહેવાય છે. તેથી,$3 \times 5 \times 7 + 7$ એ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) ના,બે સંખ્યાઓનો $HCF$ $18$ અને $LCM$ $380$ હોઈ શકે નહીં.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓનો $HCF$ હંમેશા તેમના $LCM$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
અહીં,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $380$ એ $18$ વડે વિભાજ્ય છે:
$380 / 18 = 21.11...$
જેથી $18$ એ $380$ નો અવયવ નથી,તેથી આવી સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ હોઈ શકે નહીં.

(A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{987}{10500}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $21$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{987 \div 21}{10500 \div 21} = \frac{47}{500}$.
હવે,છેદ $500$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$500 = 5 \times 100 = 5 \times 10^2 = 5 \times (2 \times 5)^2 = 5 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 5^3$.
પ્રમેય મુજબ,જો સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ ના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં છેદ $500 = 2^2 \times 5^3$ એ $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં છે (જ્યાં $m=2$ અને $n=3$),તેથી $\frac{987}{10500}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ કિંમત શોધવા માટે: $\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.

(A) આપેલી સંખ્યા $327.7081$ એ શાંત દશાંશ સંખ્યા છે.
તે શાંત દશાંશ હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા દર્શાવે છે,જેનો છેદ $q$,જ્યારે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં (જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તેના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપણે લખી શકીએ:
$327.7081 = \frac{3277081}{10000} = \frac{p}{q}$
અહીં,છેદ $q = 10000 = 10^{4}$ છે.
$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવોનું વિસ્તરણ કરતા:
$q = (2 \times 5)^{4} = 2^{4} \times 5^{4}$.
આમ,$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $5$ છે.

(B) બે સંખ્યાઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,તેમનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $1$ હોવો જોઈએ. આપણે યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$396 = 231 \times 1 + 165$
$231 = 165 \times 1 + 66$
$165 = 66 \times 2 + 33$
$66 = 33 \times 2 + 0$
અહીં ગુ.સા.અ. $33$ છે (જે $1$ નથી),તેથી સંખ્યાઓ $231$ અને $396$ પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી.

(B) $847$ અને $2160$ નો $HCF$ યુક્લિડની ભાગાકારની રીત દ્વારા શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$2160 = 847 \times 2 + 466$
$847 = 466 \times 1 + 381$
$466 = 381 \times 1 + 85$
$381 = 85 \times 4 + 41$
$85 = 41 \times 2 + 3$
$41 = 3 \times 13 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
$2 = 1 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક $1$ એ $HCF$ છે.
જો બે સંખ્યાઓનો $HCF$ $1$ હોય,તો તે સંખ્યાઓને પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવાય છે. આમ,$847$ અને $2160$ નો $HCF$ $1$ હોવાથી,તેઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.

(N/A) કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને $2q+1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કરતા:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
$q$ અને $q+1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $q(q+1)$ હંમેશા યુગ્મ હોય છે. તેથી,આપણે $q(q+1) = 2m$ લખી શકીએ,જ્યાં $m$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણ સંખ્યા $m$ માટે $8m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,જ્યાં $a$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 1}{2a}$ પણ સંમેય સંખ્યા થાય. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસ આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ સંમેય છે,તેના કારણે ઉદ્ભવ્યો છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $4$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 4m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ મળે.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2$ છે.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 2m$ છે.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2 + 4m + 1$ છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 6m + 2$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $4q$ અથવા $4q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a$ અને $b=4$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,જ્યાં $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,જ્યાં $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $4m, 4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a$ એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $5$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 5m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$.
ધારો કે $q' = 5m^2 + 2mr$,તો $a^2 = 5q' + r^2$.
આપણે $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ની તમામ શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
કિસ્સો $I$: જો $r=0$,તો $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,જે $5q$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $II$: જો $r=1$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $III$: જો $r=2$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r=3$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $V$: જો $r=4$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં $a^2$ એ $5q, 5q+1,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $5q+2$ અથવા $5q+3$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગવિધિ મુજબ,ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$. આને સમીકરણ $(i)$ કહો.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,જ્યાં $m = 6q^2$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 2q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 4q$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,જ્યાં $m = 6q^2 + 6q + 1$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 8q + 2$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 10q + 4$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ માત્ર $6m, 6m+1, 6m+3,$ અથવા $6m+4$ સ્વરૂપમાં જ હોઈ શકે છે. તેથી,તે $6m+2$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b=4$ માટે,$a = 4k + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
$a$ અયુગ્મ હોવાથી,$r$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 4k + 1$.
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 2k$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $r = 3$ હોય,તો $a = 4k + 3$.
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 6k + 2$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(N/A) ધારો કે $n$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $n = 2k + 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને $n^{2} - 1$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
અહીં $k$ અને $k + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી હશે. તેથી,તેમનો ગુણાકાર $k(k + 1)$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $k(k + 1) = 2m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
આમ,$n^{2} - 1$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,તે કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ માટે $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $x = 2m + 1$ અને $y = 2n + 1$ એ કોઈપણ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
કારણ કે $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,તેથી તે સ્પષ્ટપણે એક બેકી સંખ્યા છે.
જોકે,જ્યારે તેને $4$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$x^{2} + y^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(D) ધારો કે $a = 693$,$b = 567$,અને $c = 441$.
યુક્લિડની ભાગવિધિ મુજબ,$a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$.
પ્રથમ,આપણે $693$ અને $567$ નો $HCF$ શોધીએ:
$693 = 567 \times 1 + 126$
$567 = 126 \times 4 + 63$
$126 = 63 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$HCF(693, 567) = 63$ મળે છે.
હવે,આપણે મળેલા પરિણામ $(63)$ અને બાકી રહેલી સંખ્યા $(441)$ નો $HCF$ શોધીએ:
$441 = 63 \times 7 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$HCF(63, 441) = 63$ મળે છે.
તેથી,$441, 567, 693$ નો $HCF$ $63$ છે.

(A) અહીં $1251, 9377$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ શેષ વધે છે,તેથી આ શેષને આપેલી સંખ્યાઓમાંથી બાદ કરતા આપણને એવી સંખ્યાઓ મળે છે જે માંગેલી સંખ્યા વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
$1251 - 1 = 1250$
$9377 - 2 = 9375$
$15628 - 3 = 15625$
માંગેલ સંખ્યા એ $1250, 9375$ અને $15625$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ છે.
યુક્લિડની ભાગાકારની રીત $a = bq + r$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,$15625$ અને $9375$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$15625 = 9375 \times 1 + 6250$
$9375 = 6250 \times 1 + 3125$
$6250 = 3125 \times 2 + 0$
તેથી,$HCF(15625, 9375) = 3125$.
હવે,$3125$ અને $1250$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$3125 = 1250 \times 2 + 625$
$1250 = 625 \times 2 + 0$
તેથી,$HCF(3125, 1250) = 625$.
આમ,$625$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે $1251, 9377$ અને $15628$ ને ભાગતા અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ શેષ આપે છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,જ્યાં $a$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા).
$\sqrt{5}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 2}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે,જે હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે હંમેશા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
જો $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $12^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ નો સમાવેશ થાય.
હવે,$12$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $12 = 2^{2} \times 3$ છે.
તેથી,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ થાય.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$12^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે અને તેમાં માત્ર $2$ અને $3$ અવિભાજ્ય અવયવો જ છે.
કારણ કે $5$ એ $12^{n}$ નો અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં.

(D) દરેક વ્યક્તિએ ઓછામાં ઓછું કેટલું અંતર ચાલવું જોઈએ જેથી દરેક વ્યક્તિ પૂર્ણ ડગલાંમાં સમાન અંતર કાપી શકે તે શોધવા માટે,આપણે ડગલાંના માપ $40\, cm$,$42\, cm$ અને $45\, cm$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$40 = 2^3 \times 5$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$45 = 3^2 \times 5$
$LCM$ શોધવા માટે,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લઈશું:
$LCM(40, 42, 45) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35$
$LCM = 2520$
તેથી,દરેક વ્યક્તિએ ઓછામાં ઓછું $2520\, cm$ અંતર ચાલવું જોઈએ.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{257}{5000}$ નો છેદ $5000$ છે.
પ્રથમ,આપણે $5000$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10^3 = 5 \times (2 \times 5)^3 = 5 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 5^4$.
આ $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = 3$ અને $n = 4$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
પ્રત્યક્ષ ભાગાકાર કર્યા વગર દશાંશ અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે,આપણે $2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરીએ:
$\frac{257}{5000} = \frac{257}{2^3 \times 5^4}$.
ઘાતાંક $4$ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $2^1$ વડે ગુણીએ:
$\frac{257 \times 2}{2^3 \times 5^4 \times 2^1} = \frac{514}{2^4 \times 5^4} = \frac{514}{(2 \times 5)^4} = \frac{514}{10^4}$.
$\frac{514}{10000} = 0.0514$.
આમ,તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ $0.0514$ છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,જ્યાં $a$ એક શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,પદ $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા જ થાય.
પરંતુ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{p}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $p$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે કારણ કે અસંમેય સંખ્યા ક્યારેય સંમેય સંખ્યાને સમાન ન હોઈ શકે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક $6m + 1, 6m + 3$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
હવે,આપણે આ સ્વરૂપોના વર્ગ કરીએ:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 2m$ એક પૂર્ણાંક છે.
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,જ્યાં $q = 6m^2 + 6m + 1$ એક પૂર્ણાંક છે.
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 10m + 4$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $6q + 1$ અથવા $6q + 3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની રીત મુજબ,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,જ્યાં $m = 36q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$.
આમ,$6q + r$ સ્વરૂપના કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $6m + r$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ અને $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ અને $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2$ અથવા $n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોને $n, (n+1),$ અને $(n+2)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $n$ એ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે $(n \in \mathbb{N})$.
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ ને $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q + 1$ હોય,તો $n + 2 = (3q + 1) + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q + 2$ હોય,તો $n + 1 = (3q + 2) + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $n, n+1,$ અથવા $n+2$ માંથી એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $a = n^{3} - n.$
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા,આપણને મળે $a = n(n^{2} - 1).$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $a = (n - 1)n(n + 1).$
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આમ,$2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ એ આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકારને નિઃશેષ ભાગી શકે છે.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(n - 1)n(n + 1)$ હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$n^{3} - n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
દરેક કિસ્સા માટે આપણે ${n, n+4, n+8, n+12, n+16}$ ના સમૂહની વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$1$. જો $n = 5q$ હોય,તો $n$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2$. જો $n = 5q+1$ હોય,તો $n+4 = 5q+1+4 = 5q+5 = 5(q+1)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3$. જો $n = 5q+2$ હોય,તો $n+8 = 5q+2+8 = 5q+10 = 5(q+2)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4$. જો $n = 5q+3$ હોય,તો $n+12 = 5q+3+12 = 5q+15 = 5(q+3)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$5$. જો $n = 5q+4$ હોય,તો $n+16 = 5q+4+16 = 5q+20 = 5(q+4)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક કિસ્સામાં,પાંચ પદોમાંથી માત્ર એક જ પદ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$,$n+1$ અને $n+2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $3m$,$3m+1$ અથવા $3m+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3m$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. અહીં,$n+1 = 3m+1$ અને $n+2 = 3m+2$ છે,જેમને $3$ વડે ભાગતા અનુક્રમે $1$ અને $2$ શેષ વધે છે. આમ,માત્ર $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3m+1$ હોય,તો $n+1 = 3m+2$ અને $n+2 = 3m+3 = 3(m+1)$ થાય. અહીં,માત્ર $n+2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3m+2$ હોય,તો $n+1 = 3m+3 = 3(m+1)$ અને $n+2 = 3m+4 = 3(m+1)+1$ થાય. અહીં,માત્ર $n+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $n$,$n+1$ અને $n+2$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $2m$ અથવા $2m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 2m$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
અહીં $2(2m^{2} - m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 2m + 1$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
અહીં $2(2m^{2} + m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.