Textbook - Real Numbers Questions in Hindi

(N/A) चूंकि $12576 > 4052$ है,हम $12576$ और $4052$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
चूंकि शेषफल $420 \neq 0$ है,हम $4052$ और $420$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
चूंकि शेषफल $272 \neq 0$ है,हम $420$ और $272$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$420 = 272 \times 1 + 148$
चूंकि शेषफल $148 \neq 0$ है,हम $272$ और $148$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$272 = 148 \times 1 + 124$
चूंकि शेषफल $124 \neq 0$ है,हम $148$ और $124$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$148 = 124 \times 1 + 24$
चूंकि शेषफल $24 \neq 0$ है,हम $124$ और $24$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$124 = 24 \times 5 + 4$
चूंकि शेषफल $4 \neq 0$ है,हम $24$ और $4$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$24 = 4 \times 6 + 0$
अब शेषफल $0$ प्राप्त हो गया है,इसलिए प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है। इस चरण में भाजक $4$ है। अतः,$12576$ और $4052$ का $HCF$ $4$ है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=2$ है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=2$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
चूँकि $b=2$ है,शेषफल $r$ के संभावित मान $0$ और $1$ हैं (अर्थात $0 \leq r < 2$)।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 2q + 0 = 2q$ होगा। चूँकि $2q$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ एक सम पूर्णांक है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 2q + 1$ होगा। चूँकि $2q$ सम है,इसलिए $2q+1$,$2$ से विभाज्य नहीं है,अतः $a$ एक विषम पूर्णांक है।
इस प्रकार,प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2q$ के रूप का होता है और प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $2q+1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
यहाँ,हम $b = 4$ लेते हैं। अतः,$a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
इसका अर्थ है कि $a$ को $4q, 4q+1, 4q+2$ या $4q+3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूँकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,यह $2$ से विभाज्य नहीं हो सकता।
- $4q = 2(2q)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
- $4q+2 = 2(2q+1)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
अतः,$a$ का मान $4q$ या $4q+2$ नहीं हो सकता।
इसलिए,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का ही होता है।

(D) परात में न्यूनतम स्थान घेरने के लिए,हमें प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या को अधिकतम करना होगा। यह $420$ और $130$ के महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ को खोजने के बराबर है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
$420$ और $130$ का $HCF$ $10$ है।
अतः,मिठाई विक्रेता परात में स्थान को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक ढेरी में $10$ बर्फियां रख सकती है।

(A) $135$ और $225$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $225 > 135$,हम $225$ और $135$ पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$225 = 135 \times 1 + 90$
चूंकि शेषफल $90 \neq 0$ है,हम $135$ और $90$ पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$135 = 90 \times 1 + 45$
अब,हम नए भाजक $90$ और नए शेषफल $45$ को लेते हैं,और विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$90 = 45 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
इस चरण पर भाजक $45$ है,इसलिए $135$ और $225$ का $HCF$ $45$ है।

(B) $196$ और $38220$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $38220 > 196$,हम $38220$ और $196$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$38220 = 196 \times 195 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए प्रक्रिया यहीं समाप्त हो जाती है।
इस चरण पर भाजक $196$ है।
अतः,$196$ और $38220$ का $HCF$ $196$ है।

(C) दी गई संख्याएँ $867$ और $255$ हैं।
चूँकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चूँकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चूँकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ है,प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
इस चरण पर भाजक $51$ है।
अतः,$867$ और $255$ का $HCF$ $51$ है।

(N/A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
माना $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है और $b = 6$ है।
प्रमेयिका में $b = 6$ रखने पर,हमें $a = 6q + r$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 6q = 2(3q)$,जो कि सम है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 2$ है,तो $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,जो कि सम है।
यदि $r = 3$ है,तो $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 4$ है,तो $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,जो कि सम है।
यदि $r = 5$ है,तो $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,जो कि विषम है।
चूँकि $a$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप का नहीं हो सकता। अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होता है।

(A) स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं,वह $616$ और $32$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करने पर प्राप्त होगी।
$HCF$ ज्ञात करने के लिए हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं:
$616 = 32 \times 19 + 8$
$32 = 8 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $616$ और $32$ का म.स.प. $8$ है।
अतः,वे अधिकतम $8$ स्तंभों में मार्च कर सकते हैं।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 3q+1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r=2$ है,तो $a = 3q+2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $0 \leq r < 3$ है।
अतः,$a$ का मान $3q, 3q+1$ या $3q+2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $a = 3q$ है,तो $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $a = 3q+1$ है,तो $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $a = 3q+2$ है,तो $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

(C) यदि किसी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $4^{n}$ संख्या शून्य पर समाप्त होती है,तो वह $5$ से विभाज्य होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ होनी चाहिए।
हालाँकि,हम $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$ लिख सकते हैं।
$4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल एक ही अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,यह अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है।
चूँकि $5$,$4^{n}$ का गुणनखंड नहीं है,इसलिए ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या $n$ नहीं है जिसके लिए $4^{n}$ शून्य पर समाप्त हो।

(N/A) सबसे पहले,हम दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेते हैं:
$HCF(6, 20) = 2^1 = 2$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM(6, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$HCF$ $2$ है और $LCM$ $60$ है।

(B) $96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$HCF$ संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$
संबंध $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ का उपयोग करते हुए:
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$LCM(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$

(C) हमारे पास संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन है:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेते हैं:
$HCF(6, 72, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM(6, 72, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
अतः,$HCF$ $6$ है और $LCM$ $360$ है।

(A) $140$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$140 = 2 \times 70$
$70 = 2 \times 35$
$35 = 5 \times 7$
अतः,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5 \times 7$.

(A) $156$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन सबको मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
अतः,अभाज्य गुणनखंडन $2^{2} \times 3 \times 13$ है।

(B) $3825$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$3825 \div 3 = 1275$
$1275 \div 3 = 425$
$425 \div 5 = 85$
$85 \div 5 = 17$
$17 \div 17 = 1$
अतः,$3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^{2} \times 5^{2} \times 17$.

(A) $5005$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5005$,$5$ से विभाज्य है: $5005 = 5 \times 1001$
$1001$,$7$ से विभाज्य है: $1001 = 7 \times 143$
$143$,$11$ से विभाज्य है: $143 = 11 \times 13$
$13$ एक अभाज्य संख्या है।
अतः,$5005$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।

(A) $7429$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जाँच करेंगे।
$1$. $7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
$2$. $7429$ को $17$ से भाग देने पर: $7429 \div 17 = 437$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,हम $437$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करेंगे। $19$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $437 \div 19 = 23$ प्राप्त होता है।
$4$. चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन पूर्ण हो गया है।
अतः,$7429 = 17 \times 19 \times 23$।

(A) सबसे पहले,दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$HCF = 13$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$LCM = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अब,संबंध को सत्यापित कीजिए:
दो संख्याओं का गुणनफल $= 26 \times 91 = 2366$
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$
चूँकि $2366 = 2366$,इसलिए $LCM \times HCF =$ दो संख्याओं का गुणनफल संबंध सत्यापित होता है।

(B) सबसे पहले,दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23 = 2 \times 2 \times 23$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लें:
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लें:
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
अब,संबंध को सत्यापित करें:
दोनों संख्याओं का गुणनफल $= 510 \times 92 = 46920$
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
चूंकि $46920 = 46920$,इसलिए $LCM \times HCF =$ दोनों संख्याओं का गुणनफल संबंध सत्यापित होता है।

(C) सबसे पहले,संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$54 = 2 \times 3^3$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$
अब,संबंध को सत्यापित कीजिए:
दोनों संख्याओं का गुणनफल $= 336 \times 54 = 18144$
$LCM \times HCF = 3024 \times 6 = 18144$
चूंकि $18144 = 18144$,इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(D) $12, 15$ और $21$ का $LCM$ और $HCF$ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $3^{1}$ है।
अतः,$HCF = 3$।
चरण $3$: $LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
उनकी सबसे बड़ी घातें $2^{2}, 3^{1}, 5^{1}$ और $7^{1}$ हैं।
$LCM = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।

(A) $17, 23$ और $29$ का अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा $LCM$ और $HCF$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
$17 = 1 \times 17$
$23 = 1 \times 23$
$29 = 1 \times 29$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
चूंकि $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF = 1$ है।
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 17 \times 23 \times 29 = 11339$।
अतः,$HCF = 1$ और $LCM = 11339$ है।

(B) $8, 9$ और $25$ का $LCM$ और $HCF$ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए:
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
चरण $2$: $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए:
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूँकि $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF = 1$ है।
चरण $3$: $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात कीजिए:
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 8 \times 9 \times 25$
$LCM = 72 \times 25 = 1800$
अतः,$LCM = 1800$ और $HCF = 1$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $HCF (306, 657) = 9$ है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं,उनके $HCF$ और उनके $LCM$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$LCM (a, b) \times HCF (a, b) = a \times b$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$LCM (306, 657) \times 9 = 306 \times 657$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,संख्याओं के गुणनफल को उनके $HCF$ से विभाजित करें:
$LCM (306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
सबसे पहले,$306$ को $9$ से विभाजित करें:
$306 \div 9 = 34$
अब,परिणाम को $657$ से गुणा करें:
$LCM (306, 657) = 34 \times 657 = 22338$
अतः,$LCM (306, 657)$ का मान $22338$ है।

(N/A) यदि कोई संख्या अंक $0$ पर समाप्त होती है,तो वह $10$ से विभाज्य होनी चाहिए। इसका अर्थ है कि वह $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य होनी चाहिए,क्योंकि $10 = 2 \times 5$ होता है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
यह देखा जा सकता है कि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ उपस्थित नहीं है।
चूँकि $5$ इसका गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ संख्या $5$ से विभाज्य नहीं होगी।
अतः,किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ अंक $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(N/A) संख्याएँ दो प्रकार की होती हैं: अभाज्य और भाज्य। अभाज्य संख्याओं के केवल दो गुणनखंड होते हैं,$1$ और वह संख्या स्वयं,जबकि भाज्य संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
प्रथम व्यंजक के लिए:
$7 \times 11 \times 13+13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
चूँकि इस व्यंजक के $1$ और स्वयं के अतिरिक्त अन्य गुणनखंड (जैसे $6, 13, 78$) हैं,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
द्वितीय व्यंजक के लिए:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
चूँकि $1009$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए इस व्यंजक के गुणनखंड $5$ और $1009$ हैं (इसके अलावा $1$ और वह संख्या स्वयं)। अतः,यह एक भाज्य संख्या है।

(B) सोनिया और रवि पुनः प्रारंभिक बिंदु पर कब मिलेंगे,यह ज्ञात करने के लिए हमें उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
सोनिया को $18$ मिनट और रवि को $12$ मिनट लगते हैं।
$18$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 3^2$.
$12$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
अतः,वे $36$ मिनट बाद पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम ऐसे पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर यह मान सकते हैं कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) हैं।
अतः,$b\sqrt{3} = a$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3b^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$3$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $3$ से विभाज्य होगा।
अतः,हम किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a = 3c$ लिख सकते हैं।
$3b^2 = a^2$ में $a = 3c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $b^2 = 3c^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$3$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $3$ से विभाज्य है।
अतः,$a$ और $b$ में कम से कम $3$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{3}$ परिमेय है। अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं,ताकि $5-\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{5b - a}{b}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{5b - a}{b}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $5-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3 \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $3 \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3$,$a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं (अर्थात,उनका केवल एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$5$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $5$ से विभाज्य है।
मान लीजिए $a = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 5b^2$ समीकरण में रखने पर,हमें $(5k)^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $25k^2 = 5b^2$ या $b^2 = 5k^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$5$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $5$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $5$ से विभाज्य हैं,उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं,का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है,और हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

(N/A) मान लीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष को सरल करने पर,$2 \sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $3+2 \sqrt{5}$ परिमेय है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$ हो।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
इसलिए,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ को भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा कि $7 \sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{b} - 6 = \frac{a-6b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $6+\sqrt{2}$ परिमेय है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न $\frac{13}{3125}$ में,हर $3125$ है।
$3125$ का अभाज्य गुणनखंडन: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
इसे $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0$ और $m=5$ है)।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ है।
यहाँ हर $8$ है।
$8$ का अभाज्य गुणनखंड $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ है।
हम इसे $8 = 2^3 \times 5^0$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ है।
सबसे पहले,हर $455$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$455 = 5 \times 7 \times 13$.
चूंकि हर $455$ के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) भी मौजूद हैं,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है।
अतः,$\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$ का रूप $2^{m} \times 5^{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
दी गई भिन्न: $\frac{15}{1600}$.
सबसे पहले,भिन्न को सरल करें: $\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
अब,हर $320$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$320 = 32 \times 10 = 2^{5} \times 2 \times 5 = 2^{6} \times 5^{1}$.
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=6$ और $n=1$),इसलिए $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ के लिए:
हर $343$ है।
$343$ का अभाज्य गुणनखंड $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ है।
चूंकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
यदि हर $q$,$2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,जहाँ $m$ और $n$ ऋण-इतर पूर्णांक हैं,तो परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है।
दिए गए व्यंजक $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ में,हर $2^{3} \times 5^{2}$ है।
यहाँ,$m = 3$ और $n = 2$ है,जो कि ऋण-इतर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि उसके हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} \cdot 5^{n}$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}$ में,हर $q = 2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}$ है।
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(7^{5})$ मौजूद है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) सबसे पहले,भिन्न को उसके सरलतम रूप में लिखें:
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $5$ है,जिसे $2^0 \times 5^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम जांचते हैं कि क्या हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है,जहाँ $m$ और $n$ ऋण-इतर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ को पहले इसके सरलतम रूप में बदलने पर:
$\frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{7}{10}$.
यहाँ हर $10$ है।
$10$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{1} \times 5^{1}$ है।
चूंकि हर $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में है (जहाँ $m=1$ और $n=1$),इसलिए परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार शांत है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम जाँचते हैं कि क्या हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
सबसे पहले,भिन्न $\frac{77}{210}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $7$ से विभाजित करके सरल करें:
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा $3$ भी एक गुणनखंड है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{11}{30}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(0.00416) $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग कर सकते हैं या हर को $10$ की घात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
चरण $1$: हर $3125$ का अभाज्य गुणनखंड $3125 = 5^5$ है।
चरण $2$: हर को $10$ की घात बनाने के लिए,अंश और हर को $2^5 = 32$ से गुणा करें।
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(N/A) $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग की प्रक्रिया करते हैं:
$1$. $17$ को $8$ से विभाजित करें।
$2$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $17 - 16 = 1$।
$3$. भागफल में दशमलव बिंदु लगाएं और शेषफल में $0$ जोड़ें,जिससे यह $10$ हो जाए।
$4$. $8 \times 1 = 8$,इसलिए $10 - 8 = 2$।
$5$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $20$ हो जाए।
$6$. $8 \times 2 = 16$,इसलिए $20 - 16 = 4$।
$7$. शेषफल में एक और $0$ जोड़ें,जिससे यह $40$ हो जाए।
$8$. $8 \times 5 = 40$,इसलिए $40 - 40 = 0$।
अतः,$\frac{17}{8} = 2.125$।