Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $\text{g.c.d.}(306, 657) = 9$ (क्योंकि $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ और $657 = 3^2 \times 73$ का अभाज्य गुणनखंडन करने पर,$\text{g.c.d.} = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है)।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
मान रखने पर: $9 \times \text{l.c.m.}(306, 657) = 306 \times 657$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$.
$\text{l.c.m.}(306, 657) = 34 \times 657 = 22338$.

(A) माना कि दो संख्याओं का $\text{g.c.d.} = x$ है।
दिया गया है कि $\text{l.c.m.}$,$\text{g.c.d.}$ का $14$ गुना है,इसलिए $\text{l.c.m.} = 14x$.
$\text{l.c.m.}$ और $\text{g.c.d.}$ का योग $600$ है,इसलिए $14x + x = 600$.
$15x = 600 \implies x = 40$.
अतः,$\text{g.c.d.} = 40$ और $\text{l.c.m.} = 14 \times 40 = 560$.
हम जानते हैं कि दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\text{l.c.m.} \times \text{g.c.d.} = a \times b$.
यहाँ $a = 280$ दिया गया है,इसलिए $560 \times 40 = 280 \times b$.
$b = \frac{560 \times 40}{280} = 2 \times 40 = 80$.
अतः,दूसरी संख्या $80$ है।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ और $\text{l.c.m.}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
यह दिया गया है कि $\text{g.c.d.}$ $16$ है और दोनों संख्याओं का गुणनफल $(a \times b)$ $3072$ है,इसलिए हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:
$16 \times \text{l.c.m.} = 3072$
$\text{l.c.m.}$ ज्ञात करने के लिए,$3072$ को $16$ से विभाजित करें:
$\text{l.c.m.} = \frac{3072}{16}$
$\text{l.c.m.} = 192$
अतः,दोनों संख्याओं का $\text{l.c.m.}$ $192$ है।

(C) वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगे,यह जानने के लिए हमें कुशान और राजन द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
कुशान द्वारा लिया गया समय = $18$ मिनट।
राजन द्वारा लिया गया समय = $12$ मिनट।
$18$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3^2$।
$12$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^2 \times 3$।
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$।
अतः,वे $36$ मिनट बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
यहाँ,भिन्न $\frac{64}{455}$ है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या भिन्न अपने सरलतम रूप में है। $64$ और $455$ का म.स.प. $1$ है,इसलिए यह अपने सरलतम रूप में है।
अब,हर $455$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$455 = 5 \times 91 = 5 \times 7 \times 13$.
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) मौजूद हैं,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार सांत नहीं है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई भिन्न $\frac{13}{125}$ के लिए:
$1$. हर का अभाज्य गुणनखंडन: $125 = 5^3 = 2^0 \times 5^3$.
$2$. चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0, m=3$),इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
$3$. दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हर को $10$ की घात के रूप में बदलते हैं:
$\frac{13}{125} = \frac{13 \times 2^3}{5^3 \times 2^3} = \frac{13 \times 8}{10^3} = \frac{104}{1000} = 0.104$.

(N/A) दशमलव प्रसार $0.02003000400005 \ldots$ अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) है।
चूंकि एक संख्या परिमेय तभी होती है जब उसका दशमलव प्रसार या तो शांत हो या अनवसानी-आवर्ती हो,यह संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती है।
अतः,$0.02003000400005 \ldots$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) दशमलव रूप $5 . \overline{123456}$ अनवसानी आवर्ती (non-terminating and recurring) है। इसलिए,यह एक परिमेय संख्या है।
माना $x = 5 . \overline{123456}$ है।
$\therefore x = 5.123456123456 \ldots$ (समीकरण $1$)
चूंकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $10^6 = 1000000$ से गुणा करने पर:
$\therefore 1000000x = 5123456.123456123456 \ldots$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000000x - x = 5123456.123456 \ldots - 5.123456 \ldots$
$999999x = 5123451$
$\therefore x = \frac{5123451}{999999}$

(A) दशमलव रूप $3.127$ एक सांत (terminating) दशमलव है।
चूंकि प्रत्येक सांत दशमलव को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$3.127$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम दशमलव बिंदु को हटाते हैं और $1000$ से भाग देते हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हैं।
$3.127 = \frac{3127}{1000}$

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं। यदि $q = 2^n \times 5^m$ (जहाँ $n, m \ge 0$) है,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,हर $343$ है।
$343$ का अभाज्य गुणनखंड $7^3$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में नहीं है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है; इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम पहले भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
हर $320 = 32 \times 10 = 2^5 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5^1$ है।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n=6$ और $m=1$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{3}{2^6 \times 5^1} = \frac{3 \times 5^5}{2^6 \times 5^6} = \frac{3 \times 3125}{10^6} = \frac{9375}{1000000} = 0.009375$ लिखते हैं।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं। यदि $q = 2^n \times 5^m$ (जहाँ $n, m \ge 0$) है,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
सबसे पहले,भिन्न को सरल करने पर: $\frac{77}{210} = \frac{7 \times 11}{7 \times 30} = \frac{11}{30}$.
यहाँ हर $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ है।
चूंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $5$ के अलावा $3$ का गुणनखंड भी मौजूद है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अशांत और आवर्ती है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम हर के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
चरण $1$: $3125$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
चरण $2$: एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,$q = 5^5 = 2^0 \times 5^5$ है। चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
चरण $3$: दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $2^5$ से गुणा करें ताकि हर $10$ की घात बन जाए।
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए: $\frac{17}{8} = \frac{17 \times 125}{8 \times 125} = \frac{2125}{1000} = 2.125$.

(0.7) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $50 = 2^1 \times 5^2$ है।
चूँकि अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए: $\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$.

(A) माना $x = 0.2\overline{35}$.
इसका अर्थ है $x = 0.2353535...$ (समीकरण $1$).
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $10x = 2.353535...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करें: $1000x = 235.353535...$ (समीकरण $3$).
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$1000x - 10x = 235.353535... - 2.353535...$
$990x = 233$.
अतः,$x = \frac{233}{990}$.
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) माना $x = 18.484848 \ldots$ (समीकरण $1$).
चूंकि पुनरावृत्ति वाला भाग $48$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 1848.484848 \ldots$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 1848.484848 \ldots - 18.484848 \ldots$
$99x = 1830$.
$x = \frac{1830}{99}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{610}{33}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) माना $x = 0.\overline{001}$.
इसका अर्थ है $x = 0.001001001...$ (समीकरण $1$).
चूंकि $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $10^3 = 1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001001...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001001... - 0.001001001...$
$999x = 1$.
अतः,$x = \frac{1}{999}$.
चूंकि इस संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसका दशमलव प्रसार या तो शांत (terminating) हो या अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) हो।
दिए गए दशमलव प्रसार $0.05005000500005 \ldots$ में,अंकों का कोई निश्चित पैटर्न दोहराया नहीं जा रहा है और यह समाप्त भी नहीं हो रहा है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-repeating) है,इसलिए यह संख्या अपरिमेय है।
अतः,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

(D) माना $\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $7 + 2 \sqrt{10} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$x + y = 7$ और $2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{10}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $xy = 10$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $7$ और गुणनफल $10$ हो।
$10$ के गुणनखंड $(5, 2)$ हैं ताकि $5 + 2 = 7$ और $5 \times 2 = 10$ हो।
अतः,$x = 5$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{7+2 \sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{1}{\sqrt{12-\sqrt{140}}}-\frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}-\frac{2}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$
चरण $1$: वर्गमूल के अंदर के पदों को $a+b-2\sqrt{ab}$ के रूप में लिखकर सरल करें।
$= \frac{1}{\sqrt{12-2\sqrt{35}}} - \frac{1}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}} - \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}$
चरण $2$: वर्गमूल के अंदर के पदों को द्विपद के वर्ग के रूप में लिखें।
$= \frac{1}{\sqrt{7+5-2\sqrt{7 \times 5}}} - \frac{1}{\sqrt{5+3-2\sqrt{5 \times 3}}} - \frac{2}{\sqrt{7+3+2\sqrt{7 \times 3}}}$
$= \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}} - \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
चरण $3$: हर का परिमेयकरण करें।
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
चरण $4$: भिन्नों को संयोजित करें।
$= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{0}{2} = 0$

(A) हमें $\sqrt{3 - \frac{1}{3} \sqrt{56}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $\sqrt{3 - \frac{\sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{56}}{3}} = \sqrt{\frac{9 - 2\sqrt{14}}{3}}$.
$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$ को सरल करने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $a$ और $b$ ढूँढते हैं जिनका योग $a+b=9$ और गुणनफल $ab=14$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $2$ हैं।
अतः,$\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$.
इस प्रकार,व्यंजक $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} - \sqrt{\frac{2}{3}}$ हो जाता है।

(C) $30-2 \sqrt{56}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनके वर्गों का योग $30$ हो और उनका गुणनफल $\sqrt{56}$ हो।
$30-2 \sqrt{56} = 30-2 \sqrt{28 \times 2} = 30-2 \sqrt{7 \times 8}$.
हम $30$ को $(28+2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना व्यंजक $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2 \sqrt{xy}$ है।
यहाँ,$x+y = 30$ और $xy = 56$ है।
$x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $x=28$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$30-2 \sqrt{56} = 28+2-2 \sqrt{28 \times 2} = (\sqrt{28}-\sqrt{2})^2$.
चूँकि $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$,इसलिए व्यंजक $(2 \sqrt{7}-\sqrt{2})^2$ बन जाता है।
अतः,वर्गमूल $2 \sqrt{7}-\sqrt{2}$ है।

(D) $12-\sqrt{140}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $\sqrt{a-b}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सबसे पहले,$\sqrt{140}$ को $\sqrt{4 \times 35} = 2\sqrt{35}$ के रूप में सरल करें।
अतः,व्यंजक $12 - 2\sqrt{35}$ हो जाता है।
हम इसे $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं।
$x + y = 12$ और $2\sqrt{xy} = 2\sqrt{35}$ की तुलना करने पर,हमें $xy = 35$ प्राप्त होता है।
$35$ के ऐसे गुणनखंड जिनका योग $12$ है,वे $7$ और $5$ हैं।
इस प्रकार,$12 - 2\sqrt{35} = 7 + 5 - 2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2$।
अतः,वर्गमूल $\sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$ है।

(A) $3-\sqrt{5}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ के रूप में लिखते हैं।
वर्गमूल के अंदर $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\sqrt{\frac{2(3-\sqrt{5})}{2}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$.
अब,अंश $6-2\sqrt{5}$ को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें:
$6-2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{5})(1) = (\sqrt{5}-1)^2$.
इस मान को वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $\frac{7}{4} + \sqrt{3}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम व्यंजक को $\frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए कि वर्गमूल $(a + b)$ है। तब $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$।
पदों की तुलना करने पर,हमें $2ab = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $ab = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$a^2 + b^2 = \frac{7}{4}$।
मान लीजिए $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $b = 1$ है। तब $a^2 + b^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$।
अतः,$\frac{7}{4} + \sqrt{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)^2$।
इसलिए,वर्गमूल $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ है।

(C) $24+2 \sqrt{119}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए कि $\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $24+2 \sqrt{119} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$x + y = 24$ और $xy = 119$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $24$ और गुणनफल $119$ हो।
ये संख्याएँ $17$ और $7$ हैं,क्योंकि $17+7=24$ और $17 \times 7 = 119$ होता है।
अतः,$\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{17} + \sqrt{7}$ है।

(D) व्यंजक $\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+3 \sqrt{7}-2 \sqrt{2}}}$ को सरल करने के लिए,आइए अंश और हर को सरल करें।
अंश: $\sqrt{4-\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}$.
हर: $\sqrt{8+3\sqrt{7}-2\sqrt{2}}$. यह व्यंजक जटिल प्रतीत होता है। यदि हम हर को $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ मान लें,तो $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$ होगा।
अतः,$\frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \frac{(\sqrt{7}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{7}+1} = \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{7}+1)}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस व्यंजक का सरलीकरण $1$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2}$
$= (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(B) चरण $1$: पहले पद $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण करें।
अंश और हर को $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
चरण $2$: दूसरे पद $\frac{4}{\sqrt{10+\sqrt{84}}}$ को सरल करें।
ध्यान दें कि $\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$.
अतः,$\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
इस प्रकार,पद $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ बन जाता है।
इसका परिमेयकरण करने पर: $\frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
चरण $3$: तीसरे पद $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ का परिमेयकरण करें।
अंश और हर को $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ से गुणा करने पर:
$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.
चरण $4$: सभी पदों को संयोजित करें:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - (\sqrt{7} + \sqrt{5})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{7} - \sqrt{5} = 0$.

(N/A) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम प्रत्येक पद के अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं।
माना व्यंजक $E = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ है।
प्रत्येक पद के अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}})} + \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4-2\sqrt{3}}} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$
ध्यान दें कि $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$ और $4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$ है।
अतः,$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$ और $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-(\sqrt{3}+1)}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} + \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{3}}$
$E = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} - \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$
समान हर लेने पर $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3-1 = 2$:
$E = \frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)}{2}$
$E = \frac{(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$
$E = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$
$E = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
अतः,व्यंजक का मान $\sqrt{2}$ सिद्ध होता है।

(D) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $196$ और $38220$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम बड़ी संख्या को $a = bq + r$ के रूप में लिखते हैं,जहाँ $0 \le r < b$ है।
चरण $1$: $38220$ को $196$ से विभाजित करने पर:
$38220 = 196 \times 195 + 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण में भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$196$ और $38220$ का म.स.प. $196$ है।

(A) $867$ और $255$ का म.स.प. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूँकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$867$ और $255$ का म.स.प. $51$ है।

(N/A) चरण $1$: दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{g.c.d.} (510, 92) = 2^1 = 2$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{l.c.m.} (510, 92) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 17^1 \times 23^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$

(N/A) चरण $1$: $72$ और $90$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$72 = 2^3 \times 3^2$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{g.c.d.}(72, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
$\text{l.c.m.}(72, 90) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

(N/A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके म.स.प. और ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$\text{म.स.प.}(12, 15, 21) = 3^1 = 3$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{ल.स.प.}(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
अतः,म.स.प. $3$ है और ल.स.प. $420$ है।

(A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $\text{g.c.d.}$ $1$ है।
$\text{l.c.m.}$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2$
$\text{l.c.m.} = 8 \times 9 \times 25$
$\text{l.c.m.} = 72 \times 25 = 1800$.

(N/A) मान लीजिए कि,इसके विपरीत,$7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $7 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $7 \sqrt{5}$ परिमेय है।
इसलिए,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $6+\sqrt{2} = \frac{a}{b}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 6b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $6+\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है।
अतः,$6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$2+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $2+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 2b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है,और $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{11}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $11 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 11b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$11$ से विभाज्य है। चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $a$ भी $11$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 11k$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(11k)^2 = 11b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $121k^2 = 11b^2$ या $b^2 = 11k^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$11$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $11$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $11$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $11$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{11}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $5+\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{3} = \frac{a - 5b}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 5b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $5+\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
अतः,$5+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर को सरल करने पर,$2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3+2\sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $3 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसी सह-अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $3 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
मान लीजिए $\sqrt{5}-\sqrt{3} = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$।
$5 = r^2 + 3 + 2r\sqrt{3}$।
$5 - 3 - r^2 = 2r\sqrt{3}$।
$2 - r^2 = 2r\sqrt{3}$।
$\sqrt{3} = \frac{2 - r^2}{2r}$।
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{2 - r^2}{2r}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,$q \neq 0$,और $p, q$ सह-अभाज्य हैं।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{p}{q}$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{q}{p}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस स्थापित तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{7}-\sqrt{2} = r$,जहाँ $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{7} = r + \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{7})^2 = (r + \sqrt{2})^2$.
$7 = r^2 + 2 + 2r\sqrt{2}$.
$7 - r^2 - 2 = 2r\sqrt{2}$.
$5 - r^2 = 2r\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} = \frac{5 - r^2}{2r}$.
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{5 - r^2}{2r}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{19}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $19$ को $8$ से विभाजित करेंगे:
$19 \div 8 = 2.375$.

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने के बाद हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
सबसे पहले,$\frac{55}{150}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $5$ से विभाजित करके सरल करें:
$\frac{55 \div 5}{150 \div 5} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ और $5$ की घातें हों।
चूंकि हर $30$ में $3$ का एक गुणनखंड है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
$11 \div 30$ का भाग करने पर हमें $0.3666...$ या $0.3\overline{6}$ प्राप्त होता है।

(N/A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
यहाँ,हर $200$ है।
$200$ का अभाज्य गुणनखंडन $200 = 2^3 \times 5^2$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{23}{200}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम हर को $10$ की घात के रूप में लिख सकते हैं:
$\frac{23}{200} = \frac{23 \times 5}{200 \times 5} = \frac{115}{1000} = 0.115$.