Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

(C) दो पूर्णांकों $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक (g.c.d.),जिसे $d = \text{gcd}(a, b)$ के रूप में दर्शाया जाता है,वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है।
$1$. परिभाषा के अनुसार,$d$ को $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करना चाहिए,इसलिए $d \mid a$ और $d \mid b$ सत्य है।
$2$. $a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक $c$,महत्तम समापवर्तक $d$ से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए,$c \leqslant d$ सत्य है।
$3$. महत्तम समापवर्तक के गुणधर्म के अनुसार,$a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक $c$,उनके महत्तम समापवर्तक $d$ को भी विभाजित करता है। इसलिए,$c \mid d$ सत्य है।
$4$. कथन $c > d$ असत्य है क्योंकि यदि $c$ एक उभयनिष्ठ भाजक है,तो वह महत्तम समापवर्तक $d$ से बड़ा नहीं हो सकता है।

(A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और परिमेय संख्याओं के गुणों के अनुसार,एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं) का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{m} 5^{n}$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ अऋण पूर्णांक हैं।
अतः,$\frac{p}{q}$ का दशमलव रूप एक सांत दशमलव प्रसार है।

(B) भिन्न $\frac{12}{35}$ के लिए,हम पहले हर $q = 35$ की जाँच करते हैं।
हर का अभाज्य गुणनखंडन $q = 5 \times 7$ है।
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत तब होता है जब हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $35$ में अभाज्य गुणनखंड $7$ है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए $\frac{12}{35}$ का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सबसे पहले,भिन्न $\frac{42}{35}$ को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.),जो $7$ है,से विभाजित करके सरल करें।
$\frac{42 \div 7}{35 \div 7} = \frac{6}{5}$.
अब,हर को $10$ की घात बनाकर भिन्न को दशमलव में बदलें:
$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10} = 1.2$.
चूंकि दशमलव प्रसार $1.2$ सीमित अंकों के बाद समाप्त हो जाता है,इसलिए यह एक सांत दशमलव प्रसार है।

(D) दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम हर को $10$ की घात बनाकर भिन्न को दशमलव में बदलते हैं।
$\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.
दशमलव प्रसार $0.094$ में,दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंक हैं।

(A) $\frac{9}{1600}$ का दशमलव प्रसार कितने अंकों के बाद समाप्त होगा,यह ज्ञात करने के लिए हम हर (denominator) का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times 10^2 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2$.
अब,भिन्न $\frac{9}{2^6 \times 5^2}$ है।
$2$ और $5$ की घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^4$ से गुणा करेंगे:
$\frac{9 \times 5^4}{2^6 \times 5^2 \times 5^4} = \frac{9 \times 625}{2^6 \times 5^6} = \frac{5625}{(2 \times 5)^6} = \frac{5625}{10^6}$.
चूंकि हर $10^6$ है,इसलिए दशमलव प्रसार $6$ अंकों के बाद समाप्त हो जाएगा।

(C) $\frac{337}{125}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा करके हर को $10$ की घात में बदल सकते हैं।
$\frac{337}{125} = \frac{337 \times 8}{125 \times 8}$
$= \frac{2696}{1000}$
$= 2.696$

(C) दो करणी (surds) को सजातीय करणी कहा जाता है यदि उनके सरलतम रूप में करणीगत भाग (radicand) समान हो।
सबसे पहले,$\sqrt{12}$ को सरल करते हैं:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A) \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$B) \sqrt{36} = 6$ (यह एक परिमेय संख्या है,करणी नहीं)
$C) \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$D) \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$
चूँकि $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है,दोनों में अपरिमेय गुणनखंड $\sqrt{3}$ समान है।
अतः,$\sqrt{12}$ और $\sqrt{48}$ सजातीय करणी हैं।

(B) दो करणी (surds) 'सजातीय करणी' कहलाती हैं यदि सरलीकरण के बाद उनका करणी भाग समान हो।
$A) \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $\sqrt{16} = 4$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
$B) \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ और $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$। दोनों में करणी भाग $\sqrt{2}$ समान है,इसलिए ये सजातीय करणी हैं।
$C) \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ और $\sqrt{6}$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
$D) \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ और $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$। ये सजातीय करणी नहीं हैं।
अतः,सही युग्म $\sqrt{18}$ और $\sqrt{50}$ है।

(C) मान लीजिए कि दो संयुग्मी द्विपद करणी $(a + \sqrt{b})$ और $(a - \sqrt{b})$ हैं।
उनका गुणनफल $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$ होता है।
चूंकि $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं,इसलिए $a^2 - b$ भी एक परिमेय संख्या ही प्राप्त होती है।
अतः,दो संयुग्मी द्विपद करणी का गुणनफल हमेशा एक परिमेय संख्या होता है।

(C) एक द्विपद करणी के दो पदों के बीच के चिह्न को बदलकर संयुग्मी करणी प्राप्त की जाती है।
$a+\sqrt{b}$ के रूप वाली द्विपद करणी के लिए,इसकी संयुग्मी करणी $a-\sqrt{b}$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $3+\sqrt{2}$ है,इसलिए हम करणी वाले भाग का चिह्न बदल देंगे।
अतः,$3+\sqrt{2}$ की संयुग्मी करणी $3-\sqrt{2}$ है।

(B) $(\sqrt{3}+2)^{2}$ को हल करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 2$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{3}+2)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2(\sqrt{3})(2) + (2)^{2}$
$= 3 + 4\sqrt{3} + 4$
$= 7 + 4\sqrt{3}$.

(D) $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका योग $5$ हो और गुणनफल $6$ हो।
ये दो संख्याएँ $3$ और $2$ हैं।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sqrt{5+2 \sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \times 2}}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3+2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2 \sqrt{3} \sqrt{2}}$
$= \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$
$= \sqrt{3}+\sqrt{2}$

(A) $\frac{1}{3+\sqrt{8}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-\sqrt{8})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{3+\sqrt{8}} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} \times \frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}$
हर में सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3-\sqrt{8}}{(3)^2 - (\sqrt{8})^2}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$
$= \frac{3-\sqrt{8}}{1}$
$= 3-\sqrt{8}$

(C) व्यंजक $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ को सरल बनाने के लिए,हम पहले $\sqrt{140}$ को $2\sqrt{35}$ के रूप में लिखते हैं।
इस प्रकार,व्यंजक $\sqrt{12-2\sqrt{35}}$ हो जाता है।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका योग $12$ और गुणनफल $35$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $5$ हैं।
हम $12$ को $(7+5)$ और $35$ को $(7 \times 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \times 5}}$।
सर्वसमिका $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,परिणाम $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ है।

(D) किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $2k+1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $n = 4k \pm 1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है या मान रखकर जांचा जा सकता है।
मान लीजिए $n = 1$,तो $n^{2}-1 = 1^{2}-1 = 0$ ($8$ से विभाज्य है)।
मान लीजिए $n = 3$,तो $n^{2}-1 = 3^{2}-1 = 9-1 = 8$ ($8$ से विभाज्य है)।
मान लीजिए $n = 5$,तो $n^{2}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24$ ($8$ से विभाज्य है)।
सामान्य प्रमाण: चूंकि $n$ विषम है,$n = 2k+1$।
$n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1-1 = 4k(k+1)$।
चूंकि $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा एक सम संख्या होती है,अर्थात $k(k+1) = 2m$।
इसलिए,$n^{2}-1 = 4(2m) = 8m$।
अतः,$n^{2}-1$ हमेशा $8$ से विभाज्य है।

(A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ शेषफल $r$ को शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करना चाहिए। इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ का मान $0$ के बराबर या उससे बड़ा और भाजक $b$ से छोटा होता है। अतः,सही शर्त $0 \leq r < b$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leqslant r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,हमें $b = 7$ दिया गया है।
शर्त $0 \leqslant r < b$ में $b = 7$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 \leqslant r < 7$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $r$ के लिए सही शर्त $0 \leqslant r < 7$ है।

(D) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,$r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $r = 6$ संभव नहीं है।

(B) इसे हल करने के लिए,हम प्रत्येक जोड़ी के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) और महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) की गणना करते हैं:
$1$. $\text{ल.स.प.}(8, 16, 24)$:
अभाज्य गुणनखंड: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
ल.स.प. = $2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$. ($b$ से मेल खाता है)
$2$. $\text{म.स.प.}(8, 16, 24)$:
सामान्य गुणनखंड: $8 = 2^3$,$16 = 2^4$,$24 = 2^3 \times 3^1$.
म.स.प. = $2^3 = 8$. ($c$ से मेल खाता है)
$3$. $\text{ल.स.प.}(6, 12, 18)$:
अभाज्य गुणनखंड: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
ल.स.प. = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. ($a$ से मेल खाता है)
$4$. $\text{म.स.प.}(6, 12, 18)$:
सामान्य गुणनखंड: $6 = 2 \times 3$,$12 = 2^2 \times 3$,$18 = 2 \times 3^2$.
म.स.प. = $2^1 \times 3^1 = 6$. ($e$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a), (4-e)$ है।