Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 24x - 1 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $16$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{24}{16}x - \frac{1}{16} = 0 \implies x^{2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{16}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ છે,અને તેનો વર્ગ $\frac{9}{16}$ થાય) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$.
ડાબી બાજુને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે લખતા:
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{10}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$.
આમ,બીજ $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ અને $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3y^{2} + 7y - 20 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $y^{2} + \frac{7}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times y \text{ નો સહગુણક})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$y^{2} + \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} - (\frac{49 + 240}{36}) = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} = \frac{289}{36}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $y + \frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$.
આમ,બીજ $-4, \frac{5}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5x^{2} - 4x - 10 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x - 2 = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x = 2$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ થાય) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} = 2 + \frac{4}{25}$.
ડાબી બાજુને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે લખતા:
$(x - \frac{2}{5})^{2} = \frac{50 + 4}{25} = \frac{54}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5} = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.
આમ,બીજ $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{2 + 3\sqrt{6}}{5}$ છે.

(B) પૂર્ણ વર્ગની રીત દ્વારા સમીકરણ $m^{2} - 18m + 81 = 0$ ઉકેલવા માટે:
$1$. સમીકરણ પહેલેથી જ $m^{2} - 18m = -81$ સ્વરૂપમાં છે.
$2$. પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $m$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરીએ છીએ. $m$ નો સહગુણક $-18$ છે,તેથી તેના અડધા $-9$ થાય અને $(-9)^{2} = 81$ થાય.
$3$. બંને બાજુ $81$ ઉમેરતા: $m^{2} - 18m + 81 = -81 + 81$.
$4$. આનું સાદું રૂપ $(m - 9)^{2} = 0$ થાય છે.
$5$. બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $m - 9 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = 9$.
$6$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ હોવાથી,તેના બીજ $9, 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6x^2 + 11x + 3 = 0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{3}{6} = 0 \implies x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{1}{2} = 0$
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x = -\frac{1}{2}$
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (એટલે કે $(\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6})^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{121}{144} = -\frac{1}{2} + \frac{121}{144}$
$(x + \frac{11}{12})^2 = -\frac{72}{144} + \frac{121}{144} = \frac{49}{144}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{11}{12} = \pm \frac{7}{12}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
આમ,બીજ $-\frac{3}{2}$ અને $-\frac{1}{3}$ છે.

(D) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $16 - x$ છે. ધારો કે $x$ એ મોટો ભાગ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2x^2 - (16 - x)^2 = 164$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - (256 - 32x + x^2) = 164$.
$2x^2 - 256 + 32x - x^2 = 164$.
$x^2 + 32x - 420 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 42x - 10x - 420 = 0$.
$x(x + 42) - 10(x + 42) = 0$.
$(x - 10)(x + 42) = 0$.
ભાગ ધન હોવા જોઈએ,તેથી $x = 10$.
બીજો ભાગ $16 - 10 = 6$ છે.
આમ,બે ભાગ $10$ અને $6$ છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{n(n+1)}{2}$ આપેલ છે.
અહીં $S = 300$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n(n+1)}{2} = 300$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$n(n+1) = 600$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$n^2 + n - 600 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $-600$ અને સરવાળો $1$ થાય. આવી સંખ્યાઓ $25$ અને $-24$ છે.
તેથી,$(n + 25)(n - 24) = 0$.
આનાથી $n = -25$ અથવા $n = 24$ મળે છે.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે,તેથી તે ધન હોવી જોઈએ.
તેથી,$n = 24$.

(A) ધારો કે અંશ $x$ છે. તો છેદ $2x - 1$ થાય. ગુણોત્તર $\frac{x}{2x - 1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુણોત્તર અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો $2 \frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ છે.
તેથી,$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x} = \frac{34}{15}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{2x - 1}$. તો $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$.
$15y^2 - 34y + 15 = 0$.
$15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$.
$5y(3y - 5) - 3(3y - 5) = 0$.
$(5y - 3)(3y - 5) = 0$.
તેથી,$y = 3/5$ અથવા $y = 5/3$.
જો $y = 3/5$ હોય,તો $\frac{x}{2x - 1} = \frac{3}{5} \implies 5x = 6x - 3 \implies x = 3$. ગુણોત્તર $\frac{3}{2(3) - 1} = \frac{3}{5}$ છે.
જો $y = 5/3$ હોય,તો $\frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{3} \implies 3x = 10x - 5 \implies 7x = 5 \implies x = 5/7$. ગુણોત્તર $\frac{5/7}{2(5/7) - 1} = \frac{5/7}{3/7} = \frac{5}{3}$ છે.

(C) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $x \,km/hr$ છે.
સામાન્ય ઝડપે $900 \,km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{900}{x} \,\text{કલાક}$ છે.
જ્યારે ઝડપમાં $10 \,km/hr$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(x - 10) \,km/hr$ થાય છે.
નવી ઝડપે $900 \,km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{900}{x - 10} \,\text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_2 - T_1 = 4.5 \,\text{કલાક}$ (જે $9/2 \,\text{કલાક}$ છે).
તેથી,$\frac{900}{x - 10} - \frac{900}{x} = \frac{9}{2}$.
$9$ વડે ભાગતા,$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{x - (x - 10)}{x(x - 10)} \right) = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{2}$.
$1000 \times 2 = x^2 - 10x$.
$x^2 - 10x - 2000 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $x^2 - 50x + 40x - 2000 = 0$.
$x(x - 50) + 40(x - 50) = 0$.
$(x - 50)(x + 40) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 50 \,km/hr$.

(D) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $xy = 10$ છે.
જ્યારે સંખ્યામાં $27$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે અંકોની અદલાબદલી થાય છે,તેથી નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $(10x + y) + 27 = 10y + x$.
પદોને ગોઠવતા: $9x - 9y = -27$,જેનું સાદું રૂપ $x - y = -3$ અથવા $y - x = 3$ થાય છે.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $y = x + 3$ મૂકતા: $x(x + 3) = 10$.
$x^2 + 3x - 10 = 0$.
$(x + 5)(x - 2) = 0$.
$x$ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 2$.
ત્યારબાદ $y = 2 + 3 = 5$.
તેથી સંખ્યા $10(2) + 5 = 25$ છે.

(A) ધારો કે શુદ્ધ માખણની મૂળ કિંમત $x$ રૂ. પ્રતિ $kg$ છે.
મૂળ કિંમતે રૂ. $960$ માં ખરીદેલ માખણનો જથ્થો $\frac{960}{x} \ kg$ છે.
જ્યારે કિંમતમાં પ્રતિ $kg$ રૂ. $40$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી કિંમત $(x + 40)$ રૂ. પ્રતિ $kg$ થાય છે.
નવી કિંમતે રૂ. $960$ માં ખરીદેલ માખણનો જથ્થો $\frac{960}{x + 40} \ kg$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જથ્થામાં તફાવત $2 \ kg$ છે:
$\frac{960}{x} - \frac{960}{x + 40} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 40} = 1$
$480(x + 40) - 480x = x(x + 40)$
$480x + 19200 - 480x = x^2 + 40x$
$x^2 + 40x - 19200 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(1)(-19200)}}{2}$
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 76800}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{78400}}{2} = \frac{-40 \pm 280}{2}$
કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = \frac{240}{2} = 120$.
આમ,મૂળ કિંમત રૂ. $120$ પ્રતિ $kg$ છે.

(B) ધારો કે કેરોસીનની મૂળ કિંમત $x$ રૂ./લિટર છે.
કુલ ખર્ચ = રૂ. $360$.
કેરોસીનનો મૂળ જથ્થો = $\frac{360}{x}$ લિટર.
કેરોસીનની નવી કિંમત = $(x + 2)$ રૂ./લિટર.
કેરોસીનનો નવો જથ્થો = $\frac{360}{x + 2}$ લિટર.
પ્રશ્ન મુજબ,જથ્થામાં તફાવત $2$ લિટર છે:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 2} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 1$
$180(x + 2) - 180x = x(x + 2)$
$180x + 360 - 180x = x^2 + 2x$
$x^2 + 2x - 360 = 0$
$(x + 20)(x - 18) = 0$
કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 18$.
આમ,કેરોસીનની મૂળ કિંમત રૂ. $18$ પ્રતિ લિટર છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,$\text{પાયો} = x \, m$ અને $\text{વેધ} = (x+2) \, m$ છે.
$\text{Area} = 84 \, m^2$.
તેથી,$84 = \frac{1}{2} \times x \times (x+2)$.
$168 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 168 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 14x - 12x - 168 = 0$.
$x(x+14) - 12(x+14) = 0$.
$(x-12)(x+14) = 0$.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 12$.
બાજુઓની લંબાઈ $x = 12 \, m$ અને $x+2 = 14 \, m$ છે.

(D) ધારો કે કર્ણની લંબાઈ $h\,cm$,પાયો $b\,cm$ અને વેધ $a\,cm$ છે.
આપેલ છે: $h = b + 2 \implies b = h - 2$.
વળી,$h = 2a + 1 \implies a = \frac{h - 1}{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$h^2 = b^2 + a^2$.
$b$ અને $a$ ની કિંમતો મૂકતા: $h^2 = (h - 2)^2 + \left(\frac{h - 1}{2}\right)^2$.
$h^2 = h^2 - 4h + 4 + \frac{h^2 - 2h + 1}{4}$.
$4$ વડે ગુણતા: $4h^2 = 4h^2 - 16h + 16 + h^2 - 2h + 1$.
$0 = h^2 - 18h + 17$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(h - 17)(h - 1) = 0$.
અહીં $h > 2$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $b = h - 2 > 0$),તેથી $h = 17$.
આમ,કર્ણની લંબાઈ $17\,cm$ છે.

(A) ધારો કે કેલ્ક્યુલેટરની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\text{મૂળ કિંમત} \times \frac{\text{નફાની ટકાવારી}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = $\text{મૂળ કિંમત} + \text{નફો} = x + \frac{x^2}{100}$.
આપેલ છે કે વેચાણ કિંમત રૂ. $56$ છે,તેથી સમીકરણ: $x + \frac{x^2}{100} = 56$.
$100$ વડે ગુણતા,$100x + x^2 = 5600$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 100x - 5600 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 140x - 40x - 5600 = 0$.
$x(x + 140) - 40(x + 140) = 0$.
$(x - 40)(x + 140) = 0$.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 40$.
આમ,કેલ્ક્યુલેટરની મૂળ કિંમત રૂ. $40$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $x\, km/hr$ છે.
સામાન્ય ઝડપે $400\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{400}{x}$ કલાક છે.
જ્યારે ઝડપમાં $5\, km/hr$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(x - 5)\, km/hr$ થાય છે.
નવી ઝડપે લાગતો સમય $T_2 = \frac{400}{x - 5}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_2 - T_1 = 4$.
તેથી,$\frac{400}{x - 5} - \frac{400}{x} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{100}{x - 5} - \frac{100}{x} = 1$.
$100x - 100(x - 5) = x(x - 5)$.
$100x - 100x + 500 = x^2 - 5x$.
$x^2 - 5x - 500 = 0$.
$(x - 25)(x + 20) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 25\, km/hr$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે: $x + y = 15$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$.
સમીકરણ $1$ માંથી $x + y$ ની કિંમત આ પદમાં મૂકતા: $\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}$.
$xy$ માટે ઉકેલતા: $3xy = 150$,તેથી $xy = 50$.
હવે આપણી પાસે $x + y = 15$ અને $xy = 50$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ ના બીજ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t^2 - 15t + 50 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 5)(t - 10) = 0$.
આમ,$t = 5$ અથવા $t = 10$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $5$ અને $10$ છે.

(D) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $x\,km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(9 + x)\,km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(9 - x)\,km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{12}{9 + x}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{12}{9 - x}$.
કુલ સમય = $3\,hours$,તેથી $\frac{12}{9 + x} + \frac{12}{9 - x} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{4}{9 + x} + \frac{4}{9 - x} = 1$.
$4(9 - x) + 4(9 + x) = (9 + x)(9 - x)$.
$36 - 4x + 36 + 4x = 81 - x^2$.
$72 = 81 - x^2$.
$x^2 = 81 - 72 = 9$.
$x = 3\,km/h$ (કારણ કે ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે).

(A) ધારો કે ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ $x\, km/hr$ છે. તો ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $(x - 20)\, km/hr$ થશે.
ઝડપી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_1 = \frac{400}{x}$ કલાક છે.
ધીમી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_2 = \frac{400}{x - 20}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપી ટ્રેન ધીમી ટ્રેન કરતા $1$ કલાક ઓછો સમય લે છે,તેથી $T_2 - T_1 = 1$.
$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$
$400 \left( \frac{x - (x - 20)}{x(x - 20)} \right) = 1$
$400 \times 20 = x^2 - 20x$
$x^2 - 20x - 8000 = 0$
$(x - 100)(x + 80) = 0$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 100\, km/hr$.
ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $x - 20 = 100 - 20 = 80\, km/hr$ છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $xy = 15$ છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $18$ વધારે છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$y - x = 2$,જેનો અર્થ છે કે $y = x + 2$.
$y = x + 2$ ને ગુણાકારના સમીકરણ $xy = 15$ માં મૂકતા:
$x(x + 2) = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
$x$ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 3$.
પછી $y = 3 + 2 = 5$.
મૂળ સંખ્યા $10(3) + 5 = 35$ છે.

(C) ધારો કે નાના ચોરસની બાજુ $x\,m$ છે અને મોટા ચોરસની બાજુ $y\,m$ છે.
નાના ચોરસની પરિમિતિ $4x$ છે અને મોટા ચોરસની પરિમિતિ $4y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$4y = 4x + 12$,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 3$ થાય છે.
નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2$ છે અને મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$3x^2 = y^2 + 11$.
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 3$ મૂકતા:
$3x^2 = (x + 3)^2 + 11$
$3x^2 = x^2 + 6x + 9 + 11$
$2x^2 - 6x - 20 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$.
તેથી,મોટા ચોરસની બાજુ $y = x + 3 = 5 + 3 = 8\,m$ છે.

(D) ધારો કે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 5 - x$.
તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ છે.
સમીકરણમાં $y = 5 - x$ મૂકતા: $\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} = \frac{5}{6}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{(5 - x) + x}{x(5 - x)} = \frac{5}{6}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{5}{5x - x^2} = \frac{5}{6}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{5x - x^2} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,$5x - x^2 = 6$,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 6 = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 5 - 2 = 3$. જો $x = 3$ હોય,તો $y = 5 - 3 = 2$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $2$ અને $3$ છે.

(A) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $(29 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $425$ છે:
$x^2 + (29 - x)^2 = 425$
$x^2 + (841 - 58x + x^2) = 425$
$2x^2 - 58x + 841 - 425 = 0$
$2x^2 - 58x + 416 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 29x + 208 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 13x - 16x + 208 = 0$
$x(x - 13) - 16(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 16) = 0$
તેથી,$x = 13$ અથવા $x = 16$ મળે.
જો $x = 13$ હોય,તો બીજો ભાગ $29 - 13 = 16$ થાય.
જો $x = 16$ હોય,તો બીજો ભાગ $29 - 16 = 13$ થાય.
આમ,બે ભાગ $13$ અને $16$ છે.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $x$ અને $x + 2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $514$ છે:
$x^2 + (x + 2)^2 = 514$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x - 510 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + 2x - 255 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 17x - 15x - 255 = 0$
$x(x + 17) - 15(x + 17) = 0$
$(x - 15)(x + 17) = 0$
સંખ્યાઓ ધન હોવાથી,$x = 15$.
તેથી,બે સંખ્યાઓ $15$ અને $15 + 2 = 17$ છે.

(C) ધારો કે પુસ્તકની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = મૂળ કિંમત + નફો.
$119 = x + \frac{x^2}{100}$.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $11900 = 100x + x^2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 + 100x - 11900 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 170x - 70x - 11900 = 0$.
$x(x + 170) - 70(x + 170) = 0$.
$(x - 70)(x + 170) = 0$.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 70$.
આમ,પુસ્તકની મૂળ કિંમત રૂ. $70$ છે.

(D) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $14$ છે,તેથી $xy = 14$.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $45$ વધારે છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 45$
$9y - 9x = 45$
$y - x = 5$,જેનો અર્થ છે કે $y = x + 5$.
$y = x + 5$ ને $xy = 14$ માં મૂકતા:
$x(x + 5) = 14$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
$(x + 7)(x - 2) = 0$
$x$ એ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 2$.
તેથી $y = 2 + 5 = 7$.
મૂળ સંખ્યા $10(2) + 7 = 27$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 7x + 12 = 0$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$x^{2} + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-3$ એ એક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2} + 3x - 4 = 0$ છે.
અહીં $x = 2$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $x = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$k(2)^{2} + 3(2) - 4 = 0$
$4k + 6 - 4 = 0$
$4k + 2 = 0$
$4k = -2$
$k = -2/4$
$k = -1/2$
આમ,$k$ ની કિંમત $-1/2$ છે.

(C) કયું દ્વિઘાત સમીકરણ $x=3$ બીજ ધરાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x=3$ મૂકીશું:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{2}-8x+15=0$
$x=3$ મૂકતા: $(3)^{2}-8(3)+15 = 9-24+15 = 24-24 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x=3$ એ સમીકરણ $x^{2}-8x+15=0$ નું બીજ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + k = 0$ છે.
અહીં $-4$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -4$ મૂકતા:
$(-4)^{2} + 6(-4) + k = 0$
$16 - 24 + k = 0$
$-8 + k = 0$
$k = 8$
આમ,$k$ ની કિંમત $8$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2} - 7x + 6 = 0$ છે.
અહીં $\frac{3}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$k(\frac{3}{2})^{2} - 7(\frac{3}{2}) + 6 = 0$
$k(\frac{9}{4}) - \frac{21}{2} + 6 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$9k - 42 + 24 = 0$
$9k - 18 = 0$
$9k = 18$
$k = 2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + 5x - k = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 5$ અને $c = -k$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં $D = 81$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
આમ,$k$ ની કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2}-4 x-4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=k$,$b=-4$,અને $c=-4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
અહીં $D = 64$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$64 = (-4)^{2}-4(k)(-4)$
$64 = 16 + 16k$
બંને બાજુથી $16$ બાદ કરતા:
$48 = 16k$
$16$ વડે ભાગતા:
$k = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(3x - 14)^2 = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $9x^2 - 84x + 196 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 9$,$b = -84$,અને $c = 196$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-84)^2 - 4(9)(196)$.
$D = 7056 - 7056 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,$(px + q)^2 = 0$ સ્વરૂપના કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે બીજ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિવેચક $D$ હંમેશા $0$ હોય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x+2)(x-5)=0$ છે.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં લખતા: $x^2 - 3x - 10 = 0$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-3$,અને $c=-10$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-3)^2 - 4(1)(-10)$.
$D = 9 + 40 = 49$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત છે,તેથી $\beta = 1/\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \cdot \beta = 1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = c/a$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $6x^2 - 13x + m = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$b = -13$ અને $c = m$ મળે છે.
આ કિંમતોને બીજના ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = m/6$.
તેથી,$m = 6$.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી એ $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ બીજ અથવા શૂન્યો હોય છે. તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $(n=2)$ ને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોય છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 4x + 1 = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદના વિભાજનની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $(3 \times 1) = 3$ થાય અને સરવાળો $-4$ થાય.
આવી સંખ્યાઓ $-3$ અને $-1$ છે.
હવે,સમીકરણને ફરીથી લખતા: $3x^2 - 3x - x + 1 = 0$.
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$.
આથી $(3x - 1)(x - 1) = 0$ મળે છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
તેથી,બીજ $1, \frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 5$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2$,અને $c = -c$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$.
$\alpha = 5$ મૂકતા,આપણને $5 + \beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\beta = 2 - 5 = -3$.
આમ,બીજું બીજ $-3$ છે.

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,સમીકરણ $x^{2} + bx - 12 = 0$ છે,જ્યાં $a = 1$ અને $c = -12$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને $\alpha = 2$ આપેલ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1} = -12$ થાય.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$2 \cdot \beta = -12$.
$\beta = \frac{-12}{2} = -6$.
આમ,બીજું બીજ $-6$ છે.

(C) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 6x + 4 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -6$ અને $c = 4$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-6)^2 - 4(3)(4)$
$D = 36 - 48$
$D = -12$
તેથી,વિવેચક $-12$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 12x + 36 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 12$ અને $c = 36$ મળે છે.
વિવેચક $D$ ની ગણતરી $D = b^{2} - 4ac$ મુજબ થાય છે.
$D = (12)^{2} - 4(1)(36) = 144 - 144 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણને $(x + 6)^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $x = -6, -6$ આપે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજના પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 9$,$b = 30$,અને $c = 25$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (30)^2 - 4(9)(25)$
$D = 900 - 900$
$D = 0$
વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-10$,અને $c=2k-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
અહીં $D=40$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$40 = (-10)^{2} - 4(1)(2k-1)$
$40 = 100 - 4(2k-1)$
$40 = 100 - 8k + 4$
$40 = 104 - 8k$
$8k = 104 - 40$
$8k = 64$
$k = 8$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-5x+k=0$ છે.
અહીં $x = \frac{7}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \frac{7}{2}$ મૂકતા:
$2(\frac{7}{2})^{2} - 5(\frac{7}{2}) + k = 0$
$2(\frac{49}{4}) - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{49}{2} - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{14}{2} + k = 0$
$7 + k = 0$
$k = -7$

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = c/a$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^{2} + 5x + 3 = 0$ માં,$a = 2$,$b = 5$ અને $c = 3$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha = -1$ છે અને બીજું બીજ $\beta$ છે.
બીજના ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(-1) \cdot \beta = 3/2$.
તેથી,$\beta = -3/2$.
વૈકલ્પિક રીતે,બીજના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha + \beta = -b/a$.
$-1 + \beta = -5/2$.
$\beta = -5/2 + 1 = -3/2$.

(D) એક ચલ $x$ માં દ્વિઘાત બહુપદી એ $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની બીજગણિતીય પદાવલિ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે $(a, b, c \in R)$ અને $x^2$ નો સહગુણક શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(a \neq 0)$.
જો આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ $(ax^2 + bx + c = 0)$ બને છે.
પ્રશ્નમાં દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,સાચું સ્વરૂપ $a \neq 0$ ની શરત સાથે $ax^2 + bx + c$ છે.

(C) એક ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ $(bx + c = 0)$ બની જાય છે,જે દ્વિઘાત નથી.
તેથી,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે,જેમાં $a \neq 0$ ની શરત છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $2$ ઘાત ધરાવતું બહુપદી સમીકરણ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત હોવા માટે,$x^2$ પદનો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ $bx + c = 0$ બને છે,જે એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત નહીં.
તેથી,આવશ્યક શરત $a \neq 0$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $2$ ઘાત ધરાવતું બહુપદી સમીકરણ છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,કારણ કે જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ $(bx + c = 0)$ માં ફેરવાઈ જાય છે.
તેથી,$ax^2 + bx + c = 0$ દ્વિઘાત સમીકરણ હોવા માટેની શરત $a \neq 0$ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે $(a, b, c \in R)$.