Textbook - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તો જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x$ થાય.
$5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી જોન પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ $= x - 5$.
$5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી જીવંતી પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ $= (45 - x) - 5 = 40 - x$.
પ્રશ્ન મુજબ,બાકી રહેલી લખોટીઓનો ગુણાકાર $124$ છે:
$(x - 5)(40 - x) = 124$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$40x - x^2 - 200 + 5x = 124$
$-x^2 + 45x - 200 = 124$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$-x^2 + 45x - 200 - 124 = 0$
$-x^2 + 45x - 324 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 45x + 324 = 0$.
આમ,જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 45x + 324 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(N/A) ધારો કે તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,તે દિવસે દરેક રમકડાના ઉત્પાદનનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) $= 55 - x$ થાય.
તેથી,તે દિવસે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ (રૂપિયામાં) $= x(55 - x)$ થાય.
આપેલ છે કે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ ₹ $750$ છે,તેથી:
$x(55 - x) = 750$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$55x - x^2 = 750$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$-x^2 + 55x - 750 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
આમ,તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 55x + 750 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)^{2}+1 = (x^{2}-4x+4)+1 = x^{2}-4x+5$
હવે,તેને જમણી બાજુ સાથે સરખાવતા:
$x^{2}-4x+5 = 2x-3$
પદોને એક બાજુ લાવવા માટે ગોઠવણી કરતા:
$x^{2}-4x-2x+5+3 = 0$
$x^{2}-6x+8 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$,$b=-6$,અને $c=8$ $(a \neq 0)$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+x+8$
જમણી બાજુનું નિત્યસમ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા: $x^2-4$
બંને બાજુ સરખાવતા: $x^2+x+8=x^2-4$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $x+8=-4$
પદોને ગોઠવતા: $x+12=0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,આ એક સુરેખ સમીકરણ છે અને તે $ax^2+bx+c=0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(YES) આપેલ સમીકરણ: $x(2x + 3) = x^2 + 1$
સૌ પ્રથમ,ડાબી બાજુ $(LHS)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં લાવવા માટે બંને બાજુથી $(x^2 + 1)$ બાદ કરતા:
$2x^2 - x^2 + 3x - 1 = 0$
$x^2 + 3x - 1 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 3$,અને $c = -1$ (અને $a \neq 0$),તેથી આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+2)^{3} = x^{3}-4$
નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - 4$
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$6x^{2} + 12x + 8 = -4$
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$6x^{2} + 12x + 12 = 0$
આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + 2x + 2 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^{2}=2(x-3)$
ડાબી બાજુને $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + 2x + 1 = 2(x-3)$
જમણી બાજુ $2$ નું વિતરણ કરતા:
$x^{2} + 2x + 1 = 2x - 6$
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા:
$x^{2} + 1 = -6$
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 7 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ (જ્યાં $a=1, b=0, c=7$) સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-2x = -6 + 2x$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા: $x^{2}-2x - 2x + 6 = 0$
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}-4x + 6 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
બંને બાજુઓને સરખાવતા:
$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$-x - 2 = 2x - 3$
પદોને ગોઠવતા:
$3x - 1 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,તે $ax^2 + bx + c = 0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-3)(2x+1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x(x+5) = x^2 + 5x$.
બંને બાજુઓને સરખાવતા: $2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$.
પદોને એક તરફ લાવતા: $2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 10x - 3 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
$(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
બંને બાજુઓને સરખાવતા:
$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$2x^2 - x^2 - 7x - 4x + 3 + 5 = 0$
$x^2 - 11x + 8 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
જમણી બાજુને $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2}+3x+1 = x^{2}-4x+4$
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$3x+1 = -4x+4$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$3x+4x+1-4 = 0$
$7x-3 = 0$
આ મળતું સમીકરણ $ax+b=0$ સ્વરૂપનું છે,જે એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપનું નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
જમણી બાજુને નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરો:
$(x-2)^{3} = x^{3}-2^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2}) = x^{3}-8-6x^{2}+12x$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$
$2x^{2}-13x+9 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે પ્લોટની પહોળાઈ $x \ m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્લોટની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $528 = x(2x + 1)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $528 = 2x^{2} + x$.
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $2x^{2} + x - 528 = 0$.

(N/A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $306$ છે.
તેથી,$x(x+1) = 306$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + x = 306$ મળે છે.
બંને બાજુથી $306$ બાદ કરતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^2 + x - 306 = 0$.

(N/A) ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
તેથી,તેની માતાની હાલની ઉંમર $= x + 26$ વર્ષ થાય.
$3$ વર્ષ પછી:
રોહનની ઉંમર $= x + 3$ વર્ષ.
માતાની ઉંમર $= (x + 26) + 3 = x + 29$ વર્ષ.
પ્રશ્ન મુજબ,$3$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણાકાર $360$ છે.
તેથી,$(x + 3)(x + 29) = 360$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$.
$x^2 + 32x + 87 - 360 = 0$.
$x^2 + 32x - 273 = 0$.

(N/A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
$480 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{480}{x} \, \text{કલાક}$.
બીજી શરત મુજબ,ટ્રેનની ઝડપ $(x - 8) \, km/h$ છે.
આપેલ છે કે તે જ અંતર કાપવા માટે ટ્રેનને $3 \, \text{કલાક}$ વધુ સમય લાગે છે.
તેથી,$480 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \left( \frac{480}{x} + 3 \right) \, \text{કલાક}$.
સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \text{અંતર}$.
$(x - 8) \left( \frac{480}{x} + 3 \right) = 480$
$480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480$
$3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0$
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$3x^2 - 24x - 3840 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 8x - 1280 = 0$

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-5x+3=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-2x$ અને $-3x$ માં વિભાજિત કરીશું,કારણ કે $(-2x) \times (-3x) = 6x^{2}$,જે $x^{2}$ ના સહગુણક $(2)$ અને અચળ પદ $(3)$ નો ગુણાકાર છે.
હવે,સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખો:
$2x^{2}-2x-3x+3=0$
જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો:
$2x(x-1)-3(x-1)=0$
$(2x-3)(x-1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}$
$x-1=0 \implies x=1$
આમ,સમીકરણના બીજ $x=1$ અને $x=\frac{3}{2}$ છે.

(A) આપણી પાસે દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ છે.
બીજ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$= 3x(2x+1)-2(2x+1)$
$= (3x-2)(2x+1)$
$6x^{2}-x-2=0$ ના બીજ એ $x$ ની એવી કિંમતો છે જેના માટે $(3x-2)(2x+1)=0$ થાય.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x-2=0$ અથવા $2x+1=0$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$
$2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{2}{3}$ અને $-\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ છે.
આપણે મધ્યમ પદ $-2\sqrt{6}x$ ને $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$3x^{2}-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0$.
પ્રથમ બે પદો અને છેલ્લા બે પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$.
આનું સાદું રૂપ $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$ થાય છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
બંને અવયવો સમાન હોવાથી,બીજ પણ સમાન મળે છે.
તેથી,સમીકરણના બીજ $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(N/A) ધારો કે ખંડની પહોળાઈ $x \ m$ છે. તો તેની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ થાય.
હવે,ખંડનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2x + 1) \times x = (2x^2 + x) \ m^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $300 \ m^2$ છે,તેથી:
$2x^2 + x = 300$
$2x^2 + x - 300 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$2x^2 - 24x + 25x - 300 = 0$
$2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0$
$(x - 12)(2x + 25) = 0$
તેથી,સમીકરણના બીજ $x = 12$ અથવા $x = -12.5$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ પહોળાઈ દર્શાવે છે,તે ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી,$x = 12$.
આમ,ખંડની પહોળાઈ $12 \ m$ છે અને તેની લંબાઈ $2(12) + 1 = 25 \ m$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x-10=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $-10$ થાય અને સરવાળો $-3$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $2$ છે.
$x^{2}-5x+2x-10=0$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-5=0$ અથવા $x+2=0$
તેથી,સમીકરણના બીજ $x=5$ અથવા $x=-2$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + x - 6 = 0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીશું.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $2 \times (-6) = -12$ થાય અને જેનો સરવાળો $1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $4$ અને $-3$ છે.
તેથી,$2x^{2} + 4x - 3x - 6 = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$ મળે છે.
$(x + 2)$ ને સામાન્ય લેતા,આપણી પાસે $(x + 2)(2x - 3) = 0$ છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
આમ,બીજ $x = -2$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે:
$1$. મધ્યમ પદ $7x$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરો કે જેથી તેમનો સરવાળો $7x$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $(\sqrt{2} x^{2}) \times (5 \sqrt{2}) = 10x^{2}$ થાય.
$2$. આ બે ભાગ $5x$ અને $2x$ છે,કારણ કે $5x + 2x = 7x$ અને $5x \times 2x = 10x^{2}$.
$3$. સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\sqrt{2} x^{2} + 2x + 5x + 5 \sqrt{2} = 0$.
$4$. જૂથ બનાવીને અવયવ પાડતા: $\sqrt{2} x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$.
$5$. સામાન્ય અવયવ $(x + \sqrt{2})$ ને બહાર કાઢતા: $(x + \sqrt{2})(\sqrt{2} x + 5) = 0$.
$6$. દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
- $x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\sqrt{2}$
- $\sqrt{2} x + 5 = 0 \implies \sqrt{2} x = -5 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
આમ,સમીકરણના બીજ $x = -\sqrt{2}$ અને $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા:
$16x^{2} - 8x + 1 = 0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો:
$16x^{2} - 4x - 4x + 1 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)^{2} = 0$
અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
આમ,સમીકરણના બીજ $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $100 x^{2}-20 x+1=0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-20x$ ને $-10x - 10x$ માં વિભાજિત કરીશું:
$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0$
સામાન્ય પદ $(10 x-1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(10 x-1)(10 x-1)=0$
$(10 x-1)^{2}=0$
બીજ શોધવા માટે,અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$10 x-1=0$
$10 x=1$
$x=\frac{1}{10}$
અહીં અવયવનો વર્ગ હોવાથી,બંને બીજ સમાન મળે છે: $x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.

(A) ધારો કે જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x$ થાય.
દરેકે $5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી:
જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= x - 5$.
જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x - 5 = 40 - x$.
આપેલ છે કે તેમની પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓનો ગુણાકાર $124$ છે.
તેથી,$(x - 5)(40 - x) = 124$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $40x - x^2 - 200 + 5x = 124$.
પદોને ગોઠવતા: $-x^2 + 45x - 200 = 124$.
$x^2 - 45x + 324 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$.
$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$.
$(x - 36)(x - 9) = 0$.
આમ,$x = 36$ અથવા $x = 9$.
જો જોન પાસે $36$ લખોટીઓ હોય,તો જીવંતી પાસે $45 - 36 = 9$ લખોટીઓ હોય.
જો જોન પાસે $9$ લખોટીઓ હોય,તો જીવંતી પાસે $45 - 9 = 36$ લખોટીઓ હોય.

(A) ધારો કે એક દિવસમાં ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક રમકડાના ઉત્પાદનનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) $(55 - x)$ છે.
કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ એ રમકડાંની સંખ્યા અને દરેક રમકડાના ખર્ચનો ગુણાકાર છે:
$x(55 - x) = 750$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$55x - x^2 = 750$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
આને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને અવયવીકરણ કરીશું:
$x^2 - 25x - 30x + 750 = 0$
પદોને જૂથમાં લેતા:
$x(x - 25) - 30(x - 25) = 0$
$(x - 25)(x - 30) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
તેથી,તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $25$ અથવા $30$ હતી.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે. તો બીજી સંખ્યા $27-x$ થશે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $182$ છે,તેથી:
$x(27-x) = 182$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$27x - x^2 = 182$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 - 27x + 182 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 13x - 14x + 182 = 0$
$x(x - 13) - 14(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 14) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$
$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$
જો પ્રથમ સંખ્યા $13$ હોય,તો બીજી સંખ્યા $27 - 13 = 14$ મળે.
જો પ્રથમ સંખ્યા $14$ હોય,તો બીજી સંખ્યા $27 - 14 = 13$ મળે.
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $13$ અને $14$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+1$ છે.
આપેલ છે કે $x^{2} + (x+1)^{2} = 365$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 365$.
સાદું રૂપ આપતા: $2x^{2} + 2x + 1 = 365$.
$2x^{2} + 2x - 364 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + x - 182 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x + 14)(x - 13) = 0$.
આથી $x = -14$ અથવા $x = 13$ મળે.
પૂર્ણાંકો ધન હોવાથી,આપણે $x = 13$ લઈશું.
તેથી,બીજો પૂર્ણાંક $x + 1 = 13 + 1 = 14$ થશે.
આમ,બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $13$ અને $14$ છે.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણનો પાયો $x \, cm$ છે.
તેનો વેધ $(x - 7) \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$\text{પાયો}^2 + \text{વેધ}^2 = \text{કર્ણ}^2$
$x^2 + (x - 7)^2 = 13^2$
$x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 7x - 60 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$x(x - 12) + 5(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x + 5) = 0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = -5$.
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 12$ લઈશું.
આમ,પાયો $12 \, cm$ અને વેધ $12 - 7 = 5 \, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે ઉત્પાદિત વાસણોની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,દરેક વાસણના ઉત્પાદનનો ખર્ચ $= (2x + 3)$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે ઉત્પાદનનો કુલ ખર્ચ ₹ $90$ છે.
તેથી,$x(2x + 3) = 90$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + 3x - 90 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0$.
$x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0$.
$(2x + 15)(x - 6) = 0$.
આથી $x = -15/2$ અથવા $x = 6$ મળે છે.
વાસણોની સંખ્યા હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $x = 6$ લેતા.
આમ,ઉત્પાદિત વાસણોની સંખ્યા $6$ છે અને દરેક વાસણનો ખર્ચ $2(6) + 3 = 15$ રૂપિયા છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2x^{2}-5x+3=0$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$
હવે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ,એટલે કે $(\frac{1}{2} \times \frac{5}{2})^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ ઉમેરીને અને બાદ કરીને પૂર્ણવર્ગ બનાવો:
$x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{1}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} = \frac{1}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
કિસ્સો $1$: $x-\frac{5}{4} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
કિસ્સો $2$: $x-\frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{3}{2}$ અને $x = 1$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$25x^{2}-30x-10=0$
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(5x)^{2}-2 \times (5x) \times 3 + 3^{2} - 3^{2} - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 9 - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 19 = 0$
$(5x-3)^{2} = 19$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$5x-3 = \pm \sqrt{19}$
$5x = 3 \pm \sqrt{19}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
તેથી,બીજ $\frac{3+\sqrt{19}}{5}$ અને $\frac{3-\sqrt{19}}{5}$ છે.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $4 x^{2}+3 x+5=0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$.
હવે,પૂર્ણવર્ગ બનાવીને પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$(x + \frac{3}{8})^{2} - (\frac{3}{8})^{2} + \frac{5}{4} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} + \frac{71}{64} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{71}{64}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,સમીકરણ $4 x^{2}+3 x+5=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(16 M, 33 M) ધારો કે પ્લોટની પહોળાઈ $x \ m$ છે. તો તેની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ થશે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $528 \ m^2$ છે,તેથી $x(2x + 1) = 528$,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 + x - 528 = 0$ થાય છે.
આ $ax^2 + bx + c = 0$ પ્રકારનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $a = 2, b = 1, c = -528$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-528)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{-1 \pm 65}{4}$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = \frac{64}{4} = 16$ અથવા $x = \frac{-66}{4} = -16.5$.
પહોળાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $x = 16 \ m$ લઈએ છીએ.
આમ,પ્લોટની પહોળાઈ $16 \ m$ અને લંબાઈ $2(16) + 1 = 33 \ m$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક એકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા $x$ છે. તો બીજી સંખ્યા $x+2$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$x^{2} + (x+2)^{2} = 290$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 290$
$2x^{2} + 4x - 286 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$x^{2} + 2x - 143 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4(1)(-143)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
$x = \frac{22}{2} = 11$ અથવા $x = \frac{-26}{2} = -13$
કારણ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x = 11$ લઈશું.
આમ,બે ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $11$ અને $13$ છે.
ચકાસણી: $11^{2} + 13^{2} = 121 + 169 = 290$.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ $x\, m$ છે.
તેથી,તેની લંબાઈ $(x+3)\, m$ થશે.
તેથી,લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $x(x+3) = (x^2 + 3x)\, m^2$ થાય.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\, m^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણાકાર બગીચાના ક્ષેત્રફળ કરતાં $4\, m^2$ વધારે છે:
$x^2 + 3x = 6x + 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = -1$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 4$.
આમ,બગીચાની પહોળાઈ $4\, m$ અને તેની લંબાઈ $4 + 3 = 7\, m$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} - 5x + 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -5$,અને $c = 2$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+4x+5=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=4$ અને $c=5$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (4)^{2} - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વિવેચકનું વર્ગમૂળ $\sqrt{D}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$ મળે છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરો.
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = 3$ છે.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^2 + 1 = 3x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$x^2 - 3x + 1 = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -3, c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,બીજ $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ અને $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$,જ્યાં $x \neq 0, 2$.
બંને બાજુ $x(x-2)$ વડે ગુણતા:
$(x-2) - x = 3x(x-2)$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા:
$-2 = 3x^2 - 6x$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3, b = -6, c = 2$ છે:
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
તેથી,$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ અને $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ છે.

(C) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની સામે બોટની ઝડપ $(18-x)\, km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં બોટની ઝડપ $(18+x)\, km/h$ થાય.
પ્રવાહની સામે જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{24}{18-x}\, \text{કલાક}$.
તે જ રીતે,પ્રવાહની દિશામાં જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{24}{18+x}\, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $1\, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ વડે ગુણતા:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$.

(3, 1/2) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$2x^2 - 7x = -3$.
પગલું $2$: સમીકરણને $x^2$ ના સહગુણક $(2)$ વડે ભાગતા:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
પગલું $3$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-\frac{7}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $-\frac{7}{4}$ થાય. $(-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^2 - 2(x)(\frac{7}{4}) + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
પગલું $4$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા:
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
પગલું $5$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
પગલું $6$: $x$ ની કિંમત શોધતા:
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x - 4 = 0$.
પગલું $1$: $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{2}x = 2$.
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. બંને બાજુ $(\frac{1}{4})^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = 2 + (\frac{1}{4})^{2}$.
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = 2 + \frac{1}{16} = \frac{32 + 1}{16} = \frac{33}{16}$.
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$.
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$(2x)^{2} + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2} = 0$.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$(2x + \sqrt{3})^{2} = 0$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$2x + \sqrt{3} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$2x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,બીજ $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
પગલું $1$: $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
પગલું $2$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$.
પગલું $3$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. બંને બાજુ $(\frac{1}{4})^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = -2 + \frac{1}{16}$.
પગલું $4$: સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{32}{16} + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{31}{16}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $(x + \frac{1}{4})^{2}$ ની કિંમત $-\frac{31}{16}$ હોઈ શકે નહીં.
આથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2}-7 x+3=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=-7, c=3$
દ્વિઘાત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x=\frac{7 \pm 5}{4}$
હવે,બંને કિસ્સાઓ માટે ઉકેલતા:
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
તેથી,સમીકરણના બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2} + x - 4 = 0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2} + b x + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = 1, c = -4$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$:
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
આમ,બીજ $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે.