Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + x - 2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 3, b = 1, c = -2$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(3)(-2)$
$D = 1 + 24 = 25$.
અહીં $D = 25 > 0$ છે,જે ધન છે અને પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન,વાસ્તવિક અને સંમેય બીજ મળે છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5x+5=0$ ને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=5, c=5$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (5)^{2} - 4(1)(5)$
$D = 25 - 20$
$D = 5$
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે. વધુમાં,$5$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,બીજ અસંમેય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + x - 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$a = 4$,$b = 1$,અને $c = -3$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2} - 4(4)(-3)$ મળે છે.
$D = 1 + 48 = 49$.
અહીં $D = 49 > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
વધુમાં,$49$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ સંમેય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 11x + 10 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 4, b = 11, c = 10$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (11)^{2} - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 12x + 9 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 4, b = 12, c = 9$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (12)^{2} - 4(4)(9)$
$D = 144 - 144$
$D = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન (પુનરાવર્તિત) છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-2 \sqrt{2}, c=1$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D=(-2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(1)$
$D=(4 \times 2)-4$
$D=8-4=4$
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(C) સમીકરણ $(k+1) x^{2}-2(k+3) x+(2 k+3)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a = k+1, b = -2(k+3), c = 2k+3$
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = b^{2} - 4ac = 0$
$(-2(k+3))^{2} - 4(k+1)(2k+3) = 0$
$4(k^{2} + 6k + 9) - 4(2k^{2} + 3k + 2k + 3) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(k^{2} + 6k + 9) - (2k^{2} + 5k + 3) = 0$
$k^{2} + 6k + 9 - 2k^{2} - 5k - 3 = 0$
$-k^{2} + k + 6 = 0$
$k^{2} - k - 6 = 0$
$(k-3)(k+2) = 0$
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -2$ મળે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-(k+10)x+9(k+1)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=-(k+10), c=9(k+1)$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = b^{2}-4ac = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$( -(k+10) )^{2} - 4(1)(9(k+1)) = 0$
$(k+10)^{2} - 36(k+1) = 0$
$k^{2} + 20k + 100 - 36k - 36 = 0$
$k^{2} - 16k + 64 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે:
$(k-8)^{2} = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k-8 = 0$
$k = 8$
આમ,$k$ ની કિંમત $8$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{1}{4} x^{2} - 2x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{4}$,$b = -2$,અને $c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-2)^{2} - 4(\frac{1}{4})(1)$.
$D = 4 - 1 = 3$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x(x - 5) = 36$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x = 36$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 5x - 36 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -5$,અને $c = -36$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-5)^2 - 4(1)(-36)$.
$D = 25 + 144 = 169$.
અહીં $D > 0$ છે અને $169$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -6$,અને $c = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (-6)^{2} - 4(5)(2)$.
$D = 36 - 40 = -4$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} - 4\sqrt{5}x + 4 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = -4\sqrt{5}$ અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-4\sqrt{5})^{2} - 4(5)(4)$.
$D = (16 \times 5) - 80 = 80 - 80 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} - 18x + 27 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -18$ અને $c = 27$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-18)^{2} - 4(3)(27)$.
$D = 324 - 324 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને સમાન છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$x^{2} + x - 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 1, c = -3$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(1)(-3)$
$D = 1 + 12 = 13$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} = 9$ છે,જેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં $x^{2} + 0x - 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a = 1$,$b = 0$,અને $c = -9$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (0)^{2} - 4(1)(-9) = 0 + 36 = 36$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $(6^{2} = 36)$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-15=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-2$ અને $c=-15$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-2)^{2} - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $(8^{2} = 64)$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$4x^{2}-6x+2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4$,$b=-6$,અને $c=2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (-6)^{2} - 4(4)(2) = 36 - 32 = 4$.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 1$,અને $c = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (1)^{2} - 4(1)(\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને સમાન છે.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $k x^{2} - 24 x + 16 = 0$ માટે,$a = k$,$b = -24$ અને $c = 16$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-24)^{2} - 4(k)(16) = 0$
$576 - 64k = 0$
$64k = 576$
$k = \frac{576}{64}$
$k = 9$.
તેથી,$k$ ની કિંમત $9$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો તેના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય,તો તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$,$b = 2k$,અને $c = 4$ છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $(2k)^{2} - 4(1)(4) = 0$ મળે છે.
$4k^{2} - 16 = 0$.
$4k^{2} = 16$.
$k^{2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $k = \pm 2$ મળે છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 18x + k = 0$ માં,સહગુણકો આ મુજબ છે: $a = 3$,$b = -18$,અને $c = k$.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-18)^{2} - 4(3)(k) = 0$
$324 - 12k = 0$
$12k = 324$
$k = \frac{324}{12} = 27$.
તેથી,$k$ ની કિંમત $27$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x(4 - kx) = 3 - 2x$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $4x - kx^2 = 3 - 2x$.
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $kx^2 - 6x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = k$,$b = -6$,અને $c = 3$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા: $(-6)^2 - 4(k)(3) = 0$.
$36 - 12k = 0$.
$12k = 36$.
$k = 3$.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 40x + \frac{k-1}{2} = 0$.
અહીં,$a = 16$,$b = -40$,અને $c = \frac{k-1}{2}$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-40)^{2} - 4(16)\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 64\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 32(k-1) = 0$
$1600 - 32k + 32 = 0$
$1632 = 32k$
$k = \frac{1632}{32} = 51$.
આમ,$k$ ની કિંમત $51$ છે.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - kx + 25 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -k$,અને $c = 25$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-k)^{2} - 4(1)(25) = 0$
$k^{2} - 100 = 0$
$k^{2} = 100$
$k = \pm \sqrt{100}$
$k = 10$ અથવા $k = -10$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $10$ અને $-10$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $5x^{2} - 2kx + 20 = 0$.
અહીં,$a = 5$,$b = -2k$,અને $c = 20$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-2k)^{2} - 4(5)(20) = 0$
$4k^{2} - 400 = 0$
$4k^{2} = 400$
$k^{2} = 100$
$k = \pm 10$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $10$ અને $-10$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (k+1)$,$b = -2(k-1)$,અને $c = 1$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = [-2(k-1)]^2 - 4(k+1)(1) = 0$
$4(k-1)^2 - 4(k+1) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(k-1)^2 - (k+1) = 0$
$k^2 - 2k + 1 - k - 1 = 0$
$k^2 - 3k = 0$
$k(k-3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = 3$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય ત્યારે વિવેચક $D$ ની કિંમત $0$ થાય છે.
$D = b^2 - 4ac = 0$
અહીં,$a = 2k$,$b = -8$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-8)^2 - 4(2k)(k) = 0$
$64 - 8k^2 = 0$
$8k^2 = 64$
$k^2 = 8$
$k = \pm\sqrt{8}$
$k = \pm 2\sqrt{2}$
આમ,$k$ ની કિંમતો $-2\sqrt{2}$ અને $2\sqrt{2}$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $4x^{2} - 5x + k = 0$ માં,$a = 4$,$b = -5$ અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-5)^{2} - 4(4)(k) = 0$
$25 - 16k = 0$
$16k = 25$
$k = \frac{25}{16}$

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $k x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4 = 0$.
અહીં,$a = k$,$b = -2 \sqrt{5}$,અને $c = 4$.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-2 \sqrt{5})^{2} - 4(k)(4) = 0$
$(4 \times 5) - 16k = 0$
$20 - 16k = 0$
$16k = 20$
$k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

(B) સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
ધારો કે આ દરેક બાજુની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$(x)^2 + (x)^2 = (8)^2$.
$2x^2 = 64$.
$x^2 = 32$.
$x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2} \, cm$.
લંબાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી બાકીની બે બાજુઓમાંથી દરેકની લંબાઈ $4 \sqrt{2} \, cm$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x\,cm$ છે.
તેથી,આપેલી શરત મુજબ,લંબચોરસની લંબાઈ $(3x - 2)\,cm$ થાય.
હવે,માહિતી મુજબ,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $280\,cm^2$ છે.
$\therefore$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 280$
$\therefore$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ $= 280$
$\therefore (3x - 2)(x) = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x - 280 = 0$
$\therefore (3x + 28)(x - 10) = 0$
$\therefore 3x + 28 = 0$ અથવા $x - 10 = 0$
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ અથવા $x = 10$
જેમ કે $x$ એ લંબચોરસની પહોળાઈ છે,તે ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ શક્ય નથી.
$\therefore x = 10$
હવે,લંબચોરસની લંબાઈ $= 3x - 2 = 3(10) - 2 = 28\,cm$.
આમ,આપેલા લંબચોરસની લંબાઈ $28\,cm$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ $x \, km/hr$ છે.
તેથી,પ્રવાહની દિશામાં મોટરબોટની ઝડપ $(x+3) \, km/hr$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં તેની ઝડપ $(x-3) \, km/hr$ થશે.
આમ,પ્રવાહની દિશામાં $12 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\frac{12}{x+3}$ કલાક અને તેટલું જ અંતર એટલે કે $12 \, km$ પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $\frac{12}{x-3}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ સમય $3$ કલાક છે.
$\frac{12}{x+3} + \frac{12}{x-3} = 3$
$12(x-3) + 12(x+3) = 3(x+3)(x-3)$
$12x - 36 + 12x + 36 = 3(x^2 - 9)$
$24x = 3x^2 - 27$
$3x^2 - 24x - 27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 - 8x - 9 = 0$ મળે.
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ અથવા $x = -1$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 9 \, km/hr$.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક બેકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,મોટી બેકી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $x+2$ થશે.
રકમ મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $244$ છે.
$\therefore x^{2} + (x+2)^{2} = 244$
$\therefore x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 244$
$\therefore 2x^{2} + 4x + 4 - 244 = 0$
$\therefore 2x^{2} + 4x - 240 = 0$
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\therefore x^{2} + 2x - 120 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$\therefore (x+12)(x-10) = 0$
$\therefore x+12 = 0$ અથવા $x-10 = 0$
$\therefore x = -12$ અથવા $x = 10$
અહીં સંખ્યાઓ ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $x = -12$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = 10$.
નાની સંખ્યા $10$ છે અને મોટી સંખ્યા $10+2 = 12$ છે.
આમ,માંગેલ ક્રમિક બેકી ધન પૂર્ણાંકો $10$ અને $12$ છે.

(B) ધારો કે જરૂરી શૂન્યેતર સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,તેનો વ્યસ્ત $\frac{1}{x}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $\frac{10}{3}$ છે.
તેથી,$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.
આખા સમીકરણને $3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 + 3 = 10x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2 - 9x - x + 3 = 0$.
$3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
આથી $x = \frac{1}{3}$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો સંખ્યા $3$ હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $\frac{1}{3}$ થાય. જો સંખ્યા $\frac{1}{3}$ હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $3$ થાય.
આમ,જરૂરી સંખ્યાઓ $3$ અને $\frac{1}{3}$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ સંખ્યાનો દશકનો અંક $x$ છે.
અંકોનો ગુણાકાર $6$ હોવાથી,એકમનો અંક $\frac{6}{x}$ થશે.
મૂળ સંખ્યા $= 10x + \frac{6}{x}$ થાય.
અંકોની અદલાબદલી કરતા મળતી નવી સંખ્યા $= 10(\frac{6}{x}) + x = \frac{60}{x} + x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મૂળ સંખ્યામાંથી $9$ બાદ કરતા નવી સંખ્યા મળે છે:
$10x + \frac{6}{x} - 9 = \frac{60}{x} + x$
સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$10x^2 + 6 - 9x = 60 + x^2$
$9x^2 - 9x - 54 = 0$
$9$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
અંક ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 3$.
મૂળ સંખ્યા $= 10(3) + \frac{6}{3} = 30 + 2 = 32$.

(D) ધારો કે કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ પૈકી ટૂંકી બાજુ (પાયો) $x$ મીટર છે.
તેથી,કાટખૂણો બનાવતી બીજી બાજુ (વેધ) $(x+7)$ મીટર અને કર્ણ $(2x+1)$ મીટર છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(\text{કર્ણ})^2 = (\text{પાયો})^2 + (\text{વેધ})^2$.
તેથી,$(2x+1)^2 = x^2 + (x+7)^2$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49$.
$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49$.
$2x^2 - 10x - 48 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 - 5x - 24 = 0$.
$(x-8)(x+3) = 0$.
તેથી,$x=8$ અથવા $x=-3$.
ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x=8$.
આમ,પાયો $8\,m$,વેધ $8+7=15\,m$ અને કર્ણ $2(8)+1=17\,m$ છે.
બગીચાની બાજુઓ $8\,m, 15\,m$ અને $17\,m$ છે.

(A) ધારો કે વિરાટ કોહલીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
$8$ વર્ષ પહેલાંની ઉંમર $(x - 8)$ વર્ષ હતી.
$6$ વર્ષ પછીની ઉંમર $(x + 6)$ વર્ષ હશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉંમરનો ગુણાકાર $680$ છે:
$(x - 8)(x + 6) = 680$
$x^2 + 6x - 8x - 48 = 680$
$x^2 - 2x - 48 - 680 = 0$
$x^2 - 2x - 728 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -2, c = -728$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-728)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2912}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{2916}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 54}{2}$
ઉંમર ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે ધન કિંમત લઈએ છીએ:
$x = \frac{2 + 54}{2} = \frac{56}{2} = 28$
તેથી,તેની હાલની ઉંમર $28$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે કારની મૂળ ઝડપ $x\,km/hr$ છે.
મૂળ ઝડપે લીધેલ સમય,$T_1 = \frac{150}{x}$ કલાક.
નવી ઝડપ = $(x + 5)\,km/hr$.
નવી ઝડપે લીધેલ સમય,$T_2 = \frac{150}{x + 5}$ કલાક.
આપેલ છે કે કાર $60$ મિનિટ ($1$ કલાક) ઓછો સમય લે છે,તેથી $T_1 - T_2 = 1$.
$\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 5} = 1$.
$150(x + 5 - x) = x(x + 5)$.
$150(5) = x^2 + 5x$.
$x^2 + 5x - 750 = 0$.
$(x + 30)(x - 25) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 25\,km/hr$.

(A) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $x \text{ km/hr}$ છે.
આપેલ છે, સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ = $25 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(25 + x) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(25 - x) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં $60 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{60}{25 + x} \text{ કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $60 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{60}{25 - x} \text{ કલાક}$.
કુલ સમય = $5 \text{ કલાક}$.
તેથી, $\frac{60}{25 + x} + \frac{60}{25 - x} = 5$.
$5$ વડે ભાગતા: $\frac{12}{25 + x} + \frac{12}{25 - x} = 1$.
$12(25 - x + 25 + x) = (25 + x)(25 - x)$.
$12(50) = 625 - x^2$.
$600 = 625 - x^2$.
$x^2 = 25$.
$x = 5 \text{ km/hr}$ (ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે).
આમ, નદીના પ્રવાહની ઝડપ $5 \text{ km/hr}$ છે.

(D) ધારો કે બાળકોની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક બાળકને મળતા પતંગોની સંખ્યા $\frac{120}{x}$ છે.
જો $4$ બાળકો ઓછા હોય,તો બાળકોની સંખ્યા $(x - 4)$ થાય.
આ કિસ્સામાં,દરેક બાળકને $\frac{120}{x - 4}$ પતંગો મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x} = 1$.
$x(x - 4)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $120x - 120(x - 4) = x(x - 4)$.
$120x - 120x + 480 = x^2 - 4x$.
$x^2 - 4x - 480 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 24)(x + 20) = 0$.
બાળકોની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 24$.

(A) ધારો કે કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ $x \, cm$ અને $(x + 7) \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ = $\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 14x + 49} = \sqrt{2x^2 + 14x + 49}$.
પરિમિતિ $30 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $x + (x + 7) + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$2x + 7 + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$\sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 23 - 2x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2x^2 + 14x + 49 = (23 - 2x)^2$.
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$.
$2x^2 - 106x + 480 = 0$.
$x^2 - 53x + 240 = 0$.
$(x - 5)(x - 48) = 0$.
અહીં $x = 48$ શક્ય નથી (કારણ કે પરિમિતિ $30$ છે),તેથી $x = 5$.
બાજુઓ $5 \, cm$,$5 + 7 = 12 \, cm$ છે અને કર્ણ $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,બગીચાની લંબાઈ $(x + 6) \, m$ થશે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 216 \, m^2$ છે.
તેથી,$x(x + 6) = 216$.
$x^2 + 6x - 216 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે અવયવ પાડીએ: $x^2 + 18x - 12x - 216 = 0$.
$x(x + 18) - 12(x + 18) = 0$.
$(x - 12)(x + 18) = 0$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 12$ લઈએ છીએ.
આમ,પહોળાઈ $12 \, m$ અને લંબાઈ $12 + 6 = 18 \, m$ છે.

(D) ધારો કે ફૂલદાનીની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = મૂળ કિંમત + નફો = $x + \frac{x^2}{100}$.
આપેલ છે કે વેચાણ કિંમત રૂ. $96$ છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે: $x + \frac{x^2}{100} = 96$.
આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણતા,આપણને $100x + x^2 = 9600$ મળે છે.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 + 100x - 9600 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 160x - 60x - 9600 = 0$.
$x(x + 160) - 60(x + 160) = 0$.
$(x - 60)(x + 160) = 0$.
આનાથી $x = 60$ અથવા $x = -160$ મળે છે.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ફૂલદાનીની મૂળ કિંમત રૂ. $60$ છે.

(D) ધારો કે પેનની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે ખોટની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે, તેથી ખોટની ટકાવારી $= x\%$.
ખોટ $= \text{મૂળ કિંમત} - \text{વેચાણ કિંમત} = x - 24$.
વળી, $\text{ખોટ} = \text{મૂળ કિંમત} \times \frac{\text{ખોટની ટકાવારી}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
ખોટ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$.
$100x - 2400 = x^2$.
$x^2 - 100x + 2400 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 60)(x - 40) = 0$.
તેથી, $x = 60$ અથવા $x = 40$.
આમ, પેનની મૂળ કિંમત Rs. $40$ અથવા Rs. $60$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2} - 7 = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $x^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 0$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - \sqrt{7} = 0 \implies x = \sqrt{7}$.
$x + \sqrt{7} = 0 \implies x = -\sqrt{7}$.
આમ,ઉકેલ $x = \sqrt{7}$ અને $x = -\sqrt{7}$ છે.

(B) અવયવીકરણની રીત દ્વારા $x^{2} + 5x - 66 = 0$ સમીકરણ ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-66$ થાય અને સરવાળો $5$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $11$ અને $-6$ છે,કારણ કે $11 \times (-6) = -66$ અને $11 + (-6) = 5$.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $11x - 6x$ તરીકે લખતા:
$x^{2} + 11x - 6x - 66 = 0$
પદોને જૂથમાં વહેંચીને અવયવ પાડતા:
$x(x + 11) - 6(x + 11) = 0$
$(x - 6)(x + 11) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 6 = 0 \implies x = 6$
$x + 11 = 0 \implies x = -11$
આમ,ઉકેલ $x = 6$ અને $x = -11$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-1}{x-2} + \frac{x-3}{x-4} = \frac{10}{3}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ $(LCM)$ લેતા: $\frac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{10}{3}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 - 10x + 10}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
અંશને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{2(x^2 - 5x + 5)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3} \implies \frac{x^2 - 5x + 5}{x^2 - 6x + 8} = \frac{5}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(x^2 - 5x + 5) = 5(x^2 - 6x + 8)$.
$3x^2 - 15x + 15 = 5x^2 - 30x + 40$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.
અવયવ પાડતા: $2x^2 - 10x - 5x + 25 = 0 \implies 2x(x - 5) - 5(x - 5) = 0$.
$(2x - 5)(x - 5) = 0$.
આમ,$x = 5$ અથવા $x = \frac{5}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} = -11x - 10$.
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$3x^{2} + 11x + 10 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $3 \times 10 = 30$ થાય અને જેનો સરવાળો $11$ થાય.
આવી સંખ્યાઓ $6$ અને $5$ છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા:
$3x^{2} + 6x + 5x + 10 = 0$.
પદોના જૂથ બનાવતા:
$3x(x + 2) + 5(x + 2) = 0$.
$(3x + 5)(x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
તેથી,ઉકેલ $x = -\frac{5}{3}, -2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 625$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 625$
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $2x^{2} + 10x + 25 = 625$
બંને બાજુથી $625$ બાદ કરતા: $2x^{2} + 10x - 600 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + 5x - 300 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવીકરણ કરતા: $x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $x(x + 20) - 15(x + 20) = 0$
$(x + 20)$ સામાન્ય લેતા: $(x + 20)(x - 15) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x + 20 = 0$ અથવા $x - 15 = 0$
તેથી,ઉકેલ $x = -20$ અને $x = 15$ મળે છે.

(B) અવયવીકરણની રીત દ્વારા દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + ax - a^2 = 0$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $ax$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે કે જેથી તેમનો ગુણાકાર $(2x^2) \times (-a^2) = -2a^2x^2$ થાય અને તેમનો સરવાળો $ax$ થાય.
આપણે $ax$ ને $2ax - ax$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2x^2 + 2ax - ax - a^2 = 0$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $2x(x + a) - a(x + a) = 0$.
સામાન્ય અવયવ $(x + a)$ ને બહાર કાઢતા: $(2x - a)(x + a) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1$) $2x - a = 0 \implies 2x = a \implies x = \frac{a}{2}$.
$2$) $x + a = 0 \implies x = -a$.
તેથી,ઉકેલ $x = -a$ અને $x = \frac{a}{2}$ છે.