Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 7$,અને $c = 5$ છે.
$D = (7)^2 - 4(3)(5) = 49 - 60 = -11$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,વિવેચકનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 7x + 5 = 0$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x - \frac{2}{x} - 7 = 0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ મેળવવા માટે $x$ વડે ગુણતા: $3x^2 - 7x - 2 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - \frac{7}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{2}{3} = 0$.
$(x - \frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} + \frac{24}{36} = \frac{73}{36}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{73}}{6}$.
$x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{6}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(2x + 1) - \frac{4}{(2x + 1)} - 3 = 0$.
ધારો કે $y = 2x + 1$. તેથી સમીકરણ $y - \frac{4}{y} - 3 = 0$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$: $y^2 - 3y - 4 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે: $y^2 - 3y = 4$.
બંને બાજુ $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ ઉમેરતા: $y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$.
$(y - \frac{3}{2})^2 = \frac{16 + 9}{4} = \frac{25}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $y - \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$. $y = 2x + 1$ હોવાથી,$2x + 1 = 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$. $y = 2x + 1$ હોવાથી,$2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.
આમ,બીજ $\frac{3}{2}, -1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}=6$.
આખા સમીકરણને $x^{2}$ વડે ગુણતા $(x \neq 0)$: $2 - x = 6x^{2}$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $6x^{2} + x - 2 = 0$.
$6$ વડે ભાગતા: $x^{2} + \frac{1}{6}x - \frac{1}{3} = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^{2} = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6})^{2} = (\frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા.
$x^{2} + \frac{1}{6}x + \frac{1}{144} - \frac{1}{144} - \frac{1}{3} = 0$.
$(x + \frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 48}{144} = \frac{49}{144}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{1}{12} = \pm \frac{7}{12}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $-\frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{3} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x = \frac{5}{3}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{\sqrt{5}}{3}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{5}{9}$ થાય.
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x + \frac{5}{9} = \frac{5}{3} + \frac{5}{9}$.
$(x + \frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{15 + 5}{9} = \frac{20}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{\frac{20}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{3\sqrt{5}}{3} = -\sqrt{5}$.
આમ,બીજ $-\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x(2x - 3) - 4 = 0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $10x^2 - 15x - 4 = 0$
$10$ વડે ભાગતા: $x^2 - \frac{15}{10}x - \frac{4}{10} = 0 \Rightarrow x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{2}{5} = 0$
$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{1}{2} \times \frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16} - \frac{2}{5} = 0$
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} + \frac{2}{5} = \frac{45 + 32}{80} = \frac{77}{80}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{77}{80}} = \pm \frac{\sqrt{77}}{4\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{385}}{20}$
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{385}}{20} = \frac{15 \pm \sqrt{385}}{20}$
આમ,બીજ $\frac{15+\sqrt{385}}{20}$ અને $\frac{15-\sqrt{385}}{20}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{2}{x} - 8 = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 - 8x + 2 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,સમીકરણને આ રીતે લખીએ: $x^2 - 8x = -2$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-8$ છે,તેથી તેના અડધા $-4$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-4)^2 = 16$ થાય.
બંને બાજુ $16$ ઉમેરતા: $x^2 - 8x + 16 = -2 + 16$.
આનું સાદું રૂપ: $(x - 4)^2 = 14$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - 4 = \pm \sqrt{14}$.
તેથી,$x = 4 \pm \sqrt{14}$.
આમ,બીજ $4 + \sqrt{14}$ અને $4 - \sqrt{14}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5x+1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=5, c=1$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D = b^{2}-4ac$
કિંમતો મૂકતા:
$D = (5)^{2}-4(1)(1)$
$D = 25-4$
$D = 21$.
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $21$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} - bx + 3 = 0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{2} + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = 9$,$B = -b$,અને $C = 3$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = B^{2} - 4AC$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$D = (-b)^{2} - 4(9)(3)$.
$D = b^{2} - 108$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{5} x^{2}-2 \sqrt{2} x-2 \sqrt{5}=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \sqrt{5}$,$b = -2\sqrt{2}$,અને $c = -2\sqrt{5}$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2\sqrt{5})$
$D = (4 \times 2) - 4(-2 \times 5)$
$D = 8 - (-40)$
$D = 8 + 40 = 48$.
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $48$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-5x-1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-5, c=-1$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-5)^{2} - 4(1)(-1) = 25 + 4 = 29$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{5-\sqrt{29}}{2}$ છે.

(B) સમીકરણ $y^{2}+10y+6=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ay^{2}+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=10, c=6$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (10)^{2} - 4(1)(6) = 100 - 24 = 76$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{-10 \pm \sqrt{76}}{2(1)}$.
અહીં $\sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$ હોવાથી,$y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{19}}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,$y = -5 \pm \sqrt{19}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $-5+\sqrt{19}$ અને $-5-\sqrt{19}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = -2\sqrt{6}$ અને $c = 3$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-2\sqrt{6})^{2} - 4(2)(3)$
$D = 24 - 24 = 0$
અહીં $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
$D = 0$ હોવાથી,$x = \frac{-b}{2a}$ થશે.
$x = \frac{-(-2\sqrt{6})}{2(2)} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ અને $\frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.

(NONE) આપેલ સમીકરણ $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 9, b = -5, c = 3$.
હવે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (-5)^{2} - 4(9)(3)$
$D = 25 - 108$
$D = -83$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,$D$ નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 y^{2}+5 y-3=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a y^{2}+b y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=5$,અને $c=-3$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (5)^{2} - 4(2)(-3)$
$D = 25 + 24 = 49$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(2)}$
$y = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
આમ,આપેલ સમીકરણના બીજ $\frac{1}{2}$ અને $-3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+2)+2x$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + 9x + 20 = 3(x^2 + 3x + 2) + 2x$
$x^2 + 9x + 20 = 3x^2 + 9x + 6 + 2x$
પદોને $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 - 3x^2 + 9x - 9x - 2x + 20 - 6 = 0$
$-2x^2 - 2x + 14 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + x - 7 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=1, c=-7$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2(1)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$
આમ,બીજ $\frac{-1+\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{-1-\sqrt{29}}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$
$3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
$3x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 4x - 8 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-4, c=-8$ મળે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{48}}{2(1)} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2(1+\sqrt{3})$ અને $2(1-\sqrt{3})$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-8x-21=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-8, c=-21$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (-8)^{2} - 4(1)(-21) = 64 + 84 = 148$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{148}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \times 37}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{37}}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 4 \pm \sqrt{37}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $4+\sqrt{37}$ અને $4-\sqrt{37}$ છે.

(A) $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2x-2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=2$ અને $c=-2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (2)^{2} - 4(1)(-2)$
$D = 4 - (-8)$
$D = 4 + 8$
$D = 12$.
તેથી,વિવેચક $12$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$4x^{2} - 12x + 9 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = -12$ અને $c = 9$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-12)^{2} - 4(4)(9)$ મળે છે.
$D = 144 - 144$.
$D = 0$.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $0$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$x^{2}-5x-14=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-5$,અને $c=-14$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $D=(-5)^{2}-4(1)(-14)$ મળે છે.
$D=25+56$.
$D=81$.
તેથી,વિવેચક $81$ છે.

(D) $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-7x+10=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-7$ અને $c=10$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-7)^{2} - 4(1)(10)$
$D = 49 - 40$
$D = 9$
આમ,વિવેચક $9$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 12x + 16 = 0$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = -12$ અને $c = 16$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-12)^{2} - 4(3)(16)$
$D = 144 - 192$
$D = -48$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $-48$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$5x^{2} - 4\sqrt{2}x - 1 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 5$,$b = -4\sqrt{2}$,અને $c = -1$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4\sqrt{2})^{2} - 4(5)(-1)$
$D = (16 \times 2) + 20$
$D = 32 + 20$
$D = 52$.
આમ,વિવેચક $52$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} + 2x - 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = 2$ અને $c = -1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (2)^{2} - 4(5)(-1)$ મળે છે.
$D = 4 + 20 = 24$.
તેથી,વિવેચક $24$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{5} x^{2} - 3 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{5} = 0$.
અહીં,$a = \sqrt{5}$,$b = -3 \sqrt{3}$,અને $c = -2 \sqrt{5}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-3 \sqrt{3})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2 \sqrt{5})$
$D = (9 \times 3) - 4(-2 \times 5)$
$D = 27 - 4(-10)$
$D = 27 + 40$
$D = 67$.
આમ,વિવેચક $67$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + 5 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 6$,અને $c = 5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (6)^{2} - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ શોધો.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$.
ધન ચિહ્ન માટે: $x = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $x = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
આમ,ઉકેલો $-5$ અને $-1$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x-4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-3, c=-4$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm 5}{2}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,ઉકેલો $-1$ અને $4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} + 8x + 3 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = 8$ અને $c = 3$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$D = (8)^{2} - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2(5)} = \frac{-8 \pm 2}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
આમ,ઉકેલો $-\frac{3}{5}$ અને $-1$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -3$,અને $c = -2$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $D > 0$,વાસ્તવિક ઉકેલો અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2(5)} = \frac{3 \pm 7}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.
આમ,ઉકેલો $-\frac{2}{5}$ અને $1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $3x^2 + 5\sqrt{2}x - 2 = 0$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = 5\sqrt{2}$,અને $c = -2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
$D = (5\sqrt{2})^2 - 4(3)(-2) = (25 \times 2) + 24 = 50 + 24 = 74$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{2(3)} = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{6}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{-5\sqrt{2} + \sqrt{74}}{6}$ અને $x = \frac{-5\sqrt{2} - \sqrt{74}}{6}$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
$x^{2}+5x+3=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=5, c=3$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (5)^{2} - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2(1)}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{-5+\sqrt{13}}{2}$ અને $x = \frac{-5-\sqrt{13}}{2}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^2 + 6x + 4 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 9$,$b = 6$ અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (6)^2 - 4(9)(4) = 36 - 144 = -108$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,$D$ નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આ સમીકરણનો $R$ માં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $am^{2} + bm + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 48$,$b = -13$,અને $c = -1$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-13)^{2} - 4(48)(-1) = 169 + 192 = 361$ શોધો.
કારણ કે $D > 0$ છે,તેથી વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
$m = \frac{-(-13) \pm \sqrt{361}}{2(48)} = \frac{13 \pm 19}{96}$.
કિસ્સો $1$: $m = \frac{13 + 19}{96} = \frac{32}{96} = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{13 - 19}{96} = \frac{-6}{96} = -\frac{1}{16}$.
આમ,ઉકેલો $\frac{1}{3}$ અને $-\frac{1}{16}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = 12$,અને $c = 10$ છે.
$D = (12)^{2} - 4(5)(10)$
$D = 144 - 200$
$D = -56$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-5x-1=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=6$,$b=-5$,અને $c=-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (-5)^{2} - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{5 \pm 7}{12}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{5-7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
આમ,ઉકેલ $1$ અને $-\frac{1}{6}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} + 7x - 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 9$,$b = 7$ અને $c = -2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (7)^{2} - 4(9)(-2) = 49 + 72 = 121$ ની ગણતરી કરો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2(9)}$
$x = \frac{-7 \pm 11}{18}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-7 + 11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-7 - 11}{18} = \frac{-18}{18} = -1$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{2}{9}$ અને $-1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2} + x - 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$b = 1$,અને $c = -2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો: $D = (1)^{2} - 4(6)(-2) = 1 + 48 = 49$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(6)}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{12}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $1/2$ અને $-2/3$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + 5\sqrt{3}x + 6 = 0$.
અહીં,$a = 2$,$b = 5\sqrt{3}$,અને $c = 6$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (5\sqrt{3})^{2} - 4(2)(6) = (25 \times 3) - 48 = 75 - 48 = 27$ શોધો.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2(2)} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3}$.
આમ,બીજ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-2\sqrt{3}$ મળે છે.

(D) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજ શોધવાનું સૂત્ર: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 25$,$b = 20$,અને $c = 7$ છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (20)^2 - 4(25)(7)$
$D = 400 - 700$
$D = -300$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $p^{2} x^{2} + (p^{2} - q^{2}) x - q^{2} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p^{2}$,$b = (p^{2} - q^{2})$,અને $c = -q^{2}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (p^{2} - q^{2})^{2} - 4(p^{2})(-q^{2})$ ની ગણતરી કરો.
$D = p^{4} - 2p^{2}q^{2} + q^{4} + 4p^{2}q^{2} = p^{4} + 2p^{2}q^{2} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2}$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-(p^{2} - q^{2}) \pm \sqrt{(p^{2} + q^{2})^{2}}}{2p^{2}}$.
$x = \frac{-p^{2} + q^{2} \pm (p^{2} + q^{2})}{2p^{2}}$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2}}{2p^{2}} = \frac{2q^{2}}{2p^{2}} = \frac{q^{2}}{p^{2}}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} - p^{2} - q^{2}}{2p^{2}} = \frac{-2p^{2}}{2p^{2}} = -1$.
આમ,બીજ $x = \frac{q^{2}}{p^{2}}$ અને $x = -1$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે, બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$.
અહીં, $a = 3$, $b = -2$, અને $c = 2$ છે.
પ્રથમ, વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો.
$D = (-2)^{2} - 4(3)(2) = 4 - 24 = -20$.
વિવેચક $D < 0$ હોવાથી, સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
સંકર બીજ $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-20}}{2(3)} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{6} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{3}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3} x^{2} + 10 x - 8 \sqrt{3} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{3}$,$b = 10$ અને $c = -8 \sqrt{3}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (10)^{2} - 4(\sqrt{3})(-8 \sqrt{3}) = 100 + 32(3) = 100 + 96 = 196$ ની ગણતરી કરો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \sqrt{3}} = \frac{-10 \pm 14}{2 \sqrt{3}}$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-10 + 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{4}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-10 - 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{-24}{2 \sqrt{3}} = \frac{-12}{\sqrt{3}} = -4 \sqrt{3}$.
આમ,બીજ $-4 \sqrt{3}$ અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 2$, $b = -2\sqrt{2}$, અને $c = 1$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ, વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $D = 0$ હોવાથી, સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ $x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ, બીજ $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$.
લસાઅ લેતા: $\frac{(x-2) - x}{x(x-2)} = 3$.
$\frac{-2}{x^2 - 2x} = 3$.
$-2 = 3x^2 - 6x$.
$3x^2 - 6x + 2 = 0$.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = -6, c = 2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 3$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 + 1 = 3x$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -3$,અને $c = 1$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ ની ગણતરી કરતા.
$D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ અને $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = 2\sqrt{5}$ અને $c = -5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (2\sqrt{5})^{2} - 4(3)(-5) = 20 + 60 = 80$ શોધો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{80}}{2(3)} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 4\sqrt{5}}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{6} = \frac{-6\sqrt{5}}{6} = -\sqrt{5}$.
આમ,ઉકેલ $-\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3}x^{2} - 2x + \sqrt{3} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{3}$,$b = -2$,અને $c = \sqrt{3}$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ.
$D = (-2)^{2} - 4(\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$D = 4 - 4(3) = 4 - 12 = -8$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4} \implies \frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$.
દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2+bx+c=0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 4x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1, b=-4, c=-8$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$.
અહીં $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ હોવાથી,$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,ઉકેલ $2+2\sqrt{3}$ અને $2-2\sqrt{3}$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{2}$,$b = 7$,અને $c = 5\sqrt{2}$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
$D = (7)^2 - 4(\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 49 - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{-7 \pm 3}{2\sqrt{2}}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-7 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-7 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}}$.
આમ,ઉકેલો $-\sqrt{2}$ અને $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.