Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) એક ચલવાળું દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
વિકલ્પ $A$: $3x^{2} + \sqrt{2}x - 7 = 0$ એ એક ચલ $(x)$ વાળું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $B$: $3x^{2} + 2y - 6 = 0$ માં બે ચલ ($x$ અને $y$) છે.
વિકલ્પ $C$: $4x - y = 5$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $D$: $5x^{3} - 1 = 2$ એ એક ચલવાળું ત્રિઘાત સમીકરણ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
ચાલો દરેક વિકલ્પનું સાદું રૂપ આપીએ:
$A$: $x(3x + 7) = (x + 1)(x - 1) \implies 3x^2 + 7x = x^2 - 1 \implies 2x^2 + 7x + 1 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$B$: $x^2 - 2x + 1 = 0$. આ પહેલેથી જ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 1$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$C$: $2x(3x - 5) + 1 = 3x(2x + 5) + 3 \implies 6x^2 - 10x + 1 = 6x^2 + 15x + 3 \implies -10x + 1 = 15x + 3 \implies 25x + 2 = 0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
$D$: $4 - 3x - 2x^2 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $a = -2$.

(B) આપેલ પદાવલિનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(x+6)(x+5) = x^2 + 5x + 6x + 30 = x^2 + 11x + 30$.
સમીકરણ $(x+6)(x+5) = 0$ આપેલ હોવાથી,આપણે તેને $x^2 + 11x + 30 = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના સમીકરણને,જ્યાં $a \neq 0$,દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ હોવાથી,આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$B$: $x^2 + \frac{1}{x} = 2 \implies x^3 + 1 = 2x \implies x^3 - 2x + 1 = 0$. આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે.
$C$: $x + \frac{1}{x^2} = 3 \implies x^3 + 1 = 3x^2 \implies x^3 - 3x^2 + 1 = 0$. આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે.
$D$: $x(x + 1) = 2 \implies x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$. આ પણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2} + 5x + 6 = 0$.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડીશું:
$x^{2} + 2x + 3x + 6 = 0$
$x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{-2, -3\}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-15=0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-15$ થાય અને સરવાળો $-2$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-5$ અને $3$ છે,કારણ કે $(-5) \times 3 = -15$ અને $(-5) + 3 = -2$.
હવે,સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખો: $x^{2}-5x+3x-15=0$.
જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો: $x(x-5)+3(x-5)=0$.
આનાથી આપણને મળે છે: $(x-5)(x+3)=0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x-5=0$ અથવા $x+3=0$ મળે છે.
તેથી,$x=5$ અથવા $x=-3$.
સમીકરણના બીજ $5$ અને $-3$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+5x-14=0$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-14$ અને સરવાળો $5$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $7$ અને $-2$ છે,કારણ કે $7 \times (-2) = -14$ અને $7 + (-2) = 5$.
આમ,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ: $x^{2} + 7x - 2x - 14 = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને મળે છે: $x(x + 7) - 2(x + 7) = 0$.
$(x + 7)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે: $(x + 7)(x - 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x + 7 = 0$ અથવા $x - 2 = 0$.
તેથી,$x = -7$ અથવા $x = 2$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-7, 2\}$ છે.

(A) કયા સમીકરણનો ઉકેલ $x=2$ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક આપેલ સમીકરણમાં $x=2$ મૂકીશું અને ચકાસીશું કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^{2}-3x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}-3(2)+2 = 4-6+2 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x=2$ એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^{2}+x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}+2+2 = 4+2+2 = 8 \neq 0$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{2}-2x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}-2(2)+2 = 4-4+2 = 2 \neq 0$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $2x^{2}+2x+1=0$
$x=2$ મૂકતા: $2(2)^{2}+2(2)+1 = 2(4)+4+1 = 8+4+1 = 13 \neq 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-kx+6=0$ નું બીજ છે.
સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા:
$(3)^{2}-k(3)+6=0$
$9-3k+6=0$
$15-3k=0$
$3k=15$
$k=5$
આમ,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(B) કારણ કે $-3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3(k+2)x-9=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-3)^{2}+3(k+2)(-3)-9=0$
$9-9(k+2)-9=0$
$9-9k-18-9=0$
$-9k-18=0$
$-9k=18$
$k=-2$

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x-7)^{2}-16=0$
રીત $1$: નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા
$(x-7)^2 - 4^2 = 0$
$(x-7-4)(x-7+4) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
તેથી,$x-11=0$ અથવા $x-3=0$,જે આપણને $x=11$ અથવા $x=3$ આપે છે.
રીત $2$: વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા
$x^2 - 14x + 49 - 16 = 0$
$x^2 - 14x + 33 = 0$
$x^2 - 11x - 3x + 33 = 0$
$x(x-11) - 3(x-11) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
આમ,બીજ $3$ અને $11$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x(x+1)-6=0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}+x-6=0$
બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડીશું:
$x^{2}+3x-2x-6=0$
$x(x+3)-2(x+3)=0$
$(x+3)(x-2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+3=0 \implies x=-3$
$x-2=0 \implies x=2$
તેથી,બીજ $-3$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $1$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-kx+2=0$ નો ઉકેલ (બીજ) છે.
સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા:
$3(1)^{2}-k(1)+2=0$
$3(1)-k+2=0$
$3-k+2=0$
$5-k=0$
તેથી,$k=5$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x=-2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2}+5 x+2=0$ નો ઉકેલ છે.
સમીકરણમાં $x=-2$ મૂકતા:
$k(-2)^{2}+5(-2)+2=0$
$k(4)-10+2=0$
$4k-8=0$
$4k=8$
$k=2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $-3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + 5x + k = 0$ નો ઉકેલ છે.
સમીકરણમાં $x = -3$ મૂકતા:
$2(-3)^{2} + 5(-3) + k = 0$
$2(9) - 15 + k = 0$
$18 - 15 + k = 0$
$3 + k = 0$
$k = -3$

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $6 x^{2}-13 x+6=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $6 x^{2}-9 x-4 x+6=0$
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3 x(2 x-3)-2(2 x-3)=0$
$(2 x-3)(3 x-2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $2 x-3=0$ અથવા $3 x-2=0$
તેથી,બીજ $x=\frac{3}{2}$ અથવા $x=\frac{2}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{2}{x} = 3$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 2 = 3x$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,બીજ $2$ અને $1$ છે.

(B) જો દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ શૂન્ય હોય,તો તેના બીજ સમાન (પુનરાવર્તિત) હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^{2}-6x-8=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(-8) = 36+32 = 68 \neq 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^{2}-6x+9=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(9) = 36-36 = 0$. અહીં $D=0$ હોવાથી,બીજ સમાન છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{2}-9=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-9) = 36 \neq 0$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^{2}-4=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-4) = 16 \neq 0$.
તેથી,સમાન બીજ ધરાવતું સમીકરણ $x^{2}-6x+9=0$ છે.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ પૂર્ણવર્ગ હોય જો તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 16$,$b = 40$ અને $c = k$ છે.
વિવેચકને શૂન્ય લેતા: $D = (40)^2 - 4(16)(k) = 0$.
$1600 - 64k = 0$.
$64k = 1600$.
$k = \frac{1600}{64} = 25$.
વૈકલ્પિક રીતે,$(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$ સ્વરૂપના પૂર્ણવર્ગ માટે,આપણે $16x^2 + 40x + k$ ની સરખામણી $(4x + n)^2 = 16x^2 + 8nx + n^2$ સાથે કરીએ.
મધ્યમ પદને સરખાવતા: $8n = 40$,તેથી $n = 5$.
આથી $k = n^2 = 5^2 = 25$.

(B) ગોલ્ડન રેશિયો,જેને $\phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે બે જથ્થાઓના એવા ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેમાં બે જથ્થાઓના સરવાળા અને મોટા જથ્થાનો ગુણોત્તર એ મોટા જથ્થા અને નાના જથ્થાના ગુણોત્તર જેટલો હોય.
ગાણિતિક રીતે,બે જથ્થાઓ $a$ અને $b$ માટે જ્યાં $a > b > 0$ હોય,ગોલ્ડન રેશિયો $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આનાથી દ્વિઘાત સમીકરણ $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
ગુણોત્તર ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ: $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.

(C) ધારો કે $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2x = 1+\sqrt{5}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $2x-1 = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2x-1)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $4x^{2}-4x+1 = 5$.
પદોને ગોઠવતા: $4x^{2}-4x-4 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $x^{2}-x-1 = 0$.
આમ,સુવર્ણ સંખ્યા એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x-1=0$ નો એક ઉકેલ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} = 49$ છે.
બંને બાજુથી $49$ બાદ કરતા,આપણને $x^{2} - 49 = 0$ મળે છે.
આ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 7$ છે.
તેથી,$(x - 7)(x + 7) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 7 = 0$ અથવા $x + 7 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = 7$ અથવા $x = -7$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x+2)^{2} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+2 = \pm 4$
કિસ્સો $1$: $x+2 = 4 \implies x = 4-2 = 2$
કિસ્સો $2$: $x+2 = -4 \implies x = -4-2 = -6$
તેથી,બીજ $2$ અને $-6$ છે.

(D) $\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$
અહીં આપેલ બીજ $\alpha = -1$ અને $\beta = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $(x - (-1))(x - 2) = 0$
જેનું સાદું રૂપ: $(x + 1)(x - 2) = 0$ થાય છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $x(x) + x(-2) + 1(x) + 1(-2) = 0$
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$
આમ,સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - x - 2 = 0$ છે.

(D) બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$.
અહીં,બીજ $\alpha = -8$ અને $\beta = 8$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -8 + 8 = 0$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-8) \times (8) = -64$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x^{2} - (0)x + (-64) = 0$
$x^{2} - 64 = 0$
$x^{2} = 64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પ્રમાણિત સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જ્યાં $a \neq 0$,વિવેચકને $D = b^2 - 4ac$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ કિંમત દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના પ્રકાર નક્કી કરે છે.
વિવેચકને દર્શાવવા માટે વપરાતી સંજ્ઞા $D$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. જો $D > 0$ હોય,તો સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.
$2$. જો $D = 0$ હોય,તો સમીકરણને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.
$3$. જો $D < 0$ હોય,તો $D$ નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી,તેથી દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ હોતા નથી.
આમ,વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ન ધરાવવાની શરત $D < 0$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે જ્યાં સહગુણકો $a, b, c \in \mathbb{Q}$ હોય,ત્યારે બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$ એ વિવેચક છે.
$1$. જો $D > 0$ હોય અને $D$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો $\sqrt{D}$ સંમેય બને છે,જેનાથી બીજ ભિન્ન અને સંમેય મળે છે.
$2$. જો $D = 0$ હોય,તો બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય છે.
$3$. જો $D < 0$ હોય,તો બીજ કાલ્પનિક હોય છે.
તેથી,બીજ ભિન્ન અને સંમેય હોવા માટે $D > 0$ હોવું જોઈએ અને તે એક સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ,જ્યારે $a, b, c$ સંમેય હોય.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $D > 0$ હોય,તો સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
જો $D = 0$ હોય,તો સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
જો $D < 0$ હોય,તો સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી (સંકર બીજ મળે છે).
તેથી,બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોવા માટેની શરત $D > 0$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $D > 0$ હોય,તો સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.
જો $D = 0$ હોય,તો સમીકરણને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.
જો $D < 0$ હોય,તો સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ હોતા નથી.
તેથી,બીજ સમાન હોવા માટેની શરત $D = 0$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$ એ વિવેચક (discriminant) છે.
આ સૂત્ર બે બીજ આપે છે: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ અને $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે એક બીજ $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ છે,તેથી બીજું બીજ $\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ થાય.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-4x-1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 5$
$b = -4$
$c = -1$
તેથી,$b$ ની કિંમત $-4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x(2x - 1) - 5 = 0$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2x^2 - x - 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
$2x^2 - x - 5 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકો $a = 2$,$b = -1$ અને $c = -5$ મળે છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
જો દ્વિઘાત સમીકરણના બંને બીજ સમાન હોય,તો વિવેચકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$D$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $b^2 - 4ac = 0$ મળે છે.
તેથી,$b^2 = 4ac$ થાય.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 20x + 25 = 0$ માં,સહગુણકો $a = 4$,$b = 20$,અને $c = 25$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (20)^{2} - 4(4)(25)$
$D = 400 - 400$
$D = 0$
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $5x^{2} + x + 2 = 0$ માં સહગુણકો $a = 5$,$b = 1$ અને $c = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(5)(2)$
$D = 1 - 40$
$D = -39$
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $-39$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-8x+15=0$ માં,સહગુણકો $a=1, b=-8$ અને $c=15$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D=(-8)^{2}-4(1)(15)$
$D=64-60$
$D=4$
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^{2} - 4x - 4 = 0$ છે. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = k$,$b = -4$,અને $c = -4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં $D = 64$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-4)^{2} - 4(k)(-4) = 64$
$16 + 16k = 64$
$16k = 64 - 16$
$16k = 48$
$k = \frac{48}{16}$
$k = 3$

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ: $6x^{2}-x-k=0$.
અહીં,$a=6, b=-1, c=-k$.
આપેલ છે કે વિવેચક $D = 25$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $(-1)^{2}-4(6)(-k) = 25$.
$1+24k = 25$.
$24k = 25-1$.
$24k = 24$.
$k = 1$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kx^2 - 6x + 1 = 0$ માં,$a = k$,$b = -6$ અને $c = 1$ છે.
વિવેચક $0$ હોવાથી,આપણે $D = 0$ લઈએ:
$(-6)^2 - 4(k)(1) = 0$
$36 - 4k = 0$
$4k = 36$
$k = 9$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = k$,$b = 4$,અને $c = 1$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = (4)^{2} - 4(k)(1) = 0$
$16 - 4k = 0$
$4k = 16$
$k = 4$
તેથી,$k$ ની સાચી કિંમત $4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $-4$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-ax-8=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = -4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-4)^{2} - a(-4) - 8 = 0$
$16 + 4a - 8 = 0$
$8 + 4a = 0$
$4a = -8$
$a = -2$

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a=1$,$b=4$,અને $c=m$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 2$ છે,ધારો કે બીજું બીજ $\beta$ છે.
સરવાળાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 + \beta = -\frac{4}{1}$.
$2 + \beta = -4$.
$\beta = -4 - 2$.
$\beta = -6$.
તેથી,બીજું બીજ $-6$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+bx-15=0$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 3$ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = b$,અને $c = -15$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3 \cdot \beta = \frac{-15}{1}$ મળે છે.
$3 \cdot \beta = -15$.
$\beta = \frac{-15}{3} = -5$.
તેથી,બીજું બીજ $-5$ છે.

(D) જે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તે સમીકરણનું સૂત્ર: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ છે.
અહીં આપેલ બીજ $\alpha = -4$ અને $\beta = 5$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -4 + 5 = 1$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-4) \times 5 = -20$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $x^{2} - (1)x + (-20) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ: $x^{2} - x - 20 = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ છે. $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-10$ અને $c=2k-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
અહીં $D = 40$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(-10)^{2} - 4(1)(2k-1) = 40$
$100 - 4(2k-1) = 40$
બંને બાજુથી $100$ બાદ કરતા:
$-4(2k-1) = 40 - 100$
$-4(2k-1) = -60$
$-4$ વડે ભાગતા:
$2k-1 = 15$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$2k = 16$
$2$ વડે ભાગતા:
$k = 8$.

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે, વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} + \sqrt{2}x + 2 = 0$ માં, સહગુણકો $a = 1$, $b = \sqrt{2}$ અને $c = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (\sqrt{2})^{2} - 4(1)(2)$
$D = 2 - 8$
$D = -6$
તેથી, વિવેચકનું મૂલ્ય $-6$ છે.

(B) પ્રથમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-5x+6=0$ ઉકેલો.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-3)=0$.
આમ,બીજ $x=2$ અથવા $x=3$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x=2$ એ $x^{2}+3x+c=0$ નું બીજ હોય,તો $(2)^{2}+3(2)+c=0$.
$4+6+c=0 \implies 10+c=0 \implies c=-10$.
કિસ્સો $2$: જો $x=3$ એ $x^{2}+3x+c=0$ નું બીજ હોય,તો $(3)^{2}+3(3)+c=0$.
$9+9+c=0 \implies 18+c=0 \implies c=-18$.
તેથી,$c$ ની શક્ય કિંમતો $-10$ અથવા $-18$ છે.

(C) પ્રમાણિત સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જ્યાં $a \neq 0$ હોય,ત્યારે બીજના સ્વરૂપને નક્કી કરવા માટે વિવેચક $D$ નો ઉપયોગ થાય છે.
વિવેચક શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
આ મૂલ્ય બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન $(D > 0)$,વાસ્તવિક અને સમાન $(D = 0)$,અથવા કાલ્પનિક $(D < 0)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ શોધવા માટે વપરાતું દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
આ સૂત્ર ભારતમાં 'શ્રીધર આચાર્યનું સૂત્ર' તરીકે ઓળખાય છે,કારણ કે ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીધર આચાર્યે પૂર્ણવર્ગની રીત દ્વારા દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ આપી હતી.