Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $25x^{2} - 10x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 25$,$b = -10$,અને $c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-10)^{2} - 4(25)(1)$
$D = 100 - 100$
$D = 0$.
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + k = 0$ છે.
અહીં $4$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા:
$(4)^{2} + 6(4) + k = 0$
$16 + 24 + k = 0$
$40 + k = 0$
$k = -40$
આમ,$k$ ની કિંમત $-40$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+18x+81=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=18$ અને $c=81$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (18)^{2} - 4(1)(81) = 324 - 324 = 0$.
અહીં વિવેચક $D=0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને સમાન બીજ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સમીકરણના અવયવ પાડી શકીએ: $x^{2}+18x+81 = (x+9)^{2} = 0$.
આનાથી $(x+9)(x+9)=0$ મળે છે,તેથી $x = -9, -9$.
આમ,બીજ સમાન છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 5x + 1 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 5$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (5)^{2} - 4(1)(1)$
$D = 25 - 4$
$D = 21$.
તેથી,વિવેચક $D$ ની કિંમત $21$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 7x + 12 = 0$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $12$ અને સરવાળો $7$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $3$ અને $4$ છે.
તેથી,સમીકરણને $x^{2} + 3x + 4x + 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને $x(x + 3) + 4(x + 3) = 0$ મળે છે.
$(x + 3)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(x + 3)(x + 4) = 0$ મળે છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x + 3 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે છે.
આમ,$x = -3$ અથવા $x = -4$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-3$ એ ઉકેલ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + 5x - k = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 5$ અને $c = -k$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં $D = 81$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય $7$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $r' = 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
તેથી,$V' = 8V$.
આમ,ઘનફળ મૂળ ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$ એ વિવેચક છે.
અહીં આપેલ છે કે $D = 0$,તેથી સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x = \frac{-b \pm 0}{2a}$ મળે છે.
તેથી,બંને બીજ સમાન હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $x = \frac{-b}{2a}$ થાય છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ આપેલ છે.
આપેલ છે કે $b = 0$,તેથી સમીકરણ $ax^{2} + c = 0$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $ax^{2} = -c$,અથવા $x^{2} = -c/a$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x = \pm \sqrt{-c/a}$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તો $\alpha = \sqrt{-c/a}$ અને $\beta = -\sqrt{-c/a}$ થાય.
અહીં $\alpha = -\beta$ હોવાથી,બીજ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરોધી છે.
તેથી,બીજ વિરોધી છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $25x^{2} - x(m - 2) - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે,કારણ કે તેઓ એકબીજાના વિરોધી છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 25$,$b = -(m - 2)$,અને $c = -1$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + (-\alpha) = -[-(m - 2)] / 25$.
$0 = (m - 2) / 25$.
બંને બાજુ $25$ વડે ગુણતા,આપણને $0 = m - 2$ મળે છે.
તેથી,$m = 2$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ શોધવા માટેનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$ એ વિવેચક છે.
અહીં આપેલ છે કે વિવેચક $D = 0$,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm 0}{2a}$
$x = -\frac{b}{2a}$
આમ,જ્યારે $D = 0$ હોય,ત્યારે દ્વિઘાત સમીકરણના બંને બીજ સમાન હોય છે,જેની કિંમત $-\frac{b}{2a}$ થાય છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} + 2x + \frac{1}{4} = 0$ છે.
સાદુરૂપ આપવા માટે,આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$16x^{2} + 8x + 1 = 0$.
આ સમીકરણ $(ax + b)^{2} = a^{2}x^{2} + 2abx + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$(4x)^{2} + 2(4x)(1) + (1)^{2} = 0$.
આથી,$(4x + 1)^{2} = 0$.
તેથી,$4x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $4x = -1$.
આમ,$x = -\frac{1}{4}$.
તેથી બીજ $-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}$ છે.

(D) કોર્ન ઓઈલની મૂળ કિંમત ₹ $x$ પ્રતિ $kg$ છે.
₹ $10$ પ્રતિ $kg$ નો ઘટાડો થયા પછી,કોર્ન ઓઈલની નવી કિંમત ₹ $(x - 10)$ પ્રતિ $kg$ થાય છે.
નવી કિંમતે ₹ $500$ માં ખરીદી શકાય તેવા કોર્ન ઓઈલનો જથ્થો શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{જથ્થો} = \frac{\text{કુલ રકમ}}{\text{એકમ દીઠ કિંમત}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{જથ્થો} = \frac{500}{x - 10} \ kg$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સ્થિર પાણીમાં મોટર-બોટની ઝડપ $x \, km/hr$ છે.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ $5 \, km/hr$ છે.
જ્યારે બોટ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) ગતિ કરે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ એ સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો તફાવત હોય છે.
તેથી, પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - 5) \, km/hr$ થાય.
કાપવાનું અંતર $y \, km$ છે.
સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
સમય $= \frac{y}{x - 5} \, \text{કલાક}$.

(B) ગણિતના ઇતિહાસમાં,ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી $Brahmagupta$ (જન્મ $598 \text{ CE}$) એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનું સ્પષ્ટ સૂત્ર આપ્યું હતું. તેમના ગ્રંથ $Brahmasphutasiddhanta$ માં,તેમણે સમીકરણના બીજ શોધવા માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનું વર્ણન કર્યું હતું. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે. આ સૂત્રને દ્વિઘાત સૂત્ર અથવા શ્રીધર આચાર્યના સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીધર આચાર્ય દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું.

(C) ગણિતશાસ્ત્રી $Al-Khwarizmi$ (અલ-ખ્વારિઝમી) એ મધ્ય પૂર્વમાં અને ત્યારબાદ પશ્ચિમી વિશ્વમાં ભારતીય અંક પદ્ધતિ અને ગાણિતિક ખ્યાલોને રજૂ કરવામાં અને લોકપ્રિય બનાવવામાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવી હતી. તેમના કાર્યો,ખાસ કરીને બીજગણિત અને દશાંશ પદ્ધતિને લગતા કાર્યો,ભારતીય ગાણિતિક ગ્રંથોથી ખૂબ પ્રભાવિત હતા.

(D) ભારતીય ગણિતના ઇતિહાસમાં,$Bhaskaracharya$ (જેમને $Bhaskara$ $II$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ બીજગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપ્યું હતું. તેમણે તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથ $Bijaganita$ (બીજગણિત) માં દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિઓનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કર્યો હતો. જોકે $Aryabhatta$ અને $Brahmagupta$ જેવા અન્ય પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પણ સંબંધિત ખ્યાલો પર કામ કર્યું હતું,પરંતુ $Bhaskaracharya$ દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તેમની વ્યવસ્થિત અભિગમ માટે જાણીતા છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ ને કોઈ વાસ્તવિક શૂન્ય ન હોય જો તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 > 0$. તેને બે વાસ્તવિક શૂન્યો છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $D = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$. તેને એક વાસ્તવિક શૂન્ય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $D = (0)^2 - 4(1)(-4) = 16 > 0$. તેને બે વાસ્તવિક શૂન્યો છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $D = (2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,આ બહુપદીને કોઈ વાસ્તવિક શૂન્ય નથી.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $(x-3)^{2}-4=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(x-3)^{2}=4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે: $x-3 = \pm \sqrt{4}$
$x-3 = \pm 2$
આનાથી બે શક્યતાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $x-3 = 2 \implies x = 2+3 = 5$
કિસ્સો $2$: $x-3 = -2 \implies x = -2+3 = 1$
આમ,ઉકેલો $x=5$ અને $x=1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$1$ એ એક ઉકેલ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,બીજનો પ્રકાર વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = 4$,અને $c = -3$ છે.
વિવેચકની ગણતરી કરતા: $D = (4)^{2} - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને અસમાન છે.
વળી,$D = 64$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ સંમેય છે.
તેથી,બીજ અસમાન અને સંમેય છે.

(B) ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{5}{2}$ છે.
તેથી,$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2x$ વડે ગુણતા:
$2x^2 + 2 = 5x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2x^2 - 4x - x + 2 = 0$.
$2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x - 2 = 0 \implies x = 2$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે).
તેથી,માંગેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $2$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ નો વિવેચક $D$ એ $D = b^{2}-4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1.$ $x^{2}+5x+6=0$ માટે,$D = 5^{2}-4(1)(6) = 25-24 = 1$. તેથી,$(1-a)$.
$2.$ $x^{2}+5x+4=0$ માટે,$D = 5^{2}-4(1)(4) = 25-16 = 9$. તેથી,$(2-b)$.
$3.$ $x^{2}+4x+3=0$ માટે,$D = 4^{2}-4(1)(3) = 16-12 = 4$. તેથી,$(3-c)$.
$4.$ $x^{2}+6x+5=0$ માટે,$D = 6^{2}-4(1)(5) = 36-20 = 16$. તેથી,$(4-d)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-a), (2-b), (3-c), (4-d)$ છે.