क्या निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$x + 3y = 11$
$2(2x + 6y) = 22$

(B) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। यह तब होता है जब:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2(2x + 6y) = 22 \implies 4x + 12y = 22 \implies 2x + 6y = 11$ (समीकरण $2$)
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
समीकरण $1$ के लिए: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
समीकरण $2$ के लिए: $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{-11} = 1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।