Textbook - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(D) माना बिंदु $P(3,2), Q(-2,-3)$ और $R(2,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हैं:
$PQ = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$PR = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
चूँकि किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक है ($PQ + PR > QR$,$PQ + QR > PR$,और $PR + QR > PQ$),इसलिए ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की जाँच करने पर: $PR^2 + PQ^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{50})^2 = 2 + 50 = 52$.
यहाँ $QR^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$ है,इसलिए $PR^2 + PQ^2 = QR^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) माना कि $A(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ और $D(-4,4)$ दिए गए बिंदु हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक वर्ग है,हमें यह दिखाना होगा कि इसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं और इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7-4)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
अब,विकर्णों की गणना करते हुए:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$
$BD = \sqrt{(-4-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$
चूंकि $AB = BC = CD = DA$ और $AC = BD$ है,इसलिए चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।

(N/A) दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$AB = \sqrt{(6-3)^{2} + (4-1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(8-6)^{2} + (6-4)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(8-3)^{2} + (6-1)^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
चूंकि $AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = AC$,दूरियों $AB$ और $BC$ का योग दूरी $AC$ के बराबर है। इसलिए,बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही रेखा में बैठी हैं।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ बिंदुओं $A(7, 1)$ और $B(3, 5)$ से समदूरस्थ है।
दिया गया है कि $AP = BP$,इसलिए $AP^2 = BP^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 14x + 49) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25)$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को काटने पर:
$-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-14x + 6x - 2y + 10y = 34 - 50$
$-8x + 8y = -16$
$-8$ से भाग देने पर:
$x - y = 2$
अतः,अभीष्ट संबंध $x - y = 2$ है।

(A) हम जानते हैं कि $y$-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु $(0, y)$ के रूप में होता है। मान लीजिए कि बिंदु $P(0, y)$ बिंदुओं $A(6, 5)$ और $B(-4, 3)$ से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(6 - 0)^2 + (5 - y)^2 = (-4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$36 + (25 - 10y + y^2) = 16 + (9 - 6y + y^2)$
$61 - 10y + y^2 = 25 - 6y + y^2$
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर:
$61 - 10y = 25 - 6y$
$61 - 25 = 10y - 6y$
$36 = 4y$
$y = 9$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, 9)$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (2, 3)$ और $(x_{2}, y_{2}) = (4, 1)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{(4-2)^{2} + (1-3)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-2)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 4}$
$d = \sqrt{8}$
$d = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (-5, 7)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2}$
$d = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{16 + 16}$
$d = \sqrt{32}$
$d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (a, b)$ और $(x_2, y_2) = (-a, -b)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2}$
$d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}$
$d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}$
$d = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$d = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $(0,0)$ और $(36,15)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
$d = \sqrt{36^2 + 15^2}$
$d = \sqrt{1296 + 225}$
$d = \sqrt{1521}$
$d = 39$।
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $39$ है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A(1,5), B(2,3)$ और $C(-2,-11)$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |1(3 - (-11)) + 2(-11 - 5) + (-2)(5 - 3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |1(14) + 2(-16) + (-2)(2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |14 - 32 - 4|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-22| = 11 \text{ वर्ग इकाई}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ नहीं है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(A) माना बिंदु $A(5,-2), B(6,4)$ और $C(7,-2)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$CA = \sqrt{(5-7)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
चूँकि $AB = BC = \sqrt{37}$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान लंबाई की हैं।
अतः,दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) $4$ मित्रों की स्थिति $A(3, 4)$,$B(6, 7)$,$C(9, 4)$ और $D(6, 1)$ है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
अब,विकर्णों की गणना करते हैं:
$AC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6$
$BD = \sqrt{(6 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 3\sqrt{2})$ और दोनों विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 6)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है। अतः,चंपा सही है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $A(-1,-2), B(1,0), C(-1,2),$ और $D(-3,0)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
विकर्ण $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
विकर्ण $BD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{2})$ और दोनों विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 4)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(NONE) माना कि बिंदु $A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3),$ और $D(-1, -4)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$
चूंकि चारों भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ की लंबाई अलग-अलग है,इसलिए ये बिंदु किसी विशेष प्रकार का चतुर्भुज (जैसे वर्ग,आयत या समांतर चतुर्भुज) नहीं बनाते हैं। यह एक सामान्य चतुर्भुज है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A(4,5), B(7,6), C(4,3),$ और $D(1,2)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(7-4)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-7)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(1-4)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
विकर्ण $AC = \sqrt{(4-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
विकर्ण $BD = \sqrt{(1-7)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD$ और $BC=DA$) और विकर्ण असमान हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) हमें $x$-अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात करना है। अतः,इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
बिंदु $P(x, 0)$ और $A(2, -5)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा:
$PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 25}$.
बिंदु $P(x, 0)$ और $B(-2, 9)$ के बीच की दूरी:
$PB = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}$.
दी गई शर्त के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + 25 = (x + 2)^2 + 81$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$
दोनों पक्षों से $x^2 + 4$ घटाने पर:
$-4x + 25 = 4x + 81$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-8x = 81 - 25$
$-8x = 56$
$x = -7$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-7, 0)$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ और $Q(10, y)$ हैं और दूरी $d = 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \sqrt{(10 - 2)^2 + (y - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(8)^2 + (y + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 64 + (y + 3)^2$
$100 - 64 = (y + 3)^2$
$36 = (y + 3)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y + 3 = \pm 6$
स्थिति $1$: $y + 3 = 6 \implies y = 3$
स्थिति $2$: $y + 3 = -6 \implies y = -9$
अतः,$y$ के संभावित मान $3$ और $-9$ हैं।

(X = ±4) दिया गया है कि $Q(0, 1)$ बिंदुओं $P(5, -3)$ और $R(x, 6)$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PQ = QR$ है।
दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ^2 = QR^2$
$(5-0)^2 + (-3-1)^2 = (x-0)^2 + (6-1)^2$
$5^2 + (-4)^2 = x^2 + 5^2$
$25 + 16 = x^2 + 25$
$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$।
स्थिति $1$: यदि $R$ का मान $(4, 6)$ है:
$QR = \sqrt{(4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$।
$PR = \sqrt{(4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$।
स्थिति $2$: यदि $R$ का मान $(-4, 6)$ है:
$QR = \sqrt{(-4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$।
$PR = \sqrt{(-4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$,$A(3, 6)$ और $B(-3, 4)$ हैं।
चूँकि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x + 3)^2 + (y - 4)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को काटने पर:
$-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$45 - 25 = 6x + 6x - 8y + 12y$
$20 = 12x + 4y$
$4$ से भाग देने पर:
$5 = 3x + y$
अतः,संबंध $3x + y - 5 = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि $P(x, y)$ वह वांछित बिंदु है जो $A(4, -3)$ और $B(8, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
अतः,वांछित बिंदु $(7, 3)$ है।

(A) माना बिंदु $P(-4, 6)$,$A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m_{1}: m_{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{m_{1}x_{2} + m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2} + m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
मान रखने पर:
$(-4, 6) = \left( \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{-8m_{1} + 10m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-4 = \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
$-4(m_{1} + m_{2}) = 3m_{1} - 6m_{2}$
$-4m_{1} - 4m_{2} = 3m_{1} - 6m_{2}$
$2m_{2} = 7m_{1}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{2}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2: 7$ है।

(N/A) माना $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ के समत्रिभाजन बिंदु हैं,इस प्रकार कि $AP = PQ = QB$ है।
बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2}\right) = \left(\frac{-7 + 4}{3}, \frac{4 - 4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right) = (-1, 0)$.
बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक हैं:
$Q = \left(\frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1}\right) = \left(\frac{-14 + 2}{3}, \frac{8 - 2}{3}\right) = \left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-4, 2)$.
अतः,रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक $(-1, 0)$ और $(-4, 2)$ हैं।

(A) माना कि $y$-अक्ष रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1) = (5, -6)$ और $(x_2, y_2) = (-1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left( \frac{k(-1) + 5}{k+1}, \frac{k(-4) + (-6)}{k+1} \right) = \left( \frac{-k+5}{k+1}, \frac{-4k-6}{k+1} \right)$.
चूंकि यह बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{-k+5}{k+1} = 0$,जिसका अर्थ है $-k+5 = 0$,यानी $k = 5$.
इस प्रकार,अनुपात $5:1$ है।
अब,$k=5$ का मान $y$-निर्देशांक में रखने पर:
$y = \frac{-4(5) - 6}{5+1} = \frac{-20-6}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -13/3)$ है।

(D) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
एक रेखाखंड जिसके अंत बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं,उसके मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ होते हैं।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$15 = 8 + p$.
अतः,$p = 15 - 8 = 7$.

(A) माना $P(x, y)$ वह अभीष्ट बिंदु है जो $A(-1, 7)$ और $B(4, -3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2 + 3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2 + 3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(1, 3)$ हैं।

(A) माना $A = (4, -1)$ और $B = (-2, -3)$ है। माना $P$ और $Q$ समत्रिभाजन बिंदु हैं ताकि $AP = PQ = QB$ हो।
बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ का उपयोग करने पर:
$x_1 = \frac{1(-2) + 2(4)}{1+2} = \frac{-2+8}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_1 = \frac{1(-3) + 2(-1)}{1+2} = \frac{-3-2}{3} = -\frac{5}{3}$
अतः,$P = (2, -5/3)$।
बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x_2 = \frac{2(-2) + 1(4)}{2+1} = \frac{-4+4}{3} = 0$
$y_2 = \frac{2(-3) + 1(-1)}{2+1} = \frac{-6-1}{3} = -\frac{7}{3}$
अतः,$Q = (0, -7/3)$।

(N/A) यह देखा जा सकता है कि निहारिका ने $2^{nd}$ पंक्ति के शुरुआती बिंदु से $AD$ की दूरी के $\frac{1}{4}$ भाग पर,अर्थात $\left(\frac{1}{4} \times 100\right) \, m = 25 \, m$ पर हरा झंडा गाड़ा है। इसलिए,इस बिंदु $G$ के निर्देशांक $(2, 25)$ हैं।
प्रीत ने $8^{th}$ पंक्ति के शुरुआती बिंदु से $AD$ की दूरी के $\frac{1}{5}$ भाग पर,अर्थात $\left(\frac{1}{5} \times 100\right) \, m = 20 \, m$ पर लाल झंडा गाड़ा है। इसलिए,इस बिंदु $R$ के निर्देशांक $(8, 20)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करके,इन झंडों के बीच की दूरी $GR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$GR = \sqrt{(8 - 2)^2 + (20 - 25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \, m.$
वह बिंदु जहाँ रश्मि को अपना नीला झंडा गाड़ना चाहिए,वह इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए यह बिंदु $M(x, y)$ है।
$x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad y = \frac{25 + 20}{2} = \frac{45}{2} = 22.5.$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(5, 22.5)$ हैं।
इसलिए,रश्मि को अपना नीला झंडा $5^{th}$ पंक्ति पर $22.5 \, m$ की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A(-3, 10)$ और $B(6, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P(-1, 6)$ द्वारा $k : 1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
यहाँ,$m = k$,$n = 1$,$(x_1, y_1) = (-3, 10)$,और $(x_2, y_2) = (6, -8)$ है।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$-1 = \frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1}$
$-1(k + 1) = 6k - 3$
$-k - 1 = 6k - 3$
$-k - 6k = -3 + 1$
$-7k = -2$
$k = \frac{2}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 7$ है।

(A) माना कि $A(1, -5)$ और $B(-4, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $x$-अक्ष $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{-4k + 1}{k + 1}, \frac{5k - 5}{k + 1}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{5k - 5}{k + 1} = 0$.
इससे $5k - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 1$.
अतः,अनुपात $1: 1$ है।
$x$-निर्देशांक में $k = 1$ रखने पर: $\frac{-4(1) + 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2}$.
अतः,विभाजन बिंदु $\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$ है।

(N/A) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(1, 2), B(4, y), C(x, 6)$ और $D(3, 5)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को एक ही बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$O$ दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{x+1}{2}, 4\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि ये दोनों एक ही बिंदु $O$ को दर्शाते हैं,इसलिए हम उनके निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{x+1}{2} = \frac{7}{2} \implies x+1 = 7 \implies x = 6.$
$4 = \frac{y+5}{2} \implies 8 = y+5 \implies y = 3.$
अतः,$x = 6$ और $y = 3$ है।

(A) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूँकि $AB$ वृत्त का व्यास है,वृत्त का केंद्र व्यास $AB$ का मध्य-बिंदु होता है।
दिया गया है कि केंद्र $(2, -3)$ है और बिंदु $B$ का मान $(1, 4)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)$ हैं।
इसे दिए गए केंद्र $(2, -3)$ के बराबर रखने पर,
$\frac{x+1}{2} = 2 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3.$
$\frac{y+4}{2} = -3 \Rightarrow y+4 = -6 \Rightarrow y = -10.$
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3, -10)$ हैं।

(N/A) बिंदु $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(-2, -2)$ और $(2, -4)$ हैं।
चूंकि $AP = \frac{3}{7} AB$,इसका तात्पर्य है कि $AP : AB = 3 : 7$ है।
इसलिए,$AP : PB = 3 : (7 - 3) = 3 : 4$ है।
बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $m : n = 3 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
$P = \left( \frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4}, \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4} \right)$
$P = \left( \frac{6 - 8}{7}, \frac{-12 - 8}{7} \right)$
$P = \left( -\frac{2}{7}, -\frac{20}{7} \right)$

(N/A) मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदु $X, Y, Z$ हैं। ये बिंदु रेखाखंड को क्रमशः $1:3, 1:1, 3:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$X$ के निर्देशांक $= \left(\frac{1 \times 2 + 3 \times (-2)}{1 + 3}, \frac{1 \times 8 + 3 \times 2}{1 + 3}\right) = \left(\frac{2 - 6}{4}, \frac{8 + 6}{4}\right) = \left(-1, \frac{14}{4}\right) = \left(-1, 3.5\right)$.
$Y$ के निर्देशांक ($AB$ का मध्य-बिंदु) $= \left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = \left(0, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$.
$Z$ के निर्देशांक $= \left(\frac{3 \times 2 + 1 \times (-2)}{3 + 1}, \frac{3 \times 8 + 1 \times 2}{3 + 1}\right) = \left(\frac{6 - 2}{4}, \frac{24 + 2}{4}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right) = (1, 6.5)$.

(B) मान लीजिए कि समचतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(3,0), B(4,5), C(-1,4)$ और $D(-2,-1)$ हैं।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके विकर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
इसके बाद,विकर्ण $BD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
अब,क्षेत्रफल की गणना करें:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24$ वर्ग इकाई।

(C) शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(1, -1), B(-4, 6)$ और $C(-3, -5)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |11 + 16 + 21|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |48| = 24$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $24$ वर्ग इकाई है।

(D) $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए बिंदु $A(5, 2)$,$B(4, 7)$ और $C(7, -4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(7 - (-4)) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(11) + 4(-6) + 7(-5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |55 - 24 - 35|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |55 - 59|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए निर्देशांकों $P(-1.5, 3)$,$Q(6, -2)$ और $R(-3, 4)$ को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-1.5(-2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 - (-2))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-1.5(-6) + 6(1) - 3(5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |9 + 6 - 15|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0| = 0$ वर्ग इकाई।
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु $P$,$Q$ और $R$ संरेख (collinear) हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं और त्रिभुज नहीं बनाते हैं।

(B) चूंकि दिए गए बिंदु $A(2, 3)$,$B(4, k)$ और $C(6, -3)$ संरेख हैं,इसलिए इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होना चाहिए।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2k + 6 - 24 + 18 - 6k| = 0$
$\frac{1}{2} |-4k| = 0$
$-2k = 0$
अतः,$k = 0$।

(C) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम विकर्ण $BD$ खींचकर इसे दो त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
$1$. $\Delta ABD$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $A(-5, 7)$,$B(-4, -5)$ और $D(4, 5)$ हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-5(-5 - 5) + (-4)(5 - 7) + 4(7 - (-5))|$
$= \frac{1}{2} |-5(-10) - 4(-2) + 4(12)|$
$= \frac{1}{2} |50 + 8 + 48| = \frac{106}{2} = 53$ वर्ग इकाई।
$2$. $\Delta BCD$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $B(-4, -5)$,$C(-1, -6)$ और $D(4, 5)$ हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-4(-6 - 5) + (-1)(5 - (-5)) + 4(-5 - (-6))|$
$= \frac{1}{2} |-4(-11) - 1(10) + 4(1)|$
$= \frac{1}{2} |44 - 10 + 4| = \frac{38}{2} = 19$ वर्ग इकाई।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल = $\text{Area}(\Delta ABD) + \text{Area}(\Delta BCD) = 53 + 19 = 72$ वर्ग इकाई।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (-1, 0)$ और $(x_3, y_3) = (2, -4)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8 + 7 + 6|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |21| = 10.5$ वर्ग इकाई।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (-5, -1)$,$(x_2, y_2) = (3, -5)$ और $(x_3, y_3) = (5, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-5)(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-5)(-7) + 3(3) + 5(4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |35 + 9 + 20|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |64| = 32$ वर्ग इकाई।

(B) बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होना चाहिए।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ है।
दिए गए बिंदुओं $(7, -2), (5, 1),$ और $(3, k)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} |7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5(k + 2) + 3(-3)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5k + 10 - 9| = 0$
$|8 - 2k| = 0$
$8 - 2k = 0$
$2k = 8$
$k = 4$

(C) यदि बिंदु संरेख हैं,तो उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होता है।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(8,1), (k,-4),$ और $(2,-5)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} |8(-4 - (-5)) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4))| = 0$
$\frac{1}{2} |8(-4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)| = 0$
$\frac{1}{2} |8(1) - 6k + 2(5)| = 0$
$|8 - 6k + 10| = 0$
$18 - 6k = 0$
$6k = 18$
$k = 3$

(1:4) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0,-1), B(2,1), C(0,3)$ हैं।
माना $D, E, F$ क्रमशः भुजाओं $AB, AC, BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके $D, E$ और $F$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = (1,0)$
$E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (0,1)$
$F = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (1,2)$
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(1-2) + 0(2-0) + 1(0-1)| = \frac{1}{2} |-1 + 0 - 1| = \frac{1}{2} |-2| = 1$ वर्ग इकाई।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + 0| = \frac{1}{2} |8| = 4$ वर्ग इकाई।
अतः,अभीष्ट अनुपात $1:4$ है।

(B) माना चतुर्भुज के शीर्ष $A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2)$ और $D(2,3)$ हैं। दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle ACD$ बनाने के लिए $AC$ को मिलाइए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-4){(-5)-(-2)} + (-3){(-2)-(-2)} + 3{(-2)-(-5)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-3) + (-3)(0) + 3(3)| = \frac{1}{2} |12 + 0 + 9| = \frac{21}{2} = 10.5$ वर्ग इकाई।
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-4){(-2)-(3)} + 3{(3)-(-2)} + 2{(-2)-(-2)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-5) + 3(5) + 2(0)| = \frac{1}{2} |20 + 15 + 0| = \frac{35}{2} = 17.5$ वर्ग इकाई।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ABC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ACD$ का क्षेत्रफल
$= 10.5 + 17.5 = 28$ वर्ग इकाई।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A (4, -6), B (3, -2)$ और $C (5, 2)$ हैं।
माना $D$,$\triangle ABC$ की भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है।
बिंदु $D$ के निर्देशांक $= \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (4, 0)$ हैं।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(-2 - 0) + 3(0 - (-6)) + 4(-6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 3(6) + 4(-4)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 18 - 16| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ वर्ग इकाई।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 4(8) + 5(-6)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 32 - 30| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ वर्ग इकाई।
चूँकि $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= 3$ वर्ग इकाई है,अतः माध्यिका $AD$ ने $\triangle ABC$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित किया है।

(A) माना कि रेखा $2x + y - 4 = 0$,बिंदुओं $A(2, -2)$ और $B(3, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{7k - 2}{k + 1}\right)$ होंगे।
चूंकि यह बिंदु रेखा $2x + y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left(\frac{3k + 2}{k + 1}\right) + \left(\frac{7k - 2}{k + 1}\right) - 4 = 0$
$(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0$
$6k + 4 + 7k - 2 - 4k - 4 = 0$
$9k - 2 = 0$
$9k = 2$
$k = \frac{2}{9}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:9$ है।

(N/A) यदि दिए गए बिंदु संरेख हैं,तो इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए बिंदुओं $(x, y), (1, 2)$ और $(7, 0)$ को सूत्र में रखने पर:
$0 = \frac{1}{2} |x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)|$
$0 = \frac{1}{2} |2x - y + 7y - 14|$
$0 = \frac{1}{2} |2x + 6y - 14|$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2x + 6y - 14 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x + 3y - 7 = 0$
अतः,$x$ और $y$ के बीच अभीष्ट संबंध $x + 3y - 7 = 0$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $O(x, y)$ है। माना बिंदु $A(6, -6), B(3, -7)$ और $C(3, 3)$ वृत्त की परिधि पर स्थित हैं।
चूंकि केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होती है:
$OA^2 = OB^2 = OC^2$
$OA^2 = (x - 6)^2 + (y + 6)^2$
$OB^2 = (x - 3)^2 + (y + 7)^2$
$OC^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$(y + 7)^2 = (y - 3)^2$
$y^2 + 14y + 49 = y^2 - 6y + 9$
$20y = -40 \Rightarrow y = -2$
$OA^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$y = -2$ रखने पर:
$(x - 6)^2 + (-2 + 6)^2 = (x - 3)^2 + (-2 - 3)^2$
$(x - 6)^2 + 16 = (x - 3)^2 + 25$
$x^2 - 12x + 36 + 16 = x^2 - 6x + 9 + 25$
$-6x = -18 \Rightarrow x = 3$
अतः,वृत्त का केंद्र $(3, -2)$ है।

(A) माना $A(-1, 2)$ और $C(3, 2)$ एक वर्ग $ABCD$ के दिए गए सम्मुख शीर्ष हैं। माना अन्य दो शीर्ष $B(x, y)$ और $D(x_1, y_1)$ हैं।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,इसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए $AB = BC$.
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$.
$\triangle ABC$ में,$\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$AC^2 = (3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.
चूँकि $AB = BC$,इसलिए $2AB^2 = 16 \Rightarrow AB^2 = 8$.
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$. $x=1$ रखने पर: $(1+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow 4 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow (y-2)^2 = 4$.
$y-2 = \pm 2 \Rightarrow y = 4$ या $y = 0$.
अतः,$B$ के निर्देशांक $(1, 4)$ और $D$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं (या इसके विपरीत)।
अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक $(1, 0)$ और $(1, 4)$ हैं।