Textbook - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(N/A) को मूल बिंदु $(0,0)$ मानते हुए,हम $AD$ को $x$-अक्ष और $AB$ को $y$-अक्ष मानेंगे।
आकृति में दिए गए ग्रिड का अवलोकन करने पर:
- बिंदु $P$,$x$-अक्ष पर $4$ इकाई और $y$-अक्ष पर $6$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $P(4, 6)$ हैं।
- बिंदु $Q$,$x$-अक्ष पर $3$ इकाई और $y$-अक्ष पर $2$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $Q(3, 2)$ हैं।
- बिंदु $R$,$x$-अक्ष पर $6$ इकाई और $y$-अक्ष पर $5$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $R(6, 5)$ हैं।
अतः,त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $P(4, 6)$,$Q(3, 2)$ और $R(6, 5)$ हैं।

(N/A) को मूलबिंदु $(0,0)$,$CB$ को $x$-अक्ष और $CD$ को $y$-अक्ष मानने पर:
$1$. शीर्षों के निर्देशांक मूलबिंदु $C$ से अक्षों पर इकाइयों की गणना करके निर्धारित किए जाते हैं।
$2$. शीर्षों $P, Q,$ और $R$ के निर्देशांक $P(12, 2), Q(13, 6),$ और $R(10, 3)$ हैं।
$3$. $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$4$. मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |12(3) + 13(1) + 10(-4)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |36 + 13 - 40|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |9| = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(1:16) दिया गया है कि,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$,थेल्स प्रमेय के विलोम (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार,$DE \parallel BC$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
अब,निर्देशांक $A(4, 6)$,$B(1, 5)$ और $C(7, 2)$ का उपयोग करके $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(5 - 2) + 1(2 - 6) + 7(6 - 5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(3) + 1(-4) + 7(1)| = \frac{1}{2} |12 - 4 + 7| = \frac{1}{2} |15| = 7.5$ वर्ग इकाई।
$\Delta ADE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{16} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{16} \times 7.5 = \frac{7.5}{16} = \frac{15}{32}$ वर्ग इकाई।
$\Delta ADE$ के क्षेत्रफल और $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल का अनुपात $1:16$ है।

(N/A) त्रिभुज की माध्यिका $AD$ भुजा $BC$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
इसलिए,$D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ अंत बिंदुओं वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$B = (6, 5)$ और $C = (1, 4)$ है।
$D$ के निर्देशांक = $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ या $(3.5, 4.5)$ हैं।

(N/A) $1$. सबसे पहले,भुजा $BC$ के मध्य-बिंदु $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि $B(6, 5)$ और $C(1, 4)$ दिए गए हैं,इसलिए $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ होंगे।
$2$. अब,हमें बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात करने हैं जो रेखाखंड $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A(4, 2)$ और $D(\frac{7}{2}, \frac{9}{2})$ हैं।
$3$. विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$4$. मान रखने पर: $P = \left(\frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{9}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) = \left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) त्रिभुज की माध्यिका $BE$ भुजा $AC$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए,$E$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है।
$E$ के निर्देशांक $= \left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right)$.
बिंदु $Q$ भुजा $BE$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q$ के निर्देशांक $= \left(\frac{2 \times \frac{5}{2} + 1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times 3 + 1 \times 5}{2+1}\right) = \left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
त्रिभुज की माध्यिका $CF$ भुजा $AB$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए,$F$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
$F$ के निर्देशांक $= \left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) = \left(5, \frac{7}{2}\right)$.
बिंदु $R$ भुजा $CF$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$R$ के निर्देशांक $= \left(\frac{2 \times 5 + 1 \times 1}{2+1}, \frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}\right) = \left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) शीर्षों के निर्देशांक $A(4, 2)$,$B(6, 5)$,और $C(1, 4)$ हैं।
सबसे पहले,मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु $D$ ज्ञात करें: $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}) = (3.5, 4.5)$.
अब,बिंदु $P$ माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $P = (\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$ का उपयोग करते हुए:
$P = (\frac{2(3.5) + 1(4)}{2+1}, \frac{2(4.5) + 1(2)}{2+1}) = (\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
इसके बाद,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ सूत्र का उपयोग करके $\Delta ABC$ का केंद्रक $G$ ज्ञात करें:
$G = (\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
अवलोकन: बिंदु $P$ त्रिभुज के केंद्रक $G$ के समान है।

(N/A) त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ हों,उसके केंद्रक के निर्देशांक का सूत्र है:
केंद्रक $= \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $A(4, 2), B(6, 5),$ और $C(1, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 4, y_1 = 2, x_2 = 6, y_2 = 5, x_3 = 1, y_3 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
केंद्रक $= \left( \frac{4 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 5 + 4}{3} \right)$
$= \left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$
अतः,केंद्रक के निर्देशांक $\left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$ हैं।

(C) $P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ हैं।
इसी प्रकार,$Q, R$ और $S$ के निर्देशांक क्रमशः $(2, 4)$,$\left(5, \frac{3}{2}\right)$ और $(2, -1)$ हैं।
$PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$QR$ की लंबाई $= \sqrt{(2-5)^2 + \left(4-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$RS$ की लंबाई $= \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$SP$ की लंबाई $= \sqrt{(2-(-1))^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
विकर्ण $PR$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-5)^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6$.
विकर्ण $QS$ की लंबाई $= \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(PQ = QR = RS = SP = \sqrt{\frac{61}{4}})$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(PR \neq QS)$,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।