Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $P-R-Q$ એક રેખાખંડ છે જ્યાં $R$ એ $P$ અને $Q$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{PR}{PQ} = \frac{2}{7}$ આપેલ છે.
કારણ કે $PQ = PR + RQ$,તેથી $RQ = PQ - PR$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{PR}{RQ} = \frac{PR}{PQ - PR} = \frac{2}{7 - 2} = \frac{2}{5}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R$ એ $PQ$ નું $P$ થી $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $Q$ થી ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જે $QR:RP$ છે.
તેથી,$\frac{QR}{RP} = \frac{5}{2}$ થાય.
આમ,$R$ એ $\overline{PQ}$ નું $Q$ થી $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું છે જેથી $A-P-B$ થાય.
$P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,એટલે કે $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P$ એ $\overline{AB}$ નું $B$ થી કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધવાનું છે,જે $\frac{BP}{PA}$ છે.
$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,તેનો વ્યસ્ત લેતા $\frac{PB}{AP} = \frac{3}{2}$ મળે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(C) $\Delta AMN$ અને $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $MN = 3$ અને $BC = 7$ આપેલ છે,તેથી $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$.
$AB = AM + MB$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$7 AM = 3 AM + 3 MB$.
$4 AM = 3 MB$.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$.
આમ,$M$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
આ સૂત્ર શિરોબિંદુઓમાંથી $x$-અક્ષ પર લંબ દોરીને બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની મદદથી મેળવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓ એકબીજાને છેદે છે.
$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શિરોબિંદુઓના $x$-યામો અને $y$-યામોની સરેરાશ લઈને મેળવવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,$(x_1, y_1) = (7, 5)$ અને $(x_2, y_2) = (2, 5)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(2 - 7)^2 + (5 - 5)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ છે.

(C) કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર તેના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|y|$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $P(2, -3)$ માં,$x$-યામ $2$ છે અને $y$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$X$-અક્ષથી અંતર $|-3| = 3$ એકમ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(2, 4)$ અને $B(-3, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 4$ અને $x_2 = -3, y_2 = 4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (4 - 4)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(8, 10)$ અને $(4, 8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 8, y_1 = 10, x_2 = 4, y_2 = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 8}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{18}{2}\right) = (6, 9)$.
તેથી,મધ્યબિંદુના જરૂરી યામ $(6, 9)$ છે.

(C) રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
અહીં $A(4, 3)$ અને $B(8, 9)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 4, y_1 = 3, x_2 = 8, y_2 = 9$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{12}{2}, \frac{12}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (6, 6)$.

(A) રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ હોય,તો તેના મધ્યબિંદુ $M(x, y)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
અહીં $A(3, 5)$ અને $B(7, 5)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 3, y_1 = 5$ અને $x_2 = 7, y_2 = 5$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
આમ,મધ્યબિંદુ $(5, 5)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (12, 10)$ અને $(x_2, y_2) = (0, 8)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{12 + 0}{2}, \frac{10 + 8}{2})$
મધ્યબિંદુ $= (\frac{12}{2}, \frac{18}{2})$
મધ્યબિંદુ $= (6, 9)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(3, a)$ અને $B(4, 1)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
અહીં $d = \sqrt{10}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - a)^2} = \sqrt{10}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(4 - 3)^2 + (1 - a)^2 = 10$.
$1^2 + (1 - 2a + a^2) = 10$.
$1 + 1 - 2a + a^2 = 10$.
$a^2 - 2a + 2 = 10$.
$a^2 - 2a - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a - 4)(a + 2) = 0$.
આમ,$a = 4$ અથવા $a = -2$.
વિકલ્પ $A$ માં $4$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $4$ છે.

(B) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(3.1, 0)$ અને $C(0, 4.5)$ છે.
બિંદુ $A(0, 0)$ એ ઉગમબિંદુ છે.
બિંદુ $B(3.1, 0)$ એ $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.
બિંદુ $C(0, 4.5)$ એ $Y$-અક્ષ પર આવેલું છે.
$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ એકબીજાને ઉગમબિંદુ પર લંબ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A(0, 0)$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(-4, -6)$ અને $B(6, b)$ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (b - (-6))^2}$
$10 = \sqrt{(6 + 4)^2 + (b + 6)^2}$
$10 = \sqrt{10^2 + (b + 6)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 100 + (b + 6)^2$
$(b + 6)^2 = 100 - 100$
$(b + 6)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$b + 6 = 0$
$b = -6$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
$3$. $CD$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$.
$4$. $DA$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 2)$,આ ચતુષ્કોણ ચોરસ અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોઈ શકે છે.
હવે,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ તપાસીએ:
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
બધી બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,$\square ABCD$ એ ચોરસ છે.

(C) ધારો કે $Y-$ અક્ષ,$A(-3, -4)$ અને $B(1, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $M(0, y)$ આગળ વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $Y-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x-$ યામ $0$ થાય.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{m(1) + n(-3)}{m + n}$.
આથી $m - 3n = 0$,જે દર્શાવે છે કે $m = 3n$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m}{n} = \frac{3}{1}$,એટલે કે $m:n = 3:1$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 2)$,$B(7, 5)$ અને $C(2, 2)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{3 + 7 + 2}{3}, \frac{2 + 5 + 2}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= (4, 3)$

(B) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(3, 4)$ અને $Q(a, 8)$ માટે,મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ થાય.
આપણને મધ્યબિંદુ $M(5, 6)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા,$\frac{3 + a}{2} = 5$ અને $\frac{4 + 8}{2} = 6$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$3 + a = 10$,જેનો અર્થ છે કે $a = 10 - 3 = 7$.
આમ,$a$ ની કિંમત $7$ છે.

(B) વિભાજન સૂત્ર મુજબ,જો કોઈ બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}$
$y = \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}$
અહીં,ગુણોત્તર $\lambda : 1$ આપેલ છે,તેથી $m = \lambda$ અને $n = 1$ લેતા:
$x = \frac{\lambda x_{2} + (1)x_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda x_{2} + x_{1}}{\lambda + 1}$
$y = \frac{\lambda y_{2} + (1)y_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda y_{2} + y_{1}}{\lambda + 1}$
આમ,યામ $\left(\frac{\lambda x_{2}+x_{1}}{\lambda+1}, \frac{\lambda y_{2}+y_{1}}{\lambda+1}\right)$ થશે.

(D) ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના ગુણધર્મોના આધારે સાચું જોડકું નીચે મુજબ છે:
$1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણ $(1)$ માટે,વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે $(b)$.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $(2)$ માટે,વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે $(a)$.
$3$. લંબચોરસ $(3)$ માટે,વિકર્ણો સમાન હોય છે અને પરસ્પર દુભાગે છે $(d)$.
$4$. ચોરસ $(4)$ માટે,વિકર્ણો સમાન હોય છે અને પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે $(c)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ છે.

(C) $1$. આપેલા યામ: $A(3, 0)$,$B(0, 0)$,$C(0, -4)$.
$2$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણ માટે ચકાસો: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2$. તેથી,$\Delta ABC$ એ $\angle B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$4$. $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{3+0}{2}, \frac{0-4}{2}) = (\frac{3}{2}, -2)$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$5$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. (વિકલ્પ $C$ માં ક્ષેત્રફળ $12$ આપેલું છે,જે ખોટું છે).
$6$. $AB=3, BC=4, AC=5$ સાચું છે. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
તેથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.