રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ એ બિંદુઓ $(8, -9)$ અને $(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધો. વિભાજન બિંદુના યામ પણ શોધો.

(A) ધારો કે રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ એ બિંદુઓ $A(8, -9)$ અને $B(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ આગળ $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.
હવે,$\lambda = 8$ મૂકીને $P$ ના યામ શોધીએ:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
વિભાજન બિંદુના યામ $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ છે.