એક શાળાના વિદ્યાર્થીઓ ડ્રિલ પ્રેક્ટિસ માટે તેમના મેદાનમાં હાર અને સ્તંભમાં ઉભા છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A, B, C$ અને $D$ ચાર વિદ્યાર્થીઓના સ્થાન છે. શું જસપાલને ડ્રિલમાં એવી રીતે ગોઠવવું શક્ય છે કે તે ચારેય વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C$ અને $D$ થી સમાન અંતરે હોય? જો હા,તો તેનું સ્થાન શું હોવું જોઈએ?

(D) હા,આકૃતિ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચાર વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન અનુક્રમે $(3, 5), (7, 9), (11, 5)$ અને $(7, 1)$ છે. આ ચતુષ્કોણના ચાર શિરોબિંદુઓ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(7 - 11)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,આપણે વિકર્ણોની લંબાઈ શોધીએ:
$AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BD = \sqrt{(7 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8$
વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક ચોરસ છે.
ચોરસમાં,ચારેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ એ વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે,જે કોઈપણ વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{3 + 11}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}, \frac{10}{2}\right) = (7, 5)$
આમ,જસપાલનું સ્થાન $(7, 5)$ હોવું જોઈએ.