બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ $A$ માંથી દોરેલી મધ્યગા $BC$ ને $D$ માં મળે છે. બિંદુ $D$ ના યામ શોધો.
$(ii)$ $AD$ પરના એવા બિંદુ $P$ ના યામ શોધો કે જેથી $AP : PD = 2 : 1$ થાય.
$(iii)$ મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ પરના એવા બિંદુઓ $Q$ અને $R$ ના યામ શોધો કે જેથી $BQ : QE = 2 : 1$ અને $CR : RF = 2 : 1$ થાય.
$(iv)$ ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ શું છે?

(N/A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા રેખાખંડને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\therefore BC$ ના મધ્યબિંદુના યામ $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ તેવી જ રીતે,મધ્યગા $BE$ માટે,$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
બિંદુ $Q$ એ $BE$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
મધ્યગા $CF$ માટે,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
બિંદુ $R$ એ $CF$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં બધી મધ્યગાઓ છેદે છે. કારણ કે $P, Q,$ અને $R$ બધા એક જ બિંદુ છે,તેથી મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ છે.