एक AP के प्रथम पाँच पदों का योग और उसी AP के | vedclass

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Question

(C) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।प्रथम पाँच पदों

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$970$

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(C) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।प्रथम पाँच पदों के लिए: $S_5 = \frac{5}{2}[2a + 4d] = 5(a + 2d) = 5a + 10d$.प्रथम सात पदों के लिए: $S_7 = \frac{7}{2}[2a + 6d] = 7(a + 3d) = 7a + 21d$.दिया गया है कि $S_5 + S_7 = 167$,अतः $(5a + 10d) + (7a + 21d) = 167$,जो सरल होकर $12a + 31d = 167$ (समीकरण $1$) देता है।दिया गया है कि प्रथम दस पदों का योग $S_{10} = 235$,अतः $\frac{10}{2}[2a + 9d] = 235$,जो सरल होकर $5(2a + 9d) = 235$ यानी $2a + 9d = 47$ (समीकरण $2$) देता है।समीकरण $2$ को $6$ से गुणा करने पर,$12a + 54d = 282$ (समीकरण $3$) प्राप्त होता है।समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(12a + 54d) - (12a + 31d) = 282 - 167$,जिससे $23d = 115$ प्राप्त होता है,अतः $d = 5$ है।$d = 5$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $2a + 9(5) = 47 \Rightarrow 2a + 45 = 47 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$ प्राप्त होता है।प्रथम बीस पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + (20-1)d] = 10[2(1) + 19(5)] = 10[2 + 95] = 10[97] = 970$ है।

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सिद्ध कीजिए कि एक $AP$ जिसका प्रथम पद $a,$ दूसरा पद $b$ और अंतिम पद $c$ है,का योग $\frac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}$ के बराबर है।

$4$ के धनात्मक गुणजों द्वारा बनी समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के लिए,$d = \ldots \ldots \ldots \ldots .$

$A.P.$ $8, 11, 14, 17, \ldots$ का $\ldots \ldots \ldots \ldots$ वाँ पद $272$ है।

एक $A.P.$ के लिए,$5^{th}$ पद का पाँच गुना $8^{th}$ पद के आठ गुने के बराबर है। $A.P.$ का $13^{th}$ पद ज्ञात कीजिए।

संख्याओं की सूची $-10, -6, -2, 2, \ldots$ है

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