Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) અહીં $A.P.$ $2, 7, 12, 17, \ldots$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 2 = 5$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $990 = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)5]$.
$990 = \frac{n}{2}[4 + 5n - 5]$.
$990 = \frac{n}{2}[5n - 1]$.
$1980 = n(5n - 1)$.
$5n^2 - n - 1980 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$5n^2 - 100n + 99n - 1980 = 0$.
$5n(n - 20) + 99(n - 20) = 0$.
$(5n + 99)(n - 20) = 0$.
આથી $n = 20$ અથવા $n = -\frac{99}{5}$ મળે.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $n = 20$ શક્ય છે.

(B) જ્યારે પ્રથમ પદ $a$ અને અંતિમ પદ $l$ આપેલ હોય ત્યારે $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
આપેલ છે:
પ્રથમ પદ $a = 5$
અંતિમ પદ $l = 45$
પદોનો સરવાળો $S_n = 500$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$500 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$500 = \frac{n}{2}(50)$
$500 = 25n$
$n = \frac{500}{25}$
$n = 20$
તેથી,$A.P.$ માં $20$ પદો છે.

(C) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 5$,અને અંતિમ પદ $l = T_n = 95$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $T_n = a + (n - 1)d$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $95 = 5 + (n - 1)5$.
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $90 = (n - 1)5$.
$5$ વડે ભાગતા: $18 = n - 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $n = 19$.
તેથી,$A.P.$ માં કુલ $19$ પદો છે.

(C) અહીં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને $19$ મું પદ $l = T_{19} = 95$ આપેલ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 19$ છે.
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{19} = \frac{19}{2}(5 + 95)$.
$S_{19} = \frac{19}{2}(100)$.
$S_{19} = 19 \times 50 = 950$.
તેથી,$19$ પદોનો સરવાળો $950$ થાય છે.

(B) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
$T_{30}$ માટે,આપણી પાસે $T_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$ છે.
$T_{20}$ માટે,આપણી પાસે $T_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$ છે.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા: $T_{30} - T_{20} = (a + 29d) - (a + 19d)$.
$T_{30} - T_{20} = a - a + 29d - 19d$.
$T_{30} - T_{20} = 10d$.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માટે,$n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 4 = 4$ છે.
આપણે $T_{40} - T_{30}$ શોધવાનું છે.
$T_{40} = a + (40 - 1)d = a + 39d$.
$T_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$.
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$T_{40} - T_{30} = (a + 39d) - (a + 29d) = 10d$.
$d = 4$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_{40} - T_{30} = 10 \times 4 = 40$.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $3, 13, 23, 33, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 3 = 10$ છે.
આપણે એવું પદ $n$ શોધવાનું છે કે જેના માટે $T_n = T_{21} + 10$ થાય.
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $a + (n - 1)d = (a + 20d) + 10$.
$d = 10$ હોવાથી,$a + (n - 1)10 = a + 20(10) + 10$.
બંને બાજુથી $a$ બાદ કરતા: $(n - 1)10 = 200 + 10$.
$(n - 1)10 = 210$.
$10$ વડે ભાગતા,આપણને $n - 1 = 21$ મળે છે.
તેથી,$n = 22$.

(A) $7$ ના બે અંકના ધન ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જે $14$ થી શરૂ થાય છે અને $98$ પર સમાપ્ત થાય છે.
આ શ્રેણી છે: $14, 21, 28, \dots, 98$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 14$,સામાન્ય તફાવત $d = 7$,અને અંતિમ પદ $T_n = 98$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $T_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $98 = 14 + (n - 1)7$.
બંને બાજુથી $14$ બાદ કરતા: $84 = (n - 1)7$.
$7$ વડે ભાગતા: $12 = n - 1$.
તેથી,$n = 13$.
આમ,$7$ ના બે અંકના કુલ $13$ ધન ગુણકો છે.

(B) આપેલ છે કે $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = 5n^{2} + 8n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ મું પદ $T_{n}$ શોધવાનું સૂત્ર $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$S_{n}$ ના સૂત્રમાં $n$ ની જગ્યાએ $(n-1)$ મૂકીને $S_{n-1}$ શોધો:
$S_{n-1} = 5(n-1)^{2} + 8(n-1)$
$S_{n-1} = 5(n^{2} - 2n + 1) + 8n - 8$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 10n + 5 + 8n - 8$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 2n - 3$
હવે,$T_{n}$ ની ગણતરી કરો:
$T_{n} = (5n^{2} + 8n) - (5n^{2} - 2n - 3)$
$T_{n} = 5n^{2} + 8n - 5n^{2} + 2n + 3$
$T_{n} = 10n + 3$.

(C) ધારો કે $A.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $(a-d)$,$a$,અને $(a+d)$ છે.
આપેલ છે કે આ પદોનો સરવાળો $30$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને છેલ્લા પદનો ગુણાકાર $75$ છે:
$(a-d)(a+d) = 75$
$a^2 - d^2 = 75$
$a = 10$ મૂકતા:
$10^2 - d^2 = 75$
$100 - d^2 = 75$
$d^2 = 100 - 75 = 25$
$d = \pm 5$
વિકલ્પમાં $5$ આપેલ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $k+1, 8, k+9$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં સામાન્ય તફાવત $d$ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$8 - (k+1) = (k+9) - 8$
$8 - k - 1 = k + 1$
$7 - k = k + 1$
$7 - 1 = k + k$
$6 = 2k$
$k = 3$

(C) આપેલ $A.P.$ $1, 11, 21, 31, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 1 = 10$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$15$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 15$,$a = 1$ અને $d = 10$ મૂકીએ:
$T_{15} = 1 + (15 - 1) \times 10$
$T_{15} = 1 + 14 \times 10$
$T_{15} = 1 + 140$
$T_{15} = 141$
તેથી,$15$ મું પદ $141$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 13$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 26 - 13 = 13$ છે.
છેલ્લું પદ $T_n = 650$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $650 = 13 + (n - 1)13$.
આખા સમીકરણને $13$ વડે ભાગતા: $50 = 1 + (n - 1)$.
$50 = n$,તેથી $n = 50$.
આમ,$A.P.$ માં પદોની કુલ સંખ્યા $50$ છે.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 8, 13, 18, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 3 = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T_{n} = 3 + (n - 1)5$
$T_{n} = 3 + 5n - 5$
$T_{n} = 5n - 2$.

(B) બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે,જે $2, 4, 6, 8, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય તફાવત $d = 4 - 2 = 2$,અને પદોની સંખ્યા $n = 20$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2) + (20 - 1)2]$.
$S_{20} = 10 [4 + (19 \times 2)]$.
$S_{20} = 10 [4 + 38]$.
$S_{20} = 10 \times 42 = 420$.
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n(n + 1)$ સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$n = 20$ માટે,સરવાળો $= 20 \times (20 + 1) = 20 \times 21 = 420$.

(D) શ્રેણી $1, 3, 6, 10, \ldots$ ના સ્વરૂપને સમજવા માટે,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$3 - 1 = 2$
$6 - 3 = 3$
$10 - 6 = 4$
અહીં તફાવત $2, 3, 4, \ldots$ છે,જે અચળ નથી,તેથી આ સમાંતર શ્રેણી નથી.
ગુણોત્તર $3/1 = 3$,$6/3 = 2$,$10/6 = 1.66$ છે,જે અચળ નથી,તેથી આ ગુણોત્તર શ્રેણી પણ નથી.
ફિબોનાકી શ્રેણી $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે આ પેટર્ન સાથે મળતી નથી.
આ સંખ્યાઓને ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n=1$ માટે $T_1 = 1$; $n=2$ માટે $T_2 = 3$; $n=3$ માટે $T_3 = 6$; $n=4$ માટે $T_4 = 10$ મળે છે. આમ,આ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, \ldots$ છે.
આ શ્રેણીમાં વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદ તપાસીએ:
$5$: અવિભાજ્ય
$7$: અવિભાજ્ય
$9$: વિભાજ્ય $(3 \times 3)$
$11$: અવિભાજ્ય
$13$: અવિભાજ્ય
$15$: વિભાજ્ય $(3 \times 5)$
$17$: અવિભાજ્ય
$19$: અવિભાજ્ય
$21$: વિભાજ્ય $(3 \times 7)$
$23$: અવિભાજ્ય
$25$: વિભાજ્ય $(5 \times 5)$
શ્રેણીમાં વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $9, 15, 21, 25, \ldots$ છે.
પ્રથમ વિભાજ્ય સંખ્યા $9$ છે.
બીજી વિભાજ્ય સંખ્યા $15$ છે.
ત્રીજી વિભાજ્ય સંખ્યા $21$ છે.
ચોથી વિભાજ્ય સંખ્યા $25$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$ અને $50$ ની વચ્ચે $3$ ના ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે:
$3, 6, 9, \ldots, 48$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને અંતિમ પદ $T_n = 48$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા:
$48 = 3 + (n - 1)3$
$48 - 3 = (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$n - 1 = \frac{45}{3}$
$n - 1 = 15$
$n = 16$
આમ,$1$ અને $50$ ની વચ્ચે $3$ ના કુલ $16$ ગુણકો છે.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $5, 10, 15, \ldots, 200$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 10 - 5 = 5$ છે.
છેલ્લું પદ $a_n = 200$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 5 + (n - 1)5$.
$200 - 5 = (n - 1)5$.
$195 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 195 / 5$.
$n - 1 = 39$.
$n = 39 + 1 = 40$.
તેથી,આપેલ $A.P.$ માં કુલ $40$ પદો છે.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $x, y, z$ એ સમાંતર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદો છે.
તેથી,$d = y - x$ અને $d = z - y$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $d + d = (y - x) + (z - y)$.
$2d = z - x$.
આમ,$d = \frac{z - x}{2}$.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના $n$ માં પદ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે,$d$ એ સામાન્ય તફાવત છે અને $n$ એ પદનો ક્રમ છે.
દસમું પદ $(n = 10)$ શોધવા માટે,સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકો:
$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = a + 9d$
તેથી,દસમું પદ $a + 9d$ છે.

(D) જો ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો વચ્ચેનું પદ એ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક હોય છે.
આ માટેનું સૂત્ર $b = \frac{a + c}{2}$ છે.
અહીં,$a = 2$,$b = x$,અને $c = 20$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{2 + 20}{2}$
$x = \frac{22}{2}$
$x = 11$.
તેથી,$x$ ની કિંમત $11$ છે.

(B) જ્યારે પ્રથમ પદ $a$ અને અંતિમ પદ $l$ આપેલ હોય ત્યારે $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
આપેલ કિંમતો:
$a = 1$
$l = 10$
$n = 10$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{10} = \frac{10}{2}(1 + 10)$
$S_{10} = 5(11)$
$S_{10} = 55$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $l$ એ અંતિમ પદ છે.
આપેલ કિંમતો $a = 2$,$n = 8$,અને $S_8 = 72$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$72 = \frac{8}{2}(2 + l)$
$72 = 4(2 + l)$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$18 = 2 + l$
$l = 18 - 2$
$l = 16$
તેથી,અંતિમ પદ $l$ ની કિંમત $16$ છે.

(A) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$1$. $A.P.$ $1, 3, 5, 7, \ldots$ માટે,$a=1, d=2$. છઠ્ઠું પદ $a_6 = 1 + (6-1)2 = 1 + 10 = 11$ થાય. તેથી,$(1-b)$.
$2$. $A.P.$ $3, 6, 9, 12, \ldots$ માટે,$a=3, d=3$. અગિયારમું પદ $a_{11} = 3 + (11-1)3 = 3 + 30 = 33$ થાય. તેથી,$(2-c)$.
$3$. $A.P.$ $4, 6, 8, 10, \ldots$ માટે,$a=4, d=2$. સોળમું પદ $a_{16} = 4 + (16-1)2 = 4 + 30 = 34$ થાય. તેથી,$(3-d)$.
$4$. $A.P.$ $5, 10, 15, 20, \ldots$ માટે,$a=5, d=5$. એકવીસમું પદ $a_{21} = 5 + (21-1)5 = 5 + 100 = 105$ થાય. તેથી,$(4-a)$.
આમ,સાચી જોડી $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ છે.

(A) $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_{n} = 2n - 1$ આપેલું છે.
$10$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સૂત્રમાં $n = 10$ મૂકીશું.
$T_{10} = 2(10) - 1$
$T_{10} = 20 - 1$
$T_{10} = 19$
તેથી,$A.P.$ નું $10$ મું પદ $19$ છે.