TS EAMCET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવતા,આપણે $(x, y)$ ને $(x \cos 45^{\circ} - y \sin 45^{\circ}, x \sin 45^{\circ} + y \cos 45^{\circ})$ એટલે કે $(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}})$ વડે બદલીએ છીએ. આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$3(\frac{x-y}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{x+y}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{x-y}{\sqrt{2}})(\frac{x+y}{\sqrt{2}}) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ અને $8x - 11y - 33 = 0$ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) + k(-1) = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $x+y=a$ ને સમઘાત બનાવવા માટે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ વડે ગુણતા:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
રેખાઓની જોડી લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2(a^2-4)=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
તેથી,$a$ નો જરૂરી ગણ $\{-2, 2\}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \lambda, h = -5, b = 12, g = \frac{5}{2}, f = -8, c = -3$.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(C) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ વર્તુળના વ્યાસ હોવાથી,તેમનું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
બાદબાકી કરતા: $-y = 1 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $(i)$ માં મુકતા: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 7$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{\sqrt{S_1}}$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $S_1$ એ બિંદુની પાવર છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (-2)^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{25}{4} + 4 + 2} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$ છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ માટે $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 1 + 5 - 2 = 4$ મળે છે.
તેથી,$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{7/2}{\sqrt{4}} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.
આમ,$\frac{\theta}{2} = \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1, 2)$ ની ધ્રુવીય રેખા (polar) નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$x(1) + y(2) - 2(x + 1) - 3(y + 2) + 9 = 0$
$x + 2y - 2x - 2 - 3y - 6 + 9 = 0$
$-x - y + 1 = 0 \Rightarrow x + y - 1 = 0$.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી રેખા $x + y - 1 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
સૂત્ર $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{1(1) + 1(2) - 1}{1^2 + 1^2}$
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{2}{2} = -1$.
તેથી,$\alpha - 1 = -1 \Rightarrow \alpha = 0$ અને $\beta - 2 = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, 1)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2-8r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+15=0$ છે.
સંબંધો $x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$ અને $r^2=x^2+y^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$x^2+y^2-8(\sqrt{3}x+y)+15=0$
$x^2+y^2-8\sqrt{3}x-8y+15=0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-4\sqrt{3}$,$f=-4$ અને $c=15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે:
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2+(-4)^2-15}$
$R = \sqrt{48+16-15}$
$R = \sqrt{49} = 7$.

(D) બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તેની શરત $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ છે.
આપેલ રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ અને $x - y + 4\lambda = 0$ છે અને પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$ એટલે કે $a = 2$.
અહીં,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ અને $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(C) આપેલ છે કે,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
આ પદાવલિને $(1+x)^5(1+x^2)^5$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $f(x) = (1+x)^5(1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
આપણે $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ શોધવું છે.
$f(1) = \sum_{k=0}^{15} a_k = (1+1)^5(1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 1024$.
અને $f(-1) = \sum_{k=0}^{15} a_k (-1)^k = (1-1)^5(1+(-1)^2)^5 = 0$.
તેથી,$f(1) + f(-1) = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14}) = 1024$.
આમ,$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14} = \frac{1024}{2} = 512$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\alpha = \frac{5}{2! 3} + \frac{5 \cdot 7}{3! 3^2} + \frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{4! 3^3} + \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha = 3^{3/2} - 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2 = 3^{3/2}$.
હવે,$\alpha^2 + 4\alpha = (\alpha+2)^2 - 4 = (3^{3/2})^2 - 4 = 27 - 4 = 23$.

(B) આપેલ છે કે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નિયામિકાનું સમીકરણ $\frac{a}{e} = 4$ છે.
$e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{a}{1/2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$b^2 = 4(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$ મળે.
આથી $(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$ થાય.
$12$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 12$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(2)=4$ અને $f^{\prime}(2)=1$.
આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(x)}{x-2}$
અંશમાં $2f(2)$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(2)+2 f(2)-2 f(x)}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2)(x-2) - 2(f(x)-f(2))}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} f(2) - 2 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
$L = f(2) - 2 f^{\prime}(2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = 4 - 2(1) = 2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = [x-3] + |x-4|$.
$x \rightarrow 3^{-}$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધવા માટે,આપણે $x = 3 - h$ મૂકીએ છીએ જ્યાં $h > 0$ અને $h \rightarrow 0$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ([3 - h - 3] + |3 - h - 4|)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} ([-h] + |-1 - h|)$
કારણ કે $h$ એ ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યા છે,$-h$ એ નાની ઋણ સંખ્યા છે,તેથી $[-h] = -1$.
વળી,$|-1 - h| = |-(1 + h)| = 1 + h$.
આમ,$\lim_{h \rightarrow 0} (-1 + 1 + h) = -1 + 1 + 0 = 0$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2+x^3}$
છેદમાંથી $x^2$ સામાન્ય લેતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2(1+x)}$
પદને આ રીતે લખતા: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1-e^x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \frac{1}{1+x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
પદની કિંમત: $(-1) \times (1) \times \left( \frac{1}{1+0} \right) = -1 \times 1 \times 1 = -1$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$.
$\frac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2} = \frac{3}{a+b+c}$.
ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab+ac+bc+c^2)$.
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 - ab = c^2$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$-ab = -2ab \cos C$.
$\cos C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$.
ડાબી બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
ગુણાકાર કરતા:
$(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
બંને બાજુથી $3ac + 3bc$ બાદ કરતા:
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$C = 60^{\circ}$.

(B) વિધાન $(I)$ માટે:
$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac}$
$= \frac{s}{a}(s-c) + \frac{s}{a}(s-b) = \frac{s}{a}(2s - b - c)$
કારણ કે $2s = a+b+c$,તેથી $2s - (b+c) = a$.
આમ,$\frac{s}{a} \cdot a = s$. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ માટે:
આપેલ છે $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$. સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A}$.
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{2 \sin((B+C)/2) \cos((B-C)/2)}{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}$.
કારણ કે $\sin((B+C)/2) = \cos(A/2)$,આપણને મળે છે $\cos(A/2) = \cos((B-C)/2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $A = B-C$ અથવા $A = C-B$.
જો $A = B-C$,તો $A+C = B$. કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$,$2B = 180^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ છે,જે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે અને તે $B=90^{\circ}$ તરફ દોરી જતું નથી. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
તેથી,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$.
$3s - (a+b+c) = 6k \Rightarrow s = 6k$.
તેથી,$a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75 + 80 + 36}{60} = \frac{191}{60}$.

(B) આપેલ છે કે,$A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ અને $f(t)=t^2-3t+7$.
સૌ પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+(-2)(4) & 1(-2)+(-2)(5) \\ 4(1)+5(4) & 4(-2)+5(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ ની ગણતરી કરો:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7-3+7 & -12-(-6)+0 \\ 24-12+0 & 17-15+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
અંતે,આપેલ શ્રેણિકનો સરવાળો કરો:
$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1)) = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,શ્રેણિક $A$ ના સહઅવયવો $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = 1, C_{12} = 1, C_{13} = 1$.
$C_{21} = 3, C_{22} = 4, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 3, C_{32} = 3, C_{33} = 4$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj}(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c)) - 0]$
$\Delta = (a+b+c) (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{e^{\theta} + e^{-\theta}}$.
$\theta = \frac{x}{2}$ મૂકતા,આપણને $\tanh \frac{x}{2} = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$= \frac{1 + \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{1 - \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} + e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} - (e^{x/2} - e^{-x/2})}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{2e^{x/2}}{2e^{-x/2}}$
$= \frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 + x/2} = e^x$.

(B) આપેલ છે કે,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(\theta) + \cos ^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
ધારો કે $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \theta$,તો $\sin \theta = \frac{3}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}$.
$\cos \theta = \frac{4}{x}$ ને સરખાવતા,આપણને $\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} = \frac{4}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 - 9 = 16$,જે $x^2 = 25$ આપે છે.
આમ,$x = 5$ (કારણ કે $x = -5$ મૂળ સમીકરણમાં પ્રતિવિધેયના પ્રદેશનું સમાધાન કરતું નથી).

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = |x|$ અને $g(x) = [x - 3]$.
અંતરાલ $-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ માટે,$f(x) = |x|$ નો વિસ્તાર $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ (એટલે કે $0 \leq f(x) < 1.6$) છે.
આપણે $g(f(x)) = [f(x) - 3]$ માટે કિંમતોનો ગણ શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: જો $0 \leq f(x) < 1$ હોય,તો $-3 \leq f(x) - 3 < -2$ થાય. તેથી,$g(f(x)) = [f(x) - 3] = -3$.
કિસ્સો $2$: જો $1 \leq f(x) < 1.6$ હોય,તો $-2 \leq f(x) - 3 < -1.4$ થાય. તેથી,$g(f(x)) = [f(x) - 3] = -2$.
આ કિસ્સાઓને જોડતા,કિંમતોનો ગણ $\{-3, -2\}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2-3$.
પ્રથમ,આપણે દરેક પદ માટે કિંમતો શોધીએ:
$x=-1$ માટે:
$f(-1) = (-1)^2-3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2-3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = 1^2-3 = -2$
$x=0$ માટે:
$f(0) = 0^2-3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2-3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = 6^2-3 = 33$
$x=1$ માટે:
$f(1) = 1^2-3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2-3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = 1^2-3 = -2$
હવે,આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$.
આમ,અભિવ્યક્તિ $f(4 \sqrt{2})$ બરાબર છે.

(C) આપેલ છે કે $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$.
બીજા પદને $\left(\frac{1}{10}(a+\frac{b}{10})\right)^y = 1000$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $K = a+\frac{b}{10}$. તો $K^x = 1000$ અને $(\frac{K}{10})^y = 1000$.
$K^x = 1000$ પરથી,$K = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ મળે.
$(\frac{K}{10})^y = 1000$ પરથી,$\frac{K}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ મળે.
આમ,$K = 10 \times 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$.
$K$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$.
તેથી,$\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$ મળે.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ અને $y=a \sin \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
અહીં $\frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{1}{\sin \theta}$.
તેથી,$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right) = a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
વળી,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x=a[\cos \theta+\log (\tan (\theta/2))]$ અને $y=a \sin \theta$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right]$
નિત્યસમ $\tan(\theta/2) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ અને $\sec^2(\theta/2) = \frac{1}{\cos^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} \right]$
કારણ કે $2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = \sin \theta$,તેથી:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right] = a \left[ \frac{1-\sin^2 \theta}{\sin \theta} \right] = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad \dots(i)$
હવે,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta \quad \dots(ii)$
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) ધારો કે $u = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$.
અહીં,$u$ એ $x$ અને $y$ નું $n = 2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n \cdot u$.
કારણ કે $u = \sec z$,તેથી $\frac{\partial u}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ અને $\frac{\partial u}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ થાય.
આ કિંમતો આઈલરના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$.
બંને બાજુ $\sec z \tan z$ વડે ભાગતા:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$.

(D) આપેલ છે કે,$y=\sin (\log _e x)$ $(i)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x} = \cos (\log _e x) \cdot \frac{1}{x} \implies x \frac{d y}{d x} = \cos (\log _e x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા):
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -\sin (\log _e x) \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -\sin (\log _e x)$.
કારણ કે $y = \sin (\log _e x)$,તેથી:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -y$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x-1)^2 + 3$ છે,જે અંતરાલ $x \in [-3, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
સૌ પ્રથમ,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$2(x-1) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
અહીં $x = 1$ એ આપેલ અંતરાલ $[-3, 1]$ નો અંતિમ બિંદુ છે,તેથી આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતરાલની સીમાઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$x = 1$ માટે: $f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ માટે: $f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $m = 3$ અને મહત્તમ કિંમત $M = 19$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ એ $(3, 19)$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $h$ મીટર ઊંચી ટેકરી છે અને $CD$ એ $h'$ મીટર ઊંચો સ્તંભ છે. ધારો કે $E$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $ED$ સમક્ષિતિજ રહે.
$\triangle BED$ માં,$\tan \alpha = \frac{BE}{ED} = \frac{h-h'}{ED} \implies ED = \frac{h-h'}{\tan \alpha}$.
$\triangle BAC$ માં,$\tan \beta = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{ED} \implies ED = \frac{h}{\tan \beta}$.
$ED$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h-h'}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta}$
$h-h' = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta}$
$h' = h - \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta} = h \left(1 - \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right) = \frac{h(\tan \beta - \tan \alpha)}{\tan \beta}$.

(A) આપેલ છે કે,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = x^n$ અને $dv = e^{cx} \, dx$.
તેથી $du = n x^{n-1} \, dx$ અને $v = \frac{e^{cx}}{c}$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
કારણ કે $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,તેથી:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
બંને બાજુ $c$ વડે ગુણતા:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
પદોને ગોઠવતા:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1-\sin x}{1-\cos x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
ધારો કે $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$. તો $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ થાય.
સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ ના સ્વરૂપમાં હોવાથી:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
આમ,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $2x = y^2 - 1$ છે,જેને $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
વક્ર $x = 0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે.
વક્ર $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ અને $x = 0$ ના છેદબિંદુઓ $\frac{y^2 - 1}{2} = 0$ લેતા મળે છે,જે $y^2 = 1$ આપે છે,તેથી $y = \pm 1$.
વક્ર અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી $|x|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{1} |x| \, dy = \int_{-1}^{1} \left| \frac{y^2 - 1}{2} \right| \, dy$.
પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{1} \left| \frac{y^2 - 1}{2} \right| \, dy$ થશે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$y^2 - 1 \leq 0$ છે,તેથી $|\frac{y^2 - 1}{2}| = -\frac{y^2 - 1}{2} = \frac{1 - y^2}{2}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} \, dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$.
$= [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) લેન્સ દ્વારા સફેદ પ્રકાશમાં બનતું પ્રતિબિંબ સામાન્ય રીતે રંગીન અને ઝાંખું હોય છે. આ ખામીને વર્ણવિપથન (chromatic aberration) કહેવામાં આવે છે અને તે એ હકીકતને કારણે ઉદ્ભવે છે કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અલગ-અલગ રંગો માટે અલગ-અલગ હોય છે.
લેન્સનું એરોમેટિક સંયોજન આ વર્ણવિપથનને ઘટાડવા અથવા દૂર કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
બે અલગ-અલગ દ્રવ્યોના લેન્સ (દા.ત. ક્રાઉન ગ્લાસ અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસ) ને એવી રીતે જોડીને કે જેથી તેમની વિભાજન શક્તિ (dispersive power) એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે,પરિણામી પ્રતિબિંબ રંગીન અસરોથી મુક્ત બને છે.
તેથી,એરોમેટિક સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પ્રતિબિંબ તરંગલંબાઇ સાથે વક્રીભવનાંકમાં થતા ફેરફારથી અપ્રભાવિત રહે છે.

(A) પ્લેનો-કોનકેવ લેન્સ માટે,એક સપાટી સમતલ $(R_1 = \infty)$ છે અને બીજી સપાટી અંતર્ગોળ $(R_2 = 0.3 ~m)$ છે. સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,અંતર્ગોળ સપાટી માટે $R_2 = 0.3 ~m$ લેવામાં આવે છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં $R_1 = \infty$ અને $R_2 = 0.3 ~m$ મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (\frac{5}{3} - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{0.3} \right)$.
$\frac{1}{f} = (\frac{2}{3}) \times (0 - \frac{1}{0.3}) = -\frac{2}{0.9} = -\frac{20}{9}$.
તેથી,$f = -\frac{9}{20} ~m = -0.45 ~m$.

(B) $(i)$ આલ્કલી ધાતુના સુપરઓક્સાઈડમાં $O_2^{-}$ આયન હોય છે,જેમાં અયુગ્મિત ઈલેક્ટ્રોન હોવાથી તે પેરામેગ્નેટિક હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(ii)$ આલ્કલી ધાતુના હાઈડ્રોક્સાઈડનો બેઝિક સ્વભાવ સમૂહમાં નીચે તરફ જતાં વધે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(iii)$ આલ્કલી ધાતુના ક્લોરાઈડની જલીય દ્રાવણમાં વાહકતા સમૂહમાં નીચે તરફ જતાં વધે છે,કારણ કે જલીય દ્રાવણમાં આયનોનું જલીયકરણ ઘટે છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$(iv)$ કાર્બોનેટનો બેઝિક સ્વભાવ $CO_3^{2-}$ આયનના એનાયોનિક જળવિભાજનને કારણે હોય છે. આ વિધાન ખોટું છે.

(D) જ્યારે જંકશન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $p$-બાજુ સાથે અને ઋણ છેડો $n$-બાજુ સાથે જોડાયેલ હોય છે. આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ અને $n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન) જંકશન તરફ ધકેલાય છે. પરિણામે,ડેપ્લેશન વિસ્તારની પહોળાઈ ઘટે છે અને પોટેન્શિયલ બેરિયર ઓછું થાય છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ જંકશનથી દૂર જાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+y}{xy+x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{1+y}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = \int (\frac{1}{x} + 1) dx$ મળે છે.
આથી $\log |y| + y = \log |x| + x + C$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$y - x = \log |x| - \log |y| + C$ મળે છે.
$y - x = \log \left|\frac{x}{y}\right| + C$.
ધારો કે $C = \log c$,તો $y - x = \log \left|\frac{cx}{y}\right|$ થાય.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$
ધારો કે $z = x-2y$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$
$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z}$
$1 - \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{1}{z}$
$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$
$z dz = -dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int z dz = \int -dx$
$\frac{z^2}{2} = -x + C_1$
$z^2 = -2x + 2C_1$
$z = x-2y$ પાછા મૂકતા:
$(x-2y)^2 = -2x + C$
$(x-2y)^2 + 2x = C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ અને $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{16} - \frac{12}{16} \right| = \left| -\frac{8}{16} \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. પેટીઓની સામગ્રી નીચે મુજબ છે:
$B_1: 1R, 2W \implies P(R|B_1) = \frac{1}{3}$
$B_2: 2R, 3W \implies P(R|B_2) = \frac{2}{5}$
$B_3: 3R, 4W \implies P(R|B_3) = \frac{3}{7}$
આપેલ છે કે $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો લાલ દડો હોય તો તે $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{7}}$
$P(B_2|R) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14}}$
છેદ માટે સામાન્ય છેદ શોધતા: $LCM(6, 15, 14) = 210$.
$P(B_2|R) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{35 + 28 + 15}{210}} = \frac{2}{15} \times \frac{210}{78} = \frac{2 \times 14}{78} = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$.

(A) આપેલ છે: વિવર્તન કોણ $(2 \theta) = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
બે સમતલો વચ્ચેનું અંતર,$d = 2.28 \ \mathring{A}$.
વિવર્તનનો ક્રમ,$n = 2$.
બ્રેગનું સમીકરણ $n \lambda = 2 d \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin 45^{\circ}$.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,$2 \lambda = 2 \times 2.28 \times 0.707$.
$\lambda = 2.28 \times 0.707 = 1.612 \ \mathring{A}$.

(C) આપેલ છે:
અબાષ્પશીલ દ્રાવ્યનું વજન,$w = 25 \ g$
દ્રાવકનું વજન,$W = 100 \ g$
બાષ્પદબાણમાં ઘટાડો,$p^{\circ} - p_s = 0.225 \ mm$
શુદ્ધ દ્રાવકનું બાષ્પદબાણ,$p^{\circ} = 17.5 \ mm$
દ્રાવક $(H_2O)$ નું આણ્વીય દળ,$M = 18 \ g/mol$
દ્રાવ્યનું આણ્વીય દળ,$m = ?$
રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ:
$\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = \frac{w \times M}{m \times W}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.225}{17.5} = \frac{25 \times 18}{m \times 100}$
$m = \frac{25 \times 18 \times 17.5}{22.5}$
$m = 350 \ g/mol$

(B) વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ અને સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળના ગુણોત્તરને પોલી ડિસ્પર્સિટી ઇન્ડેક્સ $(PDI)$ કહેવામાં આવે છે.
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
જ્યાં,
$\bar{M}_w = \text{વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ}$
$\bar{M}_n = \text{સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળ}$
કુદરતી મોનોડિસ્પર્સ પોલીમર માટે $PDI$ નું મૂલ્ય એક $(1)$ હોય છે,પરંતુ કૃત્રિમ પોલીમર માટે તે હંમેશા એક કરતા વધારે હોય છે.

(A) $CaCO_3 \xrightarrow{\Delta} CaO + CO_2$. $100 \ g \ CaCO_3$ એ $STP$ પર $22.4 \ L \ CO_2$ આપે છે. તેથી,$10 \ g \ CaCO_3$ એ $\frac{22.4 \times 10}{100} = 2.24 \ L \ CO_2$ $(iv)$ આપશે.
$(B)$ $Na_2CO_3 + 2HCl \rightarrow 2NaCl + H_2O + CO_2$. $106 \ g \ Na_2CO_3$ એ $22.4 \ L \ CO_2$ આપે છે. તેથી,$1.06 \ g \ Na_2CO_3$ એ $\frac{22.4 \times 1.06}{106} = 0.224 \ L \ CO_2$ $(i)$ આપશે.
$(C)$ $C + O_2 \rightarrow CO_2$. $12 \ g \ C$ એ $22.4 \ L \ CO_2$ આપે છે. તેથી,$2.4 \ g \ C$ એ $\frac{22.4 \times 2.4}{12} = 4.48 \ L \ CO_2$ $(ii)$ આપશે.
$(D)$ $2CO + O_2 \rightarrow 2CO_2$. $56 \ g \ CO$ એ $2 \times 22.4 \ L \ CO_2 = 44.8 \ L \ CO_2$ આપે છે. તેથી,$0.56 \ g \ CO$ એ $\frac{44.8 \times 0.56}{56} = 0.448 \ L \ CO_2$ $(iii)$ આપશે.
આમ,સાચી જોડ $A-iv, B-i, C-ii, D-iii$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = nRT$ છે,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
હિલિયમ માટે: $n_1 = 0.3 \ mol$,$T_1 = T$.
$KE_{He} = 0.3 \times R \times T$.
આર્ગોન માટે: $n_2 = 0.4 \ mol$,$T_2 = 400 \ K$.
$KE_{Ar} = 0.4 \times R \times 400$.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE_{He} = KE_{Ar}$.
$0.3 \times R \times T = 0.4 \times R \times 400$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા:
$0.3 \times T = 160$.
$T = \frac{160}{0.3} = 533.33 \ K \approx 533 \ K$.