TS EAMCET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{313.6 Z^2}{n^2} \ kcal \ mol^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $E_n = -\frac{313.6}{n^2} \ kcal \ mol^{-1}$.
લાયમેન શ્રેણી $n_1 = 1$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે. લાયમેન શ્રેણીમાં $H_\alpha$ રેખા $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$n_1 = 1$ માટે,$E_1 = -\frac{313.6 \times 1^2}{1^2} = -313.6 \ kcal \ mol^{-1}$.
$n_2 = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{313.6 \times 1^2}{2^2} = -\frac{313.6}{4} = -78.4 \ kcal \ mol^{-1}$.
આમ,ઊર્જા $-313.6 \ kcal \ mol^{-1}$ અને $-78.4 \ kcal \ mol^{-1}$ છે.

(A) આપેલ છે: કણ $A$ નો વેગ $(v_A)$ = $0.05 \ ms^{-1}$ અને કણ $B$ નો વેગ $(v_B)$ = $0.02 \ ms^{-1}$.
ધારો કે કણ $A$ નું દળ $(m_A)$ = $m$.
તેથી,કણ $B$ નું દળ $(m_B)$ = $5m$.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
કણ $A$ માટે: $\lambda_A = \frac{h}{m_A v_A} = \frac{h}{m \times 0.05}$.
કણ $B$ માટે: $\lambda_B = \frac{h}{m_B v_B} = \frac{h}{5m \times 0.02}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{h}{m \times 0.05} \times \frac{5m \times 0.02}{h}$.
$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{5 \times 0.02}{0.05} = \frac{0.1}{0.05} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) ફ્રુન્ડલિચ અધિશોષણ સમતાપીનું સમીકરણ: $\frac{x}{m} = k p^{1/n}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા,આપણને મળે છે: $\log \left( \frac{x}{m} \right) = \log k + \frac{1}{n} \log p$.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log (x/m)$,$x = \log p$,ઢાળ $m = 1/n$,અને આંતરછેદ $c = \log k$ છે.
તેથી,$\log (x/m)$ વિરુદ્ધ $\log p$ નો આલેખ $1/n$ જેટલા ધન ઢાળ અને $y$-અક્ષ પર $\log k$ જેટલા આંતરછેદ સાથેની સીધી રેખા આપે છે.

(A) થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર $S$ એ તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં થર્મો-ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ ના બદલાવનો દર છે,એટલે કે $S = \frac{dE}{dT}$.
આપેલ સમીકરણ $E = k(T - T_r)[T_0 - \frac{1}{2}(T + T_r)]$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $E = k[T_0 T - T_0 T_r - \frac{1}{2}T^2 - \frac{1}{2}T T_r + \frac{1}{2}T T_r + \frac{1}{2}T_r^2] = k[T_0 T - T_0 T_r - \frac{1}{2}T^2 + \frac{1}{2}T_r^2]$.
$T$ ની સાપેક્ષમાં $E$ નું વિકલન કરતા: $\frac{dE}{dT} = k[T_0 - T]$.
હવે $T = \frac{1}{2} T_0$ કિંમત મૂકતા:
$S = k[T_0 - \frac{1}{2} T_0] = k[\frac{1}{2} T_0] = \frac{1}{2} k T_0$.

(A) ધારો કે સ્લેબ $B$ ની જાડાઈ $d$ છે અને તેની ઉષ્મા વાહકતા $K$ છે. તો,સ્લેબ $A$ માટે,જાડાઈ $2d$ અને ઉષ્મા વાહકતા $2K$ છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $T$ છે.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હોવો જોઈએ:
$H = \frac{K_A A (T_1 - T)}{d_A} = \frac{K_B A (T - T_2)}{d_B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2K \cdot A (100 - T)}{2d} = \frac{K \cdot A (T - 25)}{d}$
$100 - T = T - 25$
$2T = 125$
$T = 62.5^{\circ} C$

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $p V^\gamma = \text{constant}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $V = nRT/p$ ને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$p(nRT/p)^\gamma = \text{constant}$
$p \cdot p^{-\gamma} \cdot T^\gamma = \text{constant}$
$p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સંકોચન દરમિયાન કદ $V$ ઘટે છે,ત્યારે ગુણાકારને અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$.
સંકોચનમાં,વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $dW < 0$,જેનો અર્થ છે કે $dU > 0$.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તાપમાન $T$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાથી તાપમાનમાં વધારો થાય છે.
તેથી,એડિયાબેટિક સંકોચન તાપમાન અને દબાણ બંનેમાં વધારો કરે છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન માટે: $p_1 = 1 ~atm$,$V_1 = 1 ~L$. તેથી,$n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$.
નાઈટ્રોજન માટે: $p_2 = 0.5 ~atm$,$V_2 = 2 ~L$. તેથી,$n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$.
જ્યારે આ વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર $V_{mix} = 1 ~L$ કદના પાત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મોલની કુલ સંખ્યા $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ થાય છે.
મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $p_{mix} V_{mix} = n_{mix} RT$.
કિંમતો મૂકતા: $p_{mix} \times 1 = \left( \frac{2}{RT} \right) RT$.
તેથી,$p_{mix} = 2 ~atm$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(i) \ H_2O_{(g)} + C_{(g)} \longrightarrow CO_{(g)} + H_{2(g)} ; \Delta H = +131 \ kJ$
$(ii) \ CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)} ; \Delta H = -282 \ kJ$
$(iii) \ H_{2(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow H_2O_{(g)} ; \Delta H = -242 \ kJ$
$C_{(g)} + O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}$ માટે $\Delta H$ શોધવા માટે,સમીકરણો $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\Delta H = (+131) + (-282) + (-242) \ kJ$
$\Delta H = 131 - 524 \ kJ = -393 \ kJ$

(A) ધારો કે પ્લાન્કના અચળાંક $(h)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $G, L,$ અને $E$ ના સ્વરૂપમાં $h = k G^x L^y E^z$ છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M^1 L^2 T^{-1}]^y [M^1 L^2 T^{-2}]^z$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $-x + y + z = 1$ $(i)$
$L$ માટે: $3x + 2y + 2z = 2$ (ii)
$T$ માટે: $-2x - y - 2z = -1$ (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(-x + y + z) + (-2x - y - 2z) = 1 - 1$
$-3x - z = 0 \implies z = -3x$
$z = -3x$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-x + y - 3x = 1 \implies y - 4x = 1 \implies y = 1 + 4x$
$y$ અને $z$ ને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3x + 2(1 + 4x) + 2(-3x) = 2$
$3x + 2 + 8x - 6x = 2$
$5x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$.
આમ,$h$ ના સૂત્રમાં $G$ નું પરિમાણ $0$ છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અવરોધ અથવા છિદ્રથી અનંત અંતરે હોય.
વ્યવહારિક રીતે,આ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ફ્રેનલ અંતર $Z_F = \frac{b^2}{\lambda}$ એ અવરોધ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $L$ કરતા ઘણું નાનું હોય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત $L \gg \frac{b^2}{\lambda}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જેને $\frac{b^2}{L \lambda} \ll 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

(C) કારની ઝડપ $v_c = 72 ~km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 ~m/s$ છે.
$10 ~s$ માં કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 ~m$ છે.
ટેકરીથી કારનું પ્રારંભિક અંતર $D = 1800 ~m$ છે.
જ્યારે પડઘો સંભળાય છે,ત્યારે કાર ટેકરીની નજીક $200 ~m$ આગળ વધી ગઈ હોય છે,તેથી ટેકરીથી તેનું નવું અંતર $1800 - 200 = 1600 ~m$ થાય છે.
ધ્વનિ કારથી ટેકરી સુધી $(1800 ~m)$ જાય છે અને પછી પરાવર્તિત થઈને કારના નવા સ્થાન $(1600 ~m)$ પર પાછો આવે છે.
ધ્વનિ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $d_s = 1800 + 1600 = 3400 ~m$ છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \frac{d_s}{t} = \frac{3400}{10} = 340 ~m/s$ છે.

(C) તરંગ માટે કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે કણનો મહત્તમ વેગ એ તરંગના વેગ $v$ જેટલો છે,તેથી $v_{\max} = v$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $A \omega = v$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$ અને $v = f \lambda$,તેથી $\omega = \frac{2 \pi v}{\lambda}$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right) = v$.
$A$ માટે ઉકેલતા: $A = \frac{v \lambda}{2 \pi v} = \frac{\lambda}{2 \pi}$.

(C) આપેલ છે,નદીનો વેગ $(v) = 2 ~m/s$.
પાણીની ઘનતા $(\rho) = 1.2 ~g/cc = 1.2 \times 10^3 ~kg/m^3$.
પાણીના દરેક ઘન મીટરનું દળ $(m)$ તેની ઘનતા અને કદ $(V = 1 ~m^3)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$m = \rho \times V = 1.2 \times 10^3 ~kg/m^3 \times 1 ~m^3 = 1.2 \times 10^3 ~kg$.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^3) \times (2)^2$.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 10^3 \times 4$.
$K.E. = 2.4 \times 10^3 ~J = 2.4 ~kJ$.

(B) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $h$ જેટલું અંતર કાપીને પ્રથમ વખત ભોંયતળિયા સાથે અથડાય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,દડો $h_1 = e^2 h$ જેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
ત્યારબાદ દડો $h_1$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે અને ફરીથી નીચે આવીને બીજી વખત ભોંયતળિયા સાથે અથડાય છે.
તેથી,બીજા અથડામણ પહેલાં દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક પતનનું અંતર,ઉછળવાની ઊંચાઈ અને ઉછળ્યા પછી નીચે આવવાનું અંતરનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $D = h + h_1 + h_1 = h + 2h_1$.
$h_1 = e^2 h$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $D = h + 2(e^2 h) = h(1 + 2e^2)$ મળે છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{CM})$ સૂત્ર $V_{CM} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં બંને કણો સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,માત્ર પરસ્પર આકર્ષણ બળો (આંતરિક બળો) લાગે છે,તેથી પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,તે દરેક સમયે શૂન્ય જ રહેશે.

(B) પરક્લોરેટ આયન $(ClO_4^{-})$ માં,મધ્યસ્થ ક્લોરિન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે. તે ચાર $Cl-O$ બંધ બનાવે છે,જેમાંથી ત્રણ દ્વિબંધ છે જેમાં ઓક્સિજનની ભરાયેલી $2p$ કક્ષકો અને ક્લોરિનની ખાલી $3d$ કક્ષકો વચ્ચે $d\pi - p\pi$ બેક બોન્ડિંગ થાય છે. આમ,$ClO_4^{-}$ માં $3$ $d\pi - p\pi$ બંધો હોય છે.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
$1$. $XeF_4$: તેમાં કોઈ $d\pi - p\pi$ બંધ હોતા નથી.
$2$. $XeO_3$: ઝેનોન પરમાણુ એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે. તે ત્રણ $Xe=O$ દ્વિબંધ બનાવે છે,જેમાં દરેક $d\pi - p\pi$ બંધન ધરાવે છે. આમ,તેમાં $3$ $d\pi - p\pi$ બંધો હોય છે.
$3$. $XeO_4$: ઝેનોન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે. તે ચાર $Xe=O$ દ્વિબંધ બનાવે છે,જેમાં દરેક $d\pi - p\pi$ બંધન ધરાવે છે. આમ,તેમાં $4$ $d\pi - p\pi$ બંધો હોય છે.
$4$. $XeF_6$: તેમાં કોઈ $d\pi - p\pi$ બંધ હોતા નથી.
તેથી,$ClO_4^{-}$ જેટલા જ $d\pi - p\pi$ બંધો ધરાવતું સંયોજન $XeO_3$ છે.

(A) સાચો સેટ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક અણુના સંકરણ અને ભૂમિતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

અણુ	$bp + lp$	સંકરણ	આકાર
$H_2O$	$2 + 2$	$sp^3$	કોણીય
$BCl_3$	$3 + 0$	$sp^2$	ત્રિકોણીય સમતલીય
$NH_4^{+}$	$4 + 0$	$sp^3$	સમચતુષ્ફલકીય
$CH_4$	$4 + 0$	$sp^3$	સમચતુષ્ફલકીય

વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A$. $H_2O$ માં $sp^3$ સંકરણ અને કોણીય આકાર છે. આ સાચું છે.
તેથી,સાચો સેટ $A$ છે.

(D) આપેલ છે: અવલોકિત ડાયપોલ મોમેન્ટ $= 1.03 \ \text{D}$.
$HCl$ અણુની બંધ લંબાઈ,$d = 1.275 \ \text{Å} = 1.275 \times 10^{-8} \ \text{cm}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$e = 4.8 \times 10^{-10} \ \text{esu}$.
સૈદ્ધાંતિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $= e \times d = (4.8 \times 10^{-10} \ \text{esu}) \times (1.275 \times 10^{-8} \ \text{cm}) = 6.12 \times 10^{-18} \ \text{esu} \cdot \text{cm} = 6.12 \ \text{D}$.
ટકાવારી આયનીય લક્ષણ $= (\text{અવલોકિત ડાયપોલ મોમેન્ટ} / \text{સૈદ્ધાંતિક ડાયપોલ મોમેન્ટ}) \times 100$.
ટકાવારી આયનીય લક્ષણ $= (1.03 / 6.12) \times 100 = 16.83 \%$.

(B) વિયોજન માટેનું રાસાયણિક સમીકરણ: $PCl_5 \rightleftharpoons PCl_3 + Cl_2$
શરૂઆતના મોલ: $PCl_5 = 5$,$PCl_3 = 0$,$Cl_2 = 0$
વિયોજનની માત્રા $\alpha = 0.4$
સંતુલન સમયે મોલ: $PCl_5 = 5(1 - 0.4) = 3$,$PCl_3 = 5 \times 0.4 = 2$,$Cl_2 = 5 \times 0.4 = 2$
ફ્લાસ્કનું કદ $V = 500 \,mL = 0.5 \,L$
સંતુલન સમયે સાંદ્રતા: $[PCl_5] = 3 / 0.5 = 6 \,mol/L$,$[PCl_3] = 2 / 0.5 = 4 \,mol/L$,$[Cl_2] = 2 / 0.5 = 4 \,mol/L$
સંતુલન અચળાંક $K_c = \frac{[PCl_3][Cl_2]}{[PCl_5]} = \frac{4 \times 4}{6} = \frac{16}{6} = 2.66 \,mol/L$

(C) આપેલ છે કે $B$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ છે. $B$ નિષ્ક્રિય વાયુ હોવાથી,તે સમૂહ $18$ માં આવે છે.
તેથી,$Z-1$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ $A$ હેલોજન (સમૂહ $17$) છે,જેની ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી ખૂબ ઊંચી હોય છે.
$Z+1$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ $C$ આલ્કલી ધાતુ (સમૂહ $1$) છે,જે $+1$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોય છે.
$Z+2$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ $D$ આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુ (સમૂહ $2$) છે,જે $+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોય છે.
આમ,વિધાન $(1)$ સાચું છે ($A$ હેલોજન છે) અને વિધાન $(3)$ સાચું છે ($D$ આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુ છે). વિધાન $(2)$ ખોટું છે કારણ કે $C$ એ $+1$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં હોય છે.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = 5 \% \text{ of } I = 0.05 I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.05 I = 0.95 I$ થશે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g G = I_s S$
$0.05 I \times G = 0.95 I \times S$
$S = \frac{0.05 I \times G}{0.95 I} = \frac{5}{95} G = \frac{G}{19}$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = \frac{(x^2+2x+1) - x}{x^2+2x+1} = 1 - \frac{x}{(x+1)^2}$.
હવે,$\frac{x}{(x+1)^2}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવતા:
$\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{P}{x+1} + \frac{Q}{(x+1)^2}$.
$x = P(x+1) + Q = Px + (P+Q)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$P=1$ અને $P+Q=0$,તેથી $Q=-1$.
આમ,$\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = 1 - (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}) = 1 - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$.
$A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$ સાથે સરખાવતા,$A=1$,$B=-1$,અને $C=1$ મળે છે.
તેથી,$A-B = 1 - (-1) = 2$.
અહીં $C=1$ હોવાથી,$2 = 2C$.
આમ,$A-B = 2C$.

(D) ધારો કે $x^3+x+1=0$ સમીકરણના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. ધારો કે $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$.
ન્યૂટનના સૂત્ર મુજબ,$S_n + S_{n-2} + S_{n-3} = 0$.
$S_1 = 0$.
$S_2 = -2$.
$S_3 = -S_1 - S_0 = 0 - 3 = -3$.
$S_4 = -S_2 - S_1 = -(-2) - 0 = 2$.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^3+2 x^2-4 x+1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ જેના બીજ $3\alpha, 3\beta, 3\gamma$ હોય.
ધારો કે $y = 3x$,જેનો અર્થ છે $x = \frac{y}{3}$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{y}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{y}{3})^3 + 2(\frac{y}{3})^2 - 4(\frac{y}{3}) + 1 = 0$
$\frac{y^3}{27} + \frac{2y^2}{9} - \frac{4y}{3} + 1 = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$y^3 + 6y^2 - 36y + 27 = 0$
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^3 + 6x^2 - 36x + 27 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = x + iy$. આ સમીકરણ એવા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેથી $A(2, 0)$ અને $B(0, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.
$\arg(z-2) - \arg(z-6i) = \frac{\pi}{2}$.
$z = x + iy$ મુકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y-6}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $1+AB = 0$ થવો જોઈએ.
$1 + \left(\frac{y}{x-2}\right)\left(\frac{y-6}{x}\right) = 0$.
$x(x-2) + y(y-6) = 0$.
$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{10}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1+\omega+\omega^2 = 0$.
પ્રથમ,$\omega$ ના ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = 1^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \left\{(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}\right\}$
$\omega + \omega^2 = -1$ હોવાથી:
$\sin \left\{(-1) \pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left(-\pi - \frac{\pi}{4}\right)$
$= -\sin \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} \right) = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{7} \right) + \ldots$
$S = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots$
શ્રેણી $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ માટે $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots$.
આમ,$S = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots) = 1 - (1 - \log_e 2) = 2 - \log_e 2$.

(D) અંદરનો સરવાળો એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k - 1)}{2 - 1} = 2^k - 1$.
મુખ્ય પદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k - 1}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$x = 2$: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2 - 1$.
બીજા ભાગ માટે,$x = 1$: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k!} = e^1 - 1 = e - 1$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા: $(e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - 1 - e + 1 = e^2 - e$.

(C) આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n k(k+2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાની અંદરના પદને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $k^2 + 2k$ મળે છે.
તેથી,$S = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(A) સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં નીચેની પ્રતિક્રિયાઓ થાય છે જે ઓઝોન સ્તરના ક્ષય માટે જવાબદાર છે:
$NO + O_3 \longrightarrow NO_2 + O_2$
$CF_2Cl_2 \xrightarrow{hv} \dot{C}F_2Cl + \dot{Cl}$
$CFCl_3 \xrightarrow{hv} \dot{C}FCl_2 + \dot{Cl}$
$\dot{Cl} + O_3 \longrightarrow Cl\dot{O} + O_2$
$Cl\dot{O} + O \longrightarrow \dot{Cl} + O_2$
તેથી,મિથેન $(CH_4)$ ઓઝોન સ્તરના ક્ષય માટે જવાબદાર નથી.

(B) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{5}{2! 3} + \frac{5 \cdot 7}{3! 3^2} + \frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{4! 3^3} + \ldots$
શ્રેણીના સરવાળા માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = 3^{3/2} - 2$ મળે છે.
હવે,$\alpha^2 + 4\alpha = (\alpha + 2)^2 - 4$
$\alpha + 2 = 3^{3/2}$
તેથી,$(\alpha + 2)^2 - 4 = (3^{3/2})^2 - 4 = 27 - 4 = 23$.

(B) આપેલ છે,$\tan \theta + \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
$\tan(A+B)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta + \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} + \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta} = 3$.
સાદુરૂપ આપતા:
$\tan \theta + \frac{8 \tan \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$\frac{9 \tan \theta - 3 \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$3 \tan 3\theta = 3$,તેથી $\tan 3\theta = 1$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $l, m, n$ સમાંતર શ્રેણીમાં $(AP)$ છે.
તેથી,$2m = l + n$.
રેખાનું સમીકરણ $lx + my + n = 0$ છે.
સમીકરણને $lx + my + n = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
સમીકરણમાં $n = 2m - l$ મૂકતા:
$lx + my + (2m - l) = 0$
$l(x - 1) + m(y + 2) = 0$
આ સમીકરણ $l$ અને $m$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
આમ,રેખા હંમેશા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
$x = 0$ થી $P$ નું અંતર $|x|$ છે અને $y = 0$ થી અંતર $|y|$ છે.
આપેલ છે કે અંતરનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે.
ચોરસ એ એક પ્રકારનો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $x+y=a$ ને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,ઉગમબિંદુ અને છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ નીચે મુજબ લખીએ:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$x^2(a^2-4) - 8xy + y^2(a^2-4)=0$
આ લંબ સીધી રેખાઓની જોડી હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4) + (a^2-4) = 0$
$2(a^2-4) = 0$
$a^2 = 4$
$a = \pm 2$
તેથી,$a$ નો જરૂરી ગણ $\{-2, 2\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2-10 x y+12 y^2+5 x-16 y-3=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=\lambda, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ મળે.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(D) આપેલ સંયોજન $C_2H_5-O-CH(CH_3)_2$ બંધારણ ધરાવતું ઈથર છે.
ઈથર માટે $IUPAC$ નામકરણ મુજબ,તેમને આલ્કોક્સીઆલ્કેન તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
મોટા આલ્કાઈલ સમૂહને મુખ્ય આલ્કેન ગણવામાં આવે છે,અને ઓક્સિજન પરમાણુ સાથેના નાના આલ્કાઈલ સમૂહને આલ્કોક્સી સમૂહ તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઈથાઈલ સમૂહ $(C_2H_5-)$ એ આઈસોપ્રોપાઈલ સમૂહ $(-CH(CH_3)_2)$ કરતા નાનો છે,તેથી તેને ઈથોક્સી સમૂહ તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
મુખ્ય શૃંખલા પ્રોપેન છે,અને ઈથોક્સી સમૂહ બીજા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,$IUPAC$ નામ $2-\text{ethoxypropane}$ છે.

(A) Cahn-Ingold-Prelog $(CIP)$ ક્રમ નિયમો અનુસાર,અગ્રતા કાયરલ કેન્દ્ર સાથે સીધા જોડાયેલા પરમાણુના પરમાણુ ક્રમાંક પર આધારિત છે.
$1$. ઉચ્ચ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો પરમાણુ ઉચ્ચ અગ્રતા મેળવે છે.
$2$. કાયરલ કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલા પરમાણુઓની સરખામણી કરતા: $-OH$ માં $O$ (પરમાણુ ક્રમાંક $8$) સૌથી વધુ અગ્રતા ધરાવે છે.
$3$. બાકીના સમૂહો ($-COOH$,$-CHO$,$-CH_2OH$) માટે,જોડાયેલ પરમાણુ $C$ (પરમાણુ ક્રમાંક $6$) છે.
$4$. આપણે પછીના પરમાણુઓને જોઈએ છીએ:
- $-COOH$ માં ($C$ એ દ્વિબંધ સમકક્ષ દ્વારા $O, O, O$ સાથે જોડાયેલ છે),
- $-CHO$ માં ($C$ એ દ્વિબંધ સમકક્ષ દ્વારા $O, O, H$ સાથે જોડાયેલ છે),
- $-CH_2OH$ માં ($C$ એ $O, H, H$ સાથે જોડાયેલ છે).
આમ,ક્રમ $-COOH > -CHO > -CH_2OH$ છે.
તેથી,એકંદર અગ્રતાનો ક્રમ $-OH > -COOH > -CHO > -CH_2OH$ છે.

(D) Cahn-Ingold-Prelog $(CIP)$ અગ્રતાના નિયમો મુજબ,જો ઉચ્ચ અગ્રતા ધરાવતા સમૂહો દ્વિબંધની એક જ બાજુએ હોય તો વિન્યાસ '$Z$' (zusammen) હોય છે,અને જો તેઓ વિરુદ્ધ બાજુએ હોય તો વિન્યાસ '$E$' (entgegen) હોય છે.
સંયોજન $(i)$ માટે:
ડાબો કાર્બન: $Cl > H$ (અગ્રતા).
જમણો કાર્બન: $Br > F$ (અગ્રતા).
ઉચ્ચ અગ્રતા ધરાવતા સમૂહો ($Cl$ અને $Br$) એક જ બાજુએ હોવાથી,તે '$Z$' વિન્યાસ ધરાવે છે.
સંયોજન $(ii)$ માટે:
ડાબો કાર્બન: $Cl > H$ (અગ્રતા).
જમણો કાર્બન: $Br > F$ (અગ્રતા).
ઉચ્ચ અગ્રતા ધરાવતા સમૂહો ($Cl$ અને $Br$) વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,તે '$E$' વિન્યાસ ધરાવે છે.
સંયોજન $(iii)$ માટે:
ડાબો કાર્બન: $Br > Cl$ (અગ્રતા).
જમણો કાર્બન: $CH_3 > H$ (અગ્રતા).
ઉચ્ચ અગ્રતા ધરાવતા સમૂહો ($Br$ અને $CH_3$) એક જ બાજુએ હોવાથી,તે '$Z$' વિન્યાસ ધરાવે છે.
આમ,સંયોજન $(i)$ અને $(iii)$ '$Z$' વિન્યાસ ધરાવે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$1$. કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ $R_e + h$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
$2$. સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $T$ એ પૃથ્વીના દળ $(M)$,કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે કારણ કે $r = R_e + h$.
$3$. આવર્તકાળ $T$ એ ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,આવર્તકાળ (ii),(iii) અને (iv) પર આધાર રાખે છે.

(A) $2$-બ્યુટાઇનનું $Na / NH_3$ (પ્રવાહી) સાથે રિડક્શન (બર્ચ રિડક્શન) હાઇડ્રોજનના એન્ટી-એડિશનને કારણે $E$-નીપજ (ટ્રાન્સ-$2$-બ્યુટીન) આપે છે.
તેનાથી વિપરીત,લિન્ડલરના ઉદ્દીપક $(Pd / BaSO_4 + H_2)$ નો ઉપયોગ કરીને $2$-બ્યુટાઇનનું ઉદ્દીપકીય હાઇડ્રોજનેશન હાઇડ્રોજનના સિન-એડિશનને કારણે $Z$-નીપજ (સીસ-$2$-બ્યુટીન) આપે છે.
આપેલ પ્રક્રિયા યોજના મુજબ:
$Z$-નીપજ $\stackrel{Y}{\longleftarrow} 2$-બ્યુટાઇન $\stackrel{X}{\longrightarrow} E$-નીપજ
તેથી $X$ એ $Na / NH_3$ (પ્રવાહી) અને $Y$ એ $Pd / BaSO_4 + H_2$ છે.

(D) $H_2O_2$ નો ઓક્સિડેશનકર્તા ગુણધર્મ ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે તે ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે,એટલે કે $H_2O_2$ પોતે રિડક્શન પામીને $H_2O$ બનાવે છે ($O$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી ઘટીને $-2$ થાય છે).
વિકલ્પ $D$ માં,$2KI + H_2SO_4 + H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + I_2 + 2H_2O$ માં,$KI$ માં $I$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી વધીને $0$ થાય છે (ઓક્સિડેશન),અને $H_2O_2$ માં $O$ નો ઓક્સિડેશન આંક $-1$ થી ઘટીને $-2$ થાય છે (રિડક્શન).
આમ,$H_2O_2$ ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(B) આપેલ છે કે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ અને નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = 4$ છે.
$\frac{a}{e} = 4$ પરથી,$a = 4 \times e = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ મળે.
તેથી,$a^2 = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 4(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે.

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow C$ એ $f(x) = e^{2 i x} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ. પરંતુ,$f(x + \pi) = e^{2 i (x + \pi)} = e^{2 i x + 2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot e^{2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot 1 = f(x)$. દરેક $x \in R$ માટે $f(x) = f(x + \pi)$ હોવાથી,આ વિધેય અનેક-એક છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ. $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ નો વિસ્તાર એ બધી જ સંકર સંખ્યાઓ $z$ નો ગણ છે જ્યાં $|z| = 1$ (સંકર સમતલમાં એકમ વર્તુળ). સહપ્રદેશ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ $C$ હોવાથી અને વિસ્તાર એ $C$ નો માત્ર એક ઉપગણ (એકમ વર્તુળ) હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) બેરિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ એક પ્રબળ બેઇઝ છે અને તે સંપૂર્ણ રીતે આયનીકરણ પામે છે: $Ba(OH)_2 \rightarrow Ba^{2+} + 2OH^-$.
$Ba(OH)_2$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $= 1 \times 10^{-3} \ M$.
$OH^-$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $= 2 \times 1 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-3} \ M$.
$50 \ mL$ દ્રાવણમાં $50 \ mL$ $H_2O$ ઉમેરતા,કુલ કદ $100 \ mL$ થાય છે.
$OH^-$ ની નવી સાંદ્રતા મંદન સૂત્ર $M_1V_1 = M_2V_2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$(2 \times 10^{-3} \ M) \times (50 \ mL) = M_2 \times (100 \ mL)$.
$M_2 = \frac{2 \times 10^{-3} \times 50}{100} = 1 \times 10^{-3} \ M$.
$pOH = -\log[OH^-] = -\log(1 \times 10^{-3}) = 3$.
$pH = 14 - pOH = 14 - 3 = 11.0$.

(A) $CH_3COONa + H_2O \rightleftharpoons CH_3COOH + NaOH$
ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા નીચેના તબક્કાઓમાં થાય છે:
$CH_3COONa \xrightarrow{\text{આયનીકરણ}} CH_3COO^- + Na^+$
$CH_3COO^- + H_2O \rightleftharpoons CH_3COOH + OH^-$
એસીટેટ આયન $(CH_3COO^-)$ એનાયોનિક જળવિભાજન પામે છે,જેનાથી દ્રાવણમાં $OH^-$ આયનો ઉત્પન્ન થાય છે. $OH^-$ આયનોની વધુ પડતી હાજરીને કારણે,પરિણામી દ્રાવણ થોડું બેઝિક (આલ્કલાઇન) બને છે. તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે તારને શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે વિચલિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે ભાર સંતુલન સ્થિતિ (સૌથી નીચો બિંદુ) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તારમાં તણાવ $T$ એ વજન $mg$ ને સંતુલિત કરે છે અને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
તાર ન તૂટે તે માટે મહત્તમ ખૂણો $\theta$ શોધવો છે. દોલનના સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $T$ મહત્તમ હોય છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,$T = mg + \frac{mv^2}{R}$.
$\theta$ ખૂણેથી મુક્ત કરવાથી સૌથી નીચલા બિંદુ સુધી ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા = મેળવેલી ગતિ ઉર્જા: $mgR(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $mv^2 = 2mgR(1 - \cos \theta)$.
આ કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા: $T = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
આપેલ છે કે $T_{max} = 2940 ~N$ અને $m = 150 ~kg$,$g = 9.8 ~m/s^2$,તેથી $mg = 150 \times 9.8 = 1470 ~N$.
$2940 = 1470(3 - 2 \cos \theta)$.
$2 = 3 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = 0.5$.
$\theta = 60^{\circ}$.

(D) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. તેટલું જ અંતર $s$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,જ્યાં $n = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\mu = \tan \theta \left[1 - \frac{1}{n^2}\right]$ મળે.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $n = 2$ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \tan 45^{\circ} \left[1 - \frac{1}{2^2}\right] = 1 \times \left[1 - \frac{1}{4}\right] = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^5 = 2y^4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$5x^4 = 8y^3 \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{5x^4}{8y^3}$
બિંદુ $(2,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,2)} = \frac{5(2)^4}{8(2)^3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 8} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$.
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
અસ્પર્શકની લંબાઈ $= \frac{2}{5/4} = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$.