MHT CET 2021 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
हमें उस क्षण क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$ है। फलन के प्रांत के लिए $1+x > 0$ होना आवश्यक है,अतः $x > -1$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} \left[ \frac{2x}{2+x} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \left[ \frac{(2+x)(2) - (2x)(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $x^2 > 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x > -1$ के लिए है ($x=0$ को छोड़कर),इसलिए $f'(x) > 0$ की शर्त तब पूरी होती है जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$.
अतः,फलन $(-1, \infty)$ पर वर्धमान है।

(A) हमारे पास $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर $2(x^2-1)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=1$ या $x=-1$.
इन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$x=1$ के लिए,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x=-1$ के लिए,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{3}{1} = 3$.
इन मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) परवलय $y=x^2$ और रेखा $y=x$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं,जिसके लिए $x^2 = x$ रखते हैं।
इससे $x^2 - x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-1) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1$ हैं।
अंतराल $x \in [0, 1]$ के लिए,रेखा $y=x$ परवलय $y=x^2$ के ऊपर स्थित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y=2x-x^2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$0 = 2x - x^2$
$x(2-x) = 0$
अतः,$x=0$ और $x=2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=2$ तक वक्र के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = (4 - \frac{8}{3}) - 0$
$A = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) माना $I = \int_0^1 \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^2}\right) dx$.
गुणधर्म $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$.
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{x-(1-x)}{1+x(1-x)}\right) = \tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(1-x)$.
इसलिए,$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx - \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$.
माना $J = \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $J = \int_0^1 \tan^{-1}(1-(1-x)) dx = \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx$.
अतः,$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx - \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx = 0$.

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अतः,$p \equiv T$ और $(\sim p \vee q) \equiv F$ है।
चूंकि $p \equiv T$,इसलिए $\sim p \equiv F$ होगा।
इस मान को दूसरे कथन में रखने पर: $F \vee q \equiv F$ प्राप्त होता है।
वियोजन (disjunction) के असत्य होने के लिए दोनों घटकों का असत्य होना आवश्यक है,इसलिए $q \equiv F$ है।
अतः,सत्यता मान $p \equiv T$ और $q \equiv F$ हैं।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $E = [(p \wedge \sim q) \vee q] \vee (\sim p \wedge q)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \wedge \sim q) \vee q = (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$।
चूंकि $(\sim q \vee q) = T$ (एक पुनरुक्ति),इसलिए हमारे पास $(p \vee q) \wedge T = p \vee q$ है।
अब,व्यंजक $E = (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम का फिर से उपयोग करते हुए,$(p \vee q) \vee (\sim p \wedge q) = (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$।
चूंकि $(p \vee \sim p) = T$,इसलिए हमारे पास $(T \vee q) \wedge (p \vee q) = T \wedge (p \vee q) = p \vee q$ है।
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है।

(D) माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है।
ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
दिया गया है कि ढालों का अनुपात $m_1:m_2 = 5:3$ है,इसलिए $m_1 = 5k$ और $m_2 = 3k$ लें।
अतः $m_1+m_2 = 8k = -\frac{2h}{b} \Rightarrow k = -\frac{h}{4b}$.
और $m_1m_2 = 15k^2 = \frac{a}{b}$.
$k$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर: $15(-\frac{h}{4b})^2 = \frac{a}{b}$.
$15 \times \frac{h^2}{16b^2} = \frac{a}{b}$.
$\frac{15h^2}{16b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{16}{15}$.
अतः,$h^2:ab$ का अनुपात $16:15$ है।

(C) दिया गया है कि $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y), \sin (x+y-z)$ $AP$ में हैं।
अतः,$2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$.
इस समीकरण को हल करने और $\cos x \cos y \cos z$ से विभाजित करने पर,
$2 \tan y = \tan x + \tan z$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक जनसंख्या $P$ है और वृद्धि की दर $8 \%$ प्रति वर्ष है।
जनसंख्या वृद्धि का प्रतिनिधित्व करने वाला अवकल समीकरण $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int 0.08 dt$,जिससे $\log P = 0.08 t + C$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$ है,तो जनसंख्या $P_0$ है,इसलिए $C = \log P_0$।
इस प्रकार,$\log P = 0.08 t + \log P_0$,या $\log \left( \frac{P}{P_0} \right) = 0.08 t$।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2 P_0$,इसलिए $\log 2 = 0.08 t$।
दिया गया है कि $\log 2 = 0.6912$,इसलिए $0.6912 = 0.08 t$।
अतः,$t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64 \text{ वर्ष}$।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0, \bar{b} \cdot \bar{c} = 0, \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ और परिमाण $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=3$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a}+\bar{b}+\bar{c} \quad \bar{b}-\bar{a} \quad \bar{c}] = (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot ((\bar{b}-\bar{a}) \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित है।
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर: $(\bar{b}-\bar{a}) \times \bar{c} = (\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c})$।
अब,डॉट गुणनफल: $(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c}))$।
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,$\bar{b} \times \bar{c}$ सदिश $\bar{a}$ के समानांतर है और $\bar{a} \times \bar{c}$ सदिश $\bar{b}$ के समानांतर है।
विशेष रूप से,$\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ और $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = -[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$।
व्यंजक का सरलीकरण: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{c})$।
$\bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ और $\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$ होता है।
इस प्रकार,हमें $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] - (-[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]) = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ प्राप्त होता है।
परस्पर लंबवत होने के कारण,$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b}| |\bar{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$।
अतः,$2 \times 6 = 12$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2, |\vec{c}|=3$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.
अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{x} \quad \vec{y} \quad \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हमें $[\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \quad \vec{b}-\vec{a} \quad \vec{c}] = ((\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{b}-\vec{a})) \cdot \vec{c}$ का मान ज्ञात करना है।
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{b}-\vec{a}) = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}$.
चूंकि $\vec{x} \times \vec{x} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,हमें प्राप्त होता है $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{a} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}$.
अब,$\vec{c}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर: $(2(\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}$.
यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0$.
इस प्रकार,व्यंजक $2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 2[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत हैं,$[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
अतः,परिणाम $2 \times 6 = 12$ है।

(C) अवधारणा: संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{q^2}{2C}$
जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
माना मूल आवेश $q$ है। प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $\Delta q = 2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $(q + 2)$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U'$ को $U' = U + 21\% \text{ of } U = 1.21U$ के रूप में दिया गया है।
ऊर्जा के सूत्र में मान रखने पर:
$1.21 \left( \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{(q + 2)^2}{2C}$
$1.21 q^2 = (q + 2)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{1.21} q = q + 2$
$1.1q = q + 2$
$0.1q = 2$
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.
अतः,संधारित्र पर मूल आवेश $20 \ C$ है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ है।
माना मूल आवेश $q$ है। मूल ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $(q + 2) \ C$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U'$,मूल ऊर्जा से $21 \%$ अधिक है,इसलिए $U' = U + 0.21U = 1.21U$ है।
ऊर्जा के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$।
दोनों पक्षों से $2C$ को हटाने पर,हमें $(q + 2)^2 = 1.21q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $q + 2 = 1.1q$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1.1q - q = 2$,जिससे $0.1q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$।

(B) मान लीजिए कि कुल धारा $I = 2.1 \text{ A}$ बिंदु $P$ पर प्रवेश करती है और बिंदु $R$ से बाहर निकलती है। मान लीजिए कि शाखा $PQ$ से बहने वाली धारा $i$ है। तो शाखा $QR$ से बहने वाली धारा भी $i$ होगी।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हुए:
दोनों समानांतर पथों $PQR$ और $PSR$ के लिए $P$ और $R$ के बीच विभवांतर समान है।
पथ $PQR$ के लिए,कुल प्रतिरोध $R_1 = 5 \Omega + 1 \Omega = 6 \Omega$ है।
पथ $PSR$ के लिए,कुल प्रतिरोध $R_2 = 12.5 \Omega + 2.5 \Omega = 15 \Omega$ है।
मान लीजिए कि पथ $PQR$ से बहने वाली धारा $i_1$ है और पथ $PSR$ से बहने वाली धारा $i_2$ है।
चूंकि $i_1 + i_2 = 2.1 \text{ A}$ और $i_1 R_1 = i_2 R_2$:
$i_1 (6) = i_2 (15) \Rightarrow i_2 = \frac{6}{15} i_1 = 0.4 i_1$.
कुल धारा के समीकरण में मान रखने पर:
$i_1 + 0.4 i_1 = 2.1 \text{ A} \Rightarrow 1.4 i_1 = 2.1 \text{ A} \Rightarrow i_1 = \frac{2.1}{1.4} = 1.5 \text{ A}$.
अतः,$1 \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $1.5 \text{ A}$ है।

(D) '$R$' त्रिज्या वाली बड़ी कुंडली द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि '$r$' त्रिज्या वाली छोटी कुंडली को केंद्र पर रखा गया है और $R \gg r$ है,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) \times (\pi r^2) = \frac{\mu_0 \pi r^2 I}{2R}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\phi$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$ प्राप्त होता है।
अतः,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$,$\frac{r^2}{R}$ के समानुपाती है।

(B) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n \propto \sqrt{g}$,इसलिए नई आवृत्ति $n'$ और मूल आवृत्ति $n$ का अनुपात $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{g'}{g}}$ होगा।
$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$d = \frac{R}{2}$ रखने पर,$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{g/2}{g}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,नई आवृत्ति $n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$ होगी।

(B) एक आदर्श गैस की प्रति मोल गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} R T$ होता है।
यहाँ,$E$ प्रति मोल गतिज ऊर्जा है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$R = \frac{2 E}{3 T}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग बैग के वजन के बराबर होती है,$W = mg = 49 ~N$।
$g = 9.8 ~m/s^2$ लेते हुए,बैग का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 ~kg$ है।
जब लिफ्ट $a = 5 ~m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर चलती है,तो आभासी वजन $W'$ सूत्र $W' = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $W' = 5 \times (9.8 - 5) = 5 \times 4.8 = 24 ~N$।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग $24 ~N$ होगी।

(C) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,बल आकर्षक है। मान लीजिए प्रारंभिक बल $F = k \frac{I_1 I_2}{d}$ है,जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2 \pi}$ है।
नई स्थिति में,एक चालक में धारा $2I_1$ (या $2I_2$) हो जाती है और दिशा उलट दी जाती है,जिससे बल प्रतिकारक (ऋणात्मक चिह्न) हो जाता है।
नई दूरी $d' = 3d$ है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = -k \frac{(2I_1) I_2}{3d} = -\frac{2}{3} \left( k \frac{I_1 I_2}{d} \right) = -\frac{2}{3} F$।

(C) '$m$' द्रव्यमान का एक कण जो '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में '$\omega$' कोणीय गति से घूम रहा है,उसका कोणीय संवेग $L = I\omega = (mr^2)\omega$ होता है।
परिक्रमण करते आवेश से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण $M = IA$ होता है,जहाँ $I$ समतुल्य धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi/\omega} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{1}{2}q\omega r^2$.
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2}q\omega r^2}{mr^2\omega} = \frac{q}{2m}$ होता है।
अतः,यह अनुपात केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।

(C) माना पारे का पृष्ठ तनाव $T$ है।
संलयन से पहले कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_1)$: चूंकि $R$ त्रिज्या की दो बूंदें हैं,$E_1 = 2 \times (4 \pi R^2 T) = 8 \pi R^2 T$।
माना नई बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है। आयतन संरक्षण के नियम से: $\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$,जिससे $R'^3 = 2R^3$ या $R' = 2^{1/3} R$ प्राप्त होता है।
संलयन के बाद कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_2)$: $E_2 = 4 \pi R'^2 T = 4 \pi (2^{1/3} R)^2 T = 4 \pi (2^{2/3}) R^2 T$।
पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{8 \pi R^2 T}{4 \pi (2^{2/3}) R^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ है।
अतः,अनुपात $2^{1/3} : 1$ है।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ होगा।
माना प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = h$ और प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ है। नई ऊँचाई $h_2$ और नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{h_2}{h} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$।
इसलिए,$h_2 = 3h$।

(B) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $h \propto \frac{1}{r}$।
यदि त्रिज्या $r_1 = r$ से बदलकर $r_2 = \frac{r}{3}$ हो जाती है,तो नई ऊँचाई $h_2 = h_1 \times \frac{r_1}{r_2} = h \times \frac{r}{r/3} = 3h$ होगी।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
पहली नली के लिए,$m_1 = \pi r^2 h \rho = m$।
दूसरी नली के लिए,$m_2 = \pi (r_2)^2 h_2 \rho = \pi (\frac{r}{3})^2 (3h) \rho$।
$m_2 = \pi (\frac{r^2}{9}) (3h) \rho = \frac{1}{3} \pi r^2 h \rho$।
अतः,$m_2 = \frac{m}{3}$।

(A) पिंड $B$ के लिए,तय की गई दूरी $x = V t$ है।
पिंड $A$ के लिए,विरामावस्था से शुरू करते हुए,तय की गई दूरी $x = \frac{1}{2} a t^2$ है।
चूंकि वे एक ही बिंदु से शुरू करते हैं और $t$ समय पर मिलते हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए:
$\frac{1}{2} a t^2 = V t$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $t \neq 0$):
$\frac{1}{2} a t = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 15 ~m/s$,त्वरण $a = -0.3 ~m/s^2$,समय $t = 60 ~s$।
सबसे पहले,वाहन को रुकने में लगा समय ज्ञात करते हैं: $v = u + at \implies 0 = 15 - 0.3t \implies t = 50 ~s$।
चूंकि ड्राइवर $60 ~s$ तक ब्रेक लगाता है,वाहन $50 ~s$ पर रुक जाएगा और शेष $10 ~s$ के लिए स्थिर रहेगा।
$50 ~s$ में तय की गई दूरी: $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 15(50) + \frac{1}{2}(-0.3)(50)^2 = 750 - 375 = 375 ~m$।
ट्रैफिक लाइट से दूरी $= 400 ~m - 375 ~m = 25 ~m$।

(B) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर $v$ चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण $a$ सूत्र $a = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ स्थिर रहती है,इसलिए त्वरण चाल के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है: $a \propto v^2$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक चाल $v_1 = v$ है और प्रारंभिक त्वरण $a_1 = a = \frac{v^2}{R}$ है।
जब चाल को दोगुना किया जाता है,तो नई चाल $v_2 = 2v$ हो जाती है।
नया त्वरण $a_2$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $a_2 = \frac{(2v)^2}{R} = \frac{4v^2}{R} = 4a$।
इसलिए,परिवर्तन के बाद के त्वरण और परिवर्तन से पहले के त्वरण का अनुपात है: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{4a}{a} = \frac{4}{1}$।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(A) $S.H.M.$ की आवृत्ति $f = 5 \ Hz$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s$ है।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,जिसका अर्थ है कि संतुलन स्थिति में विस्तार दोलन के आयाम $A$ के बराबर है।
अतः,$A = \Delta l = \frac{mg}{k}$ है।
चूंकि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $\frac{g}{\omega^2} = \frac{mg}{k} = A$ है।
मान रखने पर: $A = \frac{10}{(10\pi)^2} = \frac{10}{100\pi^2} = \frac{1}{10\pi^2} \ m$ प्राप्त होता है।
अधिकतम गति $V_{\max} = A\omega$ द्वारा दी जाती है।
$V_{\max} = \left(\frac{1}{10\pi^2}\right) \times (10\pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$।

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 ~kg \cdot m^2$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K.E. = 1500 ~J$,कोणीय त्वरण $\alpha = 25 ~rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$।
चरण $1$: घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करके अंतिम कोणीय वेग $\omega$ की गणना करें:
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$
$1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$
$1500 = 0.6 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$
$\omega = 50 ~rad/s$।
चरण $2$: घूर्णन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करके समय $t$ की गणना करें:
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$50 = 0 + 25 \times t$
$t = \frac{50}{25} = 2 ~s$।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
व्यास के परितः घूमते हुए ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ है।
अतः,$K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} M R^2 \right) \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$।
ज्यामितीय अक्ष के परितः घूमते हुए ठोस बेलन के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ है।
दिया गया है कि $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,इसलिए गतिज ऊर्जा $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} M R^2 \right) (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$।
अनुपात $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ है।

(A) किसी वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $I$,उसके द्रव्यमान $m$ और घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में $I = mK^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय वेग $\omega$ से $L = I\omega$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $L = (mK^2)\omega$ प्राप्त होता है।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega = \frac{L}{mK^2}$ प्राप्त होता है।

(B) यह परिपथ दो $NOT$ गेट ($G1$ और $G2$) से बना है,जिसके बाद एक $NOR$ गेट लगा है। $NOT$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। अतः,$NOT$ गेट के आउटपुट $C = \overline{A}$ और $D = \overline{B}$ हैं। इन्हें $NOR$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{C+D}$ द्वारा दिया जाता है। $C$ और $D$ के मान रखने पर,हमें $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ प्राप्त होता है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$। यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है। सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$C=\overline{A}$	$D=\overline{B}$	$Y=\overline{C+D}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

(C) एक पूर्णतः कृष्णिका को एक ऐसे आदर्श पिंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी तरंगदैर्घ्य के सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेता है।
किरचॉफ के ऊष्मीय विकिरण के नियम के अनुसार,ऊष्मीय साम्यावस्था में किसी भी पिंड के लिए,उसकी उत्सर्जकता $(e)$ उसकी अवशोषकता $(a)$ के बराबर होती है।
चूंकि एक पूर्णतः कृष्णिका की अवशोषकता $a = 1$ होती है,इसलिए उसकी उत्सर्जकता भी $e = 1$ होनी चाहिए।
अतः,एक पूर्णतः कृष्णिका के लिए उत्सर्जन गुणांक का मान इकाई (unity) होता है।

(B) केल्विन $(T_K)$ और सेल्सियस $(T_C)$ में तापमान के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T_K = T_C + 273$
यहाँ $T_C = -197^{\circ} C$ दिया गया है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T_K = -197 + 273$
$T_K = 76 ~K$

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि अंतिम आयतन $V_2 = V_1 / 8$,इसलिए अनुपात $V_1 / V_2 = 8$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $32$ है।

(D) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,विशिष्ट ऊष्मा के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$
यह दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ है,इसलिए हम $C_p = \gamma C_v$ लिख सकते हैं।
इस मान को मेयर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $C_v(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(B) दिया गया है:
स्लिट के बीच की दूरी $d = 1 ~mm = 10^{-3} ~m$
स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी $D = 1.33 ~m$
पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33$
हवा में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6300 ~Å = 6.3 \times 10^{-7} ~m$
पानी में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_w = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6.3 \times 10^{-7}}{1.33} ~m$ होगी।
फ्रिंज की चौड़ाई $X$ का सूत्र:
$X = \frac{\lambda_w D}{d}$
मान रखने पर:
$X = \frac{(6.3 \times 10^{-7} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$X = \frac{6.3 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 6.3 \times 10^{-4} ~m$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $6.3 \times 10^{-4} ~m$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है,इसलिए $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ है,इसलिए कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{I}{I_0} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
दिया गया है $Y_1 = 0.25 \sin 316 t$,अतः $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ है।
इसलिए,$2 \pi f_1 = 316 \implies f_1 = \frac{316}{2 \pi} = \frac{158}{\pi} \text{ Hz}$ है।
दिया गया है $Y_2 = 0.25 \sin 310 t$,अतः $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ है।
इसलिए,$2 \pi f_2 = 310 \implies f_2 = \frac{310}{2 \pi} = \frac{155}{\pi} \text{ Hz}$ है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\text{विस्पंद आवृत्ति} = f_1 - f_2 = \frac{158}{\pi} - \frac{155}{\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$।

(A) हाइड्रोक्लोरिक एसिड $(HCl)$ की उपस्थिति में बेंजीन डायज़ोनियम क्लोराइड की क्यूप्रस क्लोराइड $(CuCl)$ के साथ अभिक्रिया करके क्लोरोबेंजीन बनाने की प्रक्रिया को सैंडमेयर अभिक्रिया कहा जाता है।
इस अभिक्रिया में,डायज़ोनियम समूह $(-N_2^+Cl^-)$ को क्लोरीन परमाणु द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

(A) दी गई अभिक्रिया एक वुर्ट्ज़ अभिक्रिया है: $2R-Cl + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} R-R + 2NaCl$.
'$A$' को खोजने के लिए,हम उत्पाद $3,4-$डाइएथिल$-3,4-$डाइमेथिलहेक्सेन को $C3$ और $C4$ के बीच के बंध से विभाजित करते हैं।
उत्पाद $CH_3CH_2-C(CH_3)(CH_2CH_3)-C(CH_3)(CH_2CH_3)-CH_2CH_3$ है।
इसे केंद्रीय $C-C$ बंध से विभाजित करने पर दो समान टुकड़े प्राप्त होते हैं: $CH_3CH_2-C(CH_3)(CH_2CH_3)-$.
रेडिकल को क्लोरीन परमाणु से प्रतिस्थापित करने पर $CH_3CH_2-C(Cl)(CH_3)-CH_2CH_3$ प्राप्त होता है,जो $3-$क्लोरो$-3-$मेथिलपेंटेन है।

(C) वह अभिक्रिया जो जिंक अमलगम $(Zn-Hg)$ और सांद्र हाइड्रोक्लोरिक अम्ल $(HCl)$ का उपयोग करके एल्डिहाइड और कीटोन के कार्बोनिल समूह $(>C=O)$ को मेथिलीन समूह $(>CH_2)$ में परिवर्तित करती है,उसे क्लीमेंसन अपचयन कहा जाता है।
सामान्य अभिक्रिया इस प्रकार है:
$R-CO-R' \xrightarrow{Zn-Hg/HCl} R-CH_2-R'$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) वुर्ट्ज़ अभिक्रिया में सोडियम धातु की उपस्थिति में दो एल्किल हैलाइड अणुओं का युग्मन होकर एक सममित एल्केन बनता है।
$2,2,3,3-$टेट्रामिथाइल ब्यूटेन प्राप्त करने के लिए,हमें उस एल्किल समूह की पहचान करनी होगी जो दोगुना होने पर यह संरचना बनाता है।
$2,2,3,3-$टेट्रामिथाइल ब्यूटेन की संरचना $(CH_3)_3C-C(CH_3)_3$ है।
इस अणु को केंद्रीय $C-C$ बंध पर तोड़ने से दो $(CH_3)_3C-$ समूह प्राप्त होते हैं।
अतः,आवश्यक एल्किल हैलाइड $tert-$ब्यूटाइल ब्रोमाइड,$(CH_3)_3C-Br$ है।

(C) शुष्क ईथर की उपस्थिति में सोडियम धातु के साथ एराइल हैलाइड (जैसे क्लोरोबेंजीन) के दो अणुओं की अभिक्रिया द्वारा डायराइल यौगिक (जैसे बाइफिनाइल) बनने की प्रक्रिया को फिटिंग अभिक्रिया कहा जाता है।
रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$2C_6H_5Cl + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} C_6H_5-C_6H_5 + 2NaCl$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एल्किल क्लोराइड या एल्किल ब्रोमाइड का एल्किल आयोडाइड में परिवर्तन फिंकेलस्टीन अभिक्रिया कहलाता है।
इस अभिक्रिया में,एल्किल हैलाइड को शुष्क एसीटोन की उपस्थिति में सोडियम आयोडाइड $(NaI)$ के साथ उपचारित किया जाता है।
अभिक्रिया है: $R-X + NaI \xrightarrow{\text{dry acetone}} R-I + NaX$ (जहाँ $X = Cl, Br$)।

(A) $2-$Methylhexan$-3-$ol का सांद्र $H_2SO_4$ के साथ निर्जलीकरण एक कार्बोनियम आयन मध्यवर्ती के माध्यम से होता है।
प्रोटॉन के निष्कासन पर,विभिन्न एल्कीन बन सकते हैं।
ज़ेटसेफ (Saytzeff) नियम के अनुसार,अधिक प्रतिस्थापित एल्कीन मुख्य उत्पाद होता है।
$2-$Methylhexan$-3-$ol के निर्जलीकरण से $2-$Methylhex$-2-$ene मुख्य उत्पाद के रूप में प्राप्त होता है क्योंकि यह एक ट्राई-प्रतिस्थापित एल्कीन है,जो डाई-प्रतिस्थापित $2-$Methylhex$-3-$ene की तुलना में अधिक स्थिर है।

(A) चरण $1$: $623 \ K$ पर $Al_2O_3$ के साथ $Propan-1-ol$ का निर्जलीकरण करने पर प्रोपीन $(A)$ उत्पाद के रूप में प्राप्त होता है।
$CH_3-CH_2-CH_2-OH \xrightarrow[623 \ K]{Al_2O_3} CH_3-CH=CH_2 (A)$
चरण $2$: प्रोपीन में $conc. H_2SO_4$ का योग $Markovnikov$ नियम का पालन करता है जिससे आइसोप्रोपिल हाइड्रोजन सल्फेट बनता है,जो जल $(H_2O, \Delta)$ के साथ जल-अपघटन पर $Propan-2-ol$ $(B)$ देता है।
$CH_3-CH=CH_2$ $\xrightarrow{conc. H_2SO_4} CH_3-CH(OSO_3H)-CH_3$ $\xrightarrow{H_2O, \Delta} CH_3-CH(OH)-CH_3 (B)$
अतः,अंतिम उत्पाद $B$,$Propan-2-ol$ है।

(A) टर्शियरी ब्यूटाइल ब्रोमाइड $(CH_3)_3C-Br$ एक टर्शियरी एल्काइल हैलाइड है। जब यह $NH_3$ के अल्कोहलिक विलयन के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह विहाइड्रोहैलोजनीकरण अभिक्रिया ($\alpha, \beta-$विलोपन) से गुजरता है।
इस अभिक्रिया में,क्षार (अमोनिया) $\beta-$कार्बन से एक प्रोटॉन को हटाता है,जिससे $HBr$ का विलोपन होता है और एक एल्कीन का निर्माण होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $(CH_3)_3C-Br \xrightarrow{alc. NH_3} CH_3-C(CH_3)=CH_2 + HBr$।
प्राप्त उत्पाद $2-$मिथाइलप्रोपीन है।

(B) चरण $1$: $623 \ K$ पर $Al_2 O_3$ के साथ $CH_3-CH_2-CH_2-OH$ (प्रोपेन$-1-$ऑल) का निर्जलीकरण करने पर $A$ प्राप्त होता है,जो प्रोपीन $(CH_3-CH=CH_2)$ है।
चरण $2$: प्रोपीन सांद्र $H_2 SO_4$ के साथ अभिक्रिया करता है और उसके बाद मार्कोवनिकोव नियम के अनुसार जलयोजन $(H_2 O)$ होता है।
चरण $3$: अभिक्रिया इस क्रियाविधि का पालन करती है: $CH_3-CH=CH_2 + H_2 SO_4$ $\rightarrow CH_3-CH(OSO_3 H)-CH_3$ $\xrightarrow{H_2 O} CH_3-CH(OH)-CH_3$ (प्रोपेन$-2-$ऑल)।
अतः,उत्पाद $B$ प्रोपेन$-2-$ऑल है।

(D) दी गई अभिक्रिया एक फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन अभिक्रिया है।
इस अभिक्रिया में,क्लोरोबेंजीन निर्जलीय लुईस अम्ल उत्प्रेरक जैसे $AlCl_3$ की उपस्थिति में एक एसाइलेटिंग एजेंट के साथ अभिक्रिया करता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$\text{क्लोरोबेंजीन} + CH_3COCl \xrightarrow[anhydrous]{AlCl_3} 2-\text{क्लोरोएसीटोफेनोन} + 4-\text{क्लोरोएसीटोफेनोन}$
यहाँ,अभिकारक $(A)$ एसीटाइल क्लोराइड $(CH_3COCl)$ है।

(B) जब क्लोरोबेंजीन को सांद्र $HNO_3$ और $H_2SO_4$ के मिश्रण के साथ उपचारित किया जाता है,तो यह इलेक्ट्रोफिलिक एरोमैटिक प्रतिस्थापन (नाइट्रेशन) अभिक्रिया करता है।
चूंकि क्लोरीन परमाणु ऑर्थो/पैरा-निर्देशी होता है,इसलिए अभिक्रिया $2-$क्लोरोनाइट्रोबेंजीन और $4-$क्लोरोनाइट्रोबेंजीन का मिश्रण प्रदान करती है।

(C) $Toluene$ की $Chromyl chloride$ $(CrO_2Cl_2)$ के साथ $Carbon disulfide$ $(CS_2)$ की उपस्थिति में अभिक्रिया,जिसके बाद अम्ल जल-अपघटन $(H_3O^+)$ द्वारा $Benzaldehyde$ प्राप्त होता है,उसे $Etard reaction$ कहा जाता है।

(D) जब एथिल बेंजीन को $HNO_3$ या $KMnO_4$ जैसे प्रबल ऑक्सीकरण एजेंटों के साथ उपचारित किया जाता है,तो बेंजीन रिंग से जुड़ी अल्काइल साइड चेन ऑक्सीकृत होकर कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ में बदल जाती है।
इस प्रकार,एथिल बेंजीन का प्रबल ऑक्सीकरण होकर बेंजोइक एसिड बनता है।

(A) $N_2O_5$ नाइट्रोजन का एक अधात्विक ऑक्साइड है जो उच्च ऑक्सीकरण अवस्था $(+5)$ में है,जो इसे प्रकृति में अम्लीय बनाता है।
$NO$ एक उदासीन ऑक्साइड है।
$Na_2O$ एक धात्विक ऑक्साइड है,जो इसे प्रकृति में क्षारीय बनाता है।
$CO$ एक उदासीन ऑक्साइड है।

(A) सेलेनियम दो अपररूपों में मौजूद होता है: लाल (अधात्विक) और ग्रे (धात्विक)।

(C) $SO_2$ का उपयोग खाद्य परिरक्षक के रूप में,एंटीक्लोर के रूप में और $H_2SO_4$ के निर्माण में किया जाता है।
हालाँकि,$SO_2$ सांद्र $H_2SO_4$ के साथ ओलियम नहीं बनाता है।
ओलियम $(H_2S_2O_7)$ सल्फर ट्राइऑक्साइड $(SO_3)$ की सांद्र $H_2SO_4$ के साथ अभिक्रिया से बनता है।

(C) मस्टर्ड गैस,जिसे सल्फर मस्टर्ड के रूप में भी जाना जाता है,का रासायनिक सूत्र $S(CH_2CH_2Cl)_2$ है।
यह एक शक्तिशाली वेसिकेंट रासायनिक युद्ध एजेंट है जो त्वचा,आंखों और श्वसन पथ में गंभीर छाले और जलन पैदा करता है।

(C) कमरे के तापमान पर $F_2$ और $Cl_2$ गैसें हैं,$Br_2$ एक तरल है और $I_2$ तथा $At$ ठोस हैं। इसलिए,सही उत्तर $Bromine$ है।

(C) $IF_3$ (आयोडीन ट्राइफ्लोराइड) एक अंतर-हैलोजन यौगिक है।
यह कमरे के तापमान पर एक पीले रंग का ठोस पदार्थ है,जबकि $ClF$,$IF_7$ और $ClF_3$ रंगहीन गैसें हैं।

(C) हाइड्रोजन हैलाइड की अम्लीय शक्ति $H-X$ बंध की बंध वियोजन एन्थैल्पी पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे हम समूह में $F$ से $I$ की ओर नीचे जाते हैं,परमाणु का आकार बढ़ता है,जिससे बंध वियोजन एन्थैल्पी कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,$H^{+}$ आयन को मुक्त करने की सुगमता समूह में नीचे की ओर बढ़ती है।
इसलिए,अम्लीय शक्ति का क्रम $HF < HCl < HBr < HI$ है।
अतः,$HF$ की अम्लीय शक्ति सबसे कम होती है।

(C) दिए गए अम्लों में $Cl$ की ऑक्सीकरण अवस्थाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. हाइपोक्लोरस अम्ल $(HClO)$: $+1$
$2$. क्लोरस अम्ल $(HClO_2)$: $+3$
$3$. क्लोरिक अम्ल $(HClO_3)$: $+5$
$4$. परक्लोरिक अम्ल $(HClO_4)$: $+7$
अतः,परक्लोरिक अम्ल $(HClO_4)$ में $Cl$ परमाणु $+7$ की उच्चतम ऑक्सीकरण अवस्था में है।

(C) समूह में नीचे जाने पर आयनन एन्थैल्पी घटती है और दी गई उत्कृष्ट गैसों में $Xe$ की आयनन एन्थैल्पी सबसे कम है।
इस कम आयनन ऊर्जा के कारण,$Xe$ फ्लोरीन के साथ अभिक्रिया करके $XeF_2$,$XeF_4$ और $XeF_6$ जैसे स्थिर क्रिस्टलीय फ्लोराइड आसानी से बना सकता है।

(C) आर्गन का उपयोग विशेष मिश्र धातुओं की वेल्डिंग के साथ-साथ ऑटोमोबाइल फ्रेम,मफलर और अन्य ऑटोमोटिव भागों की वेल्डिंग में किया जाता है। इसे शील्ड गैस कहा जाता है क्योंकि यह वेल्डिंग प्रक्रिया के आसपास मौजूद गैसों और धातुओं के साथ प्रतिक्रिया नहीं करती है। यह केवल स्थान घेरती है और $N_2$ तथा $O_2$ जैसी प्रतिक्रियाशील गैसों के कारण होने वाली अवांछित प्रतिक्रियाओं को रोकती है।

(C) इलेक्ट्रिक बल्ब में फिलामेंट टंगस्टन का बना होता है,जो हवा में मौजूद ऑक्सीजन के संपर्क में आने पर जल्दी जल जाता है।
यही कारण है कि $Ar$ और $N_2$ जैसी अक्रिय गैसों का उपयोग इलेक्ट्रिक बल्ब भरने के लिए किया जाता है।
ये गैसें रासायनिक रूप से निष्क्रिय होती हैं और टंगस्टन फिलामेंट के ऑक्सीकरण को रोकती हैं,जिससे बल्ब का जीवनकाल बढ़ जाता है।

(A) सिनेमा फिल्मों के निर्माण में अर्ध-संश्लेषित बहुलक (जैसे सेलुलोज एसीटेट) का उपयोग किया जाता है।

(C) टेट्राफ्लोरोएथिलीन का बहुलकीकरण करके पॉलीटेट्राफ्लोरोएथिलीन $(PTFE)$ बनाने के लिए उच्च दबाव पर अमोनियम पर्सल्फेट या हाइड्रोजन पेरोक्साइड जैसे मुक्त मूलक आरंभक का उपयोग किया जाता है।

(A) $\varepsilon$-कैप्रोलैक्टम विनाइल बहुलकीकरण नहीं करता है।
यह रिंग-ओपनिंग बहुलकीकरण के माध्यम से नायलॉन-$6$ बनाता है।

(C) $Nylon-6$ को उच्च तापमान पर पानी के साथ कैप्रोलैक्टम को गर्म करके तैयार किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,कैप्रोलैक्टम की वलय (ring) खुलकर एमिनोकैप्रोइक एसिड बनाती है,जो बाद में बहुलकीकरण (polymerization) द्वारा $Nylon-6$ बनाती है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$\text{Caprolactam}$ $\xrightarrow{H_2O, \text{Heat}} H_2N-(CH_2)_5-COOH$ $\xrightarrow{\text{Heat}} (-NH-(CH_2)_5-CO-)_n \text{ (Nylon-6)}$

(C) पॉलिएक्रिलामाइड एक सिंथेटिक बहुलक है जो पॉलिमराइजेशन के दौरान एक क्रॉस-लिंक्ड जेल संरचना बनाता है। इस जेल का उपयोग इलेक्ट्रोफोरेसिस में प्रोटीन और न्यूक्लिक एसिड जैसे जैविक अणुओं को उनके आकार और आवेश के आधार पर अलग करने के लिए किया जाता है।

(C) $Buna-N$,$1,3-butadiene$ और $acrylonitrile$ का एक सिंथेटिक रबर कोपोलिमर है। यह पेट्रोल,लुब्रिकेटिंग ऑयल और कार्बनिक सॉल्वैंट्स के प्रति अत्यधिक प्रतिरोधी है। इन गुणों के कारण,इसका उपयोग मुख्य रूप से ऑयल सील,टैंक लाइनिंग और एडहेसिव्स (चिपकने वाले पदार्थ) बनाने में किया जाता है।

(A) $Polyvinyl$ $chloride$ $(PVC)$ एक बहुलक है जो $vinyl$ $chloride$ मोनोमर के बहुलकीकरण (polymerization) द्वारा बनता है। $vinyl$ $chloride$ का रासायनिक सूत्र $CH_2=CHCl$ है। बहुलकीकरण अभिक्रिया इस प्रकार है:
$n(CH_2=CHCl) \xrightarrow{\text{catalyst}} -[CH_2-CHCl]_n-$

(A) होमोपॉलिमर वह पॉलिमर है जो केवल एक प्रकार की मोनोमर इकाइयों से बनता है।
$Teflon$ टेट्राफ्लुओरोएथीन $(CF_2=CF_2)$ का होमोपॉलिमर है।
नायलॉन $2-$नायलॉन $6$,$PHBV$,और बेकेलाइट कोपॉलिमर हैं क्योंकि वे दो या दो से अधिक विभिन्न प्रकार की मोनोमर इकाइयों से बनते हैं।

(C) वल्केनाइजेशन की प्रक्रिया में,रबर में सल्फर $(S)$ मिलाया जाता है ताकि पॉलीमर श्रृंखलाओं के बीच क्रॉसलिंक्स बन सकें,जो रबर के यांत्रिक गुणों में सुधार करता है। इसलिए,$S$ ही $SBR$ रबर के वल्केनाइजेशन में क्रॉसलिंक्स बनाता है।

(D) नियोप्रीन एक सिंथेटिक रबर है जो क्लोरोप्रीन ($2$-क्लोरो-$1,3$-ब्यूटाडाइन) के मुक्त-मूलक बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
यह एक योगात्मक बहुलक है,न कि संघनन बहुलक।
यह पेट्रोलियम,वनस्पति तेलों और प्रकाश के प्रति अत्यधिक प्रतिरोधी है।
इसलिए,यह कथन कि यह एक संघनन बहुलक है,गलत है।

(D) $\varepsilon$-कैप्रोलैक्टम से प्राप्त बहुलक नायलॉन-$6$ है।
जब $\varepsilon$-कैप्रोलैक्टम को उच्च तापमान पर पानी के साथ गर्म किया जाता है,तो यह रिंग-ओपनिंग पॉलीमराइजेशन के माध्यम से नायलॉन-$6$ बनाता है।

(C) को-पॉलिमर वह बहुलक है जो दो या दो से अधिक विभिन्न प्रकार की मोनोमर इकाइयों से बनता है।
ब्यूना-$S$,$1,3-$ब्यूटाडाईन और स्टाइरीन के बहुलकीकरण द्वारा बनने वाला एक को-पॉलिमर है।

(B) $PVC$ (पॉलीविनाइल क्लोराइड) का उपयोग इसकी मजबूती और रासायनिक प्रतिरोध के कारण फर्श की टाइलें,पाइप और विभिन्न निर्माण सामग्री बनाने में व्यापक रूप से किया जाता है।

(C) Buna-$S$,$1,3-$ब्यूटाडाईन और स्टाइरीन का एक सह-बहुलक (copolymer) है।
यह $1,3-$ब्यूटाडाईन और स्टाइरीन के $3:1$ अनुपात में बहुलकीकरण (polymerization) द्वारा प्राप्त किया जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$nCH_2=CH-CH=CH_2 + nC_6H_5CH=CH_2 \xrightarrow{\text{Polymerization}} (-CH_2-CH=CH-CH_2-CH(C_6H_5)-CH_2-)_n$

(B) $SBR$ (स्टाइरीन-ब्यूटाडीन रबर) का उपयोग टायर बनाने के लिए किया जाता है।

(B) $LDPE$ (लो डेंसिटी पॉलीइथाइलीन) का उपयोग शॉपिंग बैग बनाने के लिए किया जाता है क्योंकि यह लचीला और मजबूत होता है।

(C) एक चक्रीय एमाइड को लैक्टम के रूप में भी जाना जाता है।
$\varepsilon$-कैप्रोलैक्टम एक सात-सदस्यीय चक्रीय एमाइड है जिसका उपयोग नायलॉन-$6$ के निर्माण के लिए एक मोनोमर के रूप में किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $HDP$ का अर्थ है उच्च-घनत्व पॉलीइथाइलीन। यह घनी पैकिंग के कारण उच्च घनत्व वाला एक रैखिक बहुलक है।
$HDP$ को जिगलर-नाटा उत्प्रेरक की उपस्थिति में एथीन के बहुलकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है,जो $333 \ K$ से $343 \ K$ के तापमान और $6-7 \ atm$ के दबाव पर ट्राईएथिल एल्युमिनियम और टाइटेनियम टेट्राक्लोराइड का एक संयोजन है।

(B) टेफ्लॉन,टेट्राफ्लोरोएथिलीन $(CF_2=CF_2)$ के बहुलकीकरण (polymerization) द्वारा बनने वाला एक बहुलक है।
यह अभिक्रिया टेट्राफ्लोरोएथिलीन को मुक्त मूलक या परसल्फेट उत्प्रेरक के साथ उच्च दाब पर गर्म करके की जाती है।
रासायनिक समीकरण है: $nCF_2=CF_2 \xrightarrow[(NH_4)_2S_2O_8]{\text{Heat, pressure}} -[CF_2-CF_2]_n-$
अतः,उपयोग किया जाने वाला मोनोमर टेट्राफ्लोरोएथिलीन है।

(B) $Terylene$ (जिसे $Dacron$ के रूप में भी जाना जाता है) एक पॉलिएस्टर फाइबर है।
यह $Ethylene \ glycol$ $(HO-CH_2-CH_2-OH)$ और $Terephthalic \ acid$ $(HOOC-C_6H_4-COOH)$ के संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा तैयार किया जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$n(HO-CH_2-CH_2-OH) + n(HOOC-C_6H_4-COOH) \rightarrow -[O-CH_2-CH_2-O-CO-C_6H_4-CO]_n- + 2nH_2O$
इसलिए,सही मोनोमर्स $Ethylene \ glycol$ और $Terephthalic \ acid$ हैं।

(D) मेलामाइन-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन,मेलामाइन और फॉर्मेल्डिहाइड के सह-बहुलीकरण (co-polymerisation) द्वारा बनता है।
यह क्रॉस-लिंक्ड पॉलिमर का एक उत्कृष्ट उदाहरण है,जिसमें पॉलिमर श्रृंखलाएं सहसंयोजक बंधों द्वारा जुड़कर एक त्रि-आयामी नेटवर्क संरचना बनाती हैं।

(B) ओजोन एक अपचायक (reducing agent) के रूप में कार्य करता है जब यह पेरोक्साइड को ऑक्साइड में अपचयित करता है और स्वयं ऑक्सीजन में परिवर्तित हो जाता है।
अभिक्रिया $BaO_{2(s)} + O_{3(g)} \rightarrow BaO_{(s)} + 2 O_{2(g)}$ में,ओजोन बेरियम पेरोक्साइड $(BaO_2)$ को बेरियम ऑक्साइड $(BaO)$ में अपचयित करता है।

(D) $7$ प्रकार की क्रिस्टल प्रणालियों में कुल $14$ ब्रेविस जालक उपस्थित होते हैं।

(C) $X$-ray क्रिस्टलोग्राफी का उपयोग क्रिस्टल की आणविक और परमाणु संरचना की पहचान करने के लिए किया जाता है।
क्रिस्टल आपतित $X$-ray बीम को विवर्तित (diffract) करता है।
इन विवर्तित बीमों की तीव्रता और कोणों को मापकर,क्रिस्टल की आणविक संरचना का मूल्यांकन किया जा सकता है।
इस उपकरण को $X$-ray डिफ्रेक्टोमीटर के रूप में जाना जाता है।

(D) समान क्रिस्टल संरचना वाले दो या दो से अधिक पदार्थों को समरूपी (isomorphous) कहा जाता है।
वे समान परमाणु अनुपात प्रदर्शित करते हैं (Iso- समान,Morphous- रूप)।
उदाहरणों में $NaF$ और $MgO$ ($1:1$ अनुपात),तथा $NaNO_3$ और $CaCO_3$ ($1:1:3$ अनुपात) शामिल हैं।
$NaCl$ और $KCl$ के गुण समान होते हैं लेकिन उनकी क्रिस्टल संरचनाएं भिन्न होती हैं।