मान लीजिए p, q और r वास्तविक संख्याएँ हैं (p | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$वज

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$p^2 + q^2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$वज्र-गुणन करने पर: $r(2x + p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - pr - qr) = 0$मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,$\alpha = -\beta$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 0$.द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का योग $-b/a$ होता है। अतः,$-(p + q - 2r) = 0$,जिसका अर्थ है $p + q = 2r$.मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ है।$\alpha + \beta = 0$ होने के कारण,यह $\alpha^2 + \beta^2 = -2\alpha\beta$ में बदल जाता है।मूलों के गुणनफल के सूत्र के अनुसार,$\alpha\beta = pq - pr - qr$.$\alpha\beta$ का मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.चूँकि $2r = p + q$,इसलिए $2pr + 2qr = 2r(p + q) = (p + q)(p + q) = p^2 + 2pq + q^2$ रखने पर।अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 + q^2$.

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