PhysicsQ1–30 of 30 questions
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1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
वर्नियर कैलिपर्स के मुख्य पैमाने (main scale) पर सबसे छोटा विभाजन $0.1 \text{ cm}$ है। वर्नियर पैमाने के दस विभाजन मुख्य पैमाने के नौ विभाजनों के अनुरूप हैं। नीचे बाईं ओर का चित्र इसके दो जबड़ों के बीच बिना किसी अंतराल के इस कैलिपर्स की रीडिंग दिखाता है। दाईं ओर का चित्र जबड़ों के बीच रखे एक ठोस गोले के साथ रीडिंग दिखाता है। गोले का सही व्यास है ($\text{ cm}$ में)
A
$3.07$
B
$3.11$
C
$3.15$
D
$3.17$
Solution
(C) दिया गया है: $10 \text{ VSD} = 9 \text{ MSD}$।
यहाँ, $\text{MSD}$ मुख्य पैमाना विभाजन है और $\text{VSD}$ वर्नियर पैमाना विभाजन है।
$1 \text{ VSD} = \frac{9}{10} \text{ MSD} = 0.9 \text{ MSD}$।
अल्पतमांक $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = (1 - 0.9) \text{ MSD} = 0.1 \text{ MSD}$।
चूंकि $1 \text{ MSD} = 0.1 \text{ cm}$, $\text{LC} = 0.1 \times 0.1 \text{ cm} = 0.01 \text{ cm}$।
बाईं ओर के चित्र से (शून्य त्रुटि): वर्नियर पैमाने का $6^{\text{वां}}$ विभाजन मुख्य पैमाने के एक विभाजन के साथ संपाती है। चूंकि वर्नियर पैमाने का शून्य, मुख्य पैमाने के शून्य के बाईं ओर है, इसलिए शून्य त्रुटि ऋणात्मक है।
शून्य त्रुटि = $-(10 - 6) \times \text{LC} = -4 \times 0.01 \text{ cm} = -0.04 \text{ cm}$।
दाईं ओर के चित्र से (अवलोकित रीडिंग): मुख्य पैमाने की रीडिंग $3.1 \text{ cm}$ है। वर्नियर पैमाने का $1^{\text{ला}}$ विभाजन मुख्य पैमाने के एक विभाजन के साथ संपाती है।
अवलोकित रीडिंग = $\text{मुख्य पैमाना रीडिंग} + (\text{वर्नियर संपाती} \times \text{LC}) = 3.1 \text{ cm} + (1 \times 0.01 \text{ cm}) = 3.11 \text{ cm}$।
सही व्यास = $\text{अवलोकित रीडिंग} - \text{शून्य त्रुटि} = 3.11 \text{ cm} - (-0.04 \text{ cm}) = 3.15 \text{ cm}$।
यहाँ, $\text{MSD}$ मुख्य पैमाना विभाजन है और $\text{VSD}$ वर्नियर पैमाना विभाजन है।
$1 \text{ VSD} = \frac{9}{10} \text{ MSD} = 0.9 \text{ MSD}$।
अल्पतमांक $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = (1 - 0.9) \text{ MSD} = 0.1 \text{ MSD}$।
चूंकि $1 \text{ MSD} = 0.1 \text{ cm}$, $\text{LC} = 0.1 \times 0.1 \text{ cm} = 0.01 \text{ cm}$।
बाईं ओर के चित्र से (शून्य त्रुटि): वर्नियर पैमाने का $6^{\text{वां}}$ विभाजन मुख्य पैमाने के एक विभाजन के साथ संपाती है। चूंकि वर्नियर पैमाने का शून्य, मुख्य पैमाने के शून्य के बाईं ओर है, इसलिए शून्य त्रुटि ऋणात्मक है।
शून्य त्रुटि = $-(10 - 6) \times \text{LC} = -4 \times 0.01 \text{ cm} = -0.04 \text{ cm}$।
दाईं ओर के चित्र से (अवलोकित रीडिंग): मुख्य पैमाने की रीडिंग $3.1 \text{ cm}$ है। वर्नियर पैमाने का $1^{\text{ला}}$ विभाजन मुख्य पैमाने के एक विभाजन के साथ संपाती है।
अवलोकित रीडिंग = $\text{मुख्य पैमाना रीडिंग} + (\text{वर्नियर संपाती} \times \text{LC}) = 3.1 \text{ cm} + (1 \times 0.01 \text{ cm}) = 3.11 \text{ cm}$।
सही व्यास = $\text{अवलोकित रीडिंग} - \text{शून्य त्रुटि} = 3.11 \text{ cm} - (-0.04 \text{ cm}) = 3.15 \text{ cm}$।
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2
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
एक आदर्श गैस नीचे दिए गए $P-V$ आरेख में दिखाए अनुसार चार चरणों का चक्र पूरा करती है। इस चक्र के दौरान,किस चरण में गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है?
A
चरण $1$ और $2$
B
चरण $1$ और $3$
C
चरण $1$ और $4$
D
चरण $2$ और $4$
Solution
(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ है।
चरण $1$: समदाबी प्रसार ($P = \text{स्थिर}$,$V$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ बढ़ता है,$W > 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
चरण $2$: समआयतनिक संपीड़न ($V = \text{स्थिर}$,$P$ घटता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ घटने पर $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $3$: समदाबी संपीड़न ($P = \text{स्थिर}$,$V$ घटता है)। चूंकि $V$ घटता है,$W < 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $4$: समआयतनिक प्रसार ($V = \text{स्थिर}$,$P$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ बढ़ने पर $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
अतः,चरण $1$ और $4$ में ऊष्मा अवशोषित होती है।
चरण $1$: समदाबी प्रसार ($P = \text{स्थिर}$,$V$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ बढ़ता है,$W > 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
चरण $2$: समआयतनिक संपीड़न ($V = \text{स्थिर}$,$P$ घटता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ घटने पर $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $3$: समदाबी संपीड़न ($P = \text{स्थिर}$,$V$ घटता है)। चूंकि $V$ घटता है,$W < 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $4$: समआयतनिक प्रसार ($V = \text{स्थिर}$,$P$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ बढ़ने पर $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
अतः,चरण $1$ और $4$ में ऊष्मा अवशोषित होती है।
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3
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक प्रक्षेप्य को जमीन पर स्थित बिंदु $O$ से ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर और $5 \sqrt{2} \text{ m/s}$ की गति से फेंका जाता है। प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर दो समान भागों में विभाजित हो जाता है। एक भाग विभाजन के $0.5 \text{ s}$ बाद सीधे जमीन पर गिरता है। दूसरा भाग,विभाजन के $t$ सेकंड बाद,बिंदु $O$ से $x$ मीटर की दूरी पर जमीन पर गिरता है। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$ है।
$(1)$ $t$ का मान है. . . . . .
$(2)$ $x$ का मान है. . . . .
$(1)$ $t$ का मान है. . . . . .
$(2)$ $x$ का मान है. . . . .
A
$0.5, 7.5$
B
$0.5, 7.6$
C
$0.5, 7.7$
D
$0.5, 7.8$
Solution
(A) प्रारंभिक वेग $u = 5\sqrt{2} \text{ m/s}$,ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का अर्थ है कि यह क्षैतिज के साथ भी $45^{\circ}$ है। अतः,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$ और $u_y = u \sin 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$.
परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
उड्डयन काल $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
प्रक्षेप्य उच्चतम बिंदु पर विभाजित होता है,जो $T/2 = 0.5 \text{ s}$ समय और $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की क्षैतिज दूरी पर होता है।
एक भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,जिसका अर्थ है कि उसका क्षैतिज वेग $0$ हो जाता है। इसे जमीन तक पहुँचने में $0.5 \text{ s}$ लगते हैं,इसलिए $t = 0.5 \text{ s}$.
क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण के नियम से: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. चूंकि पहला भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,$v_1 = 0$. अतः,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
दूसरा भाग $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की स्थिति से $t = 0.5 \text{ s}$ के लिए $10 \text{ m/s}$ के वेग से क्षैतिज रूप से चलता है।
विभाजन के बाद दूसरे भाग द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ से कुल दूरी $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
अतः,$t = 0.5 \text{ s}$ और $x = 7.5 \text{ m}$.
परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
उड्डयन काल $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
प्रक्षेप्य उच्चतम बिंदु पर विभाजित होता है,जो $T/2 = 0.5 \text{ s}$ समय और $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की क्षैतिज दूरी पर होता है।
एक भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,जिसका अर्थ है कि उसका क्षैतिज वेग $0$ हो जाता है। इसे जमीन तक पहुँचने में $0.5 \text{ s}$ लगते हैं,इसलिए $t = 0.5 \text{ s}$.
क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण के नियम से: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. चूंकि पहला भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,$v_1 = 0$. अतः,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
दूसरा भाग $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की स्थिति से $t = 0.5 \text{ s}$ के लिए $10 \text{ m/s}$ के वेग से क्षैतिज रूप से चलता है।
विभाजन के बाद दूसरे भाग द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ से कुल दूरी $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
अतः,$t = 0.5 \text{ s}$ और $x = 7.5 \text{ m}$.
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4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
चित्र में दिखाए अनुसार $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक बेलनाकार वस्तु के द्रव्यमान केंद्र पर उसकी अक्ष के लंबवत एक क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है। वस्तु और जमीन के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है। वस्तु के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। यह देखते हुए कि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ समान $F$ के लिए,$a$ का मान इस पर निर्भर नहीं करता है कि बेलन ठोस है या खोखला
$(B)$ एक ठोस बेलन के लिए,$a$ का अधिकतम संभव मान $2 \mu g$ है
$(C)$ जमीन के कारण वस्तु पर लगने वाला घर्षण बल हमेशा $\mu m g$ होता है
$(D)$ पतली दीवार वाले खोखले बेलन के लिए,$a = \frac{F}{2m}$
$(A)$ समान $F$ के लिए,$a$ का मान इस पर निर्भर नहीं करता है कि बेलन ठोस है या खोखला
$(B)$ एक ठोस बेलन के लिए,$a$ का अधिकतम संभव मान $2 \mu g$ है
$(C)$ जमीन के कारण वस्तु पर लगने वाला घर्षण बल हमेशा $\mu m g$ होता है
$(D)$ पतली दीवार वाले खोखले बेलन के लिए,$a = \frac{F}{2m}$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$B, C$
D
$B, D$
Solution
(D) मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_c$ है और घर्षण बल $f$ है।
स्थानांतरण के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से: $F - f = ma_c$ $(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण से: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
बिना फिसले लुढ़कने के लिए: $a_c = \alpha R$,इसलिए $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ में $f$ का मान रखने पर: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ गलत: $a_c$ का मान $I_c$ पर निर्भर करता है,जो ठोस $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ और खोखले $(I_c = mR^2)$ बेलन के लिए अलग-अलग होता है।
$(D)$ सही: पतली दीवार वाले खोखले बेलन के लिए,$I_c = mR^2$. अतः,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ गलत: घर्षण बल $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,जो हमेशा $\mu mg$ होना आवश्यक नहीं है।
$(B)$ सही: बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$f \leq \mu mg$. चूँकि $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,इसलिए $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. ठोस बेलन के लिए,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.
स्थानांतरण के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से: $F - f = ma_c$ $(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण से: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
बिना फिसले लुढ़कने के लिए: $a_c = \alpha R$,इसलिए $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ में $f$ का मान रखने पर: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ गलत: $a_c$ का मान $I_c$ पर निर्भर करता है,जो ठोस $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ और खोखले $(I_c = mR^2)$ बेलन के लिए अलग-अलग होता है।
$(D)$ सही: पतली दीवार वाले खोखले बेलन के लिए,$I_c = mR^2$. अतः,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ गलत: घर्षण बल $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,जो हमेशा $\mu mg$ होना आवश्यक नहीं है।
$(B)$ सही: बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$f \leq \mu mg$. चूँकि $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,इसलिए $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. ठोस बेलन के लिए,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.
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5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$A, B$
D
$A, D$
Solution
(B) कण की प्रारंभिक स्थिति $P_0 = (-10, -1)$ है।
त्वरण $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$ है।
$(A)$ $(10, -1)$ बिंदु तक पहुँचने के लिए आवश्यक विस्थापन $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$। कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ बिंदु $(10, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$ है।
बल $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t=2 \ s$ पर वेग $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ है,जो $\hat{i}$ दिशा में है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$ है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ बिंदु $(0, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -\hat{j}$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(D)$ गलत है।
त्वरण $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$ है।
$(A)$ $(10, -1)$ बिंदु तक पहुँचने के लिए आवश्यक विस्थापन $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$। कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ बिंदु $(10, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$ है।
बल $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t=2 \ s$ पर वेग $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ है,जो $\hat{i}$ दिशा में है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$ है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ बिंदु $(0, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -\hat{j}$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(D)$ गलत है।
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6
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक बेलनाकार नली,जिसका आधार चित्र में दिखाया गया है,पानी से भरी है। यह $\theta=45^{\circ}$ कोण वाले एक स्थिर नत समतल पर $a$ के निरंतर त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है। $P_1$ और $P_2$ नली के आधार पर स्थित क्रमशः बिंदु $1$ और $2$ पर दबाव हैं। मान लीजिए $\beta=(P_1-P_2) / (\rho g d)$,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है,$d$ नली का आंतरिक व्यास है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ जब $a=g / \sqrt{2}$ हो तो $\beta=0$
$(B)$ जब $a=g / \sqrt{2}$ हो तो $\beta>0$
$(C)$ जब $a=g / 2$ हो तो $\beta=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
$(D)$ जब $a=g / 2$ हो तो $\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$(A)$ जब $a=g / \sqrt{2}$ हो तो $\beta=0$
$(B)$ जब $a=g / \sqrt{2}$ हो तो $\beta>0$
$(C)$ जब $a=g / 2$ हो तो $\beta=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
$(D)$ जब $a=g / 2$ हो तो $\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A) नली के फ्रेम में,प्रभावी त्वरण गुरुत्वाकर्षण $\vec{g}$ और छद्म-त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ है।
नली के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों पर घटकों को हल करने पर:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (बिंदु $2$ की ओर निर्देशित क्षैतिज घटक)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (नीचे की ओर निर्देशित ऊर्ध्वाधर घटक)
आधार पर बिंदु $1$ और $2$ के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$ है।
इसलिए,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(A)$ है।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ है।
नली के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों पर घटकों को हल करने पर:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (बिंदु $2$ की ओर निर्देशित क्षैतिज घटक)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (नीचे की ओर निर्देशित ऊर्ध्वाधर घटक)
आधार पर बिंदु $1$ और $2$ के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$ है।
इसलिए,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(A)$ है।
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7
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$M$ द्रव्यमान और $a$ लंबाई की एक पतली छड़ बिंदु $O$ से गुजरने वाली एक स्थिर ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः क्षैतिज तल में घूमने के लिए स्वतंत्र है। $M$ द्रव्यमान और $a/4$ त्रिज्या की एक पतली वृत्ताकार डिस्क को इस छड़ पर इस प्रकार जड़ा गया है कि इसका केंद्र मुक्त सिरे से $a/4$ की दूरी पर है,ताकि यह अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से घूम सके,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। मान लीजिए कि छड़ और डिस्क दोनों का घनत्व समान है और गति के दौरान वे क्षैतिज रहते हैं। एक बाहरी स्थिर प्रेक्षक छड़ को $\Omega$ कोणीय वेग के साथ और डिस्क को अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $4\Omega$ कोणीय वेग के साथ घूमते हुए पाता है। बिंदु $O$ के परितः निकाय का कुल कोणीय संवेग $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$30$
B
$35$
C
$49$
D
$50$
Solution
(C) बिंदु $O$ के परितः निकाय का कुल कोणीय संवेग $L$,छड़ के कोणीय संवेग और डिस्क के कोणीय संवेग का योग है।
$1$. $O$ के परितः घूमने वाली छड़ का कोणीय संवेग: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ के परितः डिस्क का कोणीय संवेग दो भागों से बना है: इसके द्रव्यमान केंद्र का कक्षीय कोणीय संवेग और अपनी धुरी के परितः इसका स्पिन कोणीय संवेग।
- $O$ से डिस्क के केंद्र की दूरी $r = a - a/4 = 3a/4$ है।
- डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. कुल कोणीय संवेग $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. सामान्य हर $(48)$ ज्ञात करने पर: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
इसकी तुलना $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ से करने पर,हमें $n = 49$ प्राप्त होता है।
$1$. $O$ के परितः घूमने वाली छड़ का कोणीय संवेग: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ के परितः डिस्क का कोणीय संवेग दो भागों से बना है: इसके द्रव्यमान केंद्र का कक्षीय कोणीय संवेग और अपनी धुरी के परितः इसका स्पिन कोणीय संवेग।
- $O$ से डिस्क के केंद्र की दूरी $r = a - a/4 = 3a/4$ है।
- डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. कुल कोणीय संवेग $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. सामान्य हर $(48)$ ज्ञात करने पर: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
इसकी तुलना $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ से करने पर,हमें $n = 49$ प्राप्त होता है।
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8
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक छोटी वस्तु को एक बड़े खाली गोलाकार पात्र के केंद्र में रखा गया है। मान लीजिए कि पात्र $0 \ K$ पर बनाए रखा गया है। समय $t = 0$ पर,वस्तु का तापमान $200 \ K$ है। वस्तु का तापमान $t = t_1$ पर $100 \ K$ और $t = t_2$ पर $50 \ K$ हो जाता है। मान लीजिए कि वस्तु और पात्र आदर्श कृष्णिका (black bodies) हैं। वस्तु की ऊष्मा धारिता तापमान पर निर्भर नहीं करती है। अनुपात $(t_2 / t_1)$ है:
A
$3$
B
$4$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,वस्तु द्वारा ऊष्मा हानि की दर $P = \sigma A T^4$ है।
चूंकि पात्र $0 \ K$ पर है,शुद्ध ऊष्मा हानि $\sigma A T^4 = -ms \frac{dT}{dt}$ है,जहाँ $ms$ ऊष्मा धारिता $C$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{\sigma A}{C} dt = -k dt$।
$T_i$ से $T_f$ तक समाकलन करने पर: $\int_{T_i}^{T_f} T^{-4} dT = -k \int_0^t dt$।
इससे प्राप्त होता है: $\left[ \frac{T^{-3}}{-3} \right]_{T_i}^{T_f} = -kt$,या $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{T_f^3} - \frac{1}{T_i^3} \right) = kt$।
$t_1$ के लिए: $kt_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 100^3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24 \cdot 10^6}$।
$t_2$ के लिए: $kt_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{50^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 50^3} \left( 1 - \frac{1}{64} \right) = \frac{63}{24 \cdot 10^6}$।
अतः,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{63}{7} = 9$।
चूंकि पात्र $0 \ K$ पर है,शुद्ध ऊष्मा हानि $\sigma A T^4 = -ms \frac{dT}{dt}$ है,जहाँ $ms$ ऊष्मा धारिता $C$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{\sigma A}{C} dt = -k dt$।
$T_i$ से $T_f$ तक समाकलन करने पर: $\int_{T_i}^{T_f} T^{-4} dT = -k \int_0^t dt$।
इससे प्राप्त होता है: $\left[ \frac{T^{-3}}{-3} \right]_{T_i}^{T_f} = -kt$,या $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{T_f^3} - \frac{1}{T_i^3} \right) = kt$।
$t_1$ के लिए: $kt_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 100^3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24 \cdot 10^6}$।
$t_2$ के लिए: $kt_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{50^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 50^3} \left( 1 - \frac{1}{64} \right) = \frac{63}{24 \cdot 10^6}$।
अतः,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{63}{7} = 9$।
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9
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$W$ वजन और $L$ लंबाई वाली एक क्षैतिज समान बीम का एक सिरा बिंदु $O$ पर एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर टिका है और दूसरा सिरा एक हल्की अवितान्य रस्सी द्वारा समर्थित है। रस्सी का दूसरा सिरा बिंदु $Q$ पर,बिंदु $O$ पर हिंज से $L$ ऊंचाई पर स्थित है। चित्र में दिखाए अनुसार बीम के बिंदु $P$ पर $\alpha W$ वजन का एक ब्लॉक लटकाया गया है। रस्सी अधिकतम $(2 \sqrt{2}) W$ का तनाव सहन कर सकती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$A, B$
D
$A, D$
Solution
(A) मान लीजिए कि रस्सी क्षैतिज बीम के साथ $\theta$ कोण बनाती है। चूंकि ऊंचाई $OQ = L$ और लंबाई $OP = L$ है,$\tan \theta = \frac{L}{L} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
हिंज $O$ पर ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
हिंज $O$ पर क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
बीम के लिए बिंदु $O$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$। यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$(iii)$ से,यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया $R_y$ के लिए,$(i)$ से:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$। चूंकि $R_y$,$\alpha$ पर निर्भर नहीं है,इसलिए कथन $(A)$ सही है।
यदि $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ हो तो रस्सी टूट जाती है:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$। अतः,कथन $(D)$ सही है।
हिंज $O$ पर ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
हिंज $O$ पर क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
बीम के लिए बिंदु $O$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$। यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$(iii)$ से,यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया $R_y$ के लिए,$(i)$ से:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$। चूंकि $R_y$,$\alpha$ पर निर्भर नहीं है,इसलिए कथन $(A)$ सही है।
यदि $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ हो तो रस्सी टूट जाती है:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$। अतः,कथन $(D)$ सही है।
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10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक स्रोत,$L$ लंबाई के स्थिर पाइप के खुले सिरे की ओर $u$ गति से आ रहा है,और $f_s$ आवृत्ति की ध्वनि उत्सर्जित कर रहा है। पाइप का दूर वाला सिरा बंद है। हवा में ध्वनि की गति $v$ है और $f_0$ पाइप की मूल आवृत्ति है। $u$ और $f_s$ के निम्नलिखित में से किस संयोजन के लिए,पाइप तक पहुँचने वाली ध्वनि अनुनाद (resonance) पैदा करेगी?
$(A)$ $u=0.8 v$ और $f_s=f_0$
$(B)$ $u=0.8 v$ और $f_s=2 f_0$
$(C)$ $u=0.8 v$ और $f_s=0.5 f_0$
$(D)$ $u=0.5 v$ और $f_s=1.5 f_0$
$(A)$ $u=0.8 v$ और $f_s=f_0$
$(B)$ $u=0.8 v$ और $f_s=2 f_0$
$(C)$ $u=0.8 v$ और $f_s=0.5 f_0$
$(D)$ $u=0.5 v$ और $f_s=1.5 f_0$
A
$A, B, C$
B
$A, D$
C
$A, B$
D
$A, C$
Solution
(B) स्रोत द्वारा $u$ गति से पाइप की ओर आने पर पाइप द्वारा प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f_s \left( \frac{v}{v - u} \right)$.
$L$ लंबाई का एक बंद पाइप अपनी मूल आवृत्ति $f_0$ के विषम हार्मोनिक्स (odd harmonics) पर अनुनाद करता है,अर्थात $f' = n f_0$,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \dots$ है।
$(A)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = f_0$ के लिए: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. चूँकि $5$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
$(B)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 2 f_0$ के लिए: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. चूँकि $10$ एक सम पूर्णांक है,यह अनुनाद नहीं करेगा।
$(C)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 0.5 f_0$ के लिए: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. यह एक विषम हार्मोनिक नहीं है।
$(D)$ $u = 0.5 v$ और $f_s = 1.5 f_0$ के लिए: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. चूँकि $3$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
अतः,संयोजन $(A)$ और $(D)$ अनुनाद उत्पन्न करते हैं।
$L$ लंबाई का एक बंद पाइप अपनी मूल आवृत्ति $f_0$ के विषम हार्मोनिक्स (odd harmonics) पर अनुनाद करता है,अर्थात $f' = n f_0$,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \dots$ है।
$(A)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = f_0$ के लिए: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. चूँकि $5$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
$(B)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 2 f_0$ के लिए: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. चूँकि $10$ एक सम पूर्णांक है,यह अनुनाद नहीं करेगा।
$(C)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 0.5 f_0$ के लिए: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. यह एक विषम हार्मोनिक नहीं है।
$(D)$ $u = 0.5 v$ और $f_s = 1.5 f_0$ के लिए: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. चूँकि $3$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
अतः,संयोजन $(A)$ और $(D)$ अनुनाद उत्पन्न करते हैं।
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11
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2021
एक नरम प्लास्टिक की बोतल,जिसमें $1 \text{ g/cc}$ घनत्व वाला पानी भरा है,में एक उल्टी कांच की टेस्ट-ट्यूब है जिसमें कुछ हवा (आदर्श गैस) फंसी हुई है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। टेस्ट-ट्यूब का द्रव्यमान $5 \text{ g}$ है और यह $2.5 \text{ g/cc}$ घनत्व वाले मोटे कांच से बनी है। प्रारंभ में बोतल को वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 10^5 \text{ Pa}$ पर सील किया गया है,जिससे फंसी हुई हवा का आयतन $V_0 = 3.3 \text{ cc}$ है। जब बोतल को बाहर से स्थिर तापमान पर दबाया जाता है,तो अंदर का दबाव बढ़ जाता है और फंसी हुई हवा का आयतन कम हो जाता है। यह देखा गया है कि टेस्ट-ट्यूब अपना अभिविन्यास बदले बिना $P_0 + \Delta P$ दबाव पर डूबने लगती है। इस दबाव पर,फंसी हुई हवा का आयतन $V_0 - \Delta V$ है।
मान लीजिए $\Delta V = X \text{ cc}$ और $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$.
$(1)$ $X$ का मान है
$(2)$ $Y$ का मान है
मान लीजिए $\Delta V = X \text{ cc}$ और $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$.
$(1)$ $X$ का मान है
$(2)$ $Y$ का मान है
A
$10, 20$
B
$30, 20$
C
$30, 10$
D
$15, 10$
Solution
(C) $(1)$ टेस्ट-ट्यूब के डूबने शुरू करने के लिए,इसका औसत घनत्व पानी के घनत्व के बराबर होना चाहिए। कांच का आयतन $V_{\text{glass}} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{5 \text{ g}}{2.5 \text{ g/cc}} = 2 \text{ cc}$ है।
मान लीजिए कि जब यह डूबना शुरू करती है तो फंसी हुई हवा का आयतन $V_{\text{gas}}$ है। टेस्ट-ट्यूब सिस्टम का कुल आयतन $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ है।
सिस्टम के डूबने के लिए,उत्प्लावन बल इसके वजन के बराबर होना चाहिए: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ है।
अतः $X = 0.3$.
$(2)$ फंसी हुई हवा के लिए समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
दिया गया है कि $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,इसलिए $Y = 10$।
मान लीजिए कि जब यह डूबना शुरू करती है तो फंसी हुई हवा का आयतन $V_{\text{gas}}$ है। टेस्ट-ट्यूब सिस्टम का कुल आयतन $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ है।
सिस्टम के डूबने के लिए,उत्प्लावन बल इसके वजन के बराबर होना चाहिए: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ है।
अतः $X = 0.3$.
$(2)$ फंसी हुई हवा के लिए समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
दिया गया है कि $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,इसलिए $Y = 10$।
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12
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक लोलक $m=0.1 \ kg$ द्रव्यमान के गोलक और $L=1.0 \ m$ लंबाई की द्रव्यमानहीन अवितान्य डोरी से बना है। यह घर्षणहीन क्षैतिज फर्श से $H=0.9 \ m$ की ऊंचाई पर एक स्थिर बिंदु से लटका हुआ है। प्रारंभ में,लोलक का गोलक फर्श पर निलंबन बिंदु के ठीक नीचे विरामावस्था में है। किसी क्षण पर गोलक को $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ का क्षैतिज आवेग दिया जाता है। गोलक के कुछ दूरी तक फिसलने के बाद,डोरी तन जाती है और गोलक फर्श से ऊपर उठ जाता है। गोलक के ऊपर उठने से ठीक पहले निलंबन बिंदु के परितः लोलक के कोणीय संवेग का परिमाण $J \ kg \cdot m^2/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद लोलक की गतिज ऊर्जा $K$ जूल है। $(1)$ $J$ का मान ज्ञात कीजिए। $(2)$ $K$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0.19, 0.16$
B
$0.18, 0.17$
C
$0.18, 0.18$
D
$0.18, 0.16$
Solution
(D) निलंबन बिंदु के परितः कोणीय संवेग $J = r_{\perp} \times p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{\perp}$ धुरी से आवेग की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है। यहाँ,$r_{\perp} = H = 0.9 \ m$ और $p = P = 0.2 \ kg \cdot m/s$ है। अतः,$J = 0.9 \times 0.2 = 0.18 \ kg \cdot m^2/s$ है।
जब डोरी तन जाती है,तो आवेगपूर्ण तनाव के कारण डोरी की दिशा में वेग का घटक समाप्त हो जाता है। गोलक $\theta$ कोण पर है जहाँ $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$ है। डोरी के तनने से ठीक पहले गोलक का वेग $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ है। डोरी के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$ है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$K \approx 0.16 \ J$ प्राप्त होता है।
जब डोरी तन जाती है,तो आवेगपूर्ण तनाव के कारण डोरी की दिशा में वेग का घटक समाप्त हो जाता है। गोलक $\theta$ कोण पर है जहाँ $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$ है। डोरी के तनने से ठीक पहले गोलक का वेग $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ है। डोरी के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$ है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$K \approx 0.16 \ J$ प्राप्त होता है।
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13
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2021
एक ऊष्मीय रूप से अछूते सिलेंडर में बीच में एक ऊष्मीय रूप से अछूता और घर्षण रहित चलने योग्य विभाजक है,जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। विभाजक के प्रत्येक तरफ,एक मोल आदर्श गैस है,जिसकी स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = 2R$ है। यहाँ,$R$ गैस नियतांक है। प्रारंभ में,प्रत्येक तरफ का आयतन $V_0$ और तापमान $T_0$ है। बाईं ओर एक इलेक्ट्रिक हीटर है,जिसे बहुत कम शक्ति पर चालू किया जाता है ताकि बाईं ओर की गैस को ऊष्मा $Q$ स्थानांतरित की जा सके। परिणामस्वरूप,विभाजक धीरे-धीरे दाईं ओर बढ़ता है,जिससे दाईं ओर का आयतन घटकर $V_0 / 2$ हो जाता है। परिणामस्वरूप,बाईं और दाईं ओर की गैस का तापमान क्रमशः $T_L$ और $T_R$ हो जाता है। सिलेंडर,हीटर और विभाजक के तापमान में होने वाले परिवर्तनों को अनदेखा करें।
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ का मान है
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ का मान है
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ का मान है
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ का मान है
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
Solution
(A,B) दाईं ओर के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि विभाजक और सिलेंडर ऊष्मीय रूप से अछूते हैं। गैस एक प्रतिवर्ती रुद्धोष्म संपीड़न से गुजरती है।
दिया गया है $C_v = 2R$,इसलिए $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = 0.5$,इसलिए $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$।
दाईं ओर की रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$।
दिया गया है $V_R = \frac{V_0}{2}$,इसलिए $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$। अतः,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$। (प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $A$ है)
दाईं ओर के लिए,अंतिम दबाव $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ है। चूंकि विभाजक घर्षण रहित है,इसलिए दोनों तरफ का दबाव समान है: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$।
बाईं ओर के लिए,अंतिम आयतन $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ है।
बाईं ओर के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$।
आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$। चूंकि सिलेंडर अछूता है,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (क्योंकि बाईं ओर की गैस द्वारा किया गया कार्य दाईं ओर की गैस पर किए गए कार्य के बराबर है)।
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$।
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$।
अतः,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$। (प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $B$ है)
दिया गया है $C_v = 2R$,इसलिए $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = 0.5$,इसलिए $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$।
दाईं ओर की रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$।
दिया गया है $V_R = \frac{V_0}{2}$,इसलिए $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$। अतः,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$। (प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $A$ है)
दाईं ओर के लिए,अंतिम दबाव $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ है। चूंकि विभाजक घर्षण रहित है,इसलिए दोनों तरफ का दबाव समान है: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$।
बाईं ओर के लिए,अंतिम आयतन $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ है।
बाईं ओर के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$।
आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$। चूंकि सिलेंडर अछूता है,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (क्योंकि बाईं ओर की गैस द्वारा किया गया कार्य दाईं ओर की गैस पर किए गए कार्य के बराबर है)।
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$।
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$।
अतः,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$। (प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $B$ है)
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14
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$3 M_S$ और $6 M_S$ द्रव्यमान वाले दो तारों के बीच की दूरी $9 R$ है। यहाँ $R$ पृथ्वी और सूर्य के केंद्रों के बीच की औसत दूरी है,और $M_S$ सूर्य का द्रव्यमान है। दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $n T$ आवर्तकाल के साथ वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं,जहाँ $T$ पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल है। $n$ का मान क्या है?
A
$4$
B
$5$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के परिक्रमण के लिए,केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$ होता है।
$m_1 = 3 M_S$ और $m_2 = 6 M_S$ द्रव्यमान वाले दो तारे जो $d = 9 R$ की दूरी पर हैं,अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $T'$ आवर्तकाल के साथ घूमते हैं: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$।
चूंकि $T' = n T$,इसलिए $n T = 9 T$,जिसका अर्थ है कि $n = 9$।
$m_1 = 3 M_S$ और $m_2 = 6 M_S$ द्रव्यमान वाले दो तारे जो $d = 9 R$ की दूरी पर हैं,अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $T'$ आवर्तकाल के साथ घूमते हैं: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$।
चूंकि $T' = n T$,इसलिए $n T = 9 T$,जिसका अर्थ है कि $n = 9$।
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15
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक विस्तारित वस्तु को बिंदु $O$ पर,एक उत्तल लेंस $L_1$ के सामने $10 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है और एक अवतल लेंस $L_2$ को उसके पीछे $10 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। दोनों लेंसों की सभी वक्र सतहों की वक्रता त्रिज्या $20 \ cm$ है। दोनों लेंसों का अपवर्तनांक $1.5$ है। इस लेंस प्रणाली का कुल आवर्धन है
A
$0.4$
B
$0.8$
C
$1.3$
D
$1.6$
Solution
(B) $1$. उत्तल लेंस की फोकस दूरी $(f_1)$:
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. अवतल लेंस की फोकस दूरी $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. लेंस $L_1$ के लिए:
वस्तु दूरी $u_1 = -10 \ cm$,फोकस दूरी $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. लेंस $L_2$ के लिए:
$L_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $L_2$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $10 \ cm$ है।
वस्तु दूरी $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. कुल आवर्धन:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. अवतल लेंस की फोकस दूरी $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. लेंस $L_1$ के लिए:
वस्तु दूरी $u_1 = -10 \ cm$,फोकस दूरी $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. लेंस $L_2$ के लिए:
$L_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $L_2$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $10 \ cm$ है।
वस्तु दूरी $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. कुल आवर्धन:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$
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16
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
$20 \text{ minutes}$ की अर्ध-आयु वाला एक भारी नाभिक $Q$,$60 \%$ प्रायिकता के साथ अल्फा-क्षय और $40 \%$ प्रायिकता के साथ बीटा-क्षय से गुजरता है। प्रारंभ में,$Q$ नाभिकों की संख्या $1000$ है। पहले एक घंटे में $Q$ के अल्फा-क्षय की संख्या क्या है?
A
$50$
B
$75$
C
$350$
D
$525$
Solution
(D) कुल नाभिकों की संख्या $N_0 = 1000$ है। चूँकि $60 \%$ नाभिक अल्फा-क्षय से गुजरते हैं,इसलिए अल्फा-क्षय के लिए उपलब्ध नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_{0,\alpha} = 1000 \times 0.60 = 600$ है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ द्वारा दिया जाता है।
बीता हुआ समय $t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$ है।
समय $t$ के बाद बचे हुए नाभिकों की संख्या $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
अल्फा-क्षय से गुजरने वाले नाभिकों की संख्या प्रारंभिक संख्या और शेष संख्या के बीच का अंतर है: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ द्वारा दिया जाता है।
बीता हुआ समय $t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$ है।
समय $t$ के बाद बचे हुए नाभिकों की संख्या $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
अल्फा-क्षय से गुजरने वाले नाभिकों की संख्या प्रारंभिक संख्या और शेष संख्या के बीच का अंतर है: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
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17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
नीचे दिखाए गए सर्किट में,स्विच $S$ को लंबे समय तक स्थिति $P$ से जोड़ा जाता है ताकि कैपेसिटर पर चार्ज $q_1 \mu C$ हो जाए। फिर $S$ को स्थिति $Q$ पर स्विच किया जाता है। लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पर चार्ज $q_2 \mu C$ है।
$(1)$ $q_1$ का परिमाण क्या है?
$(2)$ $q_2$ का परिमाण क्या है?
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ का उत्तर दें।
$(1)$ $q_1$ का परिमाण क्या है?
$(2)$ $q_2$ का परिमाण क्या है?
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ का उत्तर दें।
A
$1.30, 0.60$
B
$1.33, 0.67$
C
$1.33, 0.60$
D
$1.30, 0.70$
Solution
(B) जब स्विच स्थिति $P$ पर होता है,तो कैपेसिटर स्थिर अवस्था में होता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। सर्किट में दो बैटरी ($1 \text{ V}$ और $2 \text{ V}$) और दो प्रतिरोधक ($1 \Omega$ और $2 \Omega$) श्रेणीक्रम में हैं।
लूप में कुल धारा $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \text{ V}$ की बैटरी और $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$।
जब स्विच स्थिति $Q$ पर होता है,तो $1 \text{ V}$ की बैटरी सर्किट से हट जाती है। कैपेसिटर अब $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर है,जो $2 \text{ V}$ की बैटरी और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
इस लूप में धारा $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$।
लूप में कुल धारा $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \text{ V}$ की बैटरी और $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$।
जब स्विच स्थिति $Q$ पर होता है,तो $1 \text{ V}$ की बैटरी सर्किट से हट जाती है। कैपेसिटर अब $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर है,जो $2 \text{ V}$ की बैटरी और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
इस लूप में धारा $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$।
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18
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
दो बिंदु आवेश $-Q$ और $+Q / \sqrt{3}$ को $xy$-समतल में क्रमशः मूल बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(2,0)$ पर रखा गया है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इसके परिणामस्वरूप $xy$-समतल में $R$ त्रिज्या और $V = 0$ विभव वाला एक समविभव वृत्त बनता है,जिसका केंद्र $(b, 0)$ पर है। सभी लंबाइयाँ मीटर में मापी गई हैं।
$(1)$ $R$ का मान. . . . मीटर है।
$(2)$ $b$ का मान. . . . . .मीटर है।
$(1)$ $R$ का मान. . . . मीटर है।
$(2)$ $b$ का मान. . . . . .मीटर है।
A
$1.70, 5$
B
$1.75, 4$
C
$1.73, 3$
D
$1.76, 6$
Solution
(C) मान लीजिए कि बिंदु $P(x, y)$ समविभव वृत्त पर है जहाँ विभव $V = 0$ है।
बिंदु $P$ पर $-Q$ (जो $(0,0)$ पर है) और $+Q / \sqrt{3}$ (जो $(2,0)$ पर है) आवेशों के कारण विभव:
$V_P = \frac{k(-Q)}{r_1} + \frac{k(Q / \sqrt{3})}{r_2} = 0$
जहाँ $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $r_2 = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{kQ}{r_1} = \frac{kQ}{\sqrt{3} r_2} \implies \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + y^2$
$3(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2$
$3x^2 - 12x + 12 + 3y^2 = x^2 + y^2$
$2x^2 - 12x + 2y^2 + 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 6x + y^2 + 6 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = -6 + 9$
$(x - 3)^2 + y^2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
इसे मानक वृत्त समीकरण $(x - b)^2 + y^2 = R^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = 3$ और $R = \sqrt{3} \approx 1.73$।
अतः,$R = 1.73$ और $b = 3$।
बिंदु $P$ पर $-Q$ (जो $(0,0)$ पर है) और $+Q / \sqrt{3}$ (जो $(2,0)$ पर है) आवेशों के कारण विभव:
$V_P = \frac{k(-Q)}{r_1} + \frac{k(Q / \sqrt{3})}{r_2} = 0$
जहाँ $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $r_2 = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{kQ}{r_1} = \frac{kQ}{\sqrt{3} r_2} \implies \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + y^2$
$3(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2$
$3x^2 - 12x + 12 + 3y^2 = x^2 + y^2$
$2x^2 - 12x + 2y^2 + 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 6x + y^2 + 6 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = -6 + 9$
$(x - 3)^2 + y^2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
इसे मानक वृत्त समीकरण $(x - b)^2 + y^2 = R^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = 3$ और $R = \sqrt{3} \approx 1.73$।
अतः,$R = 1.73$ और $b = 3$।
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19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
चित्र में दिखाए अनुसार $n_1$ और $n_2$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों से बनी एक चौड़ी स्लैब को हवा में रखा गया है। प्रकाश की एक किरण माध्यम $n_1$ से $n_2$ में $\theta$ कोण पर आपतित होती है,जहाँ $\sin \theta$,$1/n_1$ से थोड़ा अधिक है। हवा का अपवर्तनांक $1$ लें। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ यदि $n_2 = n_1$ है तो प्रकाश किरण हवा में प्रवेश करती है
$(B)$ यदि $n_2 < n_1$ है तो प्रकाश किरण अंततः $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
$(C)$ यदि $n_2 > n_1$ है तो प्रकाश किरण अंततः $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
$(D)$ यदि $n_2 = 1$ है तो प्रकाश किरण $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
$(A)$ यदि $n_2 = n_1$ है तो प्रकाश किरण हवा में प्रवेश करती है
$(B)$ यदि $n_2 < n_1$ है तो प्रकाश किरण अंततः $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
$(C)$ यदि $n_2 > n_1$ है तो प्रकाश किरण अंततः $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
$(D)$ यदि $n_2 = 1$ है तो प्रकाश किरण $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है
A
$B, C, D$
B
$B, C$
C
$A, B, C$
D
$B, D$
Solution
(A) दिया गया है: $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$.
$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,इसलिए $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,इसलिए $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
चूँकि $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,हमारे पास $n_1 \sin \theta > 1$ है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_3 > 1$. यह एक वास्तविक कोण $\theta_3$ के लिए असंभव है,जिसका अर्थ है कि किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
$(A)$ यदि $n_2 = n_1$ है,तो $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. किरण हवा में प्रवेश नहीं करती है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ यदि $n_2 < n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद,$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर,यदि आपतन कोण $\theta_2$ क्रांतिक कोण $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ से अधिक है,तो किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। चूँकि $n_2 < n_1$ है,इसलिए $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के बाद किरण हमेशा $n_1$ में वापस परावर्तित होगी। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $n_2 > n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ यदि $n_2 = 1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है और $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाती है। कथन $(D)$ सही है।
$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,इसलिए $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,इसलिए $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
चूँकि $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,हमारे पास $n_1 \sin \theta > 1$ है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_3 > 1$. यह एक वास्तविक कोण $\theta_3$ के लिए असंभव है,जिसका अर्थ है कि किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
$(A)$ यदि $n_2 = n_1$ है,तो $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. किरण हवा में प्रवेश नहीं करती है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ यदि $n_2 < n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद,$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर,यदि आपतन कोण $\theta_2$ क्रांतिक कोण $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ से अधिक है,तो किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। चूँकि $n_2 < n_1$ है,इसलिए $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के बाद किरण हमेशा $n_1$ में वापस परावर्तित होगी। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $n_2 > n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ यदि $n_2 = 1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है और $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाती है। कथन $(D)$ सही है।
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20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2021
हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ बामर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य और सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य का अनुपात $9/5$ है।
$(B)$ बामर और पाश्चन श्रेणी की तरंगदैर्घ्य श्रेणियों के बीच अतिव्यापन (overlap) होता है।
$(C)$ लाइमन श्रेणी की तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ लाइमन श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य है और $m$ एक पूर्णांक है।
$(D)$ लाइमन और बामर श्रेणी की तरंगदैर्घ्य श्रेणियाँ एक-दूसरे पर अतिव्यापित नहीं होती हैं।
$(A)$ बामर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य और सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य का अनुपात $9/5$ है।
$(B)$ बामर और पाश्चन श्रेणी की तरंगदैर्घ्य श्रेणियों के बीच अतिव्यापन (overlap) होता है।
$(C)$ लाइमन श्रेणी की तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ लाइमन श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य है और $m$ एक पूर्णांक है।
$(D)$ लाइमन और बामर श्रेणी की तरंगदैर्घ्य श्रेणियाँ एक-दूसरे पर अतिव्यापित नहीं होती हैं।
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(B) के लिए: बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n=2$ स्तर पर होता है। सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $n=3 \to n=2$ के लिए और सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $n=\infty \to n=2$ के लिए होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
अनुपात $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ के लिए: बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। पाश्चन श्रेणी की सीमा $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(B)$ गलत है।
$(C)$ के लिए: लाइमन श्रेणी के लिए,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ जहाँ $m=2, 3, \dots$ है। चूँकि $\frac{1}{\lambda_0} = R$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ के लिए: लाइमन श्रेणी की सीमा $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ है। बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(D)$ सही है।
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
अनुपात $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ के लिए: बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। पाश्चन श्रेणी की सीमा $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(B)$ गलत है।
$(C)$ के लिए: लाइमन श्रेणी के लिए,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ जहाँ $m=2, 3, \dots$ है। चूँकि $\frac{1}{\lambda_0} = R$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ के लिए: लाइमन श्रेणी की सीमा $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ है। बामर श्रेणी की सीमा $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ है। वे अतिव्यापित नहीं होती हैं। कथन $(D)$ सही है।
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21
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक लंबा सीधा तार $I = 2 \text{ A}$ की धारा वहन करता है। इसके बगल में नगण्य प्रतिरोध वाली दो समानांतर चालक पटरियों पर एक अर्धवृत्ताकार चालक छड़ रखी गई है। दोनों पटरियाँ तार के समानांतर हैं। तार,छड़ और पटरियाँ एक ही क्षैतिज तल में स्थित हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। अर्धवृत्ताकार छड़ के दो सिरे तार से $1 \text{ cm}$ और $4 \text{ cm}$ की दूरी पर हैं। समय $t = 0$ पर,छड़ $v = 3.0 \text{ m/s}$ की गति से पटरियों पर चलना शुरू करती है। पटरियों के बीच एक प्रतिरोधक $R = 1.4 \text{ } \Omega$ और एक संधारित्र $C_0 = 5.0 \text{ } \mu\text{F}$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। समय $t = 0$ पर,$C_0$ अनावेशित है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं? $\left[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ SI units}, \ln 2 = 0.7\right]$
$(A)$ $R$ से गुजरने वाली अधिकतम धारा $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ है
$(B)$ $R$ से गुजरने वाली अधिकतम धारा $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ है
$(C)$ संधारित्र $C_0$ पर अधिकतम आवेश $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ है
$(D)$ संधारित्र $C_0$ पर अधिकतम आवेश $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ है
$(A)$ $R$ से गुजरने वाली अधिकतम धारा $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ है
$(B)$ $R$ से गुजरने वाली अधिकतम धारा $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ है
$(C)$ संधारित्र $C_0$ पर अधिकतम आवेश $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ है
$(D)$ संधारित्र $C_0$ पर अधिकतम आवेश $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ है
A
$A, B$
B
$A, D$
C
$A, B, C$
D
$A, C$
Solution
(D) तार से $r$ दूरी पर छड़ के एक छोटे अवयव $dr$ में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $dE = Bv dr = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) v dr$ है।
अर्धवृत्ताकार छड़ के सिरों के बीच प्रेरित कुल $EMF$ $E$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ से $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ तक $dE$ का समाकलन है:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
परिपथ में प्रेरित $EMF$ $E$,प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C_0$ श्रेणीक्रम में हैं। धारा $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम धारा $t = 0$ पर होती है (जब संधारित्र अनावेशित होता है):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{\max}$ तब होता है जब यह $EMF$ $E$ तक पूरी तरह आवेशित हो जाता है:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।
अर्धवृत्ताकार छड़ के सिरों के बीच प्रेरित कुल $EMF$ $E$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ से $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ तक $dE$ का समाकलन है:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
परिपथ में प्रेरित $EMF$ $E$,प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C_0$ श्रेणीक्रम में हैं। धारा $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम धारा $t = 0$ पर होती है (जब संधारित्र अनावेशित होता है):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{\max}$ तब होता है जब यह $EMF$ $E$ तक पूरी तरह आवेशित हो जाता है:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।
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22
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2021
एक $\alpha$-कण (द्रव्यमान $4 \text{ amu}$) और एक एकल आवेशित सल्फर आयन (द्रव्यमान $32 \text{ amu}$) प्रारंभ में विरामावस्था में हैं। उन्हें $V$ विभव द्वारा त्वरित किया जाता है और फिर एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश कराया जाता है जो कणों के वेग के लंबवत है। इस क्षेत्र के भीतर,$\alpha$-कण और सल्फर आयन क्रमशः $r_\alpha$ और $r_s$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथों में गति करते हैं। अनुपात $(r_s / r_\alpha)$ क्या है?
A
$2$
B
$4$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण को $V$ विभव द्वारा त्वरित किया जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
सल्फर आयन के लिए: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.
चूंकि कण को $V$ विभव द्वारा त्वरित किया जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
सल्फर आयन के लिए: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.
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23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$60^{\circ}$ के प्रिज्म कोण $\theta$ के लिए,चित्र में दिखाए अनुसार बाएं और दाएं आधे हिस्से के अपवर्तनांक क्रमशः $n_1$ और $n_2$ $(n_2 \geq n_1)$ हैं। आपतन कोण $i$ को इस प्रकार चुना गया है कि यदि $n_1=n_2=n=1.5$ हो,तो आपतित प्रकाश किरणों का विचलन न्यूनतम हो। असमान अपवर्तनांक के मामले में,$n_1=n$ और $n_2=n+\Delta n$ (जहाँ $\Delta n \ll n$),निर्गत कोण $e=i+\Delta e$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $\Delta e$ का मान (रेडियन में) $\Delta n$ से अधिक है
$(B)$ $\Delta e$,$\Delta n$ के समानुपाती है
$(C)$ यदि $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ है,तो $\Delta e$,$2.0$ और $3.0$ मिलीरेडियन के बीच है
$(D)$ यदि $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ है,तो $\Delta e$,$1.0$ और $1.6$ मिलीरेडियन के बीच है
$(A)$ $\Delta e$ का मान (रेडियन में) $\Delta n$ से अधिक है
$(B)$ $\Delta e$,$\Delta n$ के समानुपाती है
$(C)$ यदि $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ है,तो $\Delta e$,$2.0$ और $3.0$ मिलीरेडियन के बीच है
$(D)$ यदि $\Delta n=2.8 \times 10^{-3}$ है,तो $\Delta e$,$1.0$ और $1.6$ मिलीरेडियन के बीच है
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(C) सममित प्रिज्म $(n_1=n_2=n)$ में न्यूनतम विचलन के लिए,आपतन कोण $i$,$\sin i = n \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$।
दूसरी सतह पर,आपतन कोण $r_2 = 30^{\circ}$ है। दूसरी सतह पर अपवर्तन $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ है।
$n_1=n$ और $n_2=n+\Delta n$ के लिए,प्रकाश पहली सतह पर $i$ कोण पर प्रवेश करता है और $r_1=30^{\circ}$ पर अपवर्तित होता है। फिर यह दूसरी सतह की ओर जाता है। चूंकि प्रिज्म सममित है,किरण दूसरी सतह पर $r_2=30^{\circ}$ पर टकराती है।
अतः,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$।
चूंकि $e = i + \Delta e$,हमारे पास $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$ है।
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin i = 3/4$,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$ है।
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$।
चूंकि $0.756 < 1$,$\Delta e < \Delta n$ है। अतः,$(A)$ गलत है।
चूंकि $\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$,$\Delta e$,$\Delta n$ के समानुपाती है। अतः,$(B)$ सही है।
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ के लिए,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$।
यह मान $2.0$ और $3.0$ mrad के बीच है। अतः,$(C)$ सही है।
दिया गया है $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$।
दूसरी सतह पर,आपतन कोण $r_2 = 30^{\circ}$ है। दूसरी सतह पर अपवर्तन $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ है।
$n_1=n$ और $n_2=n+\Delta n$ के लिए,प्रकाश पहली सतह पर $i$ कोण पर प्रवेश करता है और $r_1=30^{\circ}$ पर अपवर्तित होता है। फिर यह दूसरी सतह की ओर जाता है। चूंकि प्रिज्म सममित है,किरण दूसरी सतह पर $r_2=30^{\circ}$ पर टकराती है।
अतः,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$।
चूंकि $e = i + \Delta e$,हमारे पास $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$ है।
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin i = 3/4$,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$ है।
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$।
चूंकि $0.756 < 1$,$\Delta e < \Delta n$ है। अतः,$(A)$ गलत है।
चूंकि $\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$,$\Delta e$,$\Delta n$ के समानुपाती है। अतः,$(B)$ सही है।
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ के लिए,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$।
यह मान $2.0$ और $3.0$ mrad के बीच है। अतः,$(C)$ सही है।
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एक भौतिक राशि $\vec{S}$ को $\vec{S}=(\vec{E} \times \vec{B}) / \mu_0$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र है,$\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है। $\vec{S}$ की विमाएँ निम्नलिखित में से किस राशि (राशियों) की विमाओं के समान हैं?
$(A)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{charge} \times \text{current}}$
$(B)$ $\frac{\text{Force}}{\text{Length} \times \text{Time}}$
$(C)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$
$(D)$ $\frac{\text{Power}}{\text{Area}}$
$(A)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{charge} \times \text{current}}$
$(B)$ $\frac{\text{Force}}{\text{Length} \times \text{Time}}$
$(C)$ $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$
$(D)$ $\frac{\text{Power}}{\text{Area}}$
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$A, B$
D
$B, D$
Solution
(D) सदिश $\vec{S}$ को पॉइंटिंग सदिश के रूप में जाना जाता है,जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के दिशात्मक ऊर्जा प्रवाह (प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा हस्तांतरण की दर) का प्रतिनिधित्व करता है।
$\vec{S}$ का $SI$ मात्रक $\text{W/m}^2$ (वाट प्रति वर्ग मीटर) है।
विमीय विश्लेषण:
$1$. $\text{Power} = \text{Energy} / \text{Time}$,इसलिए $\text{Power} / \text{Area} = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$। यह $\vec{S}$ की परिभाषा से मेल खाता है। अतः,$(D)$ सही है।
$2$. $\text{Force} / (\text{Length} \times \text{Time}) = (\text{Force} \times \text{Length}) / (\text{Length}^2 \times \text{Time}) = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$। यह भी $\vec{S}$ की विमाओं से मेल खाता है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $\text{Energy} / (\text{charge} \times \text{current}) = \text{Energy} / (\text{charge} \times \text{charge} / \text{time}) = \text{Energy} \times \text{time} / \text{charge}^2$। यह मेल नहीं खाता है।
$4$. $\text{Energy} / \text{Volume}$ की विमाएँ दबाव या ऊर्जा घनत्व के समान हैं,जो $\text{J/m}^3$ है। यह मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।
$\vec{S}$ का $SI$ मात्रक $\text{W/m}^2$ (वाट प्रति वर्ग मीटर) है।
विमीय विश्लेषण:
$1$. $\text{Power} = \text{Energy} / \text{Time}$,इसलिए $\text{Power} / \text{Area} = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$। यह $\vec{S}$ की परिभाषा से मेल खाता है। अतः,$(D)$ सही है।
$2$. $\text{Force} / (\text{Length} \times \text{Time}) = (\text{Force} \times \text{Length}) / (\text{Length}^2 \times \text{Time}) = \text{Energy} / (\text{Area} \times \text{Time})$। यह भी $\vec{S}$ की विमाओं से मेल खाता है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $\text{Energy} / (\text{charge} \times \text{current}) = \text{Energy} / (\text{charge} \times \text{charge} / \text{time}) = \text{Energy} \times \text{time} / \text{charge}^2$। यह मेल नहीं खाता है।
$4$. $\text{Energy} / \text{Volume}$ की विमाएँ दबाव या ऊर्जा घनत्व के समान हैं,जो $\text{J/m}^3$ है। यह मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक भारी नाभिक $N$,विरामावस्था में,विखंडन $N \rightarrow P+Q$ से गुजरता है,जहाँ $P$ और $Q$ दो हल्के नाभिक हैं। मान लीजिए $\delta=M_N-M_P-M_Q$,जहाँ $M_P, M_Q$ और $M_N$ क्रमशः $P, Q$ और $N$ के द्रव्यमान हैं। $E_P$ और $E_Q$ क्रमशः $P$ और $Q$ की गतिज ऊर्जाएँ हैं। $P$ और $Q$ की चाल क्रमशः $v_P$ और $v_Q$ हैं। यदि $c$ प्रकाश की चाल है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $E_P+E_Q=c^2 \delta$
$(B)$ $E_P=\left(\frac{M_P}{M_P+M_Q}\right) c^2 \delta$
$(C)$ $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{M_Q}{M_P}$
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों के लिए संवेग का परिमाण $c \sqrt{2 \mu \delta}$ है,जहाँ $\mu=\frac{M_P M_Q}{M_P+M_Q}$
$(A)$ $E_P+E_Q=c^2 \delta$
$(B)$ $E_P=\left(\frac{M_P}{M_P+M_Q}\right) c^2 \delta$
$(C)$ $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{M_Q}{M_P}$
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों के लिए संवेग का परिमाण $c \sqrt{2 \mu \delta}$ है,जहाँ $\mu=\frac{M_P M_Q}{M_P+M_Q}$
A
$A, C, D$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A,C,D) विखंडन अभिक्रिया $N \rightarrow P + Q$ है। विखंडन प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा द्रव्यमान क्षति $\delta$ को $c^2$ से गुणा करने पर प्राप्त होती है,जो $E = \delta c^2$ है।
चूंकि प्रारंभिक नाभिक $N$ विरामावस्था में है,मुक्त हुई कुल ऊर्जा उत्पाद नाभिकों $P$ और $Q$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$E_P + E_Q = \delta c^2$। कथन $(A)$ सही है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $P$ और $Q$ के संवेगों के परिमाण समान होने चाहिए: $p_P = p_Q = p$। अतः,$M_P v_P = M_Q v_Q$,जिसका अर्थ है $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{M_Q}{M_P}$। कथन $(C)$ सही है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $p_P = p_Q = p$,हमारे पास $E_P = \frac{p^2}{2M_P}$ और $E_Q = \frac{p^2}{2M_Q}$ है।
इन्हें ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p^2}{2M_P} + \frac{p^2}{2M_Q} = \delta c^2$।
$\frac{p^2}{2} \left( \frac{M_Q + M_P}{M_P M_Q} \right) = \delta c^2$।
समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{M_P M_Q}{M_P + M_Q}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{p^2}{2\mu} = \delta c^2$ प्राप्त होता है,जो $p = c \sqrt{2 \mu \delta}$ देता है। कथन $(D)$ सही है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि $E_P = \frac{p^2}{2M_P} = \frac{2\mu \delta c^2}{2M_P} = \frac{M_Q}{M_P+M_Q} \delta c^2$।
चूंकि प्रारंभिक नाभिक $N$ विरामावस्था में है,मुक्त हुई कुल ऊर्जा उत्पाद नाभिकों $P$ और $Q$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$E_P + E_Q = \delta c^2$। कथन $(A)$ सही है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $P$ और $Q$ के संवेगों के परिमाण समान होने चाहिए: $p_P = p_Q = p$। अतः,$M_P v_P = M_Q v_Q$,जिसका अर्थ है $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{M_Q}{M_P}$। कथन $(C)$ सही है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $p_P = p_Q = p$,हमारे पास $E_P = \frac{p^2}{2M_P}$ और $E_Q = \frac{p^2}{2M_Q}$ है।
इन्हें ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p^2}{2M_P} + \frac{p^2}{2M_Q} = \delta c^2$।
$\frac{p^2}{2} \left( \frac{M_Q + M_P}{M_P M_Q} \right) = \delta c^2$।
समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{M_P M_Q}{M_P + M_Q}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{p^2}{2\mu} = \delta c^2$ प्राप्त होता है,जो $p = c \sqrt{2 \mu \delta}$ देता है। कथन $(D)$ सही है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि $E_P = \frac{p^2}{2M_P} = \frac{2\mu \delta c^2}{2M_P} = \frac{M_Q}{M_P+M_Q} \delta c^2$।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
दो संकेंद्रित वृत्ताकार लूप,एक की त्रिज्या $R$ और दूसरे की त्रिज्या $2R$,$xy$-समतल में स्थित हैं और उनका केंद्र मूल बिंदु है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। छोटा लूप वामावर्त दिशा में $I_1$ धारा वहन करता है और बड़ा लूप दक्षिणावर्त दिशा में $I_2$ धारा वहन करता है,जहाँ $I_2 > 2I_1$ है। $\vec{B}(x, y)$ $xy$-समतल में एक बिंदु $(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $\vec{B}(x, y)$ समतल के किसी भी बिंदु पर $xy$-समतल के लंबवत है।
$(B)$ $|\vec{B}(x, y)|$ $x$ और $y$ पर केवल त्रिज्यीय दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ के माध्यम से निर्भर करता है।
$(C)$ $|\vec{B}(x, y)|$ $r$ के सभी बिंदुओं के लिए गैर-शून्य है।
$(D)$ $\vec{B}(x, y)$ दोनों लूपों के बीच के सभी बिंदुओं के लिए $xy$-समतल से बाहर की ओर लंबवत दिशा में इंगित करता है।
$(A)$ $\vec{B}(x, y)$ समतल के किसी भी बिंदु पर $xy$-समतल के लंबवत है।
$(B)$ $|\vec{B}(x, y)|$ $x$ और $y$ पर केवल त्रिज्यीय दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ के माध्यम से निर्भर करता है।
$(C)$ $|\vec{B}(x, y)|$ $r$ के सभी बिंदुओं के लिए गैर-शून्य है।
$(D)$ $\vec{B}(x, y)$ दोनों लूपों के बीच के सभी बिंदुओं के लिए $xy$-समतल से बाहर की ओर लंबवत दिशा में इंगित करता है।
A
$A, B, C$
B
$A, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(B) चरण $1$: चुंबकीय क्षेत्र की दिशा का विश्लेषण करें। बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$। चूंकि धारा अवयव $d\vec{\ell}$ $xy$-समतल में स्थित हैं और स्थिति सदिश $\vec{r}$ भी $xy$-समतल में है,इसलिए क्रॉस उत्पाद $d\vec{\ell} \times \vec{r}$ हमेशा $xy$-समतल के लंबवत (अर्थात $z$-अक्ष के अनुदिश) होता है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
चरण $2$: निर्देशांकों पर निर्भरता का विश्लेषण करें। लूपों की वृत्ताकार समरूपता के कारण,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण केवल मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चरण $3$: विभिन्न बिंदुओं पर परिमाण का विश्लेषण करें। केंद्र पर $(r=0)$,छोटे लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (बाहर की ओर) है और बड़े लूप के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (अंदर की ओर) है। चूंकि $I_2 > 2I_1$,इसलिए $B_2 > B_1$,अतः कुल क्षेत्र अंदर की ओर है। जैसे-जैसे हम छोटे लूप की ओर बढ़ते हैं,$B_1$ बढ़ता है और $r=R$ पर अनंत तक पहुंच जाता है। चूंकि $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए एक ऐसा बिंदु होना चाहिए जहां कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
चरण $4$: लूपों के बीच दिशा का विश्लेषण करें। लूपों के बीच,आंतरिक लूप का क्षेत्र अंदर की ओर है और बाहरी लूप का क्षेत्र भी अंदर की ओर है। अतः,कुल क्षेत्र अंदर की ओर इंगित करता है,बाहर की ओर नहीं। कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।
चरण $2$: निर्देशांकों पर निर्भरता का विश्लेषण करें। लूपों की वृत्ताकार समरूपता के कारण,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण केवल मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चरण $3$: विभिन्न बिंदुओं पर परिमाण का विश्लेषण करें। केंद्र पर $(r=0)$,छोटे लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (बाहर की ओर) है और बड़े लूप के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (अंदर की ओर) है। चूंकि $I_2 > 2I_1$,इसलिए $B_2 > B_1$,अतः कुल क्षेत्र अंदर की ओर है। जैसे-जैसे हम छोटे लूप की ओर बढ़ते हैं,$B_1$ बढ़ता है और $r=R$ पर अनंत तक पहुंच जाता है। चूंकि $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए एक ऐसा बिंदु होना चाहिए जहां कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
चरण $4$: लूपों के बीच दिशा का विश्लेषण करें। लूपों के बीच,आंतरिक लूप का क्षेत्र अंदर की ओर है और बाहरी लूप का क्षेत्र भी अंदर की ओर है। अतः,कुल क्षेत्र अंदर की ओर इंगित करता है,बाहर की ओर नहीं। कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।
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एक सर्किट में,एक मेटल फिलामेंट लैंप को $C \mu F$ धारिता वाले संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में $200 V, 50 Hz$ की आपूर्ति से जोड़ा गया है। लैंप द्वारा खपत की गई शक्ति $500 W$ है जबकि इसके सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $100 V$ है। मान लीजिए कि सर्किट में कोई प्रेरक भार (inductive load) नहीं है। वोल्टेज के $rms$ मान लें। धारा और आपूर्ति वोल्टेज के बीच फेज-एंगल (डिग्री में) का परिमाण $\varphi$ है।
मान लीजिए,$\pi \sqrt{3} \approx 5$.
$(1)$ $C$ का मान . . . . . .
$(2)$ $\varphi$ का मान है
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
मान लीजिए,$\pi \sqrt{3} \approx 5$.
$(1)$ $C$ का मान . . . . . .
$(2)$ $\varphi$ का मान है
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
A
$100, 60$
B
$100, 70$
C
$101, 60$
D
$102, 80$
Solution
(A) दिया गया है: आपूर्ति वोल्टेज $V = 200 V$,आवृत्ति $f = 50 Hz$,शक्ति $P = 500 W$,लैंप पर वोल्टेज $V_R = 100 V$.
$1$. चूंकि सर्किट एक $RC$ श्रेणी सर्किट है,इसलिए आपूर्ति वोल्टेज $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ है।
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. फेज एंगल $\varphi$ को $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. शक्ति $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
साथ ही,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
अतः,$C = 100 \mu F$ और $\varphi = 60^{\circ}$।
$1$. चूंकि सर्किट एक $RC$ श्रेणी सर्किट है,इसलिए आपूर्ति वोल्टेज $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ है।
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. फेज एंगल $\varphi$ को $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. शक्ति $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
साथ ही,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
अतः,$C = 100 \mu F$ और $\varphi = 60^{\circ}$।
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एक विशेष धातु $S$ बिना किसी प्रतिरोध के बिजली का संचालन करती है। $S$ से बनी एक बंद तार की लूप,एक प्रतिपूरक फ्लक्स उत्पन्न करने के लिए उपयुक्त धारा को प्रेरित करके अपने माध्यम से फ्लक्स में किसी भी परिवर्तन की अनुमति नहीं देती है। लूप में प्रेरित धारा अपने शून्य प्रतिरोध के कारण क्षय नहीं हो सकती है। यह धारा एक चुंबकीय आघूर्ण को जन्म देती है जो बदले में चुंबकीय क्षेत्र या फ्लक्स के स्रोत को पीछे हटाती है। ऐसी एक लूप पर विचार करें,जिसकी त्रिज्या $a$ है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। $m$ आघूर्ण का एक चुंबकीय द्विध्रुव इस लूप की धुरी के साथ अनंत से लूप के केंद्र से $r \gg a$ की दूरी पर एक बिंदु तक लाया जाता है,जिसका उत्तरी ध्रुव हमेशा लूप की ओर होता है,जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
द्विध्रुव $m$ के चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण,उसकी धुरी पर $r$ दूरी पर एक बिंदु पर,$\frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है। सामान्य धुरी पर $r$ दूरी से अलग,$m_1$ और $m_2$ आघूर्ण वाले दो चुंबकीय द्विध्रुवों के बीच बल का परिमाण,जब उनके उत्तरी ध्रुव एक-दूसरे के सामने हों,$\frac{k m_1 m_2}{r^4}$ है,जहाँ $k$ उपयुक्त आयामों का एक स्थिरांक है। इस बल की दिशा दो द्विध्रुवों को जोड़ने वाली रेखा के साथ होती है।
$(1)$ जब द्विध्रुव $m$ को लूप के केंद्र से $r$ दूरी पर रखा जाता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),तो लूप में प्रेरित धारा किसके समानुपाती होगी?
$(A) \frac{m}{r^3} \quad (B) \frac{m^2}{r^2} \quad (C) \frac{m}{r^2} \quad (D) \frac{m^2}{r}$
$(2)$ दी गई प्रक्रिया द्वारा द्विध्रुव को अनंत से लूप के केंद्र से $r$ दूरी तक लाने में किया गया कार्य किसके समानुपाती है?
$(A) \frac{m}{r^5} \quad (B) \frac{m^2}{r^5} \quad (C) \frac{m^2}{r^6} \quad (D) \frac{m^2}{r^7}$
द्विध्रुव $m$ के चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण,उसकी धुरी पर $r$ दूरी पर एक बिंदु पर,$\frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है। सामान्य धुरी पर $r$ दूरी से अलग,$m_1$ और $m_2$ आघूर्ण वाले दो चुंबकीय द्विध्रुवों के बीच बल का परिमाण,जब उनके उत्तरी ध्रुव एक-दूसरे के सामने हों,$\frac{k m_1 m_2}{r^4}$ है,जहाँ $k$ उपयुक्त आयामों का एक स्थिरांक है। इस बल की दिशा दो द्विध्रुवों को जोड़ने वाली रेखा के साथ होती है।
$(1)$ जब द्विध्रुव $m$ को लूप के केंद्र से $r$ दूरी पर रखा जाता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),तो लूप में प्रेरित धारा किसके समानुपाती होगी?
$(A) \frac{m}{r^3} \quad (B) \frac{m^2}{r^2} \quad (C) \frac{m}{r^2} \quad (D) \frac{m^2}{r}$
$(2)$ दी गई प्रक्रिया द्वारा द्विध्रुव को अनंत से लूप के केंद्र से $r$ दूरी तक लाने में किया गया कार्य किसके समानुपाती है?
$(A) \frac{m}{r^5} \quad (B) \frac{m^2}{r^5} \quad (C) \frac{m^2}{r^6} \quad (D) \frac{m^2}{r^7}$
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
$D$
Solution
(A,C) चूंकि लूप का प्रतिरोध शून्य है,इसलिए इससे गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहना चाहिए। प्रारंभ में,फ्लक्स शून्य है,इसलिए इसे शून्य ही रहना चाहिए।
$(1)$ द्विध्रुव के कारण लूप पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ है।
लूप से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 m}{2 \pi r^3} \cdot \pi a^2$ है।
कुल फ्लक्स को शून्य रखने के लिए,लूप एक धारा $i$ प्रेरित करता है ताकि $L i + \phi = 0$,जहाँ $L$ लूप का स्व-प्रेरकत्व है।
अतः,$i = -\frac{\phi}{L} = -\frac{\mu_0 m a^2}{2 L r^3}$।
इसलिए,$i \propto \frac{m}{r^3}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$(2)$ लूप का प्रेरित चुंबकीय आघूर्ण $m' = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{m}{r^3}$ है।
द्विध्रुव $m$ और लूप (जो द्विध्रुव $m'$ के रूप में कार्य करता है) के बीच का बल $F = \frac{k m m'}{r^4} \propto \frac{m (m/r^3)}{r^4} = \frac{m^2}{r^7}$ है।
किया गया कार्य $W = \int_{\infty}^{r} F \cdot dr = \int_{\infty}^{r} \frac{C m^2}{r^7} dr$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)।
$W \propto m^2 \int_{\infty}^{r} r^{-7} dr = m^2 [\frac{r^{-6}}{-6}]_{\infty}^{r} \propto \frac{m^2}{r^6}$।
सही विकल्प $(C)$ है।
$(1)$ द्विध्रुव के कारण लूप पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ है।
लूप से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 m}{2 \pi r^3} \cdot \pi a^2$ है।
कुल फ्लक्स को शून्य रखने के लिए,लूप एक धारा $i$ प्रेरित करता है ताकि $L i + \phi = 0$,जहाँ $L$ लूप का स्व-प्रेरकत्व है।
अतः,$i = -\frac{\phi}{L} = -\frac{\mu_0 m a^2}{2 L r^3}$।
इसलिए,$i \propto \frac{m}{r^3}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$(2)$ लूप का प्रेरित चुंबकीय आघूर्ण $m' = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{m}{r^3}$ है।
द्विध्रुव $m$ और लूप (जो द्विध्रुव $m'$ के रूप में कार्य करता है) के बीच का बल $F = \frac{k m m'}{r^4} \propto \frac{m (m/r^3)}{r^4} = \frac{m^2}{r^7}$ है।
किया गया कार्य $W = \int_{\infty}^{r} F \cdot dr = \int_{\infty}^{r} \frac{C m^2}{r^7} dr$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)।
$W \propto m^2 \int_{\infty}^{r} r^{-7} dr = m^2 [\frac{r^{-6}}{-6}]_{\infty}^{r} \propto \frac{m^2}{r^6}$।
सही विकल्प $(C)$ है।
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29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
$E$ emf वाले सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ मापने के लिए,$R_0=50 \Omega$ प्रतिरोध वाले मीटर ब्रिज,$R_0/2$ प्रतिरोध,$E/2$ emf वाला एक अन्य सेल (आंतरिक प्रतिरोध $r$) और एक गैल्वेनोमीटर $G$ का उपयोग चित्र में दिखाए गए परिपथ में किया जाता है। यदि शून्य विक्षेप बिंदु $l=72 \text{ cm}$ पर प्राप्त होता है,तो $r_1$ का मान . . . . $\Omega$ है।
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(B) माना मीटर ब्रिज के तार का कुल प्रतिरोध $R_0 = 50 \Omega$ है। तार की लंबाई $100 \text{ cm}$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l = 72 \text{ cm}$ पर,तार के बाएं भाग का प्रतिरोध $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ है।
परिपथ में मुख्य लूप में $E$ emf और $r_1$ आंतरिक प्रतिरोध है,जो $R_0$ तार और $R_0/2$ बाहरी प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
मुख्य लूप में धारा $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,तार के $l$ लंबाई वाले भाग पर विभवांतर दूसरे सेल के emf $E/2$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$I \times 36 = E/2$.
$I$ का मान रखने पर,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (या परिपथ विश्लेषण के अनुसार $r_1 = 3 \Omega$)।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l = 72 \text{ cm}$ पर,तार के बाएं भाग का प्रतिरोध $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ है।
परिपथ में मुख्य लूप में $E$ emf और $r_1$ आंतरिक प्रतिरोध है,जो $R_0$ तार और $R_0/2$ बाहरी प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
मुख्य लूप में धारा $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,तार के $l$ लंबाई वाले भाग पर विभवांतर दूसरे सेल के emf $E/2$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$I \times 36 = E/2$.
$I$ का मान रखने पर,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (या परिपथ विश्लेषण के अनुसार $r_1 = 3 \Omega$)।
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30
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2021
एक फोटो-इमिशन प्रयोग में,धातुओं $P, Q$ और $R$ से उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा क्रमशः $E_P, E_Q$ और $E_R$ है,और वे $E_P = 2E_Q = 2E_R$ संबंध द्वारा संबंधित हैं। इस प्रयोग में,धातुओं $P$ और $Q$ के लिए एक ही मोनोक्रोमैटिक प्रकाश स्रोत का उपयोग किया जाता है,जबकि धातु $R$ के लिए एक अलग मोनोक्रोमैटिक प्रकाश स्रोत का उपयोग किया जाता है। धातुओं $P, Q$ और $R$ के कार्य फलन (work functions) क्रमशः $4.0 \ eV$,$4.5 \ eV$ और $5.5 \ eV$ हैं। धातु $R$ के लिए उपयोग किए गए आपतित फोटॉन की ऊर्जा,$eV$ में,क्या है?
A
$6$
B
$8$
C
$9$
D
$10$
Solution
(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
धातुओं $P$ और $Q$ के लिए,आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_1$ समान है:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_P = 2E_Q$,इसलिए:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
अब,$E_Q$ की गणना करें:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_Q = E_R$,इसलिए $E_R = 0.5 \ eV$.
धातु $R$ के लिए,मान लीजिए आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_2$ है:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.
धातुओं $P$ और $Q$ के लिए,आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_1$ समान है:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_P = 2E_Q$,इसलिए:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
अब,$E_Q$ की गणना करें:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
दिया गया है कि $E_Q = E_R$,इसलिए $E_R = 0.5 \ eV$.
धातु $R$ के लिए,मान लीजिए आपतित फोटॉन ऊर्जा $E_2$ है:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.
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