IIT JEE 1987 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं।
माना ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ और ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$।
तब $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$।
साथ ही,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$।
इनकी तुलना करने पर,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$।
अतः,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,जो दर्शाता है कि $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$।

(C) दी गई असमिका: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
हर का गुणनखंड करने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{x + 1}$ घटाने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
उभयनिष्ठ हर लेने पर: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
अंश को सरल करने पर: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ से गुणा करने और असमिका को पलटने पर: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ के लिए सत्य है।

(B) छात्र कम से कम एक पुस्तक $T$ तरीकों से चुन सकता है,जहाँ $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$ है।
हम जानते हैं कि $(2n+1)$ के लिए सभी द्विपद गुणांकों का योग ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ होता है।
चूंकि ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,इसलिए ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ है।
अतः,$1 + ({}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_n) + ({}^{2n+1}C_{n+1} + ... + {}^{2n+1}C_{2n}) + 1 = 2^{2n+1}$।
चूंकि पहले $n$ पदों का योग $T$ है,और अगले $n$ पदों का योग भी $T$ है,इसलिए $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$।
$2 + 2T = 2^{2n+1} \Rightarrow 1 + T = 2^{2n}$।
$T = 63$ दिया गया है,इसलिए $1 + 63 = 2^{2n} \Rightarrow 64 = 2^{2n}$।
$2^6 = 2^{2n}$ $\Rightarrow 2n = 6$ $\Rightarrow n = 3$।

(C) माना त्रिभुज के कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं। $A + B + C = 180^{\circ}$ और $2B = A + C$ होने के कारण,$3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
दी गई भुजाएँ $10 \, cm$ और $9 \, cm$ हैं। $B = 60^{\circ}$ मध्य कोण है,इसलिए इसके सामने की भुजा $b$ मध्य भुजा होगी। अतः $b = 9 \, cm$ और सबसे बड़ी भुजा $a = 10 \, cm$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
मान रखने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)(c)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c}$।
$10c = 19 + c^2 \Rightarrow c^2 - 10c + 19 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$।
दोनों मान धनात्मक हैं और त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए तीसरी भुजा $5 - \sqrt{6}$ या $5 + \sqrt{6}$ हो सकती है।

(C) माना छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $l$ है। माना सिरे $A$ और $B$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं,ताकि $A = (a, 0)$ और $B = (0, b)$ हो।
चूंकि छड़ की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = l^2$ है।
माना $P(h, k)$ छड़ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
इन मानों को $a^2 + b^2 = l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 36y^2 = 4l^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $P(4, 3)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ है। त्रिज्या $r = 3$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ है,जो $4x + 3y = 9$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ है।
$\triangle OAQ$ में,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।
दूरी $PQ$ बिंदु $P(4, 3)$ से रेखा $4x + 3y - 9 = 0$ की दूरी है,जो $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूंकि $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ और $P(B) = 1 - P(\bar{B})$,हम इन्हें योग प्रमेय में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$P(A \cup B) = (1 - P(\bar{A})) + (1 - P(\bar{B})) - P(A \cap B)$
$0.6 = 2 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B})) - 0.2$
$0.6 = 1.8 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B}))$
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 1.8 - 0.6 = 1.2$.

(B) दी गई असमिका: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$
हम बाईं ओर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$
यह सरल होकर बनता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ $(ii)$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $0$ या उससे कम तभी हो सकता है जब प्रत्येक वर्ग पद $0$ हो:
$(ap - b)^2 = 0, (bp - c)^2 = 0, (cp - d)^2 = 0$
इसका अर्थ है:
$ap = b, bp = c, cp = d$
अतः:
$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$
चूंकि क्रमिक पदों का अनुपात स्थिर $(p)$ है,इसलिए अनुक्रम $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में है।

(B) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}$ और $\alpha_1 \alpha_2 = \frac{c}{a}$।
अब,$\beta_1, \beta_2$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}$ और $\beta_1 \beta_2 = \frac{r}{p}$।
निकाय $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ और $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ का शून्येतर हल तब होता है जब सारणिक शून्य हो:
$\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0 \implies \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$।
तब $\alpha_1 = k \beta_1$ और $\alpha_2 = k \beta_2$।
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = k = \frac{-b/a}{-q/p} = \frac{bp}{aq}$।
साथ ही,$\frac{\alpha_1 \alpha_2}{\beta_1 \beta_2} = k^2 = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$।
$k^2$ की तुलना करने पर:
$\left(\frac{bp}{aq}\right)^2 = \frac{cp}{ar} \implies \frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$।
सरल करने पर:
$b^2 pr = q^2 ac$।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 15 \\ 0 & -2-2x & 5-5x^2 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_1$ से $3$ और $R_2$ से $5$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$15 \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2(1+x) & 5(1-x)(1+x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_2$ से $(1+x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$15(1+x) \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 5(1-x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$15(1+x) [1(2 \times 5(1-x) - 5 \times (-2))] = 0$
$15(1+x) [10-10x + 10] = 0$
$15(1+x) [20-10x] = 0$
$150(1+x)(2-x) = 0$
अतः,$x = -1$ या $x = 2$।

(B) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \to R_3 - \alpha R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ 0 & 0 & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{array} \right|$.
तीसरी पंक्ति $(R_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \cdot \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$.
$\Delta = 0$ के लिए,$b^2 - ac = 0$ या $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ होना चाहिए.
प्रतिबंध $b^2 - ac = 0$ का अर्थ है $b^2 = ac$,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) और $b$ के लंबवत सदिश उनके क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$.
इस सदिश का परिमाण $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|}$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,इकाई सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(i - j + k)$ हैं।
इसलिए,ऐसे कुल $2$ सदिश हैं।

(D) मान लीजिए $r = \lambda b + \mu c$. यहाँ $b = 4i + 3j$ है,इसलिए $|b| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
चूँकि $c$,$xy$-समतल में $b$ के लंबवत है,इसलिए $c$,$3i - 4j$ के समानांतर होना चाहिए। मान लीजिए $c = k(3i - 4j)$ है। $r$ का $c$ पर प्रक्षेप $2$ होने के लिए,हम $c$ को इकाई सदिश के रूप में लेते हैं,जिससे $c = \pm \frac{1}{5}(3i - 4j)$ प्राप्त होता है।
$r$ का $b$ पर प्रक्षेप $= \frac{r \cdot b}{|b|} = \lambda |b| = 5\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$।
$r$ का $c$ पर प्रक्षेप $= \frac{r \cdot c}{|c|} = \mu |c| = \mu = 2$।
अतः,$r = \frac{1}{5}(4i + 3j) \pm 2 \cdot \frac{1}{5}(3i - 4j)$।
स्थिति $1$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j + 6i - 8j) = \frac{10i - 5j}{5} = 2i - j$।
स्थिति $2$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j - 6i + 8j) = \frac{-2i + 11j}{5} = -\frac{2}{5}i + \frac{11}{5}j$।

(D) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
इस समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$ (चिह्नों के समायोजन के बाद)
अंततः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 - \sec x R_3$ लागू करने पर,हमें $f(x) = -\sin^2 x - \cos^5 x$ प्राप्त होता है।
अब,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx = -\int_0^{\pi/2} (\sin^2 x + \cos^5 x) dx$.
वालिस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \frac{\pi}{4}$ और $\int_0^{\pi/2} \cos^5 x dx = \frac{8}{15}$।
अतः,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx = -(\frac{\pi}{4} + \frac{8}{15}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{8}{15}$।