IIT JEE 1987 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
આ શરત સૂચવે છે કે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુમાંથી નીકળતા એક જ કિરણ પર આવેલા છે.
ધારો કે ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ અને ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$.
તેથી $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$.
વળી,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$.
આમ,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$.

(C) આપેલ અસમતા: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
છેદના અવયવ પાડતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
બંને બાજુથી $\frac{1}{x + 1}$ બાદ કરતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતા ઉલટાવતા: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ માટે સાચી છે.

(B) વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક $T$ રીતે પસંદ કરી શકે છે,જ્યાં $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(2n+1)$ માટે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ થાય છે.
કારણ કે ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,તેથી ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$.
આમ,$1 + ({}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_n) + ({}^{2n+1}C_{n+1} + ... + {}^{2n+1}C_{2n}) + 1 = 2^{2n+1}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $T$ છે,અને પછીના $n$ પદોનો સરવાળો પણ $T$ છે,તેથી $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$.
$2 + 2T = 2^{2n+1} \Rightarrow 1 + T = 2^{2n}$.
$T = 63$ આપેલ હોવાથી,$1 + 63 = 2^{2n} \Rightarrow 64 = 2^{2n}$.
$2^6 = 2^{2n}$ $\Rightarrow 2n = 6$ $\Rightarrow n = 3$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે. $A + B + C = 180^{\circ}$ અને $2B = A + C$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
આપેલ બાજુઓ $10 \, cm$ અને $9 \, cm$ છે. $B = 60^{\circ}$ એ મધ્યમ ખૂણો હોવાથી,તેની સામેની બાજુ $b$ એ મધ્યમ બાજુ થશે. તેથી $b = 9 \, cm$ અને સૌથી મોટી બાજુ $a = 10 \, cm$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)(c)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c}$.
$10c = 19 + c^2 \Rightarrow c^2 - 10c + 19 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$.
બંને કિંમતો ધન છે અને ત્રિકોણની અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી ત્રીજી બાજુ $5 - \sqrt{6}$ અથવા $5 + \sqrt{6}$ હોઈ શકે છે.

(C) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $l$ છે. ધારો કે છેડાઓ $A$ અને $B$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે,જેથી $A = (a, 0)$ અને $B = (0, b)$ થાય.
સળિયાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = l^2$ થાય.
ધારો કે $P(h, k)$ એ સળિયા પરનું બિંદુ છે જે તેને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = l^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 36y^2 = 4l^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(4, 3)$ છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ છે. ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
સ્પર્શક જીવાની સમીકરણ $AB$ એ $T = 0$ છે,જે $4x + 3y = 9$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ છે.
$\triangle OAQ$ માં,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ છે.
સ્પર્શક જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ છે.
અંતર $PQ$ એ બિંદુ $P(4, 3)$ થી રેખા $4x + 3y - 9 = 0$ નું અંતર છે,જે $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$ અને $P(B) = 1 - P(\bar{B})$ હોવાથી,આપણે તેને સરવાળાના પ્રમેયમાં મૂકી શકીએ:
$P(A \cup B) = (1 - P(\bar{A})) + (1 - P(\bar{B})) - P(A \cap B)$
$0.6 = 2 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B})) - 0.2$
$0.6 = 1.8 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B}))$
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 1.8 - 0.6 = 1.2$.

(B) આપેલ અસમતા: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$
ડાબી બાજુના પદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$
આનું સાદું રૂપ:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ $(ii)$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી સરવાળો $0$ કે તેથી ઓછો ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક વર્ગનું પદ $0$ હોય:
$(ap - b)^2 = 0, (bp - c)^2 = 0, (cp - d)^2 = 0$
આથી:
$ap = b, bp = c, cp = d$
તેથી:
$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$
ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર અચળ $(p)$ હોવાથી,શ્રેણી $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha_1 \alpha_2 = \frac{c}{a}$.
હવે,$\beta_1, \beta_2$ એ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}$ અને $\beta_1 \beta_2 = \frac{r}{p}$.
સંહતિ $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ અને $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0 \implies \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$.
તેથી $\alpha_1 = k \beta_1$ અને $\alpha_2 = k \beta_2$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = k = \frac{-b/a}{-q/p} = \frac{bp}{aq}$.
વળી,$\frac{\alpha_1 \alpha_2}{\beta_1 \beta_2} = k^2 = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$.
$k^2$ ને સરખાવતા:
$\left(\frac{bp}{aq}\right)^2 = \frac{cp}{ar} \implies \frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$b^2 pr = q^2 ac$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 15 \\ 0 & -2-2x & 5-5x^2 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_1$ માંથી $3$ અને $R_2$ માંથી $5$ સામાન્ય લેતા:
$15 \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2(1+x) & 5(1-x)(1+x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_2$ માંથી $(1+x)$ સામાન્ય લેતા:
$15(1+x) \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 5(1-x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$15(1+x) [1(2 \times 5(1-x) - 5 \times (-2))] = 0$
$15(1+x) [10-10x + 10] = 0$
$15(1+x) [20-10x] = 0$
$150(1+x)(2-x) = 0$
આમ,$x = -1$ અથવા $x = 2$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_3 \to R_3 - \alpha R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ 0 & 0 & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{array} \right|$.
ત્રીજી હાર $(R_3)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \cdot \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$.
$\Delta = 0$ માટે,$b^2 - ac = 0$ અથવા $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ હોવું જોઈએ.
શરત $b^2 - ac = 0$ નો અર્થ છે $b^2 = ac$,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) સદિશ $a$ અને $b$ ને લંબ સદિશ તેમના ક્રોસ પ્રોડક્ટ $a \times b$ દ્વારા મળે છે.
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$.
આ સદિશનું માન $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,એકમ સદિશો $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(i - j + k)$ છે.
તેથી,આવા કુલ $2$ સદિશો મળે છે.

(D) ધારો કે $r = \lambda b + \mu c$. અહીં $b = 4i + 3j$ હોવાથી,$|b| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
$c$ એ $xy$-સમતલમાં $b$ ને લંબ હોવાથી,$c$ એ $3i - 4j$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ. ધારો કે $c = k(3i - 4j)$. $r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $2$ હોવાથી,આપણે $c$ ને એકમ સદિશ તરીકે લઈએ તો $c = \pm \frac{1}{5}(3i - 4j)$.
$r$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{r \cdot b}{|b|} = \lambda |b| = 5\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.
$r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{r \cdot c}{|c|} = \mu |c| = \mu = 2$.
તેથી,$r = \frac{1}{5}(4i + 3j) \pm 2 \cdot \frac{1}{5}(3i - 4j)$.
કિસ્સો $1$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j + 6i - 8j) = \frac{10i - 5j}{5} = 2i - j$.
કિસ્સો $2$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j - 6i + 8j) = \frac{-2i + 11j}{5} = -\frac{2}{5}i + \frac{11}{5}j$.

(D) સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
આ સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$ (ચિહ્નોની ગોઠવણી બાદ)
અંતે,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 - \sec x R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા,નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ $f(x) = -\sin^2 x - \cos^5 x$ મળે છે.
હવે,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx = -\int_0^{\pi/2} (\sin^2 x + \cos^5 x) dx$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \frac{\pi}{4}$ અને $\int_0^{\pi/2} \cos^5 x dx = \frac{8}{15}$.
તેથી,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx = -(\frac{\pi}{4} + \frac{8}{15}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{8}{15}$.