AP EAMCET 2018 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हमारे पास है,$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2n+1}{n^2}\right)=121$
प्रत्येक पद को सरल करने पर: $\left(\frac{4}{1}\right)\left(\frac{9}{4}\right)\left(\frac{16}{9}\right) \ldots\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right)=121$
यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है: $\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(\frac{16}{9}\right) \times \ldots \times \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right)=121$
मध्यवर्ती पदों को काटने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{(n+1)^2}{1} = 121$
$(n+1)^2 = 121$
$n+1 = 11$
$n = 10$

(A) दिया गया है,$f(x)=5 \cos x+3 \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+8$
$=5 \cos x+3\left\{\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin x \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right\}+8$
$=5 \cos x+3\left\{\cos x\left(\frac{1}{2}\right)-\sin x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}+8$
$=5 \cos x+\frac{3}{2} \cos x-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \sin x+8$
$=\frac{13}{2} \cos x-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \sin x+8$
अब,हम जानते हैं कि $A \sin x+B \cos x \in \left[-\sqrt{A^2+B^2}, \sqrt{A^2+B^2}\right]$
यहाँ,$A=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ और $B=\frac{13}{2}$
इसलिए,$-\sqrt{\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}+8$
$\Rightarrow -\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{169}{4}}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\frac{27}{4}+\frac{169}{4}}+8$
$\Rightarrow -\sqrt{\frac{196}{4}}+8 \leq f(x) \leq \sqrt{\frac{196}{4}}+8$
$\Rightarrow -7+8 \leq f(x) \leq 7+8$
$\Rightarrow 1 \leq f(x) \leq 15$
अतः,अधिकतम मान $15$ है और न्यूनतम मान $1$ है।

(C) दिया गया है,$4 \cos 2 \theta \cdot \cos 3 \theta = \sec \theta$ जहाँ $0 < \theta < \pi$ है।
$\cos \theta$ से गुणा करने पर,$4 \cos 2 \theta \cdot \cos 3 \theta \cdot \cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$।
$2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$।
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta + \cos 4 \theta + 1 = 1$।
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$।
स्थिति $1$: $\cos 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}$।
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0$ $\Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2 \theta = \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}$।
ये सभी $6$ मान अंतराल $(0, \pi)$ में स्थित हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $6$ है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए: $\tan x - \tan^2 x > 0 \Rightarrow \tan x(1 - \tan x) > 0$.
इसका अर्थ है $0 < \tan x < 1$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,यह तब होता है जब $x \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4})$ हो।
समुच्चय $B$ के लिए: $|\sin x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $x \in [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ज्ञात करने पर:
$A = (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4})$
$B = [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$
$A \cap B = (0, \frac{\pi}{6}) \cup (\pi, \frac{7\pi}{6})$।

(C) जब निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु के परितः $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta$
$y = x_1 \sin \theta + y_1 \cos \theta$
दिया गया है $\theta = \tan ^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$. त्रिकोणमितीय अनुपात से,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
इन मानों को रूपांतरण समीकरणों में रखने पर:
$x = \frac{4}{5} x_1 - \frac{3}{5} y_1$
$y = \frac{3}{5} x_1 + \frac{4}{5} y_1$
अब,इन मानों को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ में रखने पर:
$\left(\frac{4}{5} x_1 - \frac{3}{5} y_1\right)^2 + \left(\frac{3}{5} x_1 + \frac{4}{5} y_1\right)^2 = 9$
$\frac{1}{25} \left( (4x_1 - 3y_1)^2 + (3x_1 + 4y_1)^2 \right) = 9$
$\frac{1}{25} \left( 16x_1^2 + 9y_1^2 - 24x_1y_1 + 9x_1^2 + 16y_1^2 + 24x_1y_1 \right) = 9$
$\frac{1}{25} \left( 25x_1^2 + 25y_1^2 \right) = 9$
$x_1^2 + y_1^2 = 9$
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है।

(B) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(-2, 3)$,$B(1, -2)$ और $C(2, 1)$ हैं।
परिकेंद्र भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
माना $E$ परिकेंद्र है। $BC$ का मध्य बिंदु $D$ है।
$D = (\frac{1+2}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$.
$BC$ की ढाल = $\frac{1 - (-2)}{2 - 1} = 3$.
लंब समद्विभाजक $DE$ की ढाल = $-\frac{1}{3}$.
$DE$ का समीकरण: $y - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow x + 3y = 0 \quad (i)$.
$AB$ का मध्य बिंदु $F$ है।
$F = (\frac{-2+1}{2}, \frac{3-2}{2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
$AB$ की ढाल = $\frac{-2-3}{1-(-2)} = -\frac{5}{3}$.
लंब समद्विभाजक $EF$ की ढाल = $\frac{3}{5}$.
$EF$ का समीकरण: $y - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}(x + \frac{1}{2}) \Rightarrow 3x - 5y = -4 \quad (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$x = -3y$ को $(ii)$ में रखने पर: $3(-3y) - 5y = -4$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$.
अतः $x = -\frac{6}{7}$.
इस प्रकार,परिकेंद्र $(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7})$ है।

(B) $ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $16$ इकाई है। मान लीजिए $a = 16$ इकाई है।
शीर्ष $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$,और $D(0, a)$ हैं।
वर्ग के परिगत वृत्त का केंद्र विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु है,जो $O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ है।
वृत्त का व्यास विकर्ण $AC = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2} = a\sqrt{2}$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h = \frac{a}{2}$,$k = \frac{a}{2}$,और $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - ay + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$
$x^2 + y^2 = a(x+y)$
$a = 16$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $x^2 + y^2 = 16(x+y)$ है।
इसकी तुलना $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ से करने पर,$4k = 16$ प्राप्त होता है,अतः $k = 4$।

(A) माना रेखाएं $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$,और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं।
चूंकि लंबकेंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है,$L_1$ और $L_2$ द्वारा बने शीर्ष से $L_3$ पर डाला गया शीर्षलंब मूल बिंदु से गुजरना चाहिए।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $y = 1$ है।
$(-1, 1)$ से $L_3$ पर शीर्षलंब मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -x$ या $x + y = 0$ है।
चूंकि यह शीर्षलंब $L_3: ax + by - 1 = 0$ के लंबवत है,$L_3$ की ढाल $1$ होनी चाहिए। अतः,$a/b = -1$,या $a = -b$।
$b = -a$ को $L_3$ में रखने पर,हमें $ax - ay - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबकेंद्र शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन है,$L_2$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन से $L_1$ पर शीर्षलंब भी मूल बिंदु से गुजरना चाहिए।
$L_1$ के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $3x - 2y = 0$ है।
$3x - 2y = 0$ और $x + 2y = 1$ को हल करने पर $x = 1/4$ और $y = 3/8$ प्राप्त होता है।
$(1/4, 3/8)$ को $ax - ay - 1 = 0$ में रखने पर $a(1/4 - 3/8) = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a(-1/8) = 1$,जिसका अर्थ है $a = -8$।
चूंकि $b = -a$,इसलिए $b = 8$।
अतः,$(a, b) = (-8, 8)$।

(D) रेखाएँ $ax+by+2=0$ और $ax+by+5=0$ समांतर हैं। उनके बीच की दूरी $d_1 = \frac{|5-2|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
रेखाएँ $cx+dy+3=0$ और $cx+dy+7=0$ समांतर हैं। उनके बीच की दूरी $d_2 = \frac{|7-3|}{\sqrt{c^2+d^2}} = \frac{4}{\sqrt{c^2+d^2}}$ है।
दो समांतर रेखाओं के युग्मों द्वारा बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र: क्षेत्रफल $= \frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|ad-bc|}$ है।
यहाँ,$c_1=2, c_2=5$ और $d_1=3, d_2=7$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{|(2-5)(3-7)|}{|ad-bc|} = \frac{|(-3)(-4)|}{|ad-bc|} = \frac{12}{|ad-bc|}$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण दिया गया है: $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$.
सबसे पहले,हम समघातीय भाग $2x^2 - xy - 3y^2 = 0$ का गुणनखंड करते हैं:
$2x^2 - 3xy + 2xy - 3y^2 = 0$
$x(2x - 3y) + y(2x - 3y) = 0$
$(x + y)(2x - 3y) = 0$.
माना अलग समीकरण $(x + y + m) = 0$ और $(2x - 3y + l) = 0$ हैं।
तब,$(x + y + m)(2x - 3y + l) = 2x^2 - xy - 3y^2 + (l + 2m)x + (l - 3m)y + ml = 2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$l + 2m = 6$ $(i)$
$l - 3m = 1$ (ii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $5m = 5 \Rightarrow m = 1$.
$m = 1$ को $(i)$ में रखने पर: $l + 2 = 6 \Rightarrow l = 4$.
अलग रेखाएं $L_1: x + y + 1 = 0$ और $L_2: 2x - 3y + 4 = 0$ हैं।
बिंदु $P(-1, 5)$ से $L_1$ पर लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|-1 + 5 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
बिंदु $P(-1, 5)$ से $L_2$ पर लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|2(-1) - 3(5) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 - 15 + 4|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-13|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$.
लंबाइयों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{2}} \times \sqrt{13} = \frac{5\sqrt{13}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{26}}{2} = \frac{65}{\sqrt{26}}$.

(A) रेखाओं के दिए गए समीकरण हैं:
$x+ay+a=0$
$bx+y+b=0$
$cx+cy+1=0$
चूँकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$
$1 + 2abc = ab + bc + ac$
अब,व्यंजक $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$ का मूल्यांकन करते हैं।
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$
$S = \frac{3abc - 2(ab+bc+ac) + (a+b+c)}{abc - (ab+bc+ac) + (a+b+c) - 1}$
$ab+bc+ac = 1+2abc$ रखने पर:
$S = \frac{3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c)}{abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1}$
$S = \frac{-abc + a+b+c - 2}{-abc + a+b+c - 2} = 1$

(C) माना दी गई रेखा $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ है और समद्विभाजक $L: 2x + 3y + 1 = 0$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2: ax + by + c = 0$ है।
समद्विभाजक $L$,$L_1$ और $L_2$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ है।
चूंकि $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $L$ के सापेक्ष $L_1$ का प्रतिबिंब $L_2$ होगा।
गणना करने पर,दूसरी रेखा का समीकरण $9x + 46y - 28 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$ और $P(x, y)$ $xy$-समतल पर बिंदु हैं।
दी गई शर्त $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ में दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$
$2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2) = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2(x_3^2 + y_3^2)$
दोनों पक्षों से $2x^2$ और $2y^2$ पद कट जाएंगे:
$-2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2) = -4xx_3 - 4yy_3 + 2(x_3^2 + y_3^2)$
$ax + by + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x(4x_3 - 2x_1 - 2x_2) + y(4y_3 - 2y_1 - 2y_2) + (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 - 2x_3^2 - 2y_3^2) = 0$
चूंकि यह $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है,इसलिए $P$ का बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर हमें दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं:
$2x - 3y + 4 = 0$ और $x + y + 1 = 0$
बिंदु $(-1, 5)$ से $2x - 3y + 4 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_1 = \frac{|2(-1) - 3(5) + 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$ है।
बिंदु $(-1, 5)$ से $x + y + 1 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_2 = \frac{|-1 + 5 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,लंबाइयों का गुणनफल $P_1 \cdot P_2 = \sqrt{13} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, h = -2, b = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ पर लंबवत दूरियों का गुणनफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d_1 d_2 = \frac{|ax_1^2 + 2hx_1y_1 + by_1^2|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$.
मान $(x_1, y_1) = (1, -1)$,$a = 1, h = -2, b = 1$ रखने पर:
$d_1 d_2 = \frac{|1(1)^2 + 2(-2)(1)(-1) + 1(-1)^2|}{\sqrt{(1-1)^2 + 4(-2)^2}}$.
$d_1 d_2 = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{0 + 16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-y^2+2y=1$ है।
इसे $x^2-(y^2-2y+1)=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जो $x^2-(y-1)^2=0$ में सरल हो जाता है।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x-(y-1))(x+(y-1))=0$ प्राप्त होता है,इसलिए रेखाएँ $x-y+1=0$ और $x+y-1=0$ हैं।
कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
स्थिति $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
त्रिभुज रेखाओं $x=0$,$y=1$,और $x+y=3$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,1)$ है।
$2$. $x=0$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,3)$ है।
$3$. $y=1$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,1)$ है।
यह त्रिभुज $2$ लंबाई के आधार (रेखा $y=1$ पर $x=0$ से $x=2$ तक) और $2$ लंबाई की ऊँचाई (रेखा $x=0$ पर $y=1$ से $y=3$ तक) वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) दो रेखाएँ $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $L_1$ का ध्रुव (pole) $L_2$ पर स्थित हो।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ है,अतः $g = -2, f = 3/2, c = -1$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) + \frac{3}{2}(y + y_1) - 1 = 0$ है।
इसे $2x + y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(D) मूल केंद्र (radical centre) वह बिंदु $P$ है जहाँ से वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। मान लीजिए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4=0$,$S_2: x^2+y^2-2x+3y=0$,और $S_3: x^2+y^2+7y-18=0$ हैं।
$S_1$ और $S_2$ का मूल अक्ष (radical axis) $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2-2x+3y)=0$
$2x-3y-4=0$ ... $(i)$
$S_1$ और $S_3$ का मूल अक्ष $S_1-S_3=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2+7y-18)=0$
$-7y+14=0$
$7y=14 \Rightarrow y=2$
समीकरण $(i)$ में $y=2$ रखने पर:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10 \Rightarrow x=5$
अतः,मूल केंद्र $P$ $(5, 2)$ है।

(B) दिए गए वृत्त: $x^2+y^2-12x-6y+41=0$ और $x^2+y^2+kx+6y-59=0$.
पहले वृत्त का केंद्र $C_1 = (6, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $C_2 = (-k/2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{k^2/4+68}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = k^2/4 + 6k + 72$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-3k}{2\sqrt{k^2/4+68}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 = 16$,अतः $k = \pm 4$।
अतः,$k = -4$ सही विकल्प है।

(A) प्रथम वृत्त $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{20-c}$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ के लिए,केंद्र $C_2(-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$d = r_1 + r_2$,इसलिए $5 = \sqrt{20-c} + 4$,जिसका अर्थ है $c = 19$।
तीसरा वृत्त $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ है।
दो वृत्त लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
$S_1$ और $S_3$ के लिए,$g_1=4, f_1=-2, c_1=19$ और $g_3=-3, f_3=4, c_3=k$ है।
अतः,$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$,जिससे $k = -59$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ के लिए,केंद्र $C_1(1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2(-2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$L = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - (1 + 2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$ इकाई।

(B) दिया गया वृत्त $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ का केंद्र $C_1=(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1=\sqrt{(-4)^2+2^2-c}=\sqrt{20-c}$ है।
दिया गया वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ का केंद्र $C_2=(-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-11)}=\sqrt{1+4+11}=4$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1+r_2$ होगी।
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
अतः,$5 = \sqrt{20-c} + 4$ $\Rightarrow \sqrt{20-c} = 1$ $\Rightarrow 20-c = 1$ $\Rightarrow c = 19$.
अब,वृत्त $S_1$ वृत्त $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_3 + 2f_1f_3 = c_1+c_3$ है।
$S_1$ के लिए,$g_1=4, f_1=-2, c_1=c=19$.
$S_3$ के लिए,$g_3=-3, f_3=4, c_3=k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3^{1/4})^{144-r} (7^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{\frac{144-r}{4}} (7)^{\frac{r}{6}}$
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{144-r}{4} = 36 - \frac{r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$\frac{r}{6}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(4, 6) = 12$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 144$,$r$ के संभावित मान $0, 12, 24, \dots, 144$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 12$ और अंतिम पद $l = 144$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$.
अतः,कुल $13$ परिमेय पद हैं।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(-ae, 0)$ और $S^{\prime}(ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष के एक सिरे $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
$SB$ की ढाल $m_1 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ है।
$S^{\prime}B$ की ढाल $m_2 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ है।
दिया है कि $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$,इसलिए ढालों का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2 = a^2e^2$ को इस संबंध में रखने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया वक्र: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y y'}{b^2} = 0$,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{b^2x}{a^2y}$.
बिंदु $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{b^2(a/\sqrt{2})}{a^2(b/\sqrt{2})} = -\frac{b}{a}$.
अभिलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{a}{b}$.
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a}\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ है। $y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड: $x = a\sqrt{2}$.
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ है। $y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड: $x = \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}$.
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $|a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $\frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
$36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
$a^2$ और $b^2$ के मान रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 9 + 4$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 13$ है।

(B) माना कि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1 = \frac{5}{3}$ है और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$ है।
अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय के लिए,उनकी उत्केंद्रताओं के बीच संबंध $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ होता है।
$e_1$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{(5/3)^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$e_2^2 = \frac{25}{16}$
$e_2 = \frac{5}{4}$
अतः,संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\frac{5}{4}$ है।

(D) दी गई संख्याएँ: $22, 26, 28, 20, 24, 30$
माध्य $\bar{x} = \frac{22+26+28+20+24+30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
अब,$(x_i - \bar{x})^2$ की गणना करें:
$(22-25)^2 = 9$
$(26-25)^2 = 1$
$(28-25)^2 = 9$
$(20-25)^2 = 25$
$(24-25)^2 = 1$
$(30-25)^2 = 25$
वर्गों का योग $\Sigma(x_i - \bar{x})^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
मानक विचलन $SD = \sqrt{\frac{\Sigma(x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1-r}{a} = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s} \right) = \frac{1}{a} \left( \frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)} \right) = \frac{\Delta a}{a s(s-a)} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \frac{r_1}{s}$।
इसी प्रकार,$\frac{r_2-r}{b} = \frac{r_2}{s}$ और $\frac{r_3-r}{c} = \frac{r_3}{s}$ है।
इनका योग करने पर:
$\frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$।

(C) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम नहीं होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$.
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & t \\ 4 & 7-t & -6 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1[5(-6) - t(7-t)] - 3[2(-6) - 4(t)] + 2[2(7-t) - 4(5)] = 0$
$|A| = 1[-30 - 7t + t^2] - 3[-12 - 4t] + 2[14 - 2t - 20] = 0$
$|A| = t^2 - 7t - 30 + 36 + 12t + 28 - 4t - 40 = 0$
$|A| = t^2 + t - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$t^2 + 3t - 2t - 6 = 0$
$t(t+3) - 2(t+3) = 0$
$(t-2)(t+3) = 0$
अतः,$t$ के मान $t = 2$ और $t = -3$ हैं।

(D) दिया गया है कि बिंदु $P(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x+y+z=1$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
आव्यूह समीकरण $[\alpha \ \beta \ \gamma] \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = [0 \ 0 \ 0]$ से,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0$
$\alpha = 1$
$\alpha = 1$ को समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ में रखने पर:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \Rightarrow 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(v)$
$9(1) + 2\beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow 2\beta + 3\gamma = -9 \quad \dots(vi)$
$\beta$ और $\gamma$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(vi)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$8\beta + 12\gamma = -36 \quad \dots(vii)$
समीकरण $(vii)$ से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(8\beta + 12\gamma) - (8\beta + 7\gamma) = -36 - (-1)$
$5\gamma = -35 \Rightarrow \gamma = -7$
$\gamma = -7$ को समीकरण $(vi)$ में रखने पर:
$2\beta + 3(-7) = -9$
$2\beta - 21 = -9 \Rightarrow 2\beta = 12 \Rightarrow \beta = 6$
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ की गणना करने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{y}{3}\right)=\theta$।
सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{6} - \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \theta$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$\frac{xy}{6} - \cos \theta = \sqrt{\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\left(1-\frac{y^2}{9}\right)}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{xy}{6} - \cos \theta \right)^2 = \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right) \left( 1 - \frac{y^2}{9} \right)$।
$\frac{x^2y^2}{36} - \frac{xy \cos \theta}{3} + \cos^2 \theta = 1 - \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} + \frac{x^2y^2}{36}$।
$36$ से गुणा करने पर:
$x^2y^2 - 12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 4y^2 - 9x^2 + x^2y^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$9x^2 - 12xy \cos \theta + 4y^2 = 36 - 36 \cos^2 \theta$।
चूंकि $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$9x^2 - 12xy \cos \theta + 4y^2 = 36 \sin^2 \theta$।

(B) दिया गया है कि $g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है,इसलिए यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है।
$1$. एकैकी होने के लिए: मान लीजिए $x_1, x_2 \in A$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जिसका अर्थ है कि $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$। चूँकि $g \circ f$ एकैकी है,इसलिए $x_1 = x_2$। अतः,$f$ एकैकी (injection) होना चाहिए।
$2$. आच्छादक होने के लिए: चूँकि $g \circ f$ आच्छादक है,प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$। इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि $f(x) \in B$,इसलिए एक अवयव $b = f(x) \in B$ मौजूद है कि $g(b) = z$। अतः,प्रत्येक $z \in C$ के लिए,$b \in B$ मौजूद है कि $g(b) = z$। इसलिए,$g$ आच्छादक (surjection) है।
अतः,$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है।

(C) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में होता है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $f(1) = 7$ है,हमारे पास $c(1) = 7$ है,जिसका अर्थ है कि $c = 7$ है।
अतः,$f(x) = 7x$ है।
अब,हमें योग $\sum_{r=1}^n f(r) = 14112$ दिया गया है।
$f(r) = 7r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^n 7r = 14112$ प्राप्त होता है।
स्थिरांक $7$ को बाहर निकालने पर,$7 \sum_{r=1}^n r = 14112$ प्राप्त होता है।
योग सूत्र $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$7 \times \frac{n(n+1)}{2} = 14112$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर,$\frac{n(n+1)}{2} = 2016$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$n(n+1) = 4032$ प्राप्त होता है।
चूँकि $63 \times 64 = 4032$ है,इसलिए $n(n+1) = 63 \times 64$ है।
अतः,$n = 63$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x}, & x < 0 \\ b, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}}, & x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होगा।
सबसे पहले,बायाँ सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
अब,दायाँ सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
चूँकि फलन सतत है,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ और $a+2 = b$ होगा।
$b = \frac{1}{2}$ का मान $a+2 = b$ में रखने पर:
$a + 2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$.
अतः,$a+b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$.

(B) हमारे पास $f(x) = \frac{|x|}{1-|x|}$ है। $x \in D$ के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{-x}{1+x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$\text{LHD (at } x=0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{-(-h)}{1+(-h)} - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{1-h} \cdot \frac{1}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-1}{1-h} = -1$
$\text{RHD (at } x=0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1-h} = 1$
चूँकि $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$D$ के अन्य सभी बिंदुओं के लिए,$f(x)$ एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,इसलिए यह अवकलनीय है।
अतः,$f$,$x = 0$ को छोड़कर $D$ पर अवकलनीय है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = e^x \sin x$ है।
किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x)$ द्वारा दी जाती है।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हमें $f'(x)$ का अवकलन $f''(x) = 0$ रखकर इसके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने होंगे।
$f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x \sin x + e^x \cos x) = (e^x \sin x + e^x \cos x) + (e^x \cos x - e^x \sin x) = 2e^x \cos x$.
$f''(x) = 0$ रखने पर,हमें $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$ होना चाहिए।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण की जांच करने पर,ढाल $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \log x$ है जहाँ $x > 0$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$\frac{4x^2 - 1}{x} < 0$.
चूँकि $x > 0$ है,हर हमेशा धनात्मक है। अतः,$4x^2 - 1 < 0$ होना चाहिए।
$4x^2 < 1 \Rightarrow x^2 < \frac{1}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.
शर्त $x > 0$ को ध्यान में रखते हुए,अंतराल $0 < x < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन अंतराल $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ में ह्रासमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[0, 4]$ पर सतत है और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है।
$f(4)$ और $f(0)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 11(4) - 6 = 64 - 96 + 44 - 6 = 6$.
$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 11(0) - 6 = -6$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 4)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$।
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$.
अतः,$3c^2 - 12c + 11 = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$3c^2 - 12c + 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(D) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 - \frac{1}{x}}{(x+1) \sqrt{x^2+x+1}} dx$.
वर्गमूल के अंदर के पद को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int \frac{1 - \frac{1}{x}}{(x+1) \sqrt{x^2+x+1}} dx$.
इस समाकलन के लिए मानक प्रतिस्थापन विधि है:
माना $t = \sqrt{x + \frac{1}{x} + 1}$.
अतः $t^2 = x + \frac{1}{x} + 1$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{2 dt}{t^2 + 1} = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
अतः,$I = 2 \tan^{-1}\left(\sqrt{x + \frac{1}{x} + 1}\right) + c$.

(C) माना $I = \int \frac{\cos ^3 x+\cos ^5 x}{\sin ^2 x+\sin ^4 x} d x$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{\cos ^2 x(1+\cos ^2 x)}{\sin ^2 x(1+\sin ^2 x)} \cos x d x = \int \frac{(1-t^2)(2-t^2)}{t^2(1+t^2)} d t = \int \frac{t^4-3t^2+2}{t^2(1+t^2)} d t$.
बीजगणितीय सरलीकरण द्वारा:
$\frac{t^4-3t^2+2}{t^2(1+t^2)} = 1 + \frac{-4t^2+2}{t^2(1+t^2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{-4t^2+2}{t^2(1+t^2)} = \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1+t^2}$.
अतः,$I = \int (1 + \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1+t^2}) d t = t - \frac{2}{t} - 6 \tan^{-1} t + c$.
$t = \sin x$ रखने पर,$I = \sin x - 2(\sin x)^{-1} - 6 \tan^{-1}(\sin x) + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad \dots(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) + \tan(\pi-x)} d x$
चूँकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{-(\pi-x) \tan x}{-\sec x - \tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x + \tan x} d x \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \tan x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} d x$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} d x$
$2I = \pi \left[ \int_0^\pi 1 d x - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ [x]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x \tan x) d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - [\tan x - \sec x]_0^\pi \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)) \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((0 - (-1)) - (0 - 1)) \right] = \pi [\pi - (1 + 1)] = \pi(\pi - 2)$
$I = \frac{\pi(\pi - 2)}{2}$

(A) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{na+r}$ है।
हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{(b-a)n} \frac{1}{a + \frac{r}{n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{k} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{a+x}$ और $k = b-a$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$।
समाकल का मूल्यांकन करने पर,हमें $L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ प्राप्त होता है।
$L = \log(a + b - a) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log \left( \frac{b}{a} \right)$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है,जो केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ वाला एक वृत्त है।
रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y = 0$ है,अर्थात $x = \sqrt{3}y$।
प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \sqrt{3}y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \implies 3y^2 + y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1$।
प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$y = 1$ प्राप्त होता है। अतः $x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में $X$-अक्ष,रेखा और वृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{2^2 - x^2} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{\sqrt{3}}^2$।
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$।
$= (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ होता है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब। यहाँ,$v$ धनात्मक है,$u$ ऋणात्मक है (मान लीजिए $u = -u_1$),और $f$ धनात्मक है। आवर्धन $m = \frac{v}{u} = -\frac{v_1}{u_1}$ है,इसलिए $v_1 = -m u_1$ होगा।
लेंस सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{-m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_1} (1 - \frac{1}{m}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{m-1}{m u_1} = \frac{1}{f}$.
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब। यहाँ,$v$ ऋणात्मक है (मान लीजिए $v = -v_2$),$u$ ऋणात्मक है (मान लीजिए $u = -u_2$),और $f$ धनात्मक है। आवर्धन $m' = \frac{v}{u} = \frac{-v_2}{-u_2} = \frac{v_2}{u_2}$ है।
दिया गया है कि आभासी प्रतिबिंब का आकार वास्तविक प्रतिबिंब का दोगुना है,इसलिए $m' = 2m$। अतः,$v_2 = 2m u_2$ होगा।
लेंस सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{-v_2} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2m u_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{u_2} (1 - \frac{1}{2m}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{2m-1}{2m u_2} = \frac{1}{f}$.
इस प्रकार,दिए गए विकल्पों के अनुसार फोकस दूरी $f = \frac{(u_1-u_2)3m}{2}$ प्राप्त होती है।

(C) अभिक्रिया $2 Cu_2O_{(s)} + Cu_2S_{(s)} \longrightarrow 6 Cu_{(s)} + SO_{2(g)}$ में:
$1$. $Cu_2O$ और $Cu_2S$ में $Cu$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+1$ है। यह $Cu_{(s)}$ में घटकर $0$ हो जाती है,इसलिए $Cu(I)$ का अपचयन (reduction) होता है और यह ऑक्सीकारक (oxidant) के रूप में कार्य करता है।
$2$. $Cu_2S$ में $S$ की ऑक्सीकरण अवस्था $-2$ है। यह $SO_{2(g)}$ में बढ़कर $+4$ हो जाती है,इसलिए सल्फाइड आयन का ऑक्सीकरण होता है और यह अपचायक (reductant) के रूप में कार्य करता है।
अतः,$Cu_2O$ और $Cu_2S$ का $Cu(I)$ ऑक्सीकारक के रूप में और $Cu_2S$ का सल्फाइड अपचायक के रूप में कार्य करता है।

(A) दी गई अभिक्रिया में,$O_3$ में ऑक्सीजन की ऑक्सीकरण अवस्था $0$ से बदलकर $-2$ ($OH^-$ में) और $0$ ($O_2$ में) हो जाती है।
विशेष रूप से,ओजोन में ऑक्सीजन परमाणु इलेक्ट्रॉन प्राप्त करके $OH^-$ बनाता है,जो एक अपचयन प्रक्रिया है।
चूंकि $O_3$ का अपचयन होता है,यह $I^-$ का $I_2$ में ऑक्सीकरण करता है (जहाँ $I$ की ऑक्सीकरण अवस्था $-1$ से बदलकर $0$ हो जाती है)।
इसलिए,$O_3$ एक ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है।

(D) असमानुपातन अभिक्रिया एक रेडॉक्स अभिक्रिया है जिसमें एक ही तत्व का एक साथ ऑक्सीकरण और अपचयन होता है।
$(A)$ $2 NO_{2(g)} + 2 NaOH_{(aq)} \rightarrow NaNO_{2(aq)} + NaNO_{3(aq)} + H_2O_{(l)}$: $NO_2$ में नाइट्रोजन $(+4)$ का ऑक्सीकरण $NO_3^-$ $(+5)$ में और अपचयन $NO_2^-$ $(+3)$ में होता है। यह एक असमानुपातन अभिक्रिया है।
$(B)$ $Cl_{2(g)} + 2 NaOH_{(aq)} \rightarrow NaClO_{(aq)} + NaCl_{(aq)} + H_2O_{(l)}$: $Cl_2$ में क्लोरीन $(0)$ का ऑक्सीकरण $ClO^-$ $(+1)$ में और अपचयन $Cl^-$ $(-1)$ में होता है। यह एक असमानुपातन अभिक्रिया है।
$(C)$ $3 ClO^- \rightarrow 2 Cl^- + ClO_3^-$: $ClO^-$ $(+1)$ में क्लोरीन का अपचयन $Cl^-$ $(-1)$ में और ऑक्सीकरण $ClO_3^-$ $(+5)$ में होता है। यह एक असमानुपातन अभिक्रिया है।
$(D)$ $3 Mg_{(s)} + N_{2(g)} \rightarrow Mg_3N_{2(s)}$: यह एक संयोजन अभिक्रिया है,असमानुपातन अभिक्रिया नहीं है।

(D) अभिक्रिया इस प्रकार है: $SO_2 + 2H_2O + Cl_2 \longrightarrow H_2SO_4 + 2HCl$
इस अभिक्रिया में,$H_2SO_4$ (सल्फ्यूरिक अम्ल) एक डाइबेसिक अम्ल है क्योंकि इसमें दो प्रतिस्थापनीय हाइड्रोजन परमाणु होते हैं।
$HCl$ (हाइड्रोक्लोरिक अम्ल) एक मोनोबेसिक अम्ल है क्योंकि इसमें एक प्रतिस्थापनीय हाइड्रोजन परमाणु होता है।

(D) तुल्यता के नियम के अनुसार,$H_2 O_2$ के ग्राम तुल्यांक = $KMnO_4$ के ग्राम तुल्यांक।
ग्राम तुल्यांक $= N \times V \text{ (लीटर में)} = M \times n_{factor} \times V \text{ (लीटर में)}$.
$KMnO_4$ के लिए,$n_{factor}$ (ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन $+7$ से $+2$) $5$ है।
अतः,$N_{H_2 O_2} \times V_{H_2 O_2} = M_{KMnO_4} \times n_{factor} \times V_{KMnO_4}$.
दिया है: $V_{H_2 O_2} = 20 \ mL$,$M_{KMnO_4} = 0.02 \ M$,$V_{KMnO_4} = 16 \ mL$,$n_{factor} = 5$.
$N_{H_2 O_2} \times 20 = 0.02 \times 5 \times 16$.
$N_{H_2 O_2} = \frac{0.02 \times 5 \times 16}{20} = \frac{0.1 \times 16}{20} = \frac{1.6}{20} = 0.08 \ N$.
$N_{H_2 O_2} = 8 \times 10^{-2} \ N$.