AP EAMCET 2018 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) यह अभिक्रिया अम्लीय माध्यम में $KMnO_4$ और $H_2O_2$ के बीच एक रेडॉक्स अनुमापन है।
$KMnO_4$ के लिए,$Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन $+7$ से $+2$ है,इसलिए n-कारक $5$ है।
$H_2O_2$ के लिए,$O$ की ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन $-1$ से $0$ है,इसलिए n-कारक $2$ है।
तुल्यांक बिंदु पर,$H_2O_2$ के मिली-तुल्यांक = $KMnO_4$ के मिली-तुल्यांक।
$N_1 V_1 = N_2 V_2$
यहाँ,$N_2 = M_2 \times \text{n-कारक} = 0.02 \times 5 = 0.1 \ N$.
$V_2 = 16 \ mL$,$V_1 = 20 \ mL$.
$N_1 = \frac{N_2 V_2}{V_1} = \frac{0.1 \times 16}{20} = \frac{1.6}{20} = 0.08 \ N = 8 \times 10^{-2} \ N$.

(D) संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$3Na_2SO_3 + K_2Cr_2O_7 + 4H_2SO_4 \rightarrow 3Na_2SO_4 + K_2SO_4 + Cr_2(SO_4)_3 + 4H_2O$
$Na_2SO_3$ के मोल $= 0.15 \ M \times 1 \ L = 0.15 \ mol$
$K_2Cr_2O_7$ के मोल $= 0.2 \ M \times 0.5 \ L = 0.1 \ mol$
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$3 \ mol$ $Na_2SO_3$,$1 \ mol$ $K_2Cr_2O_7$ के साथ अभिक्रिया करते हैं।
$0.15 \ mol$ $Na_2SO_3$ के लिए आवश्यक $K_2Cr_2O_7$ के मोल $= \frac{0.15}{3} = 0.05 \ mol$.
शेष $K_2Cr_2O_7$ के मोल $= 0.1 \ mol - 0.05 \ mol = 0.05 \ mol$.

(B) $LiNO_3$ का अपघटन: $2 LiNO_3 \xrightarrow{\Delta} Li_2O + 2 NO_2 + \frac{1}{2} O_2$
$NaNO_3$ का अपघटन: $2 NaNO_3 \xrightarrow{\Delta} 2 NaNO_2 + O_2$
$Ba(NO_3)_2$ का अपघटन: $2 Ba(NO_3)_2 \xrightarrow{\Delta} 2 BaO + 4 NO_2 + O_2$
$Be(NO_3)_2$ का अपघटन: $2 Be(NO_3)_2 \xrightarrow{\Delta} 2 BeO + 4 NO_2 + O_2$
अतः,$NaNO_3$ गर्म करने पर अपने ऑक्साइड के बजाय नाइट्राइट $(NaNO_2)$ और $O_2$ बनाता है।

(D) जैसे-जैसे हम समूह $2$ में $Mg(OH)_2$ से $Ba(OH)_2$ की ओर नीचे जाते हैं:
$1$. क्षारीय गुण बढ़ता है क्योंकि परमाणु आकार बढ़ने के कारण धात्विक गुण और $OH^-$ आयनों को मुक्त करने की सरलता बढ़ जाती है।
$2$. रासायनिक स्थिरता (तापीय स्थिरता) बढ़ती है क्योंकि धातु का विद्युत-धनात्मक गुण बढ़ता है।
$3$. जल में विलेयता बढ़ती है क्योंकि धनायन का आकार बढ़ने पर जालक ऊर्जा (lattice energy),जलयोजन ऊर्जा (hydration energy) की तुलना में अधिक तेजी से घटती है।
अतः,तीनों गुण समूह में नीचे जाने पर बढ़ते हैं।

(A) $1$. कैल्शियम कार्बोनेट का तापीय अपघटन: $CaCO_3 \stackrel{\Delta}{\rightleftharpoons} CO_2 + CaO (X)$.
$2$. चूने का पानी के साथ अभिक्रिया: $CaO (X) + H_2O \longrightarrow Ca(OH)_2 (Y)$.
$3$. ब्लीचिंग पाउडर बनाने के लिए क्लोरीन के साथ अभिक्रिया: $Ca(OH)_2 (Y) + Cl_2 \longrightarrow CaOCl_2 (Z) + H_2O$.
अतः,$X = CaO$,$Y = Ca(OH)_2$,और $Z = CaOCl_2$.

(B) ऑक्सोअम्ल लवण वे लवण हैं जो ऑक्सोअम्लों (ऑक्सीजन युक्त अम्ल) से प्राप्त होते हैं।
दी गई सूची से:
$(i)$ $CaCO_3$ कार्बोनिक अम्ल $(H_2CO_3)$ का लवण है।
$(ii)$ $MgSO_4$ सल्फ्यूरिक अम्ल $(H_2SO_4)$ का लवण है।
$(iv)$ $Sr(NO_3)_2$ नाइट्रिक अम्ल $(HNO_3)$ का लवण है।
यौगिक $(iii)$ $BaCl_2$,$(v)$ $MgBr_2$,और $(vi)$ $MgCl_2$ हैलाइड हैं,जो ऑक्सोअम्ल लवण नहीं हैं।
अतः,ऑक्सोअम्ल लवण $(i)$,$(ii)$,और $(iv)$ हैं।

(A) $Be$ और $Al$ दोनों के ऑक्साइड और हाइड्रॉक्साइड प्रकृति में उभयधर्मी $(amphoteric)$ होते हैं,न कि क्षारीय।
$Be$ और $Al$ दोनों समान आयनिक विभव ($charge/size$ अनुपात) के कारण विकर्ण संबंध प्रदर्शित करते हैं।
$Be$ और $Al$ दोनों संकुल बनाते हैं (जैसे,$[BeF_4]^{2-}$ और $[AlF_6]^{3-}$)।
उनके क्लोराइड ($BeCl_2$ और $Al_2Cl_6$) वाष्प अवस्था में ब्रिज्ड संरचना रखते हैं और सहसंयोजक होने के कारण कार्बनिक विलायकों में घुलनशील होते हैं।
इसलिए,यह कथन कि वे क्षारीय ऑक्साइड और हाइड्रॉक्साइड बनाते हैं,गलत है क्योंकि वे उभयधर्मी होते हैं।

(A) $Be$ और $Al$ विकर्ण संबंध प्रदर्शित करते हैं,जिससे उनके कई गुण समान होते हैं।
दोनों धातुएं सहसंयोजक यौगिक बनाती हैं और उनके क्लोराइड लुईस एसिड के रूप में कार्य करते हैं।
दोनों धातुएं क्षार में घुलकर घुलनशील संकुल (बेरिलिएट्स और एल्युमिनेट्स) बनाती हैं।
$Be$ और $Al$ दोनों के ऑक्साइड और हाइड्रॉक्साइड उभयधर्मी (amphoteric) प्रकृति के होते हैं,न कि क्षारीय।
इसलिए,यह कथन कि दोनों क्षारीय ऑक्साइड और हाइड्रॉक्साइड बनाते हैं,गलत है।

(D) दो $OR$ गेट्स के इनपुट $A$ और $B$ हैं। इसलिए,दोनों $OR$ गेट्स के आउटपुट $Y_1 = A + B$ और $Y_2 = A + B$ हैं।
ये आउटपुट $Y_1$ और $Y_2$ एक $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिए जाते हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2}$
$Y_1$ और $Y_2$ के मान रखने पर:
$Y = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$
बूलियन आइडेंटिटी $X \cdot X = X$ का उपयोग करने पर,हमें $(A + B) \cdot (A + B) = A + B$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$Y = \overline{A + B}$।
व्यंजक $\overline{A + B}$ एक $NOR$ गेट के आउटपुट को दर्शाता है।
अतः,समतुल्य लॉजिक गेट एक $NOR$ गेट है।

(B) $XY$ समतल में $5$ इकाई त्रिज्या और केंद्र $(x_1, y_1)$ वाले सभी वृत्तों का परिवार इस प्रकार है:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = 25$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x - x_1) + 2(y - y_1)y' = 0$
$(x - x_1) = -(y - y_1)y'$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 - [(y')^2 + (y - y_1)y''] = 0$
$(y - y_1) = \frac{1 - (y')^2}{y''}$ ... (iii)
समीकरण (iii) से $(y - y_1)$ का मान (ii) में रखने पर:
$(x - x_1) = -\left(\frac{1 - (y')^2}{y''}\right)y' = \frac{(y')^3 - y'}{y''}$
$(x - x_1)$ और $(y - y_1)$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$\left(\frac{(y')^3 - y'}{y''}\right)^2 + \left(\frac{1 - (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$
$\frac{(y')^2((y')^2 - 1)^2 + (1 - (y')^2)^2}{(y'')^2} = 25$
$\frac{(1 - (y')^2)^2 [ (y')^2 + 1 ]}{(y'')^2} = 25$
$(1 - (y')^2)^2 (1 + (y')^2) = 25(y'')^2$
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है,अतः कोटि $m = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,अतः घात $l = 2$ है।
चूंकि $l = 2$ और $m = 2$,इसलिए:
$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}-(\tan 2 x) y=\cos ^4 x$.
$\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} - \frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} y = \cos ^2 x$.
यह $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x}$ और $Q = \cos ^2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} dx}$.
माना $I = \int -\frac{\tan 2 x}{\cos ^2 x} dx = \int -\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x \cdot \cos ^2 x} dx$.
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2 x}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = \int -\frac{2 \sin 2 x}{\cos 2 x (1+\cos 2 x)} dx$.
माना $\cos 2 x = t$,तो $-2 \sin 2 x dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{t(t+1)} = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt = \ln|t| - \ln|t+1| = \ln|\frac{t}{t+1}|$.
अतः,$IF = \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x + 1} = \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x}$.
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ है।
$y \cdot \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x} = \int \cos^2 x \cdot \frac{\cos 2 x}{2 \cos^2 x} dx + c = \frac{1}{2} \int \cos 2 x dx + c = \frac{1}{4} \sin 2 x + c$.
$y = \frac{2 \cos^2 x}{\cos 2 x} (\frac{\sin 2 x + 4c}{4}) = \frac{1}{2} \frac{\cos^2 x}{\cos 2 x} (\sin 2 x + C)$.
$\cos 2 x = \cos^2 x (1 - \tan^2 x)$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1}{2} \frac{\sin 2 x + C}{1 - \tan^2 x}$ प्राप्त होता है।

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
यहाँ $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$ है,जो पुष्टि करता है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब भुजाओं की लंबाई की जाँच करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
चूँकि आसन्न भुजाएँ समान हैं $(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{14})$,इसलिए यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a|=|b|=|c|=1$.
हम जानते हैं कि $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2(a \cdot b) = 2 - 2(a \cdot b)$.
इसी प्रकार,$|b-c|^2 = 2 - 2(b \cdot c)$ और $|c-a|^2 = 2 - 2(c \cdot a)$.
इनका योग करने पर:
$|a-b|^2+|b-c|^2+|c-a|^2 = 6 - 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \quad \dots (i)$
इस व्यंजक को अधिकतम करने के लिए,हमें $(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ को न्यूनतम करना होगा।
हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge 0$.
चूंकि $|a|=|b|=|c|=1$,इसलिए $1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge 0$,जिसका अर्थ है कि $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \ge -3$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ का न्यूनतम मान $-3$ है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$k = 6 - (-3) = 9$.
अब,हमें $k(2|a|^2+3|b|^2-4|c|^2)$ की गणना करनी है।
चूंकि $|a|=|b|=|c|=1$,इसलिए $|a|^2=|b|^2=|c|^2=1$.
अतः,$k(2(1)+3(1)-4(1)) = 9(2+3-4) = 9(1) = 9$.

(D) मान लीजिए कि रेखा द्वारा $X$,$Y$ और $Z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है:
$\alpha = \tan ^{-1} \sqrt{7} \implies \tan \alpha = \sqrt{7}$.
चूंकि $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + 7 = 8$,इसलिए $\cos^2 \alpha = \frac{1}{8}$.
$\beta = \tan ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \implies \tan \beta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$,इसलिए $\cos^2 \beta = \frac{3}{8}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ या $\gamma = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $x + 3y + 2z = 9$ है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9/2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड $a = 9$,$b = 3$ और $c = 9/2$ हैं।
अभीष्ट समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(9, 3, 9/2)$ हैं।
$2$ से गुणा करने पर,हम दिक्-अनुपात $(18, 6, 9)$ या सरलता के लिए $(6, 2, 3)$ ले सकते हैं।
समतल बिंदु $(3, 5, 7)$ से होकर गुजरता है।
समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ है।
मान रखने पर: $6(x - 3) + 2(y - 5) + 3(z - 7) = 0$.
$6x - 18 + 2y - 10 + 3z - 21 = 0$.
$6x + 2y + 3z - 49 = 0$.
अतः,समतल का समीकरण $6x + 2y + 3z = 49$ है।

(B) अंकों ${0, 1, 2, 3, 4, 6}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई $4$ अंकों की कुल संख्याएँ:
हजार का स्थान $5$ तरीकों से भरा जा सकता है ($0$ को छोड़कर)।
सैकड़े का स्थान $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई का स्थान $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इकाई का स्थान $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$।
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य होती है। ${0, 1, 2, 3, 4, 6}$ से संभव अंतिम दो अंकों के संयोजन:
$04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64$।
स्थिति $1$: अंतिम दो अंक $04, 20, 24, 40, 60, 64$ हैं।
- यदि अंतिम दो अंक $04, 20, 40, 60$ हैं:
शेष $2$ स्थानों को $4 \times 3 = 12$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $= 4 \times 12 = 48$ तरीके।
- यदि अंतिम दो अंक $24, 64$ हैं:
हजार का स्थान $0$ या उपयोग किए गए अंक नहीं हो सकते।
हजार के स्थान के लिए $3$ विकल्प,सैकड़े के स्थान के लिए $3$ विकल्प।
कुल $= 2 \times (3 \times 3) = 18$ तरीके।
स्थिति $2$: अंतिम दो अंक $12, 16, 32, 36$ हैं:
हजार का स्थान $0$ या उपयोग किए गए अंक नहीं हो सकते।
हजार के स्थान के लिए $3$ विकल्प,सैकड़े के स्थान के लिए $3$ विकल्प।
कुल $= 4 \times (3 \times 3) = 36$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम $= 48 + 18 + 36 = 102$।
प्रायिकता $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$।

(A) कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
$52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके = $^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ हैं।
अनुकूल स्थिति के लिए,हमें एक सूट से ठीक दो पत्ते और दो अन्य अलग-अलग सूट से एक-एक पत्ता चुनना है।
चरण $1$: $4$ सूट में से $1$ सूट चुनें जिसके $2$ पत्ते लेने हैं: $^4C_1 = 4$ तरीके।
चरण $2$: उस सूट के $13$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनें: $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ तरीके।
चरण $3$: शेष $3$ सूट में से $2$ अन्य सूट चुनें: $^3C_2 = 3$ तरीके।
चरण $4$: इन चुने गए $2$ सूट में से प्रत्येक से $1$ पत्ता चुनें: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1 = 13 \times 13 = 169$ तरीके।
कुल अनुकूल तरीके = $4 \times 78 \times 3 \times 169 = 157872$ हैं।
प्रायिकता = $\frac{157872}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$।

(C) दिया गया है $n=5$ और $p=\frac{3}{4}$,इसलिए $q=1-p=\frac{1}{4}$।
$\alpha = \frac{1}{9} P(X \geq 3) = \frac{1}{9} [P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)]$
$= \frac{1}{9} [^5C_3(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^2 + ^5C_4(\frac{3}{4})^4(\frac{1}{4})^1 + ^5C_5(\frac{3}{4})^5]$
$= \frac{1}{9} [10 \cdot \frac{27}{1024} + 5 \cdot \frac{81}{1024} + 1 \cdot \frac{243}{1024}] = \frac{1}{9} [\frac{270+405+243}{1024}] = \frac{1}{9} [\frac{918}{1024}] = \frac{102}{1024}$।
$\beta = P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$= ^5C_0(\frac{3}{4})^0(\frac{1}{4})^5 + ^5C_1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^4 + ^5C_2(\frac{3}{4})^2(\frac{1}{4})^3$
$= 1 \cdot \frac{1}{1024} + 5 \cdot \frac{3}{1024} + 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{1+15+90}{1024} = \frac{106}{1024}$।
अब,$256(\beta-\alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$।

(D) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\Sigma P(X = x_i) = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{2}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1$
$\Rightarrow 2k + \frac{7}{12} = 1$
$\Rightarrow 2k = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
$\Rightarrow k = \frac{5}{24}$
अब,माध्य $E(X) = \Sigma x_i P(x_i)$:
$E(X) = (-2)(\frac{1}{6}) + (-1)(\frac{5}{24}) + (0)(\frac{1}{4}) + (1)(\frac{5}{24}) + (2)(\frac{1}{6})$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{5}{24} + 0 + \frac{5}{24} + \frac{2}{6} = 0$
अब,$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i)$:
$E(X^2) = (-2)^2(\frac{1}{6}) + (-1)^2(\frac{5}{24}) + (0)^2(\frac{1}{4}) + (1)^2(\frac{5}{24}) + (2)^2(\frac{1}{6})$
$E(X^2) = 4(\frac{1}{6}) + 1(\frac{5}{24}) + 0 + 1(\frac{5}{24}) + 4(\frac{1}{6})$
$E(X^2) = \frac{4}{6} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} + \frac{10}{24} = \frac{4}{3} + \frac{5}{12} = \frac{16+5}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$
प्रसरण $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = \frac{7}{4} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(B) दिया गया है: $p^{\circ}_{benzene} = 50 \ mm \ Hg$,$p^{\circ}_{toluene} = 40 \ mm \ Hg$.
बेंजीन के मोलों की संख्या $(n_b) = \frac{117 \ g}{78 \ g \ mol^{-1}} = 1.5 \ mol$.
टोल्यूनि के मोलों की संख्या $(n_t) = \frac{46 \ g}{92 \ g \ mol^{-1}} = 0.5 \ mol$.
कुल मोल $= 1.5 + 0.5 = 2.0 \ mol$.
बेंजीन का मोल अंश $(\chi_b) = \frac{1.5}{2.0} = 0.75$.
टोल्यूनि का मोल अंश $(\chi_t) = \frac{0.5}{2.0} = 0.25$.
बेंजीन का आंशिक दाब $(p_b) = p^{\circ}_b \times \chi_b = 50 \times 0.75 = 37.5 \ mm \ Hg$.
टोल्यूनि का आंशिक दाब $(p_t) = p^{\circ}_t \times \chi_t = 40 \times 0.25 = 10 \ mm \ Hg$.
कुल वाष्प दाब $(p_T) = p_b + p_t = 37.5 + 10 = 47.5 \ mm \ Hg$.
वाष्प अवस्था में टोल्यूनि का मोल अंश $(y_t) = \frac{p_t}{p_T} = \frac{10}{47.5} \approx 0.21$.

(B) $\Delta T_f = K_f \times m$
$\Delta T_f = 0 - (-0.93) = 0.93 \ K$
$m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{36 / M}{1.2} = \frac{30}{M}$
$0.93 = 1.86 \times \frac{30}{M}$
$M = \frac{1.86 \times 30}{0.93} = 2 \times 30 = 60 \ g \ mol^{-1}$
$CH_2O$ का मूलानुपाती सूत्र द्रव्यमान $= 12 + 2(1) + 16 = 30 \ g \ mol^{-1}$
$n = \frac{\text{आण्विक द्रव्यमान}}{\text{मूलानुपाती सूत्र द्रव्यमान}} = \frac{60}{30} = 2$
आण्विक सूत्र $= (CH_2O)_2 = C_2H_4O_2$

(C) प्रारंभिक आयतन $(V_1) = 50 \ mL$
प्रारंभिक नॉर्मलता $(N_1) = 0.1 \ N$
अंतिम आयतन $(V_2) = 50 \ mL + 150 \ mL = 200 \ mL$
तनुकरण सूत्र का उपयोग करने पर: $N_1 \times V_1 = N_2 \times V_2$
$0.1 \times 50 = N_2 \times 200$
$N_2 = \frac{0.1 \times 50}{200} = 0.025 \ N = \frac{1}{40} \ N$
$Na_2CO_3$ के लिए,संयोजकता कारक $(Z) = 2$ है।
नॉर्मलता और मोलरता के बीच संबंध: $N = M \times Z$
$M = \frac{N}{Z} = \frac{1/40}{2} = \frac{1}{80} \ M$
अतः,परिणामी विलयन की मोलरता $M/80$ है।

(C) दिया गया है,
$HCl$ की मोलरता $(M_1) = 0.1 \ M$
$Na_2CO_3$ विलयन का आयतन $(V_2) = 20 \ mL$
$Na_2CO_3$ का द्रव्यमान $= 0.106 \ g$
$Na_2CO_3$ का मोलर द्रव्यमान $= 106 \ g/mol$
$Na_2CO_3$ के मोल $= \frac{0.106 \ g}{106 \ g/mol} = 0.001 \ mol$
$Na_2CO_3$ की मोलरता $(M_2) = \frac{0.001 \ mol}{0.020 \ L} = 0.05 \ M$
उदासीनीकरण अभिक्रिया: $Na_2CO_3 + 2HCl \rightarrow 2NaCl + H_2O + CO_2$
तुल्यता संबंध का उपयोग करने पर: $n_{HCl} = 2 \times n_{Na_2CO_3}$
$M_1 \times V_1 = 2 \times (M_2 \times V_2)$
$0.1 \times V_1 = 2 \times (0.05 \times 20)$
$0.1 \times V_1 = 2$
$V_1 = 20 \ mL$

(C) गैस मिश्रण का दबाव $P = \frac{nRT}{V}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $R, T,$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n_{total}$।
पहले पात्र में,कुल मोल $n_1 = n_{H_2} + n_{He} + n_{O_2} = \frac{16}{2} + \frac{16}{4} + \frac{16}{32} = 8 + 4 + 0.5 = 12.5 \ mol$।
दिया गया है $P_1 = 10 \ atm$,इसलिए $10 \propto 12.5$।
दूसरे पात्र में,कुल मोल $n_2 = n_{He} + n_{O_2} = \frac{16}{4} + \frac{16}{32} = 4 + 0.5 = 4.5 \ mol$।
अतः,नया दबाव $P_2 = \frac{n_2}{n_1} \times P_1 = \frac{4.5}{12.5} \times 10 = 0.36 \times 10 = 3.6 \ atm$।

(B) दिया गया है: गैस की मात्रा $n = 4.0 \ mol$,आयतन $V = 5 \ dm^3$,दाब $p = 3.32 \ bar$,और गैस नियतांक $R = 0.083 \ bar \ dm^3 \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
आदर्श गैस समीकरण $p \ V = n \ R \ T$ का उपयोग करते हुए,तापमान $T$ के लिए:
$T = \frac{p \ V}{n \ R}$
मान रखने पर:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4.0 \times 0.083}$
$T = \frac{16.6}{0.332} = 50 \ K$।
अतः,गैस का तापमान $50 \ K$ है।

(B) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,गैस के विसरण की दर उसके मोलर द्रव्यमान $(M_m)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$\frac{r_X}{r_{hydrocarbon}} = \sqrt{\frac{M_{hydrocarbon}}{M_X}}$
यहाँ $r_X = 3\sqrt{3} \times r_{hydrocarbon}$ और $M_{hydrocarbon} = 54 \ g \ mol^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$3\sqrt{3} = \sqrt{\frac{54}{M_X}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3\sqrt{3})^2 = \frac{54}{M_X}$
$9 \times 3 = \frac{54}{M_X}$
$27 = \frac{54}{M_X}$
$M_X = \frac{54}{27} = 2 \ g \ mol^{-1}$

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,$\frac{r_X}{r_{\text{gas}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{gas}}}{M_X}}$.
दिया गया है कि $r_X = 3 \sqrt{3} \times r_{\text{gas}}$,इसलिए $\frac{r_X}{r_{\text{gas}}} = 3 \sqrt{3}$.
मान रखने पर: $3 \sqrt{3} = \sqrt{\frac{54}{M_X}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 \sqrt{3})^2 = \frac{54}{M_X}$.
$27 = \frac{54}{M_X}$.
$M_X = \frac{54}{27} = 2 \ g \ mol^{-1}$.

(C) सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
समान तापमान पर,$v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,सबसे संभावित गति का क्रम $r_2 < r_1 < r_3$ है।
चूंकि $v_{mp}$ मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए कम गति का अर्थ अधिक मोलर द्रव्यमान है।
अतः,मोलर द्रव्यमान का सही क्रम $M_2 > M_1 > M_3$ है।

(B) दिया गया है,$U_{rms} = 3000 \ ms^{-1}$.
$RMS$ गति का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ प्राप्त होता है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
मान रखने पर: $(3000)^2 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$9 \times 10^6 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$3RT = 9 \times 10^6 \times 28 \times 10^{-3} = 252 \times 10^3 \ J/mol$.
आदर्श गैस के $1$ मोल के लिए गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times (3RT) = \frac{1}{2} \times 252 \times 10^3 \ J/mol = 126 \times 10^3 \ J/mol = 126 \ kJ$.

(D) सबसे संभावित गति $(u_{mp})$ का सूत्र है: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
दिया गया है $u_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ और मीथेन का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $16 \ g \ mol^{-1} = 0.016 \ kg \ mol^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_{mp}^2 = \frac{2RT}{M} \Rightarrow \frac{RT}{M} = \frac{u_{mp}^2}{2}$.
मान रखने पर: $\frac{RT}{0.016} = \frac{400^2}{2} = 80000$.
अतः,$RT = 80000 \times 0.016 = 1280 \ J \ mol^{-1}$.
एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$: $KE = \frac{3}{2} RT$.
$KE = \frac{3}{2} \times 1280 = 1920 \ J$.

(A) तत्व $X$ के लिए: द्रव्यमान संख्या $A = 52$ है। मान लीजिए प्रोटॉन की संख्या $p$ है। न्यूट्रॉन की संख्या $n = p + 0.166p = 1.166p$ है। चूँकि $A = p + n$,इसलिए $52 = p + 1.166p = 2.166p$ है। अतः,$p = 52 / 2.166 \approx 24$ है। परमाणु क्रमांक $24$ वाला तत्व $Cr$ है।
तत्व $Z$ के लिए: द्रव्यमान संख्या $A = 75$ है। मान लीजिए प्रोटॉन की संख्या $p'$ है। न्यूट्रॉन की संख्या $n' = p' + 0.273p' = 1.273p'$ है। चूँकि $A = p' + n'$,इसलिए $75 = p' + 1.273p' = 2.273p'$ है। अतः,$p' = 75 / 2.273 \approx 33$ है। परमाणु क्रमांक $33$ वाला तत्व $As$ है।

(D) $Uuq$ का परमाणु क्रमांक $(Z)$ $114$ है,इसलिए प्रोटॉन की संख्या $(p)$ $114$ है।
मान लीजिए कि न्यूट्रॉन की संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,न्यूट्रॉन की संख्या प्रोटॉन की संख्या से $12.8 \%$ अधिक है:
$n = p + 0.128 \times p = 1.128 \times p$
$n = 1.128 \times 114 = 128.592 \approx 129$.
द्रव्यमान संख्या $(A)$ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन का योग है:
$A = p + n = 114 + 129 = 243$.
अतः,अनुमानित द्रव्यमान संख्या $243$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \times a_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ है।
दिया गया है $r_n = 476.1 \ pm$, इसलिए $n^2 = 476.1 / 52.9 = 9$, जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = E_1 / n^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J / 3^2 = -2.18 \times 10^{-18} / 9 \ J$ है।
$E_3 = -0.2422 \times 10^{-18} \ J = -2.422 \times 10^{-19} \ J$।

(A) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
बोर मॉडल के अनुसार,कक्षा की ऊर्जा $E_n \propto Z^2$ होती है। समान संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E \propto Z^2$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,या $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,$Z = 1$ और $\lambda_H = 912 \mathring{A}$।
लिथियम आयन $(Li^{2+})$ के लिए,$Z = 3$।
संबंध $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_H} = \frac{Z_H^2}{Z_{Li}^2}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{912}{9} \mathring{A} = 101.3 \mathring{A}$।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
समान उत्तेजित अवस्था के लिए,$n$ स्थिर है,इसलिए $E \propto Z^2$।
ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_H}{E_{Li^{2+}}} = \frac{1}{9}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Z_H^2}{Z_{Li^{2+}}^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$,जो दिए गए डेटा के अनुरूप है।
हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
समान उत्तेजित अवस्था के लिए,$n$ स्थिर है,इसलिए $r \propto \frac{1}{Z}$।
अतः,त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_H}{r_{Li^{2+}}} = \frac{Z_{Li^{2+}}}{Z_H} = \frac{3}{1} = 3: 1$ है।

(C) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
पहली कक्षा के लिए $n = 1$ है,इसलिए $r_1 \propto \frac{1}{Z}$।
$He^{+}$ $(Z = 2)$ के लिए,$r_{He^+} \propto \frac{1}{2}$।
$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ के लिए,$r_{Li^{2+}} \propto \frac{1}{3}$।
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ के लिए,$r_{Be^{3+}} \propto \frac{1}{4}$।
अनुपात $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,$2, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ से गुणा करने पर:
अनुपात $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$।

(A) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_{L}^2} - \frac{1}{n_{H}^2} \right)$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$.
बामर श्रेणी में न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के लिए,$n_{L} = 2$ और $n_{H} = 3$:
$\bar{\nu}_{Balmer} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} R$.
लाइमन श्रेणी में न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के लिए,$n_{L} = 1$ और $n_{H} = 2$:
$\bar{\nu}_{Lyman} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
बामर श्रेणी और लाइमन श्रेणी की तरंग संख्या का अनुपात:
$\frac{\bar{\nu}_{Balmer}}{\bar{\nu}_{Lyman}} = \frac{5/36}{3/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.
अतः,अनुपात $5 : 27$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K.E. = h(v - v_0)$.
$v_1 = 1.6 \times 10^{16} \ Hz$ आवृत्ति के लिए,$K.E._1 = h(1.6 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (i)$.
$v_2 = 1.0 \times 10^{16} \ Hz$ आवृत्ति के लिए,$K.E._2 = h(1.0 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (ii)$.
दिया गया है कि $K.E._1 = 2 \times K.E._2$,इसलिए:
$h(1.6 \times 10^{16} - v_0) = 2 \times h(1.0 \times 10^{16} - v_0)$.
$1.6 \times 10^{16} - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 2v_0$.
$2v_0 - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 1.6 \times 10^{16}$.
$v_0 = 0.4 \times 10^{16} \ Hz = 4 \times 10^{15} \ Hz$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है कि $\Delta x = \Delta p$,इसलिए $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $(m \Delta v)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
अतः $m^2 \Delta v^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta v^2 = \frac{h}{4\pi m^2}$.
इसलिए $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $p = \sqrt{2mK}$,जहां $m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{2m_2 K_2}{2m_1 K_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ और $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = 3$ और $\frac{K_2}{K_1} = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}:\sqrt{2}$।

(C) दिया गया है: कार्य फलन $(W_0) = 4.80 \ eV$ और गतिज ऊर्जा $(KE) = 0.20 \ eV$।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव समीकरण के अनुसार:
कुल ऊर्जा $(E_T) = W_0 + KE = 4.80 \ eV + 0.20 \ eV = 5.0 \ eV$।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E_T = 5.0 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 8.01 \times 10^{-19} \ J$।
संबंध $E_T = h\nu$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$:
$\nu = \frac{E_T}{h} = \frac{8.01 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 1.21 \times 10^{15} \ Hz$।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{450 \times 10^{-9} \ m} \approx 4.417 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{4.417 \times 10^{-19} \ J}{1.602 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 2.76 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन $(E \ge W_0)$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
$W_0 < 2.76 \ eV$ वाली धातुएं $K (2.25 \ eV), Na (2.30 \ eV)$,और $Li (2.42 \ eV)$ हैं। ये प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित करेंगी।
$W_0 > 2.76 \ eV$ वाली धातुएं $Mg (3.70 \ eV)$ और $Cu (4.80 \ eV)$ हैं। ये प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित नहीं करेंगी।
ऐसी धातुओं की संख्या $2$ है।

(C) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 8.0 \times 10^{-25}}{9.0 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^6} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$,और $v = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$ रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times (4/3) \times 10^3} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12 \times 10^{-28}} = 0.55216 \times 10^{-6} \ m$.
$nm$ में बदलने पर: $\lambda = 0.55216 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 552.16 \ nm \approx 552.2 \ nm$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ समान है: $\Delta x = \Delta p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4 \pi}$.
अतः,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
चूंकि संवेग में अनिश्चितता और वेग में अनिश्चितता का संबंध $\Delta p = m \Delta v$ है,इसलिए $m \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
$\Delta v$ के लिए हल करने पर: $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4 \pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m K E}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ और गतिज ऊर्जा अनुपात $\frac{K E_1}{K E_2} = \frac{2}{1}$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 \times K E_2}{m_1 \times K E_1}}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{1 \times 2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ है।

(C) ज़ेनॉन $(Xe)$ जिसका परमाणु क्रमांक $54$ है,का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6$।
कक्षकों की गणना करने पर:
$1s$ ($1$ कक्षक),$2s$ ($1$ कक्षक),$2p$ ($3$ कक्षक),$3s$ ($1$ कक्षक),$3p$ ($3$ कक्षक),$3d$ ($5$ कक्षक),$4s$ ($1$ कक्षक),$4p$ ($3$ कक्षक),$4d$ ($5$ कक्षक),$5s$ ($1$ कक्षक),$5p$ ($3$ कक्षक)।
कुल कक्षकों की संख्या = $1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 = 27$।

(C) भौतिक अधिशोषण एक ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया है। ला शातेलिए के सिद्धांत के अनुसार,ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया के लिए,तापमान बढ़ने पर अधिशोषण की मात्रा घट जाती है।
दिए गए ग्राफ से,स्थिर दाब $p$ पर,अधिशोषण की मात्रा $\frac{x}{m}$ का क्रम $T_3 > T_2 > T_1$ है।
चूंकि भौतिक अधिशोषण के लिए अधिशोषण तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए तापमान के बीच का संबंध $T_1 > T_2 > T_3$ होना चाहिए,जो $T_3 < T_2 < T_1$ के बराबर है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर प्रति इकाई समय में खोई गई ऊष्मा के समानुपाती होती है। यह मानते हुए कि समान तापमान सीमा के लिए ऊष्मा हानि की दर $(dQ/dt)$ स्थिर है:
खोई गई ऊष्मा $Q = (w + m) C_V \Delta T$
जहाँ $w$ कैलोरीमीटर का जल तुल्यांक है, $m$ पानी का द्रव्यमान है, $C_V$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा है, और $\Delta T = 62^{\circ} C - 58^{\circ} C = 4^{\circ} C$ है।
चूंकि शीतलन की दर स्थिर है, इसलिए लिया गया समय $t \propto Q$ होगा।
स्थिति $I$: $t_1 = 9 \ \text{minutes}$, $m_1 = 75 \ g$
$9 \propto (w + 75) C_V \times 4^{\circ} \quad \dots (i)$
स्थिति $II$: $t_2 = 12 \ \text{minutes}$, $m_2 = 105 \ g$
$12 \propto (w + 105) C_V \times 4^{\circ} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9}{12} = \frac{(w + 75) C_V \times 4^{\circ}}{(w + 105) C_V \times 4^{\circ}}$
$\frac{3}{4} = \frac{w + 75}{w + 105}$
$3(w + 105) = 4(w + 75)$
$3w + 315 = 4w + 300$
$w = 315 - 300 = 15 \ g$
अतः, कैलोरीमीटर का जल तुल्यांक $15 \ g$ है।

(A) समय $t$ में एक छड़ के माध्यम से स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Q = \frac{k A t (T_1 - T_2)}{d}$
जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$d$ छड़ की लंबाई है,और $(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
चूंकि छड़ों के आयाम समान हैं,इसलिए सभी छड़ों के लिए $A$ और $d$ स्थिर हैं।
मान लीजिए जंक्शन $P$ का तापमान $T$ है। स्थिर अवस्था में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा,जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा के योग के बराबर होनी चाहिए।
$100^{\circ} C$ सिरे से $P$ की ओर प्रवाहित ऊष्मा = $P$ से $50^{\circ} C$ सिरे की ओर प्रवाहित ऊष्मा + $P$ से $0^{\circ} C$ सिरे की ओर प्रवाहित ऊष्मा:
$\frac{3K A (100 - T) t}{d} = \frac{2K A (T - 50) t}{d} + \frac{K A (T - 0) t}{d}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{K A t}{d}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}{ }^{\circ} C$

(A) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ स्थिर आयतन पर,विनिमय की गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है: $q_V = \Delta U$ $(III)$.
$(B)$ समतापीय अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य: $W = -p_{ex} (V_f - V_i)$ $(IV)$.
$(C)$ समतापीय उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य: $W = -2.303 nRT \log \frac{V_f}{V_i}$ $(I)$.
$(D)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$q = 0$,इसलिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(\Delta U = q + W)$ के अनुसार,$W_{adiabatic} = \Delta U$ $(II)$.
अतः,सही क्रम $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।