AP EAMCET 2014 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $x = \frac{a}{N}$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $KE$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 \left[ a^2 - \left( \frac{a}{N} \right)^2 \right]$
$x = \frac{a}{N}$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $PE$ इस प्रकार है:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \left( \frac{a}{N} \right)^2$
$KE$ और $PE$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 \left[ a^2 - \frac{a^2}{N^2} \right]}{\frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{KE}{PE} = \frac{a^2 (1 - \frac{1}{N^2})}{\frac{a^2}{N^2}} = \frac{\frac{N^2 - 1}{N^2}}{\frac{1}{N^2}} = N^2 - 1$

(D) जर्मेनियम $(Ge)$ आवर्त सारणी के समूह $14$ का तत्व है।
$p$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए,समूह $13$ के किसी तत्व को (जिसमें $Ge$ की तुलना में एक संयोजी इलेक्ट्रॉन कम होता है) डोपेंट के रूप में मिलाना आवश्यक है।
यह एक इलेक्ट्रॉन-न्यून बंध या 'होल' बनाता है,जो धनात्मक आवेश वाहक के रूप में कार्य करता है।
दिए गए विकल्पों में से,$Ga$ (गैलियम) समूह $13$ का तत्व है,जबकि $Bi$,$Sb$,और $As$ समूह $15$ के तत्व हैं (जो $n$-प्रकार का अर्धचालक बनाएंगे)।
अतः,$Ga$ इसे $p$-प्रकार का अर्धचालक बनाता है।

(D) ,$Si$,और $Ge$ सामान्य परिस्थितियों में जल या भाप के साथ अभिक्रिया नहीं करते हैं।
$Sn$ उच्च तापमान पर भाप के साथ अभिक्रिया करके टिन$(IV)$ ऑक्साइड और हाइड्रोजन गैस बनाता है।
रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$Sn_{(s)} + 2H_2O_{(g)} \xrightarrow{\Delta} SnO_{2(s)} + 2H_{2(g)}$

(C) समतल में बिंदुओं की कुल संख्या $n = 30$ है। इनमें से $m = 8$ बिंदु संरेख हैं।
एक सीधी रेखा बनाने के लिए,हमें $2$ बिंदुओं का चयन करना होगा।
$30$ में से $2$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{30}C_2$ हैं।
चूंकि $8$ बिंदु संरेख हैं,वे $^8C_2$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
अतः,बनाई गई सीधी रेखाओं की कुल संख्या है:
$\text{कुल रेखाएं} = ^{30}C_2 - ^8C_2 + 1$
$= \frac{30 \times 29}{2} - \frac{8 \times 7}{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$.

(A) दिया गया योग $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (2n+1)^2$ है।
हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$S = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
कोष्ठक के अंदर का योग $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a=3$ और अंतिम पद $l=4n-1$ है।
योग $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
अतः,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1) [-(n) + (2n+1)]$.
$S = (2n+1)(n+1)$.

(A) चरण $1$: रेखा $y=x$ के सापेक्ष $P(1,3)$ का परावर्तन $Q(3,1)$ देता है।
चरण $2$: $Q(3,1)$ का $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई स्थानांतरण करने पर $R(3+3, 1) = R(6,1)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $R(6,1)$ का मूल बिंदु के परितः दक्षिणावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{6}$ के कोण पर घूर्णन करने पर,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार होंगे:
$x' = 6 \cos \frac{\pi}{6} + 1 \sin \frac{\pi}{6} = \frac{6 \sqrt{3}+1}{2}$
$y' = -6 \sin \frac{\pi}{6} + 1 \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ और $C(1, 0)$ हैं।
माना केंद्रक $(x, y)$ है।
केंद्रक सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3} \implies 3x - 1 = a \cos \theta + b \sin \theta$
$y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta + 0}{3} \implies 3y = a \sin \theta - b \cos \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2$
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$.

(B) दी गई रेखा का समीकरण $3x - 4y = 6$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $4x + 3y = k$ के रूप में होगा।
इसे अंतःखंड रूप में लिखने पर,हमें $\frac{x}{k/4} + \frac{y}{k/3} = 1$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $OA = |\frac{k}{4}|$ और $OB = |\frac{k}{3}|$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = 6$ है।
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$
$\frac{k^2}{24} = 6$
$k^2 = 144$
$k = \pm 12$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $4x + 3y = 12$ या $4x + 3y = -12$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$4x + 3y = 12$ सही विकल्प है।

(D) माना $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ और $Q = (1, 2)$ है। रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{2 - (-\frac{6}{5})}{1 - (-\frac{7}{5})} = \frac{\frac{16}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{4}{3}$ है।
$PQ$ के लंबवत रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ है।
$M$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$ है।
$20$ से गुणा करने पर: $20y - 8 = -15x - 3$,जो $15x + 20y = 5$ या $3x + 4y = 1$ में सरल हो जाता है।

(A) चूंकि बिंदु $A(k, 2k)$,$B(3k, 3k)$,और $C(3, 1)$ संरेख हैं,इसलिए $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AB$ की ढाल = $\frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$।
$BC$ की ढाल = $\frac{1 - 3k}{3 - 3k}$।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$।
$3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$।
$k = -\frac{1}{3}$ को $B$ और $C$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$B = (-1, -1)$ और $C = (3, 1)$।
$B(-1, -1)$ और $C(3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = \frac{2}{4}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$।
$2y - 2 = x - 3 \Rightarrow x - 2y - 1 = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ है।
इसे द्वितीय घात के व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ से तुलना करने पर,$A=1, B=\alpha, H=0, G=0, F=\beta, C=-a^2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के परस्पर लंब होने की शर्त $A + B = 0$ है।
अतः,$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$।
रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $(1)(\alpha)(-a^2) + 2(\beta)(0)(0) - (1)(\beta)^2 - (\alpha)(0)^2 - (-a^2)(0)^2 = 0$।
यह सरल होकर $-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$ हो जाता है।
$\alpha = -1$ रखने पर,$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 - \beta^2 = 0$।
इस प्रकार,$\beta^2 = a^2$,जिससे $\beta = \pm a$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,$\beta = a$ सही उत्तर है।

(A) माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $C(2,4)$ है।
केंद्र $(2,4)$ से रेखा $x+y+2=0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
जीवा की लंबाई $6$ है,इसलिए केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को $3$ लंबाई के दो भागों में विभाजित करता है। माना $A$,$C$ से जीवा पर लंब का पाद है और $B$ वृत्त पर वह बिंदु है जहाँ जीवा उसे काटती है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^2 = (AC)^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + (3)^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,अतः त्रिज्या $r=2$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ है।
परवलय $y^2=32x$ की नाभि $(8, 0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा नाभि से गुजरती है,इसलिए $0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$।
सरल करने पर,$4m = \mp \sqrt{1+m^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16m^2 = 1+m^2$।
अतः $15m^2 = 1$,जिसका अर्थ है $m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-4y+7=0$ और $S_2: x^2+y^2-12x-10y+45=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (6, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु $P$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $r_1:r_2 = 1:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-20x+4=0$ का केंद्र $(10, 0)$ है और इसका अचर पद $4$ है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय काटने की शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर: $2(-g \times 10 + (-f) \times 0) = c + 4$,जिससे $-20g = c + 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $c = -20g - 4$।
चूंकि वृत्त रेखा $x=2$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा $x=2$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ के बराबर है।
अतः,$|-g-2| = \sqrt{g^2+f^2-c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(g+2)^2 = g^2+f^2-c$।
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c$।
$f^2 - 4g - c - 4 = 0$।
$c = -20g - 4$ रखने पर: $f^2 - 4g - (-20g - 4) - 4 = 0$।
$f^2 - 4g + 20g + 4 - 4 = 0$।
$f^2 + 16g = 0$।
$(-g, -f)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2+y^2-4y=0$
$C_2: x^2+y^2-8x-4y+11=0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-4y) - (x^2+y^2-8x-4y+11) = 0$
$8x - 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{8}$
वृत्त $C_1$ के लिए,केंद्र $O(0, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र $O(0, 2)$ से जीवा $8x - 11 = 0$ पर लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|8(0) - 11|}{\sqrt{8^2 + 0^2}} = \frac{11}{8}$
जीवा की आधी लंबाई $PM$:
$PM = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = \sqrt{4 - \frac{121}{64}} = \sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{8}$
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2 \times PM = 2 \times \frac{\sqrt{135}}{8} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ इकाई}$।

(A) दो रेखाएँ $L_1: lx + my + n = 0$ और $L_2: l_1x + m_1y + n_1 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी हैं यदि पहली रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $(x_0, y_0)$ है,जहाँ $x_0 = -\frac{lr^2}{n}$ और $y_0 = -\frac{mr^2}{n}$ है।
चूँकि यह बिंदु रेखा $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-n$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l_1lr^2 + m_1mr^2 = nn_1$
$r^2(ll_1 + mm_1) = nn_1$

(B) माना परवलय $y^2=4ax$ पर बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है। $P$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
परवलय और अभिलंब के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को शीर्ष $O(0,0)$ से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम अभिलंब के समीकरण का उपयोग करके परवलय के समीकरण को समघात बनाते हैं।
अभिलंब समीकरण से,$1 = \frac{y + tx}{2at + at^3}$ है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
चूँकि रेखाएँ $OP$ और $OQ$ समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
चूँकि $a \neq 0$ और $t \neq 0$ है,$at$ से विभाजित करने पर:
$2 - t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = 2$.

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$9-r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r=9$ रखने पर:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(D) दिया गया विस्तार: $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3} = \frac{1}{a^3}(1 - 3(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
इसे दी गई श्रेणी $\frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$ के साथ तुलना करने पर:
$1$) $\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$2$) $-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -9$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (3, -9)$ है।

(B) नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ पर हैं,इसलिए $ae = 4$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - 16$,समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} = 1$ हो जाता है।
बिंदु $(4 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6})$ को रखने पर:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{a^2} + \frac{(2 \sqrt{6})^2}{a^2 - 16} = 1$
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$
$56a^2 - 512 = a^4 - 16a^2$
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$.
चूँकि $a > ae = 4$,इसलिए $a^2 = 64$ और $a = 8$.
अतः $e = \frac{ae}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=25$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ का निर्देशक वृत्त (director circle) है क्योंकि निर्देशक वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ है।
परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त होता है।
अतः,निर्देशक वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होता है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a = 13$ और $b = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm ae, 0) = (\pm 12, 0)$ है।
चूंकि अतिपरवलय $(\pm 12, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{144}{a^2} = 1$,जिसका अर्थ है $a^2 = 144$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ है।
उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,इसलिए $e \times e' = 1$ है।
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$ है।
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$ है।
$\frac{b^2}{144} = \frac{25}{144}$,इसलिए $b^2 = 25$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।

(B) दिया गया है कि $f:[-2,2] \rightarrow R$ अंतराल $[-2,2]$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+cx}-\sqrt{1-cx}}{x}$.
संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx}}{\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx}}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+cx)-(1-cx)}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \frac{2c}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x+3}{x+1} = \frac{0+3}{0+1} = 3$.
चूंकि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL$.
अतः,$c = 3$.

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{3^x-1}$
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x^2)-(1-x+x^2)}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1}{\frac{3^x-1}{x}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right)$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0+0}}$
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2 \log _e 3}$
$= \frac{1}{\log _e 3^2} = \frac{1}{\log _e 9}$

(D) दिया गया व्यंजक $x = 1$ पर $f(x)$ के अवकलज की परिभाषा है,अर्थात $f'(1)$।
दिया है $f(x) = x \tan^{-1} x$।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$।
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$।
अब,$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$।
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\pi + 2}{4}$।

(D) हम जानते हैं कि प्रेक्षणों के एक समूह का प्रसरण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$।
दिया गया है $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ और $\sum_{i=1}^n x_i = 80$।
इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $n > 0$):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq \frac{6400}{400}$
$n \geq 16$।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $16$ है।

(C) माना कि चार प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3,$ और $x_4$ हैं।
दिया गया है,माध्य $(\bar{x}) = 3$ और प्रेक्षणों की संख्या $n = 4$ है।
प्रेक्षणों के वर्गों का योग $\sum x_i^2 = 48$ है।
मानक विचलन $(SD)$ का सूत्र है:
$SD = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) दिया गया है कि त्रिभुज के कोणों का अनुपात $1: 1: 4$ है। मान लीजिए कोण $A, B$ और $C$ हैं।
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$.
मान लीजिए $A = x, B = x$ और $C = 4x$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $x + x + 4x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$.
इस प्रकार,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ और $C = 120^{\circ}$.
सबसे बड़ा कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए सबसे बड़ी भुजा $c$ है।
परिमाप और सबसे बड़ी भुजा का अनुपात $(a + b + c) : c$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
अनुपात $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$.
अनुपात $= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$.
अनुपात $= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) माना $2s = a+b+c$. तब $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) माना $s = \frac{a+b+c}{2}$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है,इसलिए $a+b+c = 2s$.
तब,$b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ है।
इसे $\left(\frac{2\Delta}{bc}\right)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ होता है,इसलिए $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\sin^2 A$ है।

(D) दिया है,$r_1=2$,$r_2=3$,और $r_3=6$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$।
अतः,$r = 1$।
साथ ही,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$।
चूंकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,इसलिए $2 = \frac{6}{s-a}$,जिसका अर्थ है $s-a = 3$।
साथ ही,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$।
$s=6$ को $s-a=3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $6-a=3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=3$।

(C) दिया गया है कि $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ और $A=\left[\begin{array}{cc}a+i b & c+i d \\ -c+i d & a-i b\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = (a+i b)(a-i b) - (c+i d)(-c+i d)$
$|A| = (a^2 - (i b)^2) - ((i d)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2)$
$|A| = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & w\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}w & -y \\ -z & x\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $|A|=1$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-i b & -(c+i d) \\ -(-c+i d) & a+i b\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-i b & -c-i d \\ c-i d & a+i b\end{array}\right]$.

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} k & k\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & k\alpha \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसका सारणिक इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$|A| = k \times \alpha \times k = \alpha k^2$.
हमें दिया गया है कि $A^2$ का सारणिक $k^2$ है। गुणधर्म $|A^2| = |A|^2$ का उपयोग करते हुए:
$|A|^2 = k^2$.
$|A| = \alpha k^2$ को समीकरण में रखने पर:
$(\alpha k^2)^2 = k^2$.
$\alpha^2 k^4 = k^2$.
चूँकि $k > 1$,हम दोनों पक्षों को $k^4$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\alpha^2 = \frac{k^2}{k^4} = \frac{1}{k^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{|k|}$.
चूँकि $k > 1$,$|k| = k$,इसलिए $|\alpha| = \frac{1}{k}$.

(B) दिया गया है कि $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$।
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलनों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - (xy + yz + zx)} \right) = \pi$।
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर:
$\frac{x + y + z - xyz}{1 - (xy + yz + zx)} = \tan(\pi) = 0$।
चूंकि हर $1 - (xy + yz + zx) \neq 0$ है (दिया गया है कि $xy + yz + zx < 1$),इसलिए अंश शून्य होना चाहिए:
$x + y + z - xyz = 0$।
अतः,$x + y + z = xyz$।

(D) माना $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{1+y}$.
$x$ के वास्तविक संख्या होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $1+y \neq 0$,जिसका अर्थ है $y \neq -1$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $R-\{-1\}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x & \text{यदि } x \in Q \\ 1-x & \text{यदि } x \notin Q \end{cases}$ जहाँ $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$.
स्थिति $1$: यदि $x \in Q$ है,तो $f(x) = x$। चूँकि $x \in [0,1]$ और $x$ परिमेय है,इसलिए $f(x) \in Q$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$।
स्थिति $2$: यदि $x \notin Q$ है,तो $f(x) = 1-x$। चूँकि $x$ अपरिमेय है,इसलिए $1-x$ भी अपरिमेय है (यदि $1-x$ परिमेय होता,तो $x = 1 - (1-x)$ परिमेय होता,जो एक विरोधाभास है)। अतः,$f(x) \notin Q$। इसलिए,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$।
चूँकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(f \circ f)(x) = x$ है,इसलिए समुच्चय $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ पूरा प्रांत $[0,1]$ है।

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ रखने पर,अतः $\theta = \tan^{-1}(ax)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(ax)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+(ax)^2} \cdot a = \frac{a}{2(1+a^2x^2)}$.
अतः,$2(1+a^2x^2)y^{\prime} = a$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$2 \left[ (1+a^2x^2)y^{\prime \prime} + y^{\prime} (2a^2x) \right] = 0$.
$2$ से भाग देने पर:
$(1+a^2x^2)y^{\prime \prime} + 2a^2x y^{\prime} = 0$.

(A) हम जानते हैं कि दो शांकव $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ और $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $a_1^2 - b_1^2 = a_2^2 - b_2^2$ हो,जिसे $a_1^2 - a_2^2 = b_1^2 - b_2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ दिए गए वक्रों के समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ हैं।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त लागू करने पर:
$a^2 - 25 = b^2 - 16$
$a^2 - b^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^2 - b^2 = 25 - 16$
$a^2 - b^2 = 9$

(D) दिया गया फलन $f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c$.
किसी फलन का कोई चरम मान नहीं होता है यदि उसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है,जो तब होता है जब द्विघात समीकरण $f'(x) = 0$ के कोई वास्तविक मूल न हों या समान मूल हों जिससे चिह्न न बदले।
द्विघात समीकरण $3 a x^2 + 2 b x + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर $D$ शून्य से कम होना चाहिए।
$D = (2 b)^2 - 4(3 a)(c) < 0$.
$4 b^2 - 12 a c < 0$.
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $b^2 - 3 a c < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 < 3 a c$.
अतः,चरम मान न होने की शर्त $b^2 < 3 a c$ है।

(C) दिया गया है,$f(x)=\sqrt{x-2}$ जहाँ $x \in [2,6]$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (2,6)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ होता है।
यहाँ,$a=2$ और $b=6$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$।
अतः,$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$।
अब,$f(b)$ और $f(a)$ की गणना करें: $f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$ और $f(2) = \sqrt{2-2} = 0$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2}$।
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{c-2} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$c-2 = 1$,जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
हम $f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(u)\right) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}$.
तब $u^2 = \frac{x^2+x+1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$.
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(x + 1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2u} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2u} \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)$.
अतः,$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(u)\right) = \frac{1}{1 + \frac{x^2+x+1}{x}} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}} = \frac{x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x}}} = \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \cdot 2x \sqrt{x(x^2+x+1)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}}$.
इस प्रकार,$\int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = 2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
इस समाकलन को हल करने पर हमें $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} + \frac{0}{\sqrt{1-x}} + C$ का रूप प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A = 2$ और $B = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = 2+0 = 2$.

(A) हमें दिया गया है $I_n = \int \tan^n x \, dx$।
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I_n = \int \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x \, dx$
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_n = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$
प्रथम समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$।
अतः,$\int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1}$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$।
इसे दिए गए रूप $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$
$b = 1$
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (n-1, 1)$ है।

(D) माना $I = \int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \sin^2 6\theta \, d\theta$.
$3\theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d\theta = \frac{dt}{3}$.
जब $\theta = 0, t = 0$ और जब $\theta = \pi/6, t = \pi/2$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin^2 2t \, dt$.
$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t (2 \sin t \cos t)^2 \, dt = \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^6 t \sin^2 t \, dt$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{(2-1)!!(6-1)!!}{(2+6)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{4}{3} \left[ \frac{1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$.
$I = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{192}$.

(D) दिए गए वक्र $y=x^2+1$ और रेखा $y=2x-2$ हैं।
हमें $x=-1$ और $x=2$ के बीच इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] dx$
$A = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$
अब,समाकलन का मूल्यांकन करें:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
ऊपरी सीमा $x=2$ रखने पर:
$\left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 3(2) \right) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$
निचली सीमा $x=-1$ रखने पर:
$\left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 3(-1) \right) = \left( -\frac{1}{3} - 1 - 3 \right) = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{13}{3}$
ऊपरी सीमा के मान से निचली सीमा का मान घटाने पर:
$A = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right) = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$
अतः,क्षेत्रफल $9$ वर्ग इकाई है।

(C) पहली स्थिति के अनुसार:
$f = 25 \ cm, v = 75 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \ cm$
दूसरी स्थिति के अनुसार,पर्दे को $25 \ cm$ करीब खिसकाया जाता है,इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $v_1 = 75 - 25 = 50 \ cm$ है।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \ cm$
वह दूरी जिससे वस्तु को खिसकाया जाना चाहिए:
$\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \ cm - 37.5 \ cm = 12.5 \ cm$.

(C) एक सममित उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ हैं।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu-1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
अतः,$R = 2f(\mu-1)$.
जब लेंस को लंबवत रूप से दो समान समतल-उत्तल लेंसों में काटा जाता है,तो ऐसे एक लेंस के लिए,नई वक्रता त्रिज्याएँ $R_1' = R$ और $R_2' = \infty$ होती हैं।
मान लीजिए समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f'$ है। लेंस मेकर सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f'} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R_1'} - \frac{1}{R_2'} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{\mu-1}{R}$
$R = 2f(\mu-1)$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{f'} = \frac{\mu-1}{2f(\mu-1)} = \frac{1}{2f}$
इसलिए,$f' = 2f$.

(B) क्षारीय माध्यम में संतुलित रेडॉक्स अभिक्रिया है:
$2MnO_4^{-} + 6I^{-} + 4H_2O \rightarrow 2MnO_2 + 3I_2 + 8OH^{-}$
अभिकारकों के प्रारंभिक मोलों की गणना:
$MnO_4^{-}$ के मोल $= 0.02 \ M \times 0.250 \ L = 0.005 \ mol$
$I^{-}$ के मोल $= 0.1 \ M \times 0.250 \ L = 0.025 \ mol$
रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$2 \ mol$ $MnO_4^{-}$ अभिक्रिया करता है $6 \ mol$ $I^{-}$ के साथ।
$0.005 \ mol$ $MnO_4^{-}$ के लिए,आवश्यक $I^{-}$ है $0.005 \times (6/2) = 0.015 \ mol$।
चूंकि हमारे पास $0.025 \ mol$ $I^{-}$ है,इसलिए $MnO_4^{-}$ सीमांत अभिकर्मक है।
रससमीकरणमिति के अनुसार,$2 \ mol$ $MnO_4^{-}$ से $3 \ mol$ $I_2$ उत्पन्न होता है।
अतः,$0.005 \ mol$ $MnO_4^{-}$ द्वारा उत्पन्न $I_2$ के मोल:
$I_2$ के मोल $= 0.005 \times (3/2) = 0.0075 \ mol$.