AP EAMCET 2014 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $KO_2$ में,पोटेशियम आयन $K^{+}$ है और सुपरऑक्साइड आयन $O_2^{-}$ है।
$K^{+}$ उत्कृष्ट गैस विन्यास रखता है और प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) है।
सुपरऑक्साइड आयन $O_2^{-}$ में $17$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
इसका आणविक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$।
एंटी-बॉन्डिंग $\pi^*$ आणविक कक्षक में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन की उपस्थिति के कारण,$O_2^{-}$ अनुचुंबकीय है।

(B) कॉमन-एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर की आउटपुट विशेषताओं को आधार धारा $(I_B)$ को नियत रखकर संग्राहक-उत्सर्जक वोल्टेज $(V_{C E})$ के साथ संग्राहक धारा $(I_C)$ में होने वाले परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे $I_B$ के विभिन्न निश्चित मानों के लिए $I_C$ बनाम $V_{C E}$ के ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है।

(D) दिया गया है:
आंतरिक वाहक सांद्रता,$n_i = 1.6 \times 10^{16} / m^3$
दाता सांद्रता,$n_e \approx N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन और होल सांद्रता का गुणनफल आंतरिक वाहक सांद्रता के वर्ग के बराबर होता है:
$n_e \times n_h = n_i^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4.8 \times 10^{20} \times n_h = (1.6 \times 10^{16})^2$
$4.8 \times 10^{20} \times n_h = 2.56 \times 10^{32}$
$n_h = \frac{2.56 \times 10^{32}}{4.8 \times 10^{20}}$
$n_h = 0.533 \times 10^{12} / m^3 = 5.33 \times 10^{11} / m^3$
अतः,होल्स की सांद्रता लगभग $5.3 \times 10^{11} / m^3$ है।

(C) $(0, -1)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण है:
$x^2 = 4a(y + 1)$ --- $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 4a y^{\prime}$
$a = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y + 1)$
$x^2 = \frac{2x}{y^{\prime}} (y + 1)$
$x \neq 0$ मानते हुए,$x$ से भाग देने पर:
$x = \frac{2(y + 1)}{y^{\prime}}$
$x y^{\prime} = 2y + 2$
$x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan y$ और $Q = \sec y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ है।
व्यापक हल $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$।
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$।
$x \sec y = \tan y + C$।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में हैं।
दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर,दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
दो रेखाओं जिनके दिशा सदिश $\vec{b_1}$ और $\vec{b_2}$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+3\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है।
अतः,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
इसका अर्थ है $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$.
साथ ही,$3\vec{b}+2\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है।
अतः,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ किसी अदिश $\mu$ के लिए।
इसका अर्थ है $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$.
$(i)$ से,हमारे पास $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ है।
इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$.
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ और $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$\vec{a}+3\vec{b} - (-2)\vec{c} = 0$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$.

(C) दिया गया है,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $|\vec{c}|=4$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
इसलिए,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम यह भी जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
अतः,$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \leq |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$.
इस मान को हमारे समीकरण में रखने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
दिए गए परिमाणों को रखने पर:
$3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
अतः,ऊपरी सीमा $87$ है।

(C) दिया है,$l^2+m^2-n^2=0$ $(i)$ और $l+m+n=0$ $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ से,$n=-(l+m)$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2+m^2=(-(l+m))^2 = l^2+m^2+2lm$.
इसका अर्थ है $2lm=0$,अतः $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $n=-m$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+m^2+(-m)^2=1 \Rightarrow 2m^2=1 \Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=-l$. चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $l^2+0^2+(-l)^2=1 \Rightarrow 2l^2=1 \Rightarrow l=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
माना दोनों रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दो रेखाओं की दिक्कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान दूसरे समीकरण $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2 = 0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2 = 0$
$2l^2+2lm-4m^2 = 0$
$l^2+lm-2m^2 = 0$
$(l+2m)(l-m) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक् अनुपात $(l, l, -2l)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(1, 1, -2)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ हैं।
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक् अनुपात $(-2m, m, m)$ प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $(-2, 1, 1)$ हो जाते हैं। दिक्कोज्याएँ $(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
माना दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$
अतः $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है,$l+m+n=0 \implies l = -m-n$ और $l^2+m^2-n^2=0$.
दूसरे समीकरण में $l = -m-n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 + 2mn = 0$
$2m(m+n) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: यदि $m=0$,तो $l = -n$. दिक् अनुपात $(-n, 0, n)$ हैं,जिसे $(-1, 0, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$.
स्थिति $2$: यदि $m+n=0$,तो $m = -n$. $l = -m-n$ में मान रखने पर,$l = -(-n)-n = 0$ प्राप्त होता है। दिक् अनुपात $(0, -n, n)$ हैं,जिसे $(0, -1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है। मान लीजिए $\vec{v_2} = (0, -1, 1)$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए $S$ उन परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि है जहाँ दो पासों का योग $7$ है। संभावित परिणाम हैं:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें संख्या $3$ कम से कम एक बार आती है।
$E$ में परिणाम हैं:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(A) मान लीजिए $S$ सफलता (पास) और $F$ विफलता (फेल) को दर्शाता है। पहली परीक्षा पास करने की प्रायिकता $P(S_1) = p$ है,इसलिए $P(F_1) = 1-p$ है।
बाद की परीक्षाओं के लिए,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ और $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$ है।
उम्मीदवार का चयन तब होता है यदि वह कम से कम दो परीक्षाएं पास करता है। संभावित अनुकूल परिणाम हैं:
$1$. पास $I$,पास $II$,फेल $III$: $p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$
$2$. पास $I$,फेल $II$,पास $III$: $p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$
$3$. फेल $I$,पास $II$,पास $III$: $(1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$
$4$. पास $I$,पास $II$,पास $III$: $p \times p \times p = p^3$
इन प्रायिकताओं का योग:
$P = p^2(1-p) + \frac{p^2(1-p)}{2} + \frac{p^2(1-p)}{2} + p^3$
$P = p^2(1-p) + p^2(1-p) + p^3$
$P = 2p^2 - 2p^3 + p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(D) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
दिया है $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ और $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$.
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{6}{4} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4+6+3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$.
अब,$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$.
चूँकि $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$.
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\Sigma P(X=x) = k + 2k + 3k + 2k + k = 9k = 1 \implies k = \frac{1}{9}$.
माध्य $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times k) + (2 \times 2k) + (3 \times 3k) + (4 \times 2k) + (5 \times k) = k + 4k + 9k + 8k + 5k = 27k$.
$k = \frac{1}{9}$ रखने पर,$E(X) = 27 \times \frac{1}{9} = 3$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times k) + (2^2 \times 2k) + (3^2 \times 3k) + (4^2 \times 2k) + (5^2 \times k) = k + 8k + 27k + 32k + 25k = 93k$.
$k = \frac{1}{9}$ रखने पर,$E(X^2) = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31-27}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन विलेय के मोल अंश के बराबर होता है।
$n_{\text{urea}} = 0.1 \ mol$
$n_{\text{water}} = \frac{180 \ g}{18 \ g/mol} = 10 \ mol$
यूरिया का मोल अंश $(x_2)$ = $\frac{0.1}{0.1 + 10} = \frac{0.1}{10.1} \approx 0.0099$
सूत्र $\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = x_2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{24 - p_s}{24} = \frac{0.1}{10.1}$
$24 - p_s = 24 \times 0.0099 = 0.2376$
$p_s = 24 - 0.2376 = 23.7624 \ mm \ Hg \approx 23.76 \ mm \ Hg$

(A) आइसोटोनिक विलयनों के लिए,परासरण दाब समान होते हैं,इसलिए $\frac{W_1}{V_1 M_1} = \frac{W_2}{V_2 M_2}$।
चूंकि विलयन $1 \%$ और $5 \%$ हैं,इसलिए $\frac{W_1}{V_1} = 1 \ g/100 \ mL$ और $\frac{W_2}{V_2} = 5 \ g/100 \ mL$ है।
माना $M_1$ विलेय $X$ का मोलर द्रव्यमान है और $M_2 = 342 \ g \ mol^{-1}$ गन्ने की चीनी का मोलर द्रव्यमान है।
मान रखने पर: $\frac{1}{M_1} = \frac{5}{342}$।
$M_1$ के लिए हल करने पर: $M_1 = \frac{342}{5} = 68.4 \ g \ mol^{-1}$।

(A) दिया गया है,ऑक्सीजन का प्रतिशत $= 40 \%$.
धातु का प्रतिशत $= 100 - 40 = 60 \%$.
धातु की संयोजकता $= 2$.
चूंकि धातु की संयोजकता $2$ है और ऑक्सीजन की संयोजकता $2$ है,इसलिए ऑक्साइड का सूत्र $MO$ है।
माना धातु का परमाणु भार $M$ है।
ऑक्सीजन का प्रतिशत $= \frac{16}{M + 16} \times 100 = 40$.
$1600 = 40(M + 16)$.
$1600 = 40M + 640$.
$40M = 960$.
$M = 24$.

(C) दिया गया है,$\frac{r_X}{r_Y} = \frac{1}{5}$ और $\frac{r_Y}{r_Z} = \frac{1}{6}$.
दोनों अनुपातों का गुणा करने पर:
$\frac{r_X}{r_Y} \times \frac{r_Y}{r_Z} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$.
अतः,$\frac{r_X}{r_Z} = \frac{1}{30}$.
इसलिए,$Z$ और $X$ के विसरण की दरों का अनुपात $\frac{r_Z}{r_X} = \frac{30}{1}$ है,जो कि $30:1$ है।

(D) $4d$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
कोणीय नोड्स की संख्या $= l = 2$.
त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $= n - l - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$.
अतः,कोणीय और त्रिज्यीय नोड्स की संख्या क्रमशः $2$ और $1$ है।

(D) बढ़ती ऊर्जा का क्रम $(n+l)$ नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। यदि दो कक्षकों का $(n+l)$ मान समान है,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$(i)$ $n=4, l=1$ के लिए,$(n+l) = 4+1 = 5$.
$(ii)$ $n=4, l=0$ के लिए,$(n+l) = 4+0 = 4$.
$(iii)$ $n=3, l=2$ के लिए,$(n+l) = 3+2 = 5$.
$(iv)$ $n=3, l=1$ के लिए,$(n+l) = 3+1 = 4$.
मानों की तुलना करने पर: $(iv)$ और $(ii)$ के लिए $(n+l) = 4$ है,जहाँ $(iv)$ के लिए $n$ का मान कम है $(3 < 4)$। अतः,$(iv)$ की ऊर्जा < $(ii)$ की ऊर्जा।
$(i)$ और $(iii)$ के लिए $(n+l) = 5$ है,जहाँ $(iii)$ के लिए $n$ का मान कम है $(3 < 4)$। अतः,$(iii)$ की ऊर्जा < $(i)$ की ऊर्जा।
इस प्रकार,बढ़ती ऊर्जा का सही क्रम $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ है।

(A) वैन डेर वाल्स बल भौतिक अधिशोषण (physisorption) के लिए जिम्मेदार होते हैं,रसोशोषण के लिए नहीं। इसलिए,$Assertion (A)$ गलत है।
रसोशोषण में रासायनिक बंधों का निर्माण होता है,जिसके लिए सक्रियण ऊर्जा की आवश्यकता होती है। इसलिए,उच्च तापमान रसोशोषण के लिए अनुकूल होता है। अतः,$Reason (R)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ गलत है,लेकिन $R$ सही है।

(C) एगोनिस्ट एक रासायनिक पदार्थ है जो रिसेप्टर से जुड़ता है और जैविक प्रतिक्रिया उत्पन्न करने के लिए इसे सक्रिय करता है। यह प्राकृतिक रासायनिक संदेशवाहकों की नकल करता है।

(B) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी और कैलोरीमीटर द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
माना $m$ ग्राम में संघनित भाप का द्रव्यमान है।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = $m \times L + m \times C_w \times (T_{steam} - T_{final})$
$= m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 90) = 550m \ cal$.
पानी और कैलोरीमीटर द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $(m_{water} + m_{eq}) \times C_w \times (T_{final} - T_{initial})$
$= (1000 \ g + 200 \ g) \times 1 \times (90 - 9) = 1200 \times 81 = 97200 \ cal$.
दोनों को बराबर करने पर: $550m = 97200$.
$m = \frac{97200}{550} \approx 176.7 \ g$.
$kg$ में बदलने पर,$m \approx 0.1767 \ kg$,जो लगभग $0.18 \ kg$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P$ का सूत्र $P = \sigma A T^4$ है।
दिया गया है:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} ~W m^{-2} K^{-4}$
$A = 200 ~mm^2 = 200 \times 10^{-6} ~m^2$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 ~K$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 2 \times 10^{-4} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^{-12} \times 10^{12}$
$P = 11.34 ~J/s$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta U = n C_v \Delta T$
चूंकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$, इसलिए:
$\Delta U = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
दिए गए मान:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$\Delta U = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$
$\Delta U = 41500 \, J$
किलो जूल में परिवर्तित करने पर:
$\Delta U = 41.50 \, kJ$

(B) गिब्स मुक्त ऊर्जा,एन्थैल्पी और एन्ट्रॉपी के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$
दिया गया है कि $\Delta G = 0$,इसलिए समीकरण होगा: $0 = \Delta H - T \Delta S$
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{\Delta H}{\Delta S}$
$\Delta H$ को $kJ \ mol^{-1}$ से $J \ mol^{-1}$ में बदलने पर: $\Delta H = -20.5 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$
मान रखने पर: $T = \frac{-20.5 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{-50.0 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}} = 410 \ K$

(C) मान लीजिए पाइप की लंबाई $l$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4l}$ है।
बंद पाइप का $3^{rd}$ हार्मोनिक $f_{3c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ है।
खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2l}$ है।
प्रश्न के अनुसार,खुले पाइप की मूल आवृत्ति,बंद पाइप के $3^{rd}$ हार्मोनिक से $55 ~Hz$ कम है:
$f_{3c} - f_o = 55 ~Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 ~Hz$.
चूंकि बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4l}$ है,इसलिए इसका मान $55 ~Hz$ है।

(B) दिया गया है कि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है। स्थिर कोणीय त्वरण $\alpha$ के तहत कोणीय विस्थापन $\theta$ का सूत्र $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ है।
पहले समय अंतराल $t$ के लिए,घूमा गया कोण $\theta_1 = 15^{\circ}$ है।
$15^{\circ} = 0 + \frac{1}{2} \alpha t^2 \implies \frac{1}{2} \alpha t^2 = 15^{\circ} \quad \dots(i)$
कुल समय अंतराल $(t + 2t) = 3t$ के लिए,कुल कोणीय विस्थापन $\theta_{total}$ है:
$\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = \frac{1}{2} \alpha (9t^2) = 9 \left( \frac{1}{2} \alpha t^2 \right)$.
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$.
अगले $2t \ s$ समय में कोण में हुई वृद्धि $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta_1 = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ है।

(D) माना गोले का द्रव्यमान $M$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,गोले का वेग $v_x = u \cos \theta$ है। गोला $m = M/2$ द्रव्यमान के दो समान भागों में टूट जाता है।
माना पहले भाग (जो वापस लौटता है) का वेग $v_1 = -u \cos \theta$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M(u \cos \theta) = m v_1 + m v_2$
$M(u \cos \theta) = (M/2)(-u \cos \theta) + (M/2)v_2$
$u \cos \theta = -0.5 u \cos \theta + 0.5 v_2$
$1.5 u \cos \theta = 0.5 v_2$
$v_2 = 3 u \cos \theta$
पहले भाग की गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ है।
दूसरे भाग की गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} (M/2) (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ है।
$E_1$ और $E_2$ की तुलना करने पर:
$E_2 = 9 \times (\frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta) = 9 E_1$.

(A) सांद्र $H_2SO_4$ एक शक्तिशाली निर्जलीकरण कारक है।
जब यह चीनी $(C_{12}H_{22}O_{11})$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह पानी के अणुओं को हटा देता है,जिससे कार्बन का काला अवशेष पीछे रह जाता है।
इस प्रक्रिया को चीनी का चारिंग कहा जाता है।
$C_{12}H_{22}O_{11} \xrightarrow{\text{conc. } H_2SO_4} 12C + 11H_2O$.

(C) दी गई अभिक्रिया एक डीकार्बोक्सिलेशन अभिक्रिया है,जिसे सोडा-लाइम डीकार्बोक्सिलेशन के रूप में भी जाना जाता है।
जब कार्बोक्सिलिक अम्ल के सोडियम लवण को सोडा लाइम $(NaOH + CaO)$ के साथ गर्म किया जाता है,तो यह $CO_2$ का एक अणु खोकर मूल कार्बोक्सिलिक अम्ल से एक कार्बन परमाणु कम वाला एल्केन बनाता है।
$CH_3-CH_2-CO_2^{\ominus} Na^{\oplus} + NaOH \xrightarrow{CaO, \Delta} CH_3-CH_3 + Na_2CO_3$
यहाँ,सोडियम प्रोपेनोएट ($3$ कार्बन) अभिक्रिया करके एथेन ($2$ कार्बन) बनाता है।
अतः,$Z$ एथेन है।

(A) बंध लंबाई को एक अणु में दो बंधित परमाणुओं के नाभिक के केंद्रों के बीच की औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परमाणु आकार, संकरण और विद्युत ऋणात्मकता के अंतर जैसे कारकों पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे परमाणु का आकार बढ़ता है, बंध लंबाई आमतौर पर बढ़ती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$C-C$ बंध लंबाई लगभग $154 \ pm$ है।
$C-H$ बंध लंबाई लगभग $109 \ pm$ है।
$C-N$ बंध लंबाई लगभग $147 \ pm$ है।
$C-O$ बंध लंबाई लगभग $143 \ pm$ है।
इसलिए, दिए गए विकल्पों में $C-C$ बंध की दूरी सबसे अधिक है।

(C) एथाइन $(C_2H_2)$: कार्बन परमाणु $sp$ संकरित है जिसमें $2$ $\sigma$-आबंध और $0$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप इसकी ज्यामिति रेखीय होती है।
मीथेन $(CH_4)$: कार्बन परमाणु $sp^3$ संकरित है जिसमें $4$ $\sigma$-आबंध और $0$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप इसकी ज्यामिति चतुष्फलकीय होती है।
अतः,आकृतियाँ रेखीय और चतुष्फलकीय हैं।

(B) हाइड्रोजन बंध एक अत्यधिक विद्युत ऋणात्मक परमाणु से सहसंयोजक रूप से बंधे हाइड्रोजन परमाणु और एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म वाले दूसरे विद्युत ऋणात्मक परमाणु के बीच एक विशेष प्रकार का द्विध्रुव-द्विध्रुव आकर्षण है।
$HF$ अणु में,$H$ और $F$ के बीच विद्युत ऋणात्मकता का महत्वपूर्ण अंतर होता है,जो एक स्थायी द्विध्रुव बनाता है।
परिणामस्वरूप,$HF$ अणुओं के बीच की अंतःक्रिया द्विध्रुव-द्विध्रुव अंतःक्रिया का एक रूप है।
गैसीय अवस्था में,कई $HF$ अणु $H$-आबंधन के माध्यम से बहुलकीकृत (polymerize) हो जाते हैं।

(A) अभिक्रिया $A + B \rightleftharpoons C + D$ है।
प्रारंभिक मोल $(t = 0)$: $A = 1 \ mol$,$B = 1 \ mol$,$C = 0 \ mol$,$D = 0 \ mol$.
साम्यावस्था पर $B$ का $40 \%$ भाग अभिक्रिया करता है,अर्थात $0.4 \ mol$ $B$ खर्च होता है।
साम्यावस्था पर मोल: $A = (1 - 0.4) = 0.6 \ mol$,$B = (1 - 0.4) = 0.6 \ mol$,$C = 0.4 \ mol$,$D = 0.4 \ mol$.
चूंकि आयतन $10 \ L$ है,सांद्रता $[A] = 0.06 \ M$,$[B] = 0.06 \ M$,$[C] = 0.04 \ M$,$[D] = 0.04 \ M$ होगी।
$K_C = \frac{[C][D]}{[A][B]} = \frac{0.04 \times 0.04}{0.06 \times 0.06} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0.44$.

(D) समूह $13$ के तत्वों के लिए,परमाणु आकार में वृद्धि के कारण विद्युत ऋणात्मकता $(EN)$ $B$ से $Al$ तक घटती है।
$Al$ से $Tl$ तक,$d$ और $f$ कक्षकों के खराब परिरक्षण प्रभाव (shielding effect) के कारण विद्युत ऋणात्मकता में क्रमिक वृद्धि होती है,जो प्रभावी परमाणु आवेश को बढ़ाती है।
$EN$ के मान (पॉलिंग स्केल पर) इस प्रकार हैं: $B (2.0)$,$Al (1.5)$,$Ga (1.6)$,$In (1.7)$,और $Tl (1.8)$।
अतः,सही परिवर्तन $B$ से $Al$ तक कमी और उसके बाद $Al$ से $Tl$ तक वृद्धि को दर्शाता है।

(C) संयोजकता कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम केंद्रीय परमाणु के चारों ओर कुल आबंधी और एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की गणना करते हैं।
$SCl_2$ में,केंद्रीय परमाणु $S$ (सल्फर) है।
सल्फर के पास $6$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
यह $Cl$ परमाणुओं के साथ $2$ एकल आबंध बनाता है,जिसमें $2$ इलेक्ट्रॉनों का उपयोग होता है।
$S$ पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या $= \frac{6 - 2}{2} = 2$ है।
$S$ के चारों ओर कुल इलेक्ट्रॉन युग्म $= 2 \text{ (आबंधी युग्म)} + 2 \text{ (एकाकी युग्म)} = 4 \text{ युग्म}$ हैं।
संयोजकता कोश में कुल इलेक्ट्रॉन $= 4 \times 2 = 8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
अतः,$SCl_2$ अष्टक नियम का पालन करता है।

(A) आवर्त सारणी में,जब हम एक आवर्त में बाएं से दाएं जाते हैं,तो प्रभावी नाभिकीय आवेश बढ़ता है जबकि कोशों की संख्या समान रहती है।
इसके परिणामस्वरूप नाभिक और संयोजी इलेक्ट्रॉनों के बीच आकर्षण बल बढ़ जाता है,जिससे परमाणु त्रिज्या घट जाती है।
दिए गए सभी तत्व $(Na, Mg, Al, Si, S)$ $3^{rd}$ आवर्त के हैं।
बाएं से दाएं परमाणु त्रिज्या घटने की प्रवृत्ति का पालन करते हुए,सही क्रम $Na > Mg > Al > Si > S$ है।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $S < Si < Al < Mg < Na$ है।

(B) दिया गया है: $L_1 = 108 \ mH$,$N_1 = 600$ फेरे,$N_2 = 500$ फेरे,और $L_2 = ?$
एक वृत्ताकार कुंडली के लिए,स्व-प्रेरकत्व $L$ फेरों की संख्या के वर्ग $N^2$ के समानुपाती होता है,जिसे $L = \frac{\mu_0 \pi N^2 r}{2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियों के लिए त्रिज्या $r$ समान है,इसलिए हमारे पास संबंध है:
$\frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{108}{L_2} = \left(\frac{600}{500}\right)^2$
$\frac{108}{L_2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$
$L_2 = \frac{108 \times 25}{36}$
$L_2 = 3 \times 25 = 75 \ mH$
अतः,कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $75 \ mH$ है।

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-2x^2+10x-8=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$
$\alpha\beta\gamma = 8$
हमें वह समीकरण चाहिए जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।
नए मूलों का योग: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$.
नए मूलों का गुणनफल: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$.
अभीष्ट त्रिघात समीकरण है: $x^3 - (\text{मूलों का योग})x^2 + (\text{दो-दो मूलों के गुणनफल का योग})x - (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$.
मान रखने पर: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$.
अतः,$x^3+16x^2+68x-64=0$.

(D) दिया गया है $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^r}}$.
अतः,गुणनफल $P = Z_1 Z_2 Z_3 \ldots \infty = e^{i \frac{\pi}{2^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^3}} \ldots$
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,$P = e^{i \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \right)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
इस अनंत श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \frac{\pi/2}{1/2} = \pi$ है।
इस प्रकार,$P = e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi$.
चूंकि $\cos \pi = -1$ और $\sin \pi = 0$,इसलिए $P = -1 + i(0) = -1$.

(A) दिया गया है: $x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$,और $z=p \omega^2+q \omega$.
हमें $xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$y$ और $z$ का गुणा करने पर:
$yz = (p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega) = p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3$.
चूंकि $\omega^3=1$ और $\omega^4=\omega$,इसलिए:
$yz = p^2(1) + pq(\omega^2+\omega) + q^2(1) = p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2$.
गुणधर्म $1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$\omega+\omega^2=-1$.
अतः,$yz = p^2 - pq + q^2$.
अब,$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करने पर:
$xyz = p^3+q^3$.

(A) क्लोरोफ्लोरोकार्बन (CFCs),जिन्हें फ्रिऑन्स के रूप में भी जाना जाता है,स्थिर,गैर-विषाक्त और गैर-अभिक्रियाशील यौगिक हैं जिनका उपयोग प्रशीतन और एयर कंडीशनिंग में किया जाता है।
अपने लंबे वायुमंडलीय जीवनकाल के कारण,वे अंततः समताप मंडल (stratosphere) तक पहुँच जाते हैं।
समताप मंडल में,वे उच्च-ऊर्जा $UV$ विकिरण द्वारा विघटित हो जाते हैं,जिससे क्लोरीन मुक्त मूलक (free radicals) बनते हैं।
डाइक्लोरोडाइफ्लोरोमीथेन $(CF_2Cl_2)$ के लिए अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CF_2Cl_2 \stackrel{hv}{\longrightarrow} \dot{C}F_2Cl + \dot{Cl}$
अतः,उत्पाद $X$ और $Y$ मुक्त मूलक $\dot{C}F_2Cl$ और $\dot{Cl}$ हैं।

(D) दिया गया है,$\cos x = \tan y$,$\cot y = \tan z$ और $\cot z = \tan x$।
दिए गए समीकरणों से,$\tan y = \cos x$ और $\cot y = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{\cos x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot y = \tan z$,इसलिए $\tan z = \frac{1}{\cos x}$ है।
अतः $\cot z = \frac{1}{\tan z} = \cos x$।
$\cot z = \tan x$ दिया गया है,इसलिए $\tan x = \cos x$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x$
$\Rightarrow \sin x = \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x = 1 - \sin^2 x$
$\Rightarrow \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sin x$ का मान धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$।

(C) हम प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों के लघुगणकीय रूपों का उपयोग करते हैं:
$\sec h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosec} h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
$\sec h^{-1} x$ में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{4}}}{\frac{1}{2}}\right) = \log _e\left(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log _e(2+\sqrt{3})$.
$\operatorname{cosec} h^{-1} x$ में $x = \frac{3}{4}$ रखने पर:
$\operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+\frac{9}{16}}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e\left(\frac{1+\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e\left(\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e(3)$.
अतः,$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e(2+\sqrt{3}) - \log _e(3) = \log _e\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.

(D) दिया है,$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ और $\sin x + \sin y = \frac{3}{4}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ $(1)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से भाग देने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
अब,$\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin(x+y) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{4}{5}$.

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+y^2=0$ है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है।
मान लीजिए रेखाएँ $y=m_1x$ और $y=m_2x$ हैं। तब $m_1+m_2=3$ और $m_1m_2=1$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ और $lx+my+n=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$.
यहाँ,$a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1, l=1, m=1, n=1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$.
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ है।
इसे रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ से तुलना करने पर:
$A = 1, B = \alpha, H = 0, G = 0, F = \beta, C = -a^2$.
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $A + B = 0$ है।
$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक की शर्त:
$ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$.
मान रखने पर:
$(1)(\alpha)(-a^2) + 0 - (1)(\beta)^2 - 0 - 0 = 0$.
$-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$.
$\alpha = -1$ होने पर:
$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0
$ $\Rightarrow a^2 - \beta^2 = 0
$ $\Rightarrow \beta^2 = a^2
$ $\Rightarrow \beta = a$.

(C) प्रकृति में चार मौलिक बलों की सापेक्ष शक्तियाँ,सबसे मजबूत (प्रबल नाभिकीय बल) को $1$ मानते हुए,इस प्रकार हैं:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $1$ ($f$ के साथ मेल खाता है)
$2$. विद्युत चुंबकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-2}$ ($e$ के साथ मेल खाता है)
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-13}$ ($h$ के साथ मेल खाता है)
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-39}$ ($i$ के साथ मेल खाता है)
अतः,सही मिलान है: $A-f, B-h, C-e, D-i$.