किसी भी पूर्णांक n geq 2 के लिए,मान लीजिए I_n | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है $I_n = \int 	an^n x \, dx$। हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I_n = \int 	an^{n-2} x \cdot 	an^2 x \, dx$ सर्वसमिका $	an^

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$(n-1, 1)$

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(A) हमें दिया गया है $I_n = \int 	an^n x \, dx$। हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I_n = \int 	an^{n-2} x \cdot 	an^2 x \, dx$ सर्वसमिका $	an^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_n = \int 	an^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$ $I_n = \int 	an^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int 	an^{n-2} x \, dx$ प्रथम समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$। अतः,$\int 	an^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \frac{	an^{n-1} x}{n-1}$। इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $I_n = \frac{	an^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$। इसे दिए गए रूप $I_n = \frac{1}{a} 	an^{n-1} x - b I_{n-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$ $b = 1$ अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (n-1, 1)$ है।

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