AP EAMCET 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આદર્શ વાયુના $n$ મોલની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ છે.
$16 \ g$ મિથેન ($CH_4$,આણ્વીય દળ = $16 \ g/mol$) માટે,મોલ $n_1 = \frac{16}{16} = 1 \ mol$.
$32 \ g$ ઓક્સિજન ($O_2$,આણ્વીય દળ = $32 \ g/mol$) માટે,મોલ $n_2 = \frac{32}{32} = 1 \ mol$.
બંનેના મોલ સમાન હોવાથી અને તાપમાન $(300 \ K)$ સમાન હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જા સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને,તમામ વાયુઓના એક મોલની ગતિઊર્જા સમાન હોય છે,જે સાચું છે $(KE = \frac{3}{2} RT)$.
તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક કોન્ફિગરેશન નીચે મુજબ છે:
$K$ $(Z=19)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6, 4s^1$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $8$.
$Mn$ $(Z=25)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^5, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $13$.
$Ni$ $(Z=28)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^8, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $16$.
$Sc$ $(Z=21)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^1, 4s^2$. $M$ કક્ષામાં $(n=3)$ ઇલેક્ટ્રોન = $9$.
આમ,$K$ ની $M$ કક્ષામાં સૌથી ઓછા ઇલેક્ટ્રોન છે.

(A) થર્મોકપલ બે અલગ-અલગ ધાતુના તારનું બનેલું હોય છે જે બે જંકશન પર જોડાયેલા હોય છે.
જ્યારે એક જંકશનને અચળ તાપમાને રાખવામાં આવે અને બીજાને બદલાતા તાપમાનના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે,ત્યારે થર્મોઈલેક્ટ્રિક ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
થર્મોકપલનું જંકશન ખૂબ નાનું હોવાથી તેની ઉષ્મીય ક્ષમતા અત્યંત ઓછી હોય છે.
ઉષ્મીય ક્ષમતા એ દળ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતાનો ગુણાકાર છે $(C = mc)$.
ઓછી ઉષ્મીય ક્ષમતાનો અર્થ એ છે કે જંકશન આસપાસના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે ખૂબ જ ઝડપથી ગરમી મેળવી કે ગુમાવી શકે છે.
તેથી,તે તાપમાનમાં થતા ફેરફારોને ઝડપથી પ્રતિસાદ આપી શકે છે,જે તેને ઝડપથી બદલાતા તાપમાનને માપવા માટે યોગ્ય બનાવે છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(R)$ સાચું છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
અહીં,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,અને $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{19249.92 \times 10^{-4}}{1.3752 \times 10^{-3}} \approx 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.

(D) આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
જ્યારે બે વાયુઓને એડિબેટિક પાત્રમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_V T_{mix} = n_1 C_V T_1 + n_2 C_V T_2$.
બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વિક હોવાથી,$C_V$ ઉડી જશે:
$T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T_{mix} = \frac{4(400) + 2(700)}{4 + 2}$.
$T_{mix} = \frac{1600 + 1400}{6} = \frac{3000}{6} = 500 ~K$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto \rho^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આપણે ગુણોત્તરને $\frac{P^{\prime}}{P} = \left( \frac{d^{\prime}}{d} \right)^{\gamma}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$ મળે છે.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
$2^7$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $2^7 = 128$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P = \frac{nRT}{V} = \frac{m}{M} \frac{RT}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,પાત્ર $A$ માટે,$P_{A,i} = \frac{m_A RT}{MV}$. $2V$ કદ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ પછી,$P_{A,f} = \frac{m_A RT}{M(2V)}$.
પાત્ર $A$ માટે દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = |P_{A,f} - P_{A,i}| = \frac{m_A RT}{2MV}$ છે.
તે જ રીતે,પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં થતો ફેરફાર $1.5 \Delta P = |P_{B,f} - P_{B,i}| = \frac{m_B RT}{2MV}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{1.5 \Delta P}{\Delta P} = \frac{\frac{m_B RT}{2MV}}{\frac{m_A RT}{2MV}}$
$1.5 = \frac{m_B}{m_A}$
$\frac{3}{2} = \frac{m_B}{m_A}$
$3 m_A = 2 m_B$.

(B) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયાઓ એવી છે જેમાં ઉષ્મા ઉર્જાનું શોષણ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ માં,પ્રક્રિયકોમાં $180.8 \ kJ$ ઉષ્મા ઉમેરવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે નીપજો બનાવવા માટે ઉર્જાનું શોષણ થાય છે.
તેથી,પ્રક્રિયા $N_{2(g)} O_{2(g)} 180.8 \ kJ \longrightarrow 2 NO_{(g)}$ ઉષ્માશોષક છે.

(C) $CH_4$ અણુમાં ચાર $C-H$ બંધ હોય છે.
એક મોલ $CH_4$ ને વાયુરૂપ કાર્બન અને હાઇડ્રોજન પરમાણુઓમાં તોડવા માટે,ચારેય $C-H$ બંધ તોડવા જરૂરી છે.
કુલ જરૂરી ઉર્જા $4 \times 416 \ kJ \ mol^{-1} = 1664 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,સાચું થર્મોકેમિકલ સમીકરણ $CH_{4(g)} + 1664 \ kJ \longrightarrow C_{(g)} + 4H_{(g)}$ છે.

(D) સમીકરણ $x(t) = \frac{v_0}{A}(1 - e^{-At})$ માં,ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$At$ નું પરિમાણ $1$ હોવું જોઈએ.
$[A][T] = [M^0 L^0 T^0] \implies [A] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
કારણ કે પદ $(1 - e^{-At})$ પરિમાણરહિત છે,તેથી $x$ નું પરિમાણ $\frac{v_0}{A}$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[x] = \frac{[v_0]}{[A]} \implies [L] = \frac{[v_0]}{[T^{-1}]} \implies [v_0] = [L][T^{-1}] = [M^0 LT^{-1}]$.
આમ,$v_0$ ના પરિમાણો $[M^0 LT^{-1}]$ છે અને $A$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: ફ્રેનલ વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને/અથવા પડદો વિવર્તન કરતા છિદ્ર કે અવરોધથી મર્યાદિત અંતરે હોય.
વિધાન $B$ સાચું છે: એક્સ-રે વિવર્તન (વિવર્તનનો એક પ્રકાર) એ જટિલ જૈવિક અણુઓની આણ્વિક રચના નક્કી કરવા માટે વપરાતી પ્રમાણભૂત તકનીક છે,જેમાં ન્યુક્લિક એસિડ ($DNA$/$RNA$) ની હેલિકલ રચનાનો સમાવેશ થાય છે.

(D) ધારો કે ત્રીજા સ્વરની આવૃત્તિ $n$ છે અને ધ્વનિનો વેગ $v$ છે. સ્વરની આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્વર માટે,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$.
બીજા સ્વર માટે,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$.
બંને ત્રીજા સ્વર સાથે પ્રતિ સેકન્ડ $10$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ...$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 20$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 ~m/s$.

(D) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$l \propto \sqrt{T}$ થાય.
તેથી,$\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{T_{\text{water}}}}$.
હવામાં તણાવ $T_{\text{air}} = mg$ છે. જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઉપરની તરફ લાગે છે,તેથી $T_{\text{water}} = mg - F_B$.
આપેલ વિશિષ્ટ ઘનતા $\sigma = 8$ છે,એટલે કે લોખંડની ઘનતા $\rho = 8 \rho_w$. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_w g = \frac{m}{\rho} \rho_w g = \frac{m}{8 \rho_w} \rho_w g = \frac{mg}{8}$.
આમ,$T_{\text{water}} = mg - \frac{mg}{8} = \frac{7}{8} mg = \frac{7}{8} T_{\text{air}}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{\frac{7}{8} T_{\text{air}}}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$.
આપેલ છે કે $l_{\text{air}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times 1 \ m$,તેથી $l_{\text{water}} = l_{\text{air}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \ m$.

(C) બ્લોક પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક $x = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી કોઈપણ સ્થાન $x$ પર ગતિઊર્જા $KE$ એ $x = 0$ થી $x$ સુધી બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય દ્વારા મળે છે.
$KE = \int_{0}^{x} F dx = \int_{0}^{x} (9 - x^2) dx = 9x - \frac{x^3}{3}$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે તે સ્થાન શોધીએ છીએ જ્યાં બળ શૂન્ય થાય છે:
$F = 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 ~m$.
$x = 3 ~m$ પર,ગતિઊર્જા:
$KE_{max} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - 0 = 27 - 9 = 18 ~J$.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\overrightarrow{v}_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m_1 = m_2 = m$ હોવાથી,$\overrightarrow{v}_{CM} = \frac{\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2}{2} = \frac{4 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{a}_1 + m_2 \overrightarrow{a}_2}{m_1 + m_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}_1 = (5 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$ અને $\overrightarrow{a}_2 = 0$,તેથી $\overrightarrow{a}_{CM} = \frac{\overrightarrow{a}_1 + 0}{2} = (2.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$.
અહીં પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_{CM}$ અચળ છે અને પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v}_{CM}$ એ પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_{CM}$ ને સમાંતર નથી,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પથ પરવલયાકાર હશે.

(A) આપેલા અણુઓમાં કાર્બન પરમાણુઓનું સંકરણ નીચે મુજબ છે:
$A$. ઇથેન $(CH_3-CH_3)$: બંને કાર્બન પરમાણુઓ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે. તેથી,$A-3$.
$B$. ઇથિલીન $(CH_2=CH_2)$: બંને કાર્બન પરમાણુઓ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે. તેથી,$B-4$.
$C$. એસિટિલીન $(CH \equiv CH)$: બંને કાર્બન પરમાણુઓ $sp$ સંકરણ ધરાવે છે. તેથી,$C-1$.
$D$. બેન્ઝીન $(C_6H_6)$: વલયમાં રહેલા તમામ છ કાર્બન પરમાણુઓ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે. તેથી,$D-2$.
તેથી,સાચી જોડ $A-3, B-4, C-1, D-2$ છે.

(C) ધન આયન (cation) બનવાની પ્રક્રિયામાં તટસ્થ પરમાણુમાંથી ઇલેક્ટ્રોન દૂર થાય છે. $M \rightarrow M^+ + e^-$.
આ પ્રક્રિયા માટે જરૂરી ઉર્જાને આયનીકરણ ઉર્જા કહેવાય છે.
તેથી,ઓછી આયનીકરણ પોટેન્શિયલ (અથવા આયનીકરણ ઉર્જા) ધરાવતા પરમાણુ માટે ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવીને ધન આયન બનાવવું સરળ બને છે.

(C) આયનીય સંયોજનો મજબૂત સ્થિર વિદ્યુત આકર્ષણ બળો દ્વારા જોડાયેલા આયનોના બનેલા હોય છે.
ઘન અવસ્થામાં,આ આયનો લેટીસમાં નિશ્ચિત હોય છે અને હલનચલન કરી શકતા નથી,જેના કારણે તેઓ વિદ્યુતના મંદ વાહક હોય છે.
જો કે,પીગળેલી અવસ્થામાં અથવા જ્યારે પાણીમાં ઓગળેલા હોય ત્યારે,આયનો મુક્ત રીતે હલનચલન કરી શકે છે,જે તેમને વિદ્યુતનું વહન કરવાની મંજૂરી આપે છે.
તેથી,એવું વિધાન કે આયનીય સંયોજનો પીગળેલા અથવા જલીય દ્રાવણોમાં વિદ્યુતનું વહન કરતા નથી તે ખોટું છે.

(B) સામાન્ય પ્રક્રિયા માટે,સંતુલન અચળાંક $K_c = \frac{[\text{નીપજ}]}{[\text{પ્રક્રિયક}]}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો $[\text{નીપજ}] > [\text{પ્રક્રિયક}]$ હોય,તો ગુણોત્તર $K_c$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આપેલ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$A: K = 0.001 < 1$
$B: K = 10 > 1$
$C: K = 0.005 < 1$
$D: K = 0.01 < 1$
તેથી,પ્રક્રિયા $B$ માં,નીપજની સાંદ્રતા પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા કરતા વધારે છે.

(D) કારણ કે $(x-2)$ એ પદાવલિઓ $x^2+ax+b$ અને $x^2+cx+d$ નો સામાન્ય અવયવ છે,તેથી આપણને મળે:
$2^2 + 2a + b = 0 \Rightarrow 4 + 2a + b = 0$ ... $(i)$
$2^2 + 2c + d = 0 \Rightarrow 4 + 2c + d = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માંથી બાદ કરતા:
$(4 + 2a + b) - (4 + 2c + d) = 0$
$2a + b - 2c - d = 0$
$b - d = 2c - 2a$
$b - d = 2(c - a)$
તેથી,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(A) ધારો કે $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$.
આ પદાવલિ અનંત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$y = \sqrt{42+y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$y^2 = 42 + y$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$y^2 - y - 42 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(y - 7)(y + 6) = 0$.
આથી $y$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $y = 7$ અથવા $y = -6$.
કારણ કે ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોય,તેથી $y = -6$ શક્ય નથી.
તેથી,સાચો જવાબ $y = 7$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે.
જો સંકર સંખ્યા $a+bi$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $a-bi$ પણ બીજ હોય.
તેથી,$1+2i$ અને $1-2i$ બીજ છે.
જો કરણી $a+\sqrt{b}$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ કરણી $a-\sqrt{b}$ પણ બીજ હોય.
તેથી,$2-\sqrt{3}$ અને $2+\sqrt{3}$ બીજ છે.
વધુમાં,$5$ એ પણ બીજ છે.
આમ,કુલ બીજ $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ અને $5$ છે.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
આપણે અનંત ગુણાકાર $\prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ઘાતાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.
ઘાતાંક એ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.
તેથી,ગુણાકાર $e^{i \pi}$ છે.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2i}{3}$ છે.
અહીં $|r| = |\frac{2i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$ હોવાથી,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1 - \frac{2i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2i}{3}} = \frac{3}{3-2i}$.
સાદું રૂપ આપવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+2i)$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{3(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{9+6i}{3^2 - (2i)^2} = \frac{9+6i}{9 - (-4)} = \frac{9+6i}{13}$.

(D) કુલ $10$ વક્તાઓ છે. શરત એ છે કે $S_1$ એ $S_2$ પછી જ બોલવું જોઈએ.
$10$ વક્તાઓની કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1$ અને $S_2$ ના સાપેક્ષ ક્રમ માટે માત્ર બે શક્યતાઓ છે: કાં તો $S_1$ એ $S_2$ પહેલા બોલે અથવા $S_2$ એ $S_1$ પહેલા બોલે.
આ બંને કિસ્સાઓ સમાન હોવાથી,કુલ ક્રમચયો $(10!)$ માંથી અડધા કિસ્સાઓ એવી શરત સંતોષશે કે જેમાં $S_2$ એ $S_1$ પહેલા બોલે (જેનો અર્થ એ છે કે $S_1$ એ $S_2$ પછી બોલે).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{10!}{2}$ છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$.
અહીં $x$ એ $k$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,તેને સરવાળાની બહાર લેતા: $x \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(t) dt$.
અહીં $f(t) = t^2$ લેતા,પદ આ મુજબ થશે: $x \int_0^1 t^2 dt$.
સંકલન કરતા: $x \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = x \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{x}{3}$.

(C) ધારો કે $y = x \log _e a$. આપેલી શ્રેણી $y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\sinh(y) = y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ છે.
$y = x \log _e a$ ને શ્રેણીમાં પાછું મૂકતા,આપણને $\sinh(x \log _e a)$ મળે છે.
આમ,શ્રેણીનું મૂલ્ય $\sinh(x \log _e a)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $k$ ઘનનો સરવાળો $\sum_{i=1}^k i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ છે અને પ્રથમ $k$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{i=1}^k (2i-1) = k^2$ છે.
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$.
$k=1$ થી $5$ માટે સરવાળો કરતા:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$.

(B) વાતાવરણને પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈના આધારે સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે:
$1$. ટ્રોપોસ્ફિયર: $0-10 \ km$
$2$. સ્ટ્રેટોસ્ફિયર: $10-50 \ km$
$3$. મેસોસ્ફિયર: $50-85 \ km$
$4$. થર્મોસ્ફિયર: $85-500 \ km$
ઊંચાઈની સરખામણી કરતા,ક્રમ થર્મોસ્ફિયર $(85-500 \ km)$ > મેસોસ્ફિયર $(50-85 \ km)$ > ટ્રોપોસ્ફિયર $(0-10 \ km)$ છે.
તેથી,ઊંચાઈનો ઉતરતો ક્રમ $III, II, I$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
$\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$-\sin^2 \theta x^2 - \sin^2 \theta xy + \sin^2 \theta y^2 = 0$.
$-\sin^2 \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$),આપણને મળે છે:
$x^2 + xy - y^2 = 0$.
આને સામાન્ય સમઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $a + b = 0$ છે.
અહીં,$a + b = 1 + (-1) = 0$.
તેથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, a)$ અને $(x_2, y_2) = (b, 2)$,અને $r^2 = 25$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $b + 2a = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
આમ,$4a + 2b = 50$.

(B) $4$-bromo-$3$-methylbut-$1$-ene નું બંધારણ નક્કી કરવા માટે,આપણે $IUPAC$ નામનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. મુખ્ય શૃંખલા 'but$-1-$ene' છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ કાર્બન પર દ્વિબંધ ધરાવતી ચાર કાર્બનની શૃંખલા: $CH_2=CH-CH_2-CH_3$।
$2$. '$3$-methyl' વિસ્થાપક સૂચવે છે કે ત્રીજા કાર્બન પર એક મિથાઈલ ગ્રુપ $(-CH_3)$ જોડાયેલ છે.
$3$. '$4$-bromo' વિસ્થાપક સૂચવે છે કે ચોથા કાર્બન પર એક બ્રોમીન પરમાણુ $(-Br)$ જોડાયેલ છે.
$4$. આ બધાને જોડતા,બંધારણ $CH_2=CH-CH(CH_3)-CH_2Br$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $1, 2$-ડાયબ્રોમોઈથેન જેવા વિસિનલ ડાયહેલાઈડનું ડી-બ્રોમિનેશન આલ્કોહોલની હાજરીમાં ઝિંક $(Zn)$ ડસ્ટનો ઉપયોગ કરીને ગરમ કરવાથી થાય છે.
આ પ્રક્રિયા એક પ્રકારની વિલોપન પ્રક્રિયા છે જેમાં આલ્કીન બનાવવા માટે બે બ્રોમિન પરમાણુઓ દૂર થાય છે.
રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$BrCH_2-CH_2Br + Zn \xrightarrow{\text{alcohol}, \Delta} CH_2=CH_2 + ZnBr_2$
આમ,સાચી ધાતુ $Zn$ છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા એ ઇથિલીન ડાયબ્રોમાઇડની આલ્કોહોલિક $KOH$ સાથેની પ્રક્રિયા છે જે એસિટિલીન બનાવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,વિસિનલ ડાયહેલાઇડમાંથી $HBr$ ના બે અણુઓ દૂર થાય છે,જેને ડીહાઈડ્રોબ્રોમિનેશન (ડીહાઈડ્રોહેલોજિનેશનનો એક પ્રકાર) કહેવામાં આવે છે.

(A) લુઈસ એસિડ (જેમ કે $AlCl_3$) ની હાજરીમાં,બેન્ઝીન આલ્કાઇલ હેલાઇડ સાથે ઇલેક્ટ્રોફિલિક વિસ્થાપન પ્રક્રિયા આપે છે. આ પ્રક્રિયાને ફ્રિડલ-ક્રાફ્ટ આલ્કાઇલેશન કહેવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_6H_6 + C_2H_5Cl \xrightarrow{AlCl_3} C_6H_5-C_2H_5 + HCl$
બનતી નીપજ ઇથાઇલબેન્ઝીન છે,જેનું આણ્વીય સૂત્ર $C_8H_{10}$ છે.

(A) પરમ્યુટિટ અથવા ઝીઓલાઇટ એ સોડિયમનું હાઇડ્રેટેડ એલ્યુમિનોસિલિકેટ છે,જેનું સામાન્ય સૂત્ર $Na_2Al_2Si_2O_8 \cdot xH_2O$ છે.
તેનો ઉપયોગ પાણીની કઠિનતા દૂર કરવા માટે થાય છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ઝીઓલાઇટમાં રહેલા $Na^{+}$ આયનો કઠિન પાણીમાં રહેલા $Ca^{2+}$ અને $Mg^{2+}$ આયનો દ્વારા બદલાય છે,જેનાથી પાણી નરમ બને છે.
જ્યારે બધા જ $Na^{+}$ આયનો $Ca^{2+}$ અથવા $Mg^{2+}$ આયનો દ્વારા બદલાઈ જાય છે,ત્યારે પરમ્યુટિટ ક્ષીણ (exhausted) થઈ જાય છે.
તેથી,ક્ષીણ થયેલ પરમ્યુટિટમાં $Na^{+}$ આયનો હોતા નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ છે.
પ્રથમ,આપણે આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} [2(x-y)^2 - x^4 - y^4] = 4(x-y) - 4x^3$.
$f_y = \frac{\partial}{\partial y} [2(x-y)^2 - x^4 - y^4] = -4(x-y) - 4y^3$.
હવે,આપણે દ્વિતીય ક્રમનું આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [4(x-y) - 4x^3] = 4 - 12x^2$.
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [-4(x-y) - 4y^3] = 4 - 12y^2$.
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} [4(x-y) - 4x^3] = -4$.
બિંદુ $(0,0)$ પર કિંમત મૂકતા:
$f_{xx}(0,0) = 4 - 12(0)^2 = 4$.
$f_{yy}(0,0) = 4 - 12(0)^2 = 4$.
$f_{xy}(0,0) = -4$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{x+1}{(2x-1)(3x+1)}=\frac{A}{(2x-1)}+\frac{B}{(3x+1)}$
બંને બાજુ $(2x-1)(3x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x+1 = A(3x+1) + B(2x-1)$
$x+1 = x(3A+2B) + (A-B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$3A+2B = 1$ ...$(i)$
$A-B = 1$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$A = B+1$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B+3+2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
હવે,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
આપણે $16A+9B$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(D) વિધાન $A$ ખોટું છે. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન વ્યક્તિ પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. આમ,ઘર્ષણ બળ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. સાયકલ માટે,પાછળનું પૈડું ચેઈન દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે,તેથી જમીન તેના પર આગળની તરફ ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. જોકે,આગળનું પૈડું એ ગબડતું પૈડું છે જે ડ્રાઈવર નથી; તે તેની ગતિ અને પરિભ્રમણનો વિરોધ કરવા માટે જમીન તરફથી પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{1}{1 - x^2}$.
$(1 - x^2) \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = 1$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1 - x^2) \cdot 2 \left(\frac{d y}{d x}\right) \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \cdot (-2x) = 0$.
$2 \frac{d y}{d x}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\frac{d y}{d x} \neq 0$):
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} = 0$.
તેથી,$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} = x \frac{d y}{d x}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$.
અહીં છેદ $2x-x^2 = x(2-x)$ એ $x=0$ અને $x=2$ આગળ શૂન્ય થાય છે,તેથી આ એક અનિયત સંકલન (improper integral) છે.
આપણે તેને લક્ષ સ્વરૂપે ગણીએ: $I = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$.
ધારો કે $f(x) = 2x-x^2$,તો $f'(x) = 2-2x = -(2x-2)$.
તેથી,$\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = -\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\ln|2x-x^2| + C$.
હવે સંકલન કરતા:
$I = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| - (-\ln|2\epsilon-\epsilon^2|)]$.
$I = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|4-2\epsilon-(4-4\epsilon+\epsilon^2)|] = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$.
$f(\theta) = \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)$ લો.
હવે,વિધેયની યુગ્મતા તપાસતા:
$f(-\theta) = \log \left(\frac{2-\sin(-\theta)}{2+\sin(-\theta)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin \theta}{2-\sin \theta}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(\frac{a}{b}) = -\log(\frac{b}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-\theta) = -\log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) = -f(\theta)$.
આમ,$f(-\theta) = -f(\theta)$ હોવાથી,$f(\theta)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(A) આપેલ છે કે,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime} = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x}$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime \prime} = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x}$ ... (iii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime \prime \prime} = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x}$ ... (iv)
આપેલ સમીકરણ $e^x, e^{2x}, e^{3x}$ નું સુરેખ સંયોજન છે. લાક્ષણિક સમીકરણ $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(m^2 - 3m + 2)(m - 3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ ને $y^{(k)}$ સાથે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$y^{\prime \prime \prime} - 6y^{\prime \prime} + 11y^{\prime} - 6y = 0$.

(C) આપેલ છે કે $d(n)$ એ $n$ ના ધન ભાજકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા $P$ માટે,$P^7$ ના ભાજકોની સંખ્યા $7+1 = 8$ થાય.
તેથી,$d(P^7) = 8$.
હવે,$d(d(P^7)) = d(8)$ શોધીએ. $8 = 2^3$ હોવાથી,તેના ભાજકોની સંખ્યા $3+1 = 4$ થાય.
તેથી,$d(d(P^7)) = 4$.
અંતે,$d(d(d(P^7))) = d(4)$ શોધીએ. $4 = 2^2$ હોવાથી,તેના ભાજકોની સંખ્યા $2+1 = 3$ થાય.
તેથી,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(D) આપેલ છે કે,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા $\log _a b = c \implies b = a^c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
કારણ કે $27 = 3^3$,તેથી $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
આમ,$\log _3 x = 3$.
ફરીથી,લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$x = 3^3$.
તેથી,$x = 27$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$ છે.
આ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સદિશ $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ ની ગણતરી કરતા.
$\vec{d_1}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{16+16+16}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{48}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
$\vec{d_2} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) - (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{i} + 2\hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
$\vec{d_2}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2}} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{\sqrt{8}} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $3x - 2y - z = 18$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવવા માટે $18$ વડે ભાગતા:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$.
આમ,સમતલ યામ અક્ષોને $A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ અને $C(0, 0, -18)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
$G = (\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}) = (2, -3, -6)$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ છે અને ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(2,-1,3)$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{OP}$ ના દિકગુણોત્તર $(2-0, -1-0, 3-0) = (2, -1, 3)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(2, -1, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $(2, -1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(x-2) - 1(y-(-1)) + 3(z-3) = 0$
$2(x-2) - 1(y+1) + 3(z-3) = 0$
$2x - 4 - y - 1 + 3z - 9 = 0$
$2x - y + 3z - 14 = 0$
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.