AIPMT 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के परिणामी का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec R| = |\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दी गई शर्त $|\vec A + \vec B| = |\vec A| + |\vec B|$ के अनुसार,हम परिमाण का सूत्र रखते हैं:
$\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = A + B$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = (A + B)^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 + 2AB$
$2AB \cos \theta = 2AB$
$\cos \theta = 1$
अतः,$\theta = 0^o$।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
अतः,$h$ की विमा $[h] = [E] / [\nu]$ है।
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$ और $[\nu] = [T^{-1}]$.
इसलिए,$[h] = [M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$.
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है।
$[L] = [M] [L T^{-1}] [L] = [M L^2 T^{-1}]$.
अतः,प्लांक नियतांक की विमा कोणीय संवेग की विमा के समान होती है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और अधिकतम ऊँचाई $H$ है। अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
जब ऊँचाई $h = \frac{H}{2}$ हो,तो वेग $v = 10 \; m/s$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
समीकरण में $H = \frac{u^2}{2g}$ रखने पर:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $H$ की गणना करने पर:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(B) गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग $v_h = v \cos \theta$ होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ है।
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(A) सीमांत घर्षण बल $F_l = \mu mg = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88 \; N$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रक के फ्रेम में ब्लॉक पर लगने वाला छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = 1 \times 5 = 5 \; N$ है।
चूंकि छद्म बल $(5 \; N)$,सीमांत घर्षण $(5.88 \; N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक ट्रक के सापेक्ष नहीं फिसलेगा।
अतः,ब्लॉक पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण बल आरोपित छद्म बल के बराबर होगा,जो कि $5 \; N$ है।

(A) हीट इंजन की अधिकतम सैद्धांतिक दक्षता कार्नोट दक्षता सूत्र द्वारा दी जाती है: $\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ और $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\eta_{\max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ या $25\%$.
चूंकि ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम कहता है कि समान दो तापमानों के बीच काम करने वाले किसी भी हीट इंजन की दक्षता कार्नोट दक्षता से अधिक नहीं हो सकती है,इसलिए $26\%$ की दक्षता असंभव है।

(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{L}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ और लंबाई $L_1$ है। तब $Q_1 \propto \frac{r_1^2}{L_1}$।
जब सभी रैखिक आयामों को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ और नई लंबाई $L_2 = 2L_1$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2 \propto \frac{r_2^2}{L_2} = \frac{(2r_1)^2}{2L_1} = \frac{4r_1^2}{2L_1} = 2 \left( \frac{r_1^2}{L_1} \right)$।
इसलिए,$Q_2 = 2Q_1$।

(B) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{1}{2} K a^2$
जहाँ:
$K$ बल नियतांक (स्प्रिंग नियतांक) है,
$a$ दोलन का आयाम है।
चूंकि कुल ऊर्जा किसी भी बिंदु पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है,इसलिए यह गति के दौरान स्थिर रहती है और तात्कालिक विस्थापन $x$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $K$ और आयाम $a$ पर निर्भर करती है।

(D) तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(100t - x/10)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \, rad/s$.
तरंग संख्या $k = 1/10 \, m^{-1}$.
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{100}{1/10} = 1000 \, m/s$.

(B) समान आयाम $a$ वाली दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलान्तर है।
दिया गया है कि परिणामी आयाम $A$ व्यक्तिगत तरंगों के आयाम $a$ के बराबर है,अर्थात $A = a$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$.
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$,इसलिए कलान्तर $\phi = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन होगा।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$n \propto \sqrt{\frac{T}{r^2 \rho}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक मान $T_1 = T$,$r_1 = r$,और $\rho_1 = \rho$ हैं। नए मान $T_2 = 2T$,$r_2 = 2r$,और $\rho_2 = \frac{\rho}{2}$ हैं।
आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{2T}{T} \cdot \left(\frac{r}{2r}\right)^2 \cdot \frac{\rho}{\rho/2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{1} = 1$.
इसलिए,$n_2 = n_1 = n$.

(D) सही उत्तर $D$ है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में प्रति इकाई सतह क्षेत्र से उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है।
यह सूत्र $E = \sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल ऊर्जा को मापकर,हम इस नियम का उपयोग करके उसके सतह के तापमान को निर्धारित कर सकते हैं।

(D) माना कुल द्रव्यमान $M = 1 \; kg$ है। तीन भागों के द्रव्यमान $m_1 = 0.2 \; kg$,$m_2 = 0.2 \; kg$ और $m_3 = 0.6 \; kg$ ($1:1:3$ अनुपात) हैं।
चूंकि बम शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
माना दो छोटे भागों के वेग $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \; m/s$ और $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \; m/s$ हैं।
इन दो भागों का संवेग $\vec{p}_{12} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0.2(30\hat{i} + 30\hat{j}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} \; kg \cdot m/s$ है।
इस संवेग का परिमाण $p_{12} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \; kg \cdot m/s$ है।
कुल संवेग शून्य होने के लिए,तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$ होना चाहिए।
अतः,$m_3 v_3 = 6\sqrt{2}$।
$0.6 \cdot v_3 = 6\sqrt{2}$।
$v_3 = \frac{6\sqrt{2}}{0.6} = 10\sqrt{2} \; m/s$।

(D) क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कती हुई डिस्क के लिए, डिस्क पर किसी भी बिंदु का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग $(v_{cm})$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(v_{rot} = R\omega)$ का सदिश योग होता है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़क रही है, जमीन के साथ संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है, जिसका अर्थ है $v_{cm} = R\omega$।
उच्चतम बिंदु पर, वेग $v_{top} = v_{cm} + R\omega = v_{cm} + v_{cm} = 2v_{cm}$ होता है।
संपर्क बिंदु पर, वेग $v_{contact} = v_{cm} - R\omega = v_{cm} - v_{cm} = 0$ होता है।
अतः, उच्चतम बिंदु का वेग $2v_{cm}$ है और संपर्क बिंदु का वेग शून्य है।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण का कोणीय वेग $\omega$ उसके आवर्तकाल $T$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\omega = \frac{2 \pi}{T}$।
चूंकि दोनों कणों के आवर्तकाल समान हैं $(T_1 = T_2 = T)$,इसलिए दोनों कणों के लिए कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2 \pi}{T}$ और $\omega_2 = \frac{2 \pi}{T}$ होगा।
अतः,उनके कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T}{2 \pi / T} = 1$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1$ है।

(A) पुली सिस्टम की दक्षता $\eta$,आउटपुट कार्य और इनपुट कार्य का अनुपात है।
$\text{इनपुट कार्य} = F \times d = 250 \; N \times 12 \; m = 3000 \; J$
$\text{आउटपुट कार्य} = m \times g \times h = 75 \; kg \times 10 \; m/s^2 \times 3 \; m = 2250 \; J$
$\eta = \frac{\text{आउटपुट कार्य}}{\text{इनपुट कार्य}} \times 100\%$
$\eta = \frac{2250}{3000} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
मान लीजिए बच्चे का द्रव्यमान $m$ है,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$,$h_{max} = 2\,m$,और $h_{min} = 0.75\,m$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mg(h_{max} - h_{min})$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}mv^2$
दोनों को बराबर करने पर:
$mg(2 - 0.75) = \frac{1}{2}mv^2$
$g(1.25) = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2 \times 10 \times 1.25$
$v^2 = 25$
$v = 5\,m/s$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग शून्य होता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GM \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$
दिया गया है $h = R$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GMR}{R(R+R)} = \frac{GM}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left( \frac{GM}{R} \right)^{1/2}$

(A) $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग पर $F$ बल लगाने पर उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{F^2}{2K}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग पर समान बल $F$ लगाया गया है,इसलिए संचित ऊर्जा स्प्रिंग नियतांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{K}$.
अतः,ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{K_{B}}{K_{A}}$ होगा।
दिया गया है कि $K_{A} = 2 K_{B}$,इसलिए $\frac{K_{B}}{K_{A}} = \frac{1}{2}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$E_{B} = 2 E_{A}$ होगा।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1 \ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
बल का परिमाण $|F| = 30 \ N$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल एक नियतांक होता है:
$\lambda_m T = \text{constant}$
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
यहाँ $T_1 = 2000 \ K$ और $T_2 = 3000 \ K$ दिया गया है,और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ है:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_m$
इस प्रकार,$3000 \ K$ तापमान पर संगत तरंगदैर्ध्य $\frac{2}{3} \lambda_m$ होगी।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\varphi_{net}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।
घन के केंद्र पर $Q \; \mu C$ आवेश रखने पर,कुल फ्लक्स $\varphi_{net} = \frac{Q \times 10^{-6}}{\varepsilon_{0}}$ होगा।
चूंकि एक घन में $6$ समान फलक होते हैं और आवेश केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स सभी फलकों पर समान रूप से वितरित होता है।
अतः,किसी एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\varphi_{face} = \frac{\varphi_{net}}{6} = \frac{Q \times 10^{-6}}{6 \varepsilon_{0}} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}} \times 10^{-6}$ होगा।

(C) विभव प्रवणता $(x)$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $x = \frac{V}{L}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $V = IR$ और $R = \frac{\rho L}{A}$, हम इन्हें विभव प्रवणता के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = \frac{I \cdot (\rho L / A)}{L} = \frac{I \rho}{A}$.
दिए गए मान हैं:
धारा $(I) = 0.1 \, A$,
प्रतिरोधकता $(\rho) = 10^{-7} \, \Omega \cdot m$,
क्षेत्रफल $(A) = 10^{-6} \, m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{0.1 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-1} \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-8}}{10^{-6}} = 10^{-2} \, V/m$.

(D) धारावाही कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$,फेरों की संख्या $(N)$,कुंडली में प्रवाहित धारा $(I)$ और कुंडली के क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$M = NIA$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब एक टैंजेंट गैल्वेनोमीटर की कुंडली से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो कुंडली के तल के लंबवत एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न होता है,अर्थात पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $H$ के लंबवत।
इन दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $B$ और $H$ के प्रभाव में,गैल्वेनोमीटर की चुंबकीय सुई $\theta$ विक्षेप का अनुभव करती है,जो टैंजेंट नियम द्वारा नियंत्रित होता है।
टैंजेंट नियम के अनुसार,संबंध $B = H \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto I$,हमें $I = k \tan \theta$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ गैल्वेनोमीटर का रिडक्शन फैक्टर है।
यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि टैंजेंट गैल्वेनोमीटर एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग परिपथ में विद्युत धारा को मापने के लिए किया जाता है।

(C) डायमैग्नेटिक पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ तापमान से स्वतंत्र होती है।
पैरामैग्नेटिक पदार्थों के लिए, $\chi$ क्यूरी के नियम $(\chi \propto 1/T)$ का पालन करती है।
फेरोमैग्नेटिक और फेरीमैग्नेटिक पदार्थों के लिए, $\chi$ क्यूरी-वाइस नियम $(\chi \propto 1/(T - T_c))$ के अनुसार तापमान पर निर्भर करती है, जहाँ $T_c$ क्यूरी तापमान है।
अतः, दिए गए विकल्पों में से केवल डायमैग्नेटिक पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति तापमान पर निर्भर नहीं करती है।

(D) अपवर्तन,व्यतिकरण और ध्रुवण जैसी घटनाएं प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा समझाई जाती हैं,जो प्रकाश की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करती हैं।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) में जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की सतह पर पड़ता है तो इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है। इस घटना को तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है और इसे आइंस्टीन के क्वांटम सिद्धांत द्वारा सफलतापूर्वक समझाया गया है,जो प्रकाश को फोटॉन नामक ऊर्जा के छोटे पैकेटों के रूप में मानता है। इसलिए,प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति को प्रदर्शित करता है।

(D) बिंदु स्रोत से $d$ दूरी पर प्रकाश की तीव्रता $I$,$I \propto \frac{1}{d^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $N \propto I$ होता है।
अतः,$N \propto \frac{1}{d^2}$।
जब दूरी को $d$ से बदलकर $\frac{d}{2}$ कर दिया जाता है,तो फोटोइलेक्ट्रॉनों की नई संख्या $N'$ का मान $N' \propto \frac{1}{(\frac{d}{2})^2} = \frac{4}{d^2}$ होगा।
$N'$ की $N$ से तुलना करने पर,हमें $N' = 4N$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $4$ के कारक से बढ़ जाएगी।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: ${E_n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_H = 1$ है,इसलिए ऊर्जा ${E_n} = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ होती है।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_{He} = 2$ है। $n^{th}$ कक्षा में ऊर्जा: ${E'_{n}} = -13.6 \times \frac{Z_{He}^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = 4 \times \left( -\frac{13.6}{n^2} \right)$ होती है।
हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा ${E_n}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: ${E'_{n}} = 4{E_n}$।

(A) नाभिक का वास्तविक द्रव्यमान $(M)$ हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के व्यक्तिगत द्रव्यमानों के योग से कम होता है।
द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है, जो आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $(E = \Delta m c^2)$ के अनुसार बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए, नाभिक का द्रव्यमान $M$, $N$ न्यूट्रॉन और $Z$ प्रोटॉन के द्रव्यमानों के योग से इस प्रकार संबंधित है:
$M < (N M_n + Z M_p)$.

(A) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया $X(n, \alpha) {_3Li^7}$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $_ZX^A + _0n^1 \to _3Li^7 + _2He^4$.
द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम के अनुसार:
परमाणु क्रमांक $(Z)$ के लिए: $Z + 0 = 3 + 2 \implies Z = 5$.
द्रव्यमान संख्या $(A)$ के लिए: $A + 1 = 7 + 4 \implies A + 1 = 11 \implies A = 10$.
अतः,नाभिक $X$ का मान $_5X^{10}$ है,जो बोरॉन-$10$ $(_{5}B^{10})$ को दर्शाता है।

(D) $NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $C$ को बूलियन व्यंजक $C = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों की जाँच करने पर:
$1$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इन परिणामों की दी गई तालिका से तुलना करने पर,आउटपुट $NAND$ गेट के तर्क से मेल खाता है।

(B) दिए गए परिपथ में,$5 \text{ V}$ की बैटरी $20 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोध और दो समानांतर शाखाओं के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
ऊपरी शाखा में $20 \text{ } \Omega$ का प्रतिरोध और एक डायोड है। डायोड इस प्रकार जुड़ा है कि उसका p-सिरा दाईं ओर है,जो इसे बैटरी के धनात्मक टर्मिनल के सापेक्ष रिवर्स बायस बनाता है।
बीच वाली शाखा में एक डायोड और $30 \text{ } \Omega$ का प्रतिरोध है। डायोड इस प्रकार जुड़ा है कि उसका p-सिरा बाईं ओर है,जो इसे बैटरी के धनात्मक टर्मिनल के सापेक्ष फॉरवर्ड बायस बनाता है।
चूंकि ऊपरी शाखा रिवर्स बायस में है,यह एक खुले परिपथ की तरह कार्य करती है (इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है)।
परिपथ का कुल प्रतिरोध मुख्य लाइन के $20 \text{ } \Omega$ प्रतिरोध और सक्रिय बीच वाली शाखा के $30 \text{ } \Omega$ प्रतिरोध का योग है: $R_{eq} = 20 \text{ } \Omega + 30 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{50 \text{ } \Omega} = \frac{5}{50} \text{ A}$.

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन एक शक्तिशाली प्रक्रिया है क्योंकि इसका उपयोग प्रकाश को सीमित करने के लिए किया जा सकता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सबसे सामान्य अनुप्रयोगों में से एक फाइबर ऑप्टिक्स है।
ऑप्टिकल फाइबर एक पतला,पारदर्शी फाइबर है,जो आमतौर पर कांच या प्लास्टिक से बना होता है,जिसका उपयोग प्रकाश को प्रसारित करने के लिए किया जाता है।
यदि प्रकाश केबल के सिरे पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक के कोण पर आपतित होता है,तो प्रकाश बार-बार होने वाले पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण कांच के तार के अंदर ही फंसा रहता है।
इस प्रकार,प्रकाश तीव्रता में महत्वपूर्ण नुकसान के बिना बहुत लंबी दूरी (दसियों किलोमीटर) तक केबल की लंबाई के साथ बहुत तेजी से यात्रा करता है।

(B) यदि डिस्क क्रांतिक कोण $\theta_c$ के अनुरूप क्षेत्र को कवर करती है,तो स्रोत से आने वाला प्रकाश रुक जाएगा।
$h$ गहराई पर स्थित बिंदु स्रोत के लिए,डिस्क की त्रिज्या $r = h \tan \theta_c$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
दिए गए मान $h = 4 \; m$ और $\mu = 5/3$ रखने पर:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
डिस्क का न्यूनतम व्यास $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ है।

(A) ओजोन $(O_3)$ वायुमंडल के समताप मंडल (stratosphere) क्षेत्र में मौजूद होती है।
यह सूर्य द्वारा उत्सर्जित हानिकारक पराबैंगनी $(UV)$ विकिरण को अवशोषित करके पृथ्वी पर जीवन की रक्षा करती है।
उच्च स्तर के $UV$ विकिरण के संपर्क में आने से मनुष्यों में त्वचा कैंसर और मोतियाबिंद जैसी विभिन्न स्वास्थ्य समस्याएं होती हैं,और यह पौधों तथा अन्य जानवरों को नुकसान पहुंचाता है,जिससे पारिस्थितिकी तंत्र (ecosystem) बाधित होता है।
पौधे तीव्र पराबैंगनी विकिरण में प्रभावी ढंग से विकसित नहीं हो सकते हैं।
इसलिए,ओजोन परत का मुख्य जैविक महत्व इन हानिकारक किरणों का अवशोषण करना है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) कॉमन बेस कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन $\alpha$ को कलेक्टर करंट और एमिटर करंट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.98$.
कॉमन एमिटर सर्किट के लिए करंट गेन,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है,$\alpha$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
इस सूत्र में $\alpha$ का दिया गया मान रखने पर:
$\beta = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$.
अतः,कॉमन एमिटर सर्किट के लिए करंट गेन $49$ होगा।

(A) किसी पदार्थ का विशिष्ट प्रतिरोध या प्रतिरोधकता $\rho$ तापमान पर निर्भर करती है।
कॉपर जैसी धातुओं के लिए,तापमान घटने पर प्रतिरोधकता कम हो जाती है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
सिलिकॉन जैसे अर्धचालकों के लिए,तापमान घटने पर प्रतिरोधकता बढ़ जाती है क्योंकि आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी कमी आ जाती है।
इसलिए,जब $300 \ K$ से $60 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो कॉपर का विशिष्ट प्रतिरोध घट जाता है,जबकि सिलिकॉन का विशिष्ट प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(D) धारितीय प्रतिघात $X$ का सूत्र $X = \frac{1}{2 \pi f C}$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
दिया गया है कि नई धारिता $C^{\prime} = 2C$ और नई आवृत्ति $f^{\prime} = 2f$ है।
नया प्रतिघात $X^{\prime}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$X^{\prime} = \frac{1}{2 \pi f^{\prime} C^{\prime}} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)} = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
चूँकि $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,इसलिए हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$X^{\prime} = \frac{X}{4}$.

(A) एक नाभिकीय प्रक्रिया में,यदि संतति उत्पादों (daughter products) की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बढ़ जाती है,तो ऊर्जा मुक्त होती है।
नाभिकीय विखंडन प्रक्रिया में,विखंडन से बने टुकड़ों की कुल बंधन ऊर्जा,जनक विखंडनीय पदार्थ की बंधन ऊर्जा से अधिक होती है।
इस प्रकार,ऊर्जा मुक्त होती है।

(C) व्हीटस्टोन ब्रिज तब संतुलित होता है जब विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान हो। यहाँ, $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} = \frac{10}{10} = 1$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में, गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हालाँकि, प्रश्न में दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध जुड़ा है। चूंकि संतुलित अवस्था में गैल्वेनोमीटर शाखा में कोई धारा नहीं बहती है, इसलिए यह अतिरिक्त प्रतिरोध परिपथ के तुल्य प्रतिरोध को प्रभावित नहीं करता है।
परिपथ प्रभावी रूप से दो समानांतर शाखाओं से बना है, जिनमें से प्रत्येक में दो $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध = $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$ है।
चूंकि ये दो शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$।
अतः, $R_{eq} = 10 \, \Omega$।

(B) जब प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति $(n)$ केवल प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है और माध्यम बदलने पर भी अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और वेग $(v)$ बदल जाते हैं क्योंकि वे माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर करते हैं।
तीव्रता $(I)$ भी इंटरफ़ेस पर आंशिक परावर्तन के कारण बदल जाती है।
इसलिए,सही संबंध $n = n'$ है।

(B) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,कोणीय वेग $\omega$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m}$
चूंकि आवृत्ति $f$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e$ है,अतः आवृत्ति होगी:
$f = \frac{eB}{2\pi m}$

(A) $\alpha -$ कण द्वि-आयनित हीलियम नाभिक $(He^{2+})$ होते हैं। वे धनात्मक आवेश वहन करते हैं और विद्युत क्षेत्र में ऋणावेशित प्लेटों की ओर विक्षेपित हो जाते हैं।
$\beta -$ कण तीव्र गति वाले इलेक्ट्रॉन $(e^-)$ होते हैं,जो ऋणात्मक आवेश वहन करते हैं।
$\gamma -$ किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं और विद्युत रूप से उदासीन होती हैं।
$X-$ किरणें भी विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं और उदासीन होती हैं।
अतः,धनावेशित कणों वाली किरण $\alpha -$ किरण है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $M = M_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है: $M = 1 \; g$,$M_{0} = 256 \; g$,और $T_{1/2} = 12.5 \; h$।
मान रखने पर: $1 = 256 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $256 = 2^{8}$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$।
अतः,$n = 8$।
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ का उपयोग करने पर,$t = n \times T_{1/2} = 8 \times 12.5 \; h = 100 \; h$ प्राप्त होता है।

(B) द्विध्रुव का द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ है और एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ है।
जब एक विद्युत द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो प्रत्येक आवेश $q$ पर बल $\vec{F} = q\vec{E}$ और $\vec{F} = -q\vec{E}$ कार्य करता है।
ये दो समान और विपरीत बल एक बल-युग्म बनाते हैं,जो द्विध्रुव पर बल आघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न करता है।
बल आघूर्ण का परिमाण एक बल के परिमाण और उनके बीच की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
$\tau = F \times (d \sin \theta) = (qE) \times (a \sin \theta) = (qa) E \sin \theta$.
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = qa$ होता है,इसलिए $\tau = pE \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,इसे $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 2 \, mH$ और धारा $i = t^2 e^{-t}$ है।
प्रेरक में प्रेरित $emf$ $(E)$ का सूत्र $E = -L \frac{di}{dt}$ होता है।
सबसे पहले,समय के सापेक्ष धारा का अवकलन (derivative) करने पर:
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (t^2 e^{-t}) = (2t) e^{-t} + t^2 (-e^{-t}) = e^{-t} (2t - t^2)$.
अब,इसे $emf$ के समीकरण में रखने पर:
$E = -L [e^{-t} (2t - t^2)]$.
$emf$ के शून्य $(E = 0)$ होने के लिए,कोष्ठक के अंदर का पद शून्य होना चाहिए:
$e^{-t} (2t - t^2) = 0$.
चूंकि $e^{-t}$ कभी भी शून्य नहीं होता है,इसलिए:
$2t - t^2 = 0$
$t(2 - t) = 0$.
इससे $t = 0 \, s$ या $t = 2 \, s$ प्राप्त होता है। प्रारंभिक स्थिति $t = 0$ को छोड़कर,$emf$ समय $t = 2 \, s$ पर शून्य होता है।

(A) संधारित्र का ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के साथ $E = \frac{V}{d}$ के रूप में संबंधित है,
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}}$ प्राप्त होता है।