एक कण को किस वेग से प्रक्षेपित किया जाना चाहिए ताकि उसकी ऊँचाई पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर हो जाए?

एक मिसाइल को पलायन वेग (escape velocity) से कम वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। इसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है

$R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से एक रॉकेट को $V$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?

यदि किसी पिंड को पृथ्वी की सतह से $8000 \,ms^{-1}$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या होगी ($km$ में)? (पृथ्वी की त्रिज्या $= 6400 \,km$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \,ms^{-2}$)

$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो काल्पनिक ग्रह जब अनंत दूरी पर होते हैं तो स्थिर होते हैं। गुरुत्वाकर्षण बल के कारण,वे अपने केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश एक-दूसरे की ओर गति करते हैं। जब उनके बीच की दूरी $d$ होती है,तो उनकी गति क्या होगी? ($m_1$ की गति $v_1$ है और $m_2$ की गति $v_2$ है)

$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह से $3R$ की ऊँचाई से गिरना शुरू करता है। जब यह $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर पहुँचता है,तो इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी?