AIPMT 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ ના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec R| = |\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ શરત $|\vec A + \vec B| = |\vec A| + |\vec B|$ મુજબ,આપણે મૂલ્યનું સૂત્ર મૂકીએ:
$\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = A + B$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = (A + B)^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 + 2AB$
$2AB \cos \theta = 2AB$
$\cos \theta = 1$
તેથી,$\theta = 0^o$.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આમ,$h$ નું પરિમાણ $[h] = [E] / [\nu]$ થાય.
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$ અને $[\nu] = [T^{-1}]$.
તેથી,$[h] = [M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$[L] = [M] [L T^{-1}] [L] = [M L^2 T^{-1}]$.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંકનું પરિમાણ કોણીય વેગમાનના પરિમાણ જેટલું જ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
જ્યારે ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2}$ હોય,ત્યારે વેગ $v = 10 \; m/s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
સમીકરણમાં $H = \frac{u^2}{2g}$ મૂકતા:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ ની ગણતરી કરતા:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(B) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો વેગ $v_h = v \cos \theta$ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ છે.
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(A) સીમાંત ઘર્ષણ બળ $F_l = \mu mg = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88 \; N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રકના સંદર્ભમાં બ્લોક પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma = 1 \times 5 = 5 \; N$ છે.
કારણ કે આભાસી બળ $(5 \; N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(5.88 \; N)$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક ટ્રકની સાપેક્ષમાં સરકશે નહીં.
તેથી,બ્લોક પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પડેલા આભાસી બળ જેટલું જ હશે,જે $5 \; N$ છે.

(A) હીટ એન્જિનની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ અને $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta_{\max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ અથવા $25\%$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,સમાન બે તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા કોઈપણ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં,તેથી $26\%$ કાર્યક્ષમતા અશક્ય છે.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,જ્યાં $A = \pi r^2$.
આમ,ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{r^2}{L}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને લંબાઈ $L_1$ છે. તેથી $Q_1 \propto \frac{r_1^2}{L_1}$.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ અને નવી લંબાઈ $L_2 = 2L_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $Q_2 \propto \frac{r_2^2}{L_2} = \frac{(2r_1)^2}{2L_1} = \frac{4r_1^2}{2L_1} = 2 \left( \frac{r_1^2}{L_1} \right)$.
તેથી,$Q_2 = 2Q_1$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} K a^2$
જ્યાં:
$K$ એ બળ અચળાંક (સ્પ્રિંગ અચળાંક) છે,
$a$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો હોવાથી,તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે અને તે તત્કાલીન સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,કુલ ઊર્જા માત્ર બળ અચળાંક $K$ અને કંપવિસ્તાર $a$ પર આધાર રાખે છે.

(D) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(100t - x/10)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 1/10 \, m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{100}{1/10} = 1000 \, m/s$.

(B) સમાન કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર: $A^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં આપેલ છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ વ્યક્તિગત તરંગોના કંપવિસ્તાર $a$ જેટલો જ છે,એટલે કે $A = a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$.
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$.
આથી,$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન થાય.

(C) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$n \propto \sqrt{\frac{T}{r^2 \rho}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક મૂલ્યો $T_1 = T$,$r_1 = r$,અને $\rho_1 = \rho$ છે. નવા મૂલ્યો $T_2 = 2T$,$r_2 = 2r$,અને $\rho_2 = \frac{\rho}{2}$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{2T}{T} \cdot \left(\frac{r}{2r}\right)^2 \cdot \frac{\rho}{\rho/2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{1} = 1$.
તેથી,$n_2 = n_1 = n$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ અનુસાર,કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) દ્વારા એકમ સમયમાં અને એકમ સપાટીના ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સૂત્ર $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા માપીને,આપણે આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું સપાટીનું તાપમાન નક્કી કરી શકીએ છીએ.

(D) ધારો કે કુલ દળ $M = 1 \; kg$ છે. ત્રણ ભાગોના દળ $m_1 = 0.2 \; kg$,$m_2 = 0.2 \; kg$ અને $m_3 = 0.6 \; kg$ ($1:1:3$ ગુણોત્તર) છે.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે નાના ભાગોના વેગ $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \; m/s$ અને $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \; m/s$ છે.
આ બે ભાગોનું વેગમાન $\vec{p}_{12} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0.2(30\hat{i} + 30\hat{j}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} \; kg \cdot m/s$ છે.
આ વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \; kg \cdot m/s$ છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે,ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$m_3 v_3 = 6\sqrt{2}$.
$0.6 \cdot v_3 = 6\sqrt{2}$.
$v_3 = \frac{6\sqrt{2}}{0.6} = 10\sqrt{2} \; m/s$.

(D) ક્ષૈતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્ક માટે, ડિસ્ક પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ $(v_{rot} = R\omega)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ડિસ્ક સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી, જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ છે કે $v_{cm} = R\omega$.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ, વેગ $v_{top} = v_{cm} + R\omega = v_{cm} + v_{cm} = 2v_{cm}$ થાય છે.
સંપર્ક બિંદુએ, વેગ $v_{contact} = v_{cm} - R\omega = v_{cm} - v_{cm} = 0$ થાય છે.
તેથી, સૌથી ઉપરના બિંદુનો વેગ $2v_{cm}$ અને સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય છે.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો કોણીય વેગ $\omega$ તેના આવર્તકાળ $T$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\omega = \frac{2 \pi}{T}$.
અહીં બંને કણોના આવર્તકાળ સમાન છે $(T_1 = T_2 = T)$,તેથી બંને કણો માટે કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2 \pi}{T}$ અને $\omega_2 = \frac{2 \pi}{T}$ થશે.
તેથી,તેમના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T}{2 \pi / T} = 1$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1$ છે.

(A) પુલી સિસ્ટમની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ આઉટપુટ કાર્ય અને ઇનપુટ કાર્યનો ગુણોત્તર છે.
$\text{ઇનપુટ કાર્ય} = F \times d = 250 \; N \times 12 \; m = 3000 \; J$
$\text{આઉટપુટ કાર્ય} = m \times g \times h = 75 \; kg \times 10 \; m/s^2 \times 3 \; m = 2250 \; J$
$\eta = \frac{\text{આઉટપુટ કાર્ય}}{\text{ઇનપુટ કાર્ય}} \times 100\%$
$\eta = \frac{2250}{3000} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ધારો કે બાળકનું દળ $m$ છે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$,$h_{max} = 2\,m$,અને $h_{min} = 0.75\,m$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mg(h_{max} - h_{min})$
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}mv^2$
બંનેને સરખાવતા:
$mg(2 - 0.75) = \frac{1}{2}mv^2$
$g(1.25) = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2 \times 10 \times 1.25$
$v^2 = 25$
$v = 5\,m/s$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GM \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$
આપેલ છે કે $h = R$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GMR}{R(R+R)} = \frac{GM}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left( \frac{GM}{R} \right)^{1/2}$

(A) $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ પર $F$ બળ લગાડતા તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2K}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી સંગ્રહિત ઉર્જા એ સ્પ્રિંગ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{K}$.
તેથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{K_{B}}{K_{A}}$ થશે.
આપેલ છે કે $K_{A} = 2 K_{B}$,તેથી $\frac{K_{B}}{K_{A}} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{E_{A}}{E_{B}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$E_{B} = 2 E_{A}$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \ N$ છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant}$
તેથી,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
અહીં $T_1 = 2000 \ K$ અને $T_2 = 3000 \ K$ આપેલ છે,અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ છે:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_m$
આમ,$3000 \ K$ તાપમાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\frac{2}{3} \lambda_m$ થશે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\varphi_{net}$ એ સપાટી વડે ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_{0}$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર $Q \; \mu C$ વિદ્યુતભાર મૂકતા,કુલ ફ્લક્સ $\varphi_{net} = \frac{Q \times 10^{-6}}{\varepsilon_{0}}$ થાય.
સમઘનને $6$ સમાન સપાટીઓ હોય છે અને વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર પર હોવાથી,ફ્લક્સ બધી સપાટીઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\varphi_{face} = \frac{\varphi_{net}}{6} = \frac{Q \times 10^{-6}}{6 \varepsilon_{0}} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}} \times 10^{-6}$ થાય.

(C) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(x)$ એ તારની એકમ લંબાઈ દીઠ થતો પોટેન્શિયલનો ઘટાડો છે, જે $x = \frac{V}{L}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = IR$ અને $R = \frac{\rho L}{A}$, તેથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ થશે:
$x = \frac{I \cdot (\rho L / A)}{L} = \frac{I \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો:
પ્રવાહ $(I) = 0.1 \, A$,
અવરોધકતા $(\rho) = 10^{-7} \, \Omega \cdot m$,
ક્ષેત્રફળ $(A) = 10^{-6} \, m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{0.1 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-1} \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-8}}{10^{-6}} = 10^{-2} \, V/m$.

(D) પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ આંટાની સંખ્યા $(N)$,કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I)$ અને કોઈલના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$M = NIA$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળામાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળાના સમતલને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન થાય છે,એટલે કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ ને લંબ રૂપે.
આ બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B$ અને $H$ ની અસર હેઠળ,ગેલ્વેનોમીટરની ચુંબકીય સોય $\theta$ જેટલું કોણાવર્તન અનુભવે છે,જે ટેન્જન્ટના નિયમ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
ટેન્જન્ટના નિયમ મુજબ,સંબંધ $B = H \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto I$ હોવાથી,આપણને $I = k \tan \theta$ મળે છે,જ્યાં $k$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આ સ્પષ્ટ કરે છે કે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર એ પરિપથમાં વિદ્યુત પ્રવાહ માપવા માટે વપરાતું સાધન છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે।
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\chi$ એ ક્યુરીના નિયમ $(\chi \propto 1/T)$ ને અનુસરે છે।
ફેરોમેગ્નેટિક અને ફેરીમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\chi$ એ ક્યુરી-વેઇસના નિયમ $(\chi \propto 1/(T - T_c))$ મુજબ તાપમાન પર આધાર રાખે છે, જ્યાં $T_c$ એ ક્યુરી તાપમાન છે।
તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાંથી માત્ર ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાન પર આધાર રાખતી નથી।

(D) વક્રીભવન,વ્યતિકરણ અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓ પ્રકાશના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાય છે,જે પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ ધાતુની સપાટી પર પડે છે ત્યારે ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે. આ ઘટના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી અને તે આઈન્સ્ટાઈનના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત દ્વારા સફળતાપૂર્વક સમજાવવામાં આવી છે,જે પ્રકાશને ફોટોન નામના ઉર્જાના નાના પેકેટો તરીકે ગણે છે. તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.

(D) બિંદુવત સ્ત્રોતથી $d$ અંતરે પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ $I \propto \frac{1}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $N \propto I$ મળે છે.
તેથી,$N \propto \frac{1}{d^2}$.
જ્યારે અંતર $d$ થી બદલીને $\frac{d}{2}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફોટોઇલેક્ટ્રોનની નવી સંખ્યા $N'$ એ $N' \propto \frac{1}{(\frac{d}{2})^2} = \frac{4}{d^2}$ દ્વારા મળે છે.
$N'$ ની $N$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $N' = 4N$ મળે છે.
આમ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $4$ ના અવયવથી વધશે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: ${E_n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_H = 1$ છે,તેથી ઊર્જા ${E_n} = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ થાય.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_{He} = 2$ છે. $n^{th}$ કક્ષામાં ઊર્જા: ${E'_{n}} = -13.6 \times \frac{Z_{He}^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = 4 \times \left( -\frac{13.6}{n^2} \right)$ થાય.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઊર્જા ${E_n}$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે: ${E'_{n}} = 4{E_n}$.

(A) ન્યુક્લિયસનું વાસ્તવિક દળ $(M)$ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિઓન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના વ્યક્તિગત દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $(E = \Delta m c^2)$ મુજબ બંધન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી, ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ એ $N$ ન્યુટ્રોન અને $Z$ પ્રોટોનના દળના સરવાળા સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$M < (N M_n + Z M_p)$.

(A) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા $X(n, \alpha) {_3Li^7}$ છે.
તેને આ રીતે લખી શકાય: $_ZX^A + _0n^1 \to _3Li^7 + _2He^4$.
દળ સંખ્યા અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે: $Z + 0 = 3 + 2 \implies Z = 5$.
દળ સંખ્યા $(A)$ માટે: $A + 1 = 7 + 4 \implies A + 1 = 11 \implies A = 10$.
આમ,ન્યુક્લિયસ $X$ એ $_5X^{10}$ છે,જે બોરોન-$10$ $(_{5}B^{10})$ દર્શાવે છે.

(D) $NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $C$ એ બુલિયન સમીકરણ $C = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો તપાસતા:
$1$. $A = 0, B = 0$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા કોષ્ટક સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $NAND$ ગેટના તર્ક સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં,$5 \text{ V}$ ની બેટરી $20 \text{ } \Omega$ ના અવરોધ અને બે સમાંતર શાખાઓ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ઉપરની શાખામાં $20 \text{ } \Omega$ નો અવરોધ અને એક ડાયોડ છે. ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલ છે કે તેનો p-છેડો જમણી તરફ છે,જે તેને બેટરીના ધન ટર્મિનલની સાપેક્ષમાં રિવર્સ બાયસ બનાવે છે.
વચ્ચેની શાખામાં એક ડાયોડ અને $30 \text{ } \Omega$ નો અવરોધ છે. ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલ છે કે તેનો p-છેડો ડાબી તરફ છે,જે તેને બેટરીના ધન ટર્મિનલની સાપેક્ષમાં ફોરવર્ડ બાયસ બનાવે છે.
ઉપરની શાખા રિવર્સ બાયસ હોવાથી,તે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે (તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી).
પરિપથનો કુલ અવરોધ એ મુખ્ય લાઇનના $20 \text{ } \Omega$ અવરોધ અને સક્રિય વચ્ચેની શાખાના $30 \text{ } \Omega$ અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 20 \text{ } \Omega + 30 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{50 \text{ } \Omega} = \frac{5}{50} \text{ A}$.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન એ એક શક્તિશાળી પ્રક્રિયા છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ પ્રકાશને મર્યાદિત કરવા માટે થઈ શકે છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની સૌથી સામાન્ય એપ્લિકેશન ફાઇબર ઓપ્ટિક્સમાં છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ એક પાતળો,પારદર્શક ફાઇબર છે,જે સામાન્ય રીતે કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકનો બનેલો હોય છે,જેનો ઉપયોગ પ્રકાશના પ્રસારણ માટે થાય છે.
જો પ્રકાશ કેબલના છેડે આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય તે રીતે આપાત થાય,તો પ્રકાશ વારંવાર થતા પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે કાચના તારની અંદર જ ફસાયેલો રહે છે.
આ રીતે,પ્રકાશ કેબલની લંબાઈ સાથે ખૂબ જ લાંબા અંતર (દસ કિલોમીટર) સુધી તીવ્રતાના નોંધપાત્ર ઘટાડા વિના ખૂબ જ ઝડપથી મુસાફરી કરે છે.

(B) જો તકતી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ ને અનુરૂપ વિસ્તારને આવરી લે,તો પ્રકાશ બહાર આવતો અટકી જશે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા બિંદુવત ઉદગમ માટે,તકતીની ત્રિજ્યા $r = h \tan \theta_c$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $h = 4 \; m$ અને $\mu = 5/3$ મૂકતા:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
તકતીનો લઘુત્તમ વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ થાય.

(A) ઓઝોન $(O_3)$ વાતાવરણના સ્ટ્રેટોસ્ફિયર (સમતાપ આવરણ) વિસ્તારમાં હાજર હોય છે.
તે સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત હાનિકારક અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણોત્સર્ગને શોષીને પૃથ્વી પરના જીવનનું રક્ષણ કરે છે.
વધારે પડતા $UV$ કિરણોત્સર્ગના સંપર્કમાં આવવાથી મનુષ્યોમાં ત્વચાનું કેન્સર અને મોતિયા જેવી સ્વાસ્થ્ય સમસ્યાઓ થાય છે,અને તે વનસ્પતિઓ તથા અન્ય પ્રાણીઓને નુકસાન પહોંચાડે છે,જે ઇકોસિસ્ટમને નુકસાન તરફ દોરી જાય છે.
વનસ્પતિઓ તીવ્ર અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણોત્સર્ગમાં સારી રીતે ઉગી શકતી નથી.
તેથી,ઓઝોન સ્તરનું મુખ્ય જૈવિક મહત્વ આ હાનિકારક કિરણોનું શોષણ કરવાનું છે.
આથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) કોમન બેઝ કોન્ફિગ્યુરેશનમાં,કરંટ ગેઈન $\alpha$ ને કલેક્ટર કરંટ અને એમિટર કરંટના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.98$.
કોમન એમિટર સર્કિટ માટે કરંટ ગેઈન,જેને $\beta$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\alpha$ સાથે આ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
આ સૂત્રમાં $\alpha$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\beta = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$.
તેથી,કોમન એમિટર સર્કિટ માટે કરંટ ગેઈન $49$ થશે.

(A) પદાર્થની વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho$ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
કોપર જેવી ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધકતા ઘટે છે કારણ કે લેટીસના કંપનો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઘટે છે.
સિલિકોન જેવા અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધકતા વધે છે કારણ કે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
તેથી,જ્યારે $300 \ K$ થી $60 \ K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોપરની વિશિષ્ટ અવરોધકતા ઘટે છે,જ્યારે સિલિકોનની વિશિષ્ટ અવરોધકતા વધે છે.

(D) કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X$ નું સૂત્ર $X = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસીટન્સ છે.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ $C^{\prime} = 2C$ અને નવી આવૃત્તિ $f^{\prime} = 2f$ છે.
નવો રિએક્ટન્સ $X^{\prime}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$X^{\prime} = \frac{1}{2 \pi f^{\prime} C^{\prime}} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)} = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
કારણ કે $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$X^{\prime} = \frac{X}{4}$.

(A) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં,જો નીપજ (daughter products) ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધે તો ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
પરમાણુ વિખંડનની પ્રક્રિયામાં,વિખંડનથી બનતા ટુકડાઓની કુલ બંધન ઉર્જા એ પિતૃ વિખંડનશીલ પદાર્થની બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે.
આમ,ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(C) જ્યારે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સામસામેની ભુજાઓના અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોય ત્યારે તે સંતુલિત કહેવાય છે. અહીં, $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} = \frac{10}{10} = 1$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં, ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જોકે, પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં $10 \, \Omega$ નો અવરોધ જોડેલ છે. સંતુલિત સ્થિતિમાં ગેલ્વેનોમીટર શાખામાંથી પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી, આ વધારાનો અવરોધ પરિપથના સમતુલ્ય અવરોધને અસર કરતો નથી.
પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે, જેમાં દરેક શાખામાં બે $10 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનો અવરોધ = $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
તેથી, $R_{eq} = 10 \, \Omega$.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(n)$ માત્ર પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને માધ્યમ બદલાવા છતાં તે બદલાતી નથી.
જોકે,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને વેગ $(v)$ બદલાય છે કારણ કે તે માધ્યમના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે.
તીવ્રતા $(I)$ પણ સપાટી પર આંશિક પરાવર્તનને કારણે બદલાય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $n = n'$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,કોણીય વેગ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m}$
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e$ હોવાથી,આવૃત્તિ:
$f = \frac{eB}{2\pi m}$

(A) $\alpha -$ કણો એ દ્વિ-આયનીકૃત હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(He^{2+})$ છે. તેઓ ધન વીજભાર ધરાવે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઋણ વીજભારિત પ્લેટો તરફ વિચલિત થાય છે.
$\beta -$ કણો એ ખૂબ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન $(e^-)$ છે,જે ઋણ વીજભાર ધરાવે છે.
$\gamma -$ કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે અને તે વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોય છે.
$X-$ કિરણો પણ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે અને તે પણ તટસ્થ હોય છે.
તેથી,ધન વીજભારિત કણો ધરાવતું કિરણ $\alpha -$ કિરણ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $M = M_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $M = 1 \; g$,$M_{0} = 256 \; g$,અને $T_{1/2} = 12.5 \; h$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 256 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ મળે છે.
કારણ કે $256 = 2^{8}$,તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$.
તેથી,$n = 8$.
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = n \times T_{1/2} = 8 \times 12.5 \; h = 100 \; h$ મળે છે.

(B) ડાયપોલની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ છે અને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક વિદ્યુતભાર $q$ પર બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ અને $\vec{F} = -q\vec{E}$ લાગે છે.
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે,જે ડાયપોલ પર ટોર્ક લગાડે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય એ એક બળના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના લંબ અંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$\tau = F \times (d \sin \theta) = (qE) \times (a \sin \theta) = (qa) E \sin \theta$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = qa$ હોવાથી,આપણને $\tau = pE \sin \theta$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે: સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \, mH$ અને પ્રવાહ $i = t^2 e^{-t}$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $(E)$ સૂત્ર $E = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમયની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું વિકલન કરતા:
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (t^2 e^{-t}) = (2t) e^{-t} + t^2 (-e^{-t}) = e^{-t} (2t - t^2)$.
હવે,આ કિંમત $emf$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = -L [e^{-t} (2t - t^2)]$.
$emf$ શૂન્ય $(E = 0)$ થવા માટે,કૌંસની અંદરની કિંમત શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$e^{-t} (2t - t^2) = 0$.
કારણ કે $e^{-t}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી,તેથી:
$2t - t^2 = 0$
$t(2 - t) = 0$.
આથી $t = 0 \, s$ અથવા $t = 2 \, s$ મળે છે. શરૂઆતની સ્થિતિ $t = 0$ ને બાદ કરતા,$emf$ એ $t = 2 \, s$ સમયે શૂન્ય થાય છે.

(A) કેપેસિટરની ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ અને અંતર $d$ સાથે $E = \frac{V}{d}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}}$ મળે છે.