AIPMT 1997 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{F} = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક ગણતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 144 \, km/h = 144 \times \frac{5}{18} \, m/s = 40 \, m/s$,અને સમય $t = 20 \, s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$40 = 0 + a \times 20 \Rightarrow a = 2 \, m/s^2$.
હવે,ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$:
$s = 0 \times 20 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \, m$.
તેથી,કાપેલું અંતર $400 \, m$ છે.

(C) વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 - bt^3) = 2at - 3bt^2$
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at - 3bt^2) = 2a - 6bt$
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a_{acc} = 0$ લેતા:
$2a - 6bt = 0$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(B) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો વેગ $v_h = v \cos \theta$ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ છે.
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = Fs \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,$F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને ગતિની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $W = 25 \, J$,$F = 5 \, N$,અને $s = 10 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 = 5 \times 10 \times \cos \theta$
$25 = 50 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન $(p)$,દળ $(m)$ અને ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $p = \sqrt{2m(K.E.)}$.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ સમાન હોવાથી,$p \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ મળે છે.

(B) પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
બીજા દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_2 = 0 \,m/s$.
દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ છે.
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. પ્રારંભિક નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e1} = 11.2 \, km/s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું દળ $M' = 2M$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે.
નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{e2} = \sqrt{\frac{2G(2M)}{R/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2GM}{R}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 2 \cdot v_{e1}$.
$v_{e1}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$v_{e2} = 2 \cdot 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(B) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $PV$ આલેખ અને કદના અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કદ ${V_1}$ થી ${V_2}$ સુધીના વિસ્તરણ માટે,સમદાબી પ્રક્રિયામાં દબાણ $P$ અચળ રહે છે,જ્યારે સમતાપી અને સમઉષ્મી પ્રક્રિયાઓમાં દબાણ ઘટે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં સમગ્ર વિસ્તરણ દરમિયાન દબાણ સૌથી વધુ હોવાથી,$PV$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી મોટું મળે છે.
તેથી,કાર્યનો ક્રમ આ મુજબ છે: ${W_{adiabatic}} < {W_{isothermal}} < {W_{isobaric}}$.
આમ,સમદાબી વિસ્તરણમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય સૌથી વધુ હોય છે.

(C) દોરીની લંબાઈ $l = 10 \; m$ છે. વિભાગોની સંખ્યા $p = 5$ છે. તરંગનો વેગ $v = 20 \; m/s$ છે.
જ્યારે દોરી $p$ વિભાગોમાં કંપન કરતી હોય,ત્યારે લંબાઈ $l$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $l = p \cdot \frac{\lambda}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$10 = 5 \cdot \frac{\lambda}{2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4 \; m$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{20 \; m/s}{4 \; m} = 5 \; Hz$ મળે છે.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ટ્યુબની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં શિરોલંબ એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીની અંદર હોય,ત્યારે ટ્યુબ અસરકારક રીતે બંધ પાઇપ (એક છેડે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ) બની જાય છે,જેની નવી લંબાઈ $L' = L/2$ છે.
$L'$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = L/2$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ મળે છે.
આની મૂળ આવૃત્તિ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $f' = f_0$ મળે છે.

(B) બળયુગ્મ (કપલ) એ દ્રઢ પદાર્થ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા બે સમાન,સમાંતર અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી છે. પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી $(F_{net} = F - F = 0)$,તેમાં કોઈ રેખીય પ્રવેગ કે રેખીય ગતિ થતી નથી. જોકે,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે પદાર્થમાં માત્ર ચાકગતિ થાય છે.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 6 \; N$,દળ $m = 1 \; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \; m/s$,અને અંતિમ વેગ $v = 30 \; m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{6 \; N}{1 \; kg} = 6 \; m/s^2$ થાય.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમય $t$ શોધી શકીએ છીએ:
$30 = 0 + 6 \times t$
$t = \frac{30}{6} = 5 \; s$.
તેથી,પદાર્થ પર બળ $5 \; seconds$ માટે લાગે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P \propto T^{4}$.
અહીં તાપમાન $T = 500 \; K$ આપેલું હોવાથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(500)^{4}$ ના સમપ્રમાણમાં હશે.

(B) ધારો કે બે લંબવત સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$x = a \sin(\omega t)$
$y = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(\omega t)$,તેથી:
$y = a \cos(\omega t)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2(\omega t) + a^2 \cos^2(\omega t)$
$x^2 + y^2 = a^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t))$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે. તેથી,પરિણામી ગતિ વર્તુળાકાર છે.

(D) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કણોના દળ $(m_i)$ અને તેમના સ્થાન $(\vec{r}_i)$ પર આધાર રાખે છે.
કણો વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર એ તેમના સ્થાનનું વિધેય છે.
જોકે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ દળના વિતરણનો એક ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે અને તે કણો પર લાગતા બાહ્ય કે આંતરિક બળો પર આધાર રાખતું નથી.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{l}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને આંશિક ફેરફાર મળે છે: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $2\%$ નો વધારો થાય છે, તેથી $\frac{\Delta l}{l} = 0.02$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
તેથી, આવર્તકાળમાં $1\%$ નો વધારો થશે.

(B) સદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
અંતર,ઉષ્મા અને ઉર્જા એ અદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે.
કોણીય વેગમાનને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા દર્શાવાય છે.
તે સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોવાથી અને ચોક્કસ દિશા (જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે) ધરાવતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.

(B) જ્યારે હવામાં શેલનો વિસ્ફોટ થાય છે,ત્યારે આ વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
આ કિસ્સામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બાહ્ય બળ છે,પરંતુ વિસ્ફોટના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન,આંતરિક બળો બાહ્ય બળો કરતા ઘણા વધારે હોય છે,જેના કારણે બાહ્ય બળોને કારણે લાગતો આઘાત (impulse) નગણ્ય બની જાય છે.
તેથી,શેલનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વિસ્ફોટમાં ગતિ ઊર્જા સામાન્ય રીતે સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે આંતરિક રાસાયણિક ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે ટુકડાઓની કુલ ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(C) રિઝર્વોયરના તાપમાન $T_{1} = 100^{\circ}C$ અને $T_{2} = -23^{\circ}C$ આપેલા છે.
સૌ પ્રથમ,આ તાપમાનને કેલ્વિન સ્કેલમાં ફેરવો:
$T_{1} = 100 + 273 = 373\,K$
$T_{2} = -23 + 273 = 250\,K$
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ માટેનું સૂત્ર:
$\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} = \frac{373 - 250}{373}$

(C) ધારો કે $T_A$ અને $T_B$ એ અનુક્રમે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ $A$ અને $B$ ના પરિભ્રમણ સમયગાળા છે. આપેલ છે કે $T_A = 8 T_B$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ સૂર્યથી અંતરના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
તેથી,$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{8 T_B}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$8^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$.
આમ,સૂર્યથી ગ્રહ $A$ નું અંતર એ સૂર્યથી ગ્રહ $B$ ના અંતર કરતા $4$ ગણું છે.

(B) $SI$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અથવા ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$ નો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે. એક ટેસ્લા એટલે પ્રતિ ચોરસ મીટર દીઠ એક વેબર $(1 \ T = 1 \ Wb/m^2)$. તેથી,ટેસ્લા એ ચુંબકીય પ્રેરણ માપવા માટેનો એકમ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બેટરી બે શાખાઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. એક શાખામાં $3\,\Omega$ નો એક અવરોધ છે,અને બીજી શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો છે.
$1$. પ્રથમ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 3\,\Omega$ છે.
$2$. બીજી શાખાનો અવરોધ $R_2 = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow R_{eq} = 2\,\Omega$.
$4$. ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2\,V$ ની બેટરી દ્વારા મળતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2\,V}{2\,\Omega} = 1\,A$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે વિદ્યુત પરિપથમાં કોઈ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Sigma i = 0$.
આ નિયમ સૂચવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વીજભાર તેટલા જ સમયગાળામાં જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વીજભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેથી આ નિયમ વીજભાર સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) અવરોધ $R$ ને $R = V/I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $I-V$ આલેખમાં,વક્રનો ઢાળ $dI/dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $1/R$ ની બરાબર છે.
ઋણ અવરોધ માટે,ઢાળ $dI/dV$ ઋણ હોવો જોઈએ.
આલેખ જોતા,$CD$ ભાગમાં,જેમ વોલ્ટેજ $V$ વધે છે,તેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
તેથી,$CD$ વિસ્તારમાં ઢાળ $dI/dV$ ઋણ છે,જે ઋણ અવરોધને અનુરૂપ છે.

(A) ઉર્જાનો એકમ કિલોવોટ અવર $(kWh)$ છે.
$1 \; kWh = 1 \; kW \times 1 \; h$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; kW = 1000 \; W$ અને $1 \; h = 3600 \; s$ થાય છે.
તેથી,$1 \; kWh = 1000 \; W \times 3600 \; s = 3,600,000 \; W \cdot s$.
$1 \; W \cdot s = 1 \; J$ હોવાથી,$1 \; kWh = 3.6 \times 10^6 \; J$ મળે.
આને $36 \times 10^5 \; J$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,બંને બલ્બમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
અવરોધમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I$ બંને બલ્બ માટે અચળ હોવાથી,વપરાતો પાવર અવરોધના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto R$.
તેથી,વપરાતા પાવરનો ગુણોત્તર તેમના અવરોધના ગુણોત્તર જેટલો જ થાય:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R$ તેના રેટ કરેલા પાવર $P_R$ અને રેટ કરેલા વોલ્ટેજ $V_R$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400\,\Omega$.
જ્યારે તેને $V = 160\, V$ ના સપ્લાય વોલ્ટેજ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \frac{V^2}{R} = \frac{160^2}{400} = \frac{25600}{400} = 64\, W$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{consumed} = \left( \frac{V}{V_R} \right)^2 \times P_R = \left( \frac{160}{200} \right)^2 \times 100 = (0.8)^2 \times 100 = 0.64 \times 100 = 64\, W$.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ છે.
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$i$ એ તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $r$ એ તારથી લંબ અંતર છે.
સૂત્ર મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને તારથી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે.
તે તારની ત્રિજ્યા કે વ્યાસથી સ્વતંત્ર છે.
જેથી વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન રહે છે અને અંતર $r$ દૂરનું બિંદુ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ મુજબ.
અહીં,વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ સમક્ષિતિજ સમતલમાં ઉત્તર દિશા તરફ લાગે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
પરિણામે,કણની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતો કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.

(A) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F/L = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i_1 i_2}{d}$.
આપેલ છે: $\mu_0/4\pi = 10^{-7}\,T\cdot m/A$,$i_1 = i_2 = 10\,A$,અને $d = 10\,cm = 0.1\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $F/L = 10^{-7} \times \frac{2 \times 10 \times 10}{0.1} = 10^{-7} \times \frac{200}{0.1} = 10^{-7} \times 2000 = 2 \times 10^{-4}\,N/m$.
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,તાર વચ્ચે લાગતું બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.

(C) પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ધ્રુવો પર સપાટીને લંબ હોય છે અને વિષુવવૃત્ત પર સપાટીને સમાંતર હોય છે. વિષુવવૃત્ત તરફ ગતિ કરતા વીજભારિત કણો ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે જે તેમને વિચલિત કરે છે. આ ચુંબકીય પ્રભાવને દૂર કરીને વિષુવવૃત્તીય પ્રદેશ સુધી પહોંચવા માટે,વીજભારિત કણોએ ધ્રુવીય પ્રદેશોમાં પહોંચતા કણોની તુલનામાં વધુ ગતિ ઊર્જા ધરાવવી જરૂરી છે.

(A) ટ્રાન્સફોર્મરનો ટ્રાન્સફોર્મેશન રેશિયો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$.
આપેલ છે:
પ્રાઇમરી આંટા $(N_p)$ = $500$
સેકન્ડરી આંટા $(N_s)$ = $5000$
પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ $(V_p)$ = $20\, V$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_s}{20} = \frac{5000}{500}$
$\frac{V_s}{20} = 10$
$V_s = 200\, V$.
ટ્રાન્સફોર્મરમાં,આઉટપુટ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ ઇનપુટ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે કારણ કે ચુંબકીય ફ્લક્સ ઇનપુટ પ્રવાહના સમાન દરે બદલાય છે. તેથી,આવૃત્તિ $50\, Hz$ રહેશે.

(D) $ac$ સર્કિટમાં પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
પાવર એ પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ પર આધાર રાખતો હોવાથી,સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $V$ અને $I$ વચ્ચેના કળા તફાવત પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = e \cdot V$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \, C$ અને સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \, V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = (1.602 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$K = 1.602 \times 10^{-17} \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રાયોગિક અવલોકનો અનુસાર,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
$1$. પ્રકાશની આવૃત્તિ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા નક્કી કરે છે,ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (પ્રવાહ) નહીં.
$2$. ફોટોકરંટ ચોક્કસ વોલ્ટેજ પર સંતૃપ્ત થાય છે,તેથી તે તમામ મૂલ્યો માટે લાગુ પડેલા વોલ્ટેજના સીધા પ્રમાણમાં હોતો નથી.
$3$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે પ્રકાશની તીવ્રતા વધવાની સાથે ફોટોકરંટ વધે છે.

(D) વિકિરણની ભેદનશક્તિ તેની ઉર્જા અને દળ પર આધાર રાખે છે. $\alpha -$ કણો ભારે હોય છે અને તેમની ભેદનશક્તિ ઓછી હોય છે. $\beta -$ કિરણો હળવા હોય છે અને તેમની ભેદનશક્તિ $\alpha -$ કણો કરતા વધારે હોય છે. $\gamma -$ કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેનું કોઈ દળ કે વીજભાર હોતો નથી,જેના કારણે તેઓ આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ ભેદનશક્તિ ધરાવે છે. તેથી,$\gamma -$ કિરણો સૌથી વધુ ભેદનશક્તિ ધરાવે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,ક્વોન્ટમ નંબર $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$E_2 = \frac{-13.6 \ eV}{2^2} = \frac{-13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા,આપણને $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ મળે છે.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ત્રિજ્યા બોહર ત્રિજ્યા કરતાં $4$ ગણી હોય છે.

(B) સાચો જવાબ $(b)$ છે. ન્યુટ્રોન મોડરેટર એ એક એવું માધ્યમ છે જે ઝડપી ન્યુટ્રોનની ગતિ ઘટાડે છે,જેનાથી તેઓ થર્મલ ન્યુટ્રોનમાં ફેરવાય છે જે યુરેનિયમ$-235$ સાથે સંકળાયેલી પરમાણુ શૃંખલા પ્રતિક્રિયાને જાળવી રાખવા માટે સક્ષમ હોય છે.
ભારે પાણી $(D_2O)$ પરમાણુ રિએક્ટરમાં ન્યુટ્રોન મોડરેટર તરીકે કાર્ય કરે છે. તે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણો દ્વારા ઝડપી ગતિશીલ ન્યુટ્રોનને ધીમા પાડે છે,જે આ ન્યુટ્રોન દ્વારા યુરેનિયમ ન્યુક્લિયસમાં વધુ વિખંડન થવાની સંભાવના વધારે છે.
સમજૂતી:
વિખંડન પ્રતિક્રિયામાં,ન્યુટ્રોન ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા સાથે મુક્ત થાય છે. આ ઝડપી ન્યુટ્રોન વધુ વિખંડનનું કારણ બને તેવી શક્યતા ઓછી હોય છે. ભારે પાણી જેવા મોડરેટરનો ઉપયોગ કરીને,ન્યુટ્રોન તેમની ગતિ ઊર્જા ગુમાવે છે અને 'થર્મલ' અથવા 'ધીમા' ન્યુટ્રોન બને છે,જે શૃંખલા પ્રતિક્રિયાને જાળવી રાખવા માટે વધુ કાર્યક્ષમ હોય છે.

(C) $P$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર (જેમ કે જર્મેનિયમ અથવા સિલિકોન) ને ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ પરમાણુ સાથે ડોપ કરવું આવશ્યક છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આર્સેનિક $(As)$,એન્ટિમની $(Sb)$ અને ફોસ્ફરસ $(P)$ એ પંચસંયોજક તત્વો (સમૂહ $15$) છે,જેનો ઉપયોગ $N$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે થાય છે.
ઈન્ડિયમ $(In)$ એ ત્રિસંયોજક તત્વ (સમૂહ $13$) છે,જે જર્મેનિયમમાં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન (હોલ્સ) ની ઉણપ પેદા કરે છે,આમ તે $P$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
દરેક કિસ્સા માટે ગણતરી કરતા:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A=1, B=0$ માટે: $Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$.
$3$. $A=0, B=1$ માટે: $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ડાયોડ જે મહત્તમ પ્રવાહ $I$ સહન કરી શકે છે તે તેના મહત્તમ પાવર રેટિંગ $P$ અને તેના અચળ વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_d$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આપેલ છે કે $P = 100\; mW = 100 \times 10^{-3}\; W$ અને $V_d = 0.5\; V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I = \frac{P}{V_d} = \frac{100 \times 10^{-3}}{0.5} = 0.2\; A$ છે.
સર્કિટમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરતા,અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = V_{source} - V_d = 1.5\; V - 0.5\; V = 1.0\; V$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V_R = I \times R$,તેથી $R = \frac{V_R}{I} = \frac{1.0}{0.2} = 5\; \Omega$.

(A) મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$n = \frac{c}{v} = \frac{1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}{1/\sqrt{\mu \varepsilon}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}$.

(B) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(n)$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે પ્રકાશ $\mu > 1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનો વેગ $(v')$ ઘટે છે અને તે $v' = \frac{v}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n\lambda$ હોવાથી,અને $n$ અચળ હોવાથી,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{v'}{n} = \frac{v/\mu}{n} = \frac{\lambda}{\mu}$ થશે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ,તરંગલંબાઈ અને વેગ અનુક્રમે $n, \frac{\lambda}{\mu}, \frac{v}{\mu}$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રીભવનાંક $\mu$ સાથે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$ મુજબ સંબંધિત છે.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$).
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોવાથી $({\lambda_V} < {\lambda_G} < {\lambda_R})$,જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક સૌથી વધુ હોય છે $({\mu_V} > {\mu_G} > {\mu_R})$.
પરિણામે,કેન્દ્રલંબાઈ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ ${f_V} < {f_G} < {f_R}$ છે.

(B) સામાન્ય ગોઠવણ માટે ખગોળીય ટેલિસ્કોપની નળીની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 44\, cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય મોટવણી $|m| = \frac{f_o}{f_e} = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f_o = 10 f_e$.
લંબાઈના સમીકરણમાં $f_o = 10 f_e$ મૂકતા: $10 f_e + f_e = 44$.
$11 f_e = 44$,તેથી $f_e = 4\, cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 10 \times 4 = 40\, cm$ થાય.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ તેની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને તેની ચુંબકીય લંબાઈ $2l$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $M = m \times 2l$ થાય.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ સમાન રહે છે,પરંતુ દરેક ભાગની લંબાઈ અડધી થઈ જાય છે,એટલે કે $l' = l$ થાય.
તેથી,દરેક ભાગની નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m \times l = (m \times 2l) / 2 = M / 2$ થાય.
આમ,$M' = 0.5 M$ થાય.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ત્રણ તાર માટે અવરોધ નીચે મુજબ છે:
$R_1 = \rho \frac{l}{A}$
$R_2 = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R_1$
$R_3 = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{A} = 0.25R_1$
અવરોધની સરખામણી કરતા,$R_3 < R_1 < R_2$ મળે છે.
તેથી,$l/2$ લંબાઈ અને $2A$ આડછેદ ધરાવતા તાર માટે અવરોધ ન્યૂનતમ છે.

(D) કરંટ ગેઇન $\alpha$ ને કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_{C})$ અને એમિટર પ્રવાહ $(I_{E})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}}$.
કરંટ ગેઇન $\beta$ ને કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_{C})$ અને બેઝ પ્રવાહ $(I_{B})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$.
ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,એમિટર પ્રવાહ એ બેઝ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{E} = I_{B} + I_{C}$.
$\alpha$ ના સમીકરણમાં $I_{E}$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{B} + I_{C}}$.
અંશ અને છેદને $I_{C}$ વડે ભાગતા: $\alpha = \frac{1}{\frac{I_{B}}{I_{C}} + 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\beta} = \frac{I_{B}}{I_{C}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha = \frac{1}{\frac{1}{\beta} + 1} = \frac{1}{\frac{1+\beta}{\beta}} = \frac{\beta}{1+\beta}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\alpha = \frac{\beta}{1+\beta}$ છે.