AIIMS 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow P \cdot \overrightarrow Q = 0$.
दिया गया है $\overrightarrow P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ और $\overrightarrow Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a)(a) + (a)(-2) + (3)(-1) = 0$.
इसे सरल करने पर: $a^2 - 2a - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 3)(a + 1) = 0$.
इससे $a = 3$ या $a = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $a$ का धनात्मक मान पूछा गया है,इसलिए $a = 3$ सही उत्तर है।

(B) $Fermi$ $(10^{-15} \ m)$,$Micron$ $(10^{-6} \ m)$,और $Light \ year$ $(9.46 \times 10^{15} \ m)$ सभी लंबाई या दूरी मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले मात्रक हैं।
$Debye$ अणुओं के विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (electric dipole moment) को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मात्रक है,लंबाई के लिए नहीं।
इसलिए,लंबाई को $Debye$ द्वारा नहीं मापा जा सकता है।

(A) टॉर्क $( \tau)$ को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$ \tau =\text{बल} \times\text{दूरी}$.
बल का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}]$ है।
दूरी का विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,टॉर्क का विमीय सूत्र $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. चरण $1$: विरामावस्था से त्वरण।
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,त्वरण $a = 2 \, m/s^2$,समय $t = 10 \, s$।
अंतिम वेग $v = u + at = 0 + 2 \times 10 = 20 \, m/s$।
दूरी $S_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \, m$।
$2$. चरण $2$: एकसमान गति।
वेग $v = 20 \, m/s$,समय $t = 30 \, s$।
दूरी $S_2 = v \times t = 20 \times 30 = 600 \, m$।
$3$. चरण $3$: रुकने के लिए मंदन।
प्रारंभिक वेग $u = 20 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,त्वरण $a = -4 \, m/s^2$।
सूत्र $v^2 - u^2 = 2aS_3$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (20)^2 = 2 \times (-4) \times S_3$
$-400 = -8 \times S_3 \implies S_3 = 50 \, m$।
$4$. कुल दूरी:
$S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 = 100 + 600 + 50 = 750 \, m$।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
यहाँ,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $v$ अंतिम वेग है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $gh = \frac{1}{2}v^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v = \sqrt{2gh}$ मिलता है।
चूँकि तीनों वस्तुएँ समान ऊँचाई $h$ से गिरती हैं और समान गुरुत्वीय त्वरण $g$ का अनुभव करती हैं,इसलिए उनकी अंतिम चाल उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र होगी।
अतः,उनकी चाल का अनुपात $v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} = 1 : 1 : 1$ होगा।

(A) अधिकतम घर्षण बल (सीमांत घर्षण) का सूत्र $f_{max} = \mu N$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
चूंकि सीढ़ी फर्श पर रखी गई है,फर्श द्वारा सीढ़ी पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$,सीढ़ी के वजन $W = 250\,N$ के बराबर होता है।
दिया गया है $\mu = 0.3$ और $N = 250\,N$।
अतः,$f_{max} = 0.3 \times 250\,N = 75\,N$।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ है और प्रारंभिक संवेग $P_1$ है। अतः $P_1 = \sqrt{2mE_1}$।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = 4E_1$ है और नया संवेग $P_2$ है।
अतः $P_2 = \sqrt{2mE_2} = \sqrt{2m(4E_1)} = 2\sqrt{2mE_1} = 2P_1$।
इसलिए,नया संवेग अपने प्रारंभिक मान का दोगुना हो जाएगा।

(C) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किसी बल द्वारा या उसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र होता है,तो वह बल संरक्षी बल कहलाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,किसी वस्तु को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल स्थिति का फलन होता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है: $g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$d$ गहराई है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गहराई $d$ त्रिज्या $R$ के बराबर होती है (अर्थात $d = R$)।
सूत्र में $d = R$ रखने पर: $g' = g \left(1 - \frac{R}{R}\right) = g(1 - 1) = g(0) = 0$.
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $0 \ m/s^2$ होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${v_e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
त्रिज्या $R$ की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह का कक्षीय वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${v_o} = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि:
${v_e} = \sqrt{2} \times \sqrt{gR}$
${v_e} = \sqrt{2} {v_o}$.
अतः,सही संबंध $\sqrt{2} {v_o} = {v_e}$ है।

(B) केप्लर का दूसरा नियम बताता है कि सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग $(dA/dt)$ स्थिर रहता है।
चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $(\tau)$ शून्य होता है।
संबंध $\tau = dL/dt$ के अनुसार,यदि $\tau = 0$ है,तो ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
क्षेत्रीय वेग को व्यंजक $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि $L$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।
अतः,केप्लर का दूसरा नियम कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(C) ब्रेकिंग स्ट्रेस तार के पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह उस अधिकतम प्रतिबल को दर्शाता है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है।
चूंकि यह एक आंतरिक गुण है,इसलिए यह तार के आयामों जैसे लंबाई,त्रिज्या या अनुप्रस्थ काट के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) लेड शॉट्स के निर्माण में द्रव लेड के पृष्ठ तनाव (surface tension) के गुण का उपयोग किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,पिघले हुए लेड को एक ऊंचे टॉवर से छलनी के माध्यम से गुजारा जाता है और पानी में गिरने दिया जाता है।
पृष्ठ तनाव के कारण,द्रव की सतह एक निश्चित आयतन के लिए अपने क्षेत्रफल को न्यूनतम करने की प्रवृत्ति रखती है,जिसके परिणामस्वरूप नीचे गिरते समय पिघले हुए लेड के कण गोलाकार आकार ले लेते हैं।
ये बूंदें पानी में गिरने से पहले ही इस गोलाकार रूप में जम जाती हैं,जिससे गोलाकार लेड शॉट्स का निर्माण होता है।

(C) जब दो साबुन के बुलबुले निर्वात में समतापीय स्थितियों के तहत आपस में जुड़ते हैं,तो हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूंकि तापमान स्थिर है,बुलबुलों के अंदर की हवा के लिए दबाव और आयतन का गुणनफल $(PV)$ स्थिर रहता है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बुलबुले निर्वात में हैं,आंतरिक दबाव $P = \frac{4T}{r}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
पहले बुलबुले के लिए: $P_1 V_1 = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
दूसरे बुलबुले के लिए: $P_2 V_2 = \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_2^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ त्रिज्या वाले नए बुलबुले के लिए: $P V = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$.
यहाँ $r_1 = 3 \, cm$ और $r_2 = 4 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm$।

(A) गुप्त ऊष्मा पदार्थ का एक गुण है जो अवस्था परिवर्तन से गुजरने वाले पदार्थ के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
इसे $Q = mL$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $L$ संलयन की विशिष्ट गुप्त ऊष्मा है।
चूंकि धात्विक गेंद और स्प्रिंग दोनों एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी विशिष्ट गुप्त ऊष्मा $L$ समान है।
यह देखते हुए कि उनके द्रव्यमान $m$ भी समान हैं,आवश्यक कुल गुप्त ऊष्मा $Q$ दोनों के लिए समान होनी चाहिए।
स्प्रिंग को खींचने में खर्च की गई ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होती है,जो ऊर्जा का एक व्यवस्थित रूप है।
हालाँकि,गुप्त ऊष्मा उस ऊर्जा से संबंधित है जो अवस्था परिवर्तन के दौरान अंतर-आणविक बलों को दूर करने के लिए आवश्यक होती है,जो वस्तु के प्रारंभिक विन्यास या आंतरिक प्रत्यास्थ ऊर्जा से स्वतंत्र होती है।

(A) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि एक कृष्णिका (black body) की अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति $(\lambda_m)$ के संगत तरंगदैर्घ्य उसके परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें $\lambda_m T = b$ संबंध प्राप्त होता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका के प्रति इकाई पृष्ठीय क्षेत्रफल से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$E \propto T^4$।
यहाँ तापमान $T = 300 K$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(300)^4$ के समानुपाती होगी।

(C) गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान समान है और गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए दोनों के लिए एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ समान होगा।
यदि दबाव $P$ समान है,तो $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
अतः,वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = 4$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v_1 : v_2$ का अनुपात $2:1$ है।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.0015 \sin (62.4x + 316t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 62.4 \, \text{rad/unit}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $62.4 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए गणना करने पर: $\lambda = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \, \text{unit}$।

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2L}$ है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $L$ तार की लंबाई है।
चूंकि तार का तनाव और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए तरंग की गति $v$ स्थिर रहती है।
इसलिए,$f \propto \frac{1}{L}$,जिसका अर्थ है $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
दिया गया है: $f_1 = 800 \ Hz$,$L_1 = 50 \ cm$,और $f_2 = 1000 \ Hz$.
मान रखने पर: $800 \times 50 = 1000 \times L_2$.
$L_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \ cm$.
अतः,तार की आवश्यक लंबाई $40 \ cm$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right)$
जहाँ:
$n = 800 \; Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \; m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_S = 30 \; m/s$ (स्रोत का वेग)
मान रखने पर:
$n' = 800 \left( \frac{330}{330 + 30} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{330}{360} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{11}{12} \right)$
$n' = \frac{8800}{12} \approx 733.33 \; Hz$.

(A) कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi \nu$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि आवृत्ति $(\nu)$,तरंग संख्या $(\bar \nu)$ से $\nu = c \bar \nu$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें $\omega = 2\pi c \bar \nu$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2\pi$ और $c$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और तरंग संख्या $(\bar \nu)$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(B) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I\omega = Mr^2\omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I'$ वलय के जड़त्व आघूर्ण और दो बिंदु द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग हो जाता है: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,इसलिए $L_{initial} = L_{final}$ होगा।
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
नए कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,किसी निकाय का कोणीय संवेग $\vec{L}$ तब संरक्षित रहता है जब निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau}_{ext}$ शून्य हो।
यह संबंध $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ से प्राप्त होता है।
यदि $\vec{\tau}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{L} = \text{स्थिरांक}$।
अतः,सही शर्त यह है कि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं करना चाहिए।

(D) $1$. $Q$ के सापेक्ष वस्तु $P$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q$ के रूप में परिभाषित होता है। चूंकि यह दो वेगों का सदिश घटाव है,इसलिए परिणाम भी एक वेग ही होता है। अतः,इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है,जो वेग और वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ के विमीय सूत्र के समान है। इस प्रकार,कथन सही है.
$2$. कारण में कहा गया है कि सापेक्ष वेग,वेगों का अनुपात है,जो भौतिक रूप से गलत है। सापेक्ष वेग दो वेगों का अंतर होता है,न कि अनुपात। अतः,कारण गलत है.

(A) मंदन (Retardation) को ऋणात्मक त्वरण के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण सदिश वेग सदिश के विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसके कारण समय के साथ वेग का परिमाण (चाल) कम हो जाता है।
$Assertion$ सही है क्योंकि मंदन,परिभाषा के अनुसार,वेग को कम करने के लिए उसके विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$Reason$ भी सही है क्योंकि मंदन वास्तव में चाल में कमी की समय दर है।
अतः,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(D) एक प्रत्यास्थ संघट्ट में,पूरी प्रक्रिया के दौरान कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,लेकिन संघट्ट के दौरान गतिज ऊर्जा अस्थायी रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है और फिर वापस गतिज ऊर्जा में आ जाती है। इसलिए,संपर्क समय के दौरान गतिज ऊर्जा स्थिर नहीं रहती है,अतः $Assertion$ गलत है।
$Reason$ भी गलत है क्योंकि ऊर्जा संरक्षण का नियम एक सार्वभौमिक नियम है; घर्षण के विरुद्ध व्यय की गई ऊर्जा ऊष्मा या ध्वनि में परिवर्तित हो जाती है,और निकाय की कुल ऊर्जा (ऊष्मा/ध्वनि सहित) संरक्षित रहती है।

(B) $Assertion$ सही है: प्रतिबल को विरूपित होने पर किसी पिंड के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर कार्य करने वाले आंतरिक प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Reason$ गलत है: प्रत्यास्थता को यंग मापांक $(Y)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। चूंकि रबर की तुलना में स्टील में समान विकृति उत्पन्न करने के लिए बहुत अधिक बल की आवश्यकता होती है,इसलिए स्टील रबर से अधिक प्रत्यास्थ है। अतः,रबर स्टील की तुलना में कम प्रत्यास्थ है।

(A) बर्नौली का प्रमेय बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान तरल के स्थिर प्रवाह के लिए,तरल की गति में वृद्धि होने पर उसके दबाव में कमी आती है या तरल की स्थितिज ऊर्जा में कमी होती है।
सेंट स्प्रेयर में,जब हवा को नोजल के माध्यम से उच्च वेग से पंप किया जाता है,तो बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार वहां कम दबाव का क्षेत्र बन जाता है।
पात्र और नोजल के बीच इस दबाव के अंतर के कारण,तरल इत्र नली के माध्यम से ऊपर की ओर धकेला जाता है और हवा की धारा के साथ बाहर छिड़क दिया जाता है।

(A) पदार्थ के गतिज सिद्धांत के अनुसार,परम शून्य $(0 \ K)$ से ऊपर के तापमान पर सभी वस्तुएं ऊष्मीय ऊर्जा रखती हैं और विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करती हैं। अतः,कथन सही है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की प्रति इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है,जिसे $E = \sigma T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह नियम बताता है कि विकिरण की दर वस्तु के तापमान पर कैसे निर्भर करती है। इसलिए,कारण सही है और यह कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(A) ऊनी कपड़ों की संरचना छिद्रपूर्ण होती है जो रेशों के बीच हवा को फंसा लेती है।
चूंकि हवा ऊष्मा की कुचालक होती है,इसलिए यह मानव शरीर की गर्मी को बाहर के ठंडे वातावरण में जाने से रोकती है।
अतः,फंसी हुई हवा एक कुचालक (insulator) के रूप में कार्य करती है,जिससे सर्दियों में शरीर गर्म रहता है।
इस प्रकार,Assertion और Reason दोनों सही हैं और Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ को एक ऐसी आवर्ती गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसके परिणामस्वरूप माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे की गति होती है। $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है,$x$ विस्थापन है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। दिए गए कारण में $A$ के स्थान पर $k$ का उपयोग किया गया था,जो आयाम के लिए संकेतन की दृष्टि से गलत है। हालाँकि,यह सूत्र $SHM$ में वेग के परिवर्तन का सही वर्णन करता है,जो गति की आवर्ती और आगे-पीछे की प्रकृति की पुष्टि करता है। अतः,दोनों कथन सही हैं और वेग का समीकरण गति की प्रकृति को स्पष्ट करता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
परिक्रमा कर रहे उपग्रह के अंदर,वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = 0$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,Assertion सही है।
Reason बताता है कि आवर्तकाल $\sqrt{g}$ के व्युत्क्रमानुपाती है,जो $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ सूत्र के अनुसार गणितीय रूप से सही है।
चूंकि अनंत आवर्तकाल सूत्र में $g_{eff} = 0$ होने का सीधा परिणाम है,इसलिए Reason,Assertion की सही व्याख्या करता है।

(A) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को समान कला में स्थित दो निकटतम कणों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।
आवर्तकाल $(T)$ वह समय है जो एक तरंग द्वारा एक तरंगदैर्ध्य के बराबर दूरी तय करने में लिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,तरंग की गति $(v)$ प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी है।
इसलिए,$v = \frac{\lambda}{T}$,जिसका अर्थ है $\text{तरंग की गति} = \frac{\text{तरंगदैर्ध्य}}{\text{आवर्तकाल}}$।
चूंकि कारण तरंगदैर्ध्य को सही ढंग से परिभाषित करता है और अभिकथन में दिए गए संबंध का आधार प्रदान करता है,इसलिए कारण अभिकथन की सही व्याख्या है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार शीर्ष $A$ से शीर्ष $B$ और $C$ दोनों की दूरी $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
शीर्ष $A$ पर कुल विभव $B$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_A = V_B + V_C$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q - q}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$.

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e$ है,इसलिए बल $F = eE$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
बल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = eE$।
अतः,त्वरण $a = \frac{eE}{m}$ होगा।

(C) जब संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो उसकी प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे प्लेटों को अलग किया जाता है,दूरी $d$ बढ़ती है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ होती है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए ऊर्जा $U$ बढ़ जाती है।
बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$।
यदि धारिता $C$ से बदलकर $C'$ हो जाती है,तो किया गया कार्य $W = \frac{Q^2}{2C'} - \frac{Q^2}{2C}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,संधारित्र में संचित ऊर्जा का मानक व्यंजक $\frac{1}{2}CV^2$ है।

(C) जब दो चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं। मान लीजिए त्रिज्याएँ $r_1 = 10\, cm$ और $r_2 = 20\, cm$ हैं। गोले का विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 = V_2$,हमारे पास $\frac{kQ'_1}{r_1} = \frac{kQ'_2}{r_2}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q'_1}{Q'_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$।
पृष्ठ आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,पृष्ठ आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q'_1}{4\pi r_1^2} \times \frac{4\pi r_2^2}{Q'_2} = \left( \frac{Q'_1}{Q'_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{20}{10} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{2}{1}$।

(D) बल्ब की पावर रेटिंग $P_1 = 40\, W$ है जब वोल्टेज $V_1 = 200\, V$ हो।
चूंकि बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है,हम सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,नई पावर $P_2$ और रेटेड पावर $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2^2}{V_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_2 = 100\, V$ दिया गया है,इसलिए $\frac{P_2}{40} = \left( \frac{100}{200} \right)^2$.
$\frac{P_2}{40} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
$P_2 = \frac{40}{4} = 10\, W$.

(A) अन्योन्य प्रेरण का गुणांक $M$,चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi$ और धारा में परिवर्तन $\Delta I$ के बीच संबंध द्वारा परिभाषित होता है: $\Delta \phi = M \Delta I$.
दिया गया है:
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \, Wb$
$\Delta I = 0.01 \, A$
सूत्र $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{2 \times 10^{-2}}{0.01} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \, H$.
अतः,अन्योन्य प्रेरण का गुणांक $2 \, H$ है.

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{m_e v}$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{h}{m_e \lambda}$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 10^{-10} \ m$.
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-10}} \ m/s$.
$v = \frac{6.63}{9.11} \times 10^{-34 + 31 + 10} \ m/s$.
$v \approx 0.7277 \times 10^7 \ m/s = 7.277 \times 10^6 \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.25 \times 10^6 \ m/s$ है।

(C) सॉफ्ट और हार्ड $X-$किरणों के बीच मुख्य अंतर उनकी ऊर्जा और आवृत्ति में होता है। हार्ड $X-$किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति सॉफ्ट $X-$किरणों की तुलना में अधिक होती है। सॉफ्ट $X-$किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति कम होती है,जिससे उनकी भेदन क्षमता कम होती है। अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) $0 \ K$ पर,एक अर्धचालक में संयोजी बैंड (valence band) पूरी तरह से भरा होता है और चालन बैंड (conduction band) पूरी तरह से खाली होता है। संयोजी बैंड और चालन बैंड के बीच बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण,परम शून्य तापमान पर कोई भी इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में नहीं जा सकता है। इसलिए,$0 \ K$ पर एक अर्धचालक एक आदर्श कुचालक (insulator) के रूप में व्यवहार करता है।

(A) $P-N$ जंक्शन में,जब $P$-प्रकार और $N$-प्रकार के अर्धचालकों को जोड़ा जाता है,तो इलेक्ट्रॉन $N$-पक्ष से $P$-पक्ष की ओर और होल $P$-पक्ष से $N$-पक्ष की ओर विसरित (diffuse) होते हैं।
यह विसरण $N$-पक्ष पर अचल आयनित दाता परमाणुओं (धनात्मक आयन) और $P$-पक्ष पर अचल आयनित ग्राही परमाणुओं (ऋणात्मक आयन) को पीछे छोड़ देता है।
ये अचल आयन जंक्शन के आर-पार एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं,जो एक विभव प्राचीर के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,अवक्षय परत में विभव प्राचीर इन स्थिर आयनों की उपस्थिति के कारण होता है।

(D) $ (d) $ पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तब हो सकता है जब कोई किरण ऐसे माध्यम की सतह पर आपतित हो जिसका अपवर्तनांक उस माध्यम से कम हो जिसमें किरण यात्रा कर रही है।
चूंकि हवा का अपवर्तनांक $ 1.00029 $ है और हीरे का अपवर्तनांक $ 2.42 $ है,इसलिए हीरा-हवा इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण बहुत छोटा होता है।
जब प्रकाश हीरे में प्रवेश करता है,तो अपनी विशिष्ट कटिंग के कारण यह कई बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,जो हीरे की चमक का कारण बनता है।

(A) कोशी का विक्षेपण सूत्र एक पारदर्शी माध्यम के अपवर्तनांक $n$ और उससे गुजरने वाले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध का वर्णन करता है।
यह अनुभवजन्य रूप से इस व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \dots$
जहाँ $A$,$B$,और $C$ पदार्थ के लिए विशिष्ट स्थिरांक हैं।
अतः,सही सूत्र $n = A + B\lambda^{-2} + C\lambda^{-4}$ है।

(D) विनाशी व्यतिकरण के लिए,तरंगों को उस बिंदु पर $\pi$ रेडियन के विषम गुणज के कलांतर के साथ पहुँचना चाहिए।
यह उस पथ अंतर के अनुरूप है जो तरंगदैर्ध्य के आधे $(\frac{\lambda}{2})$ का विषम गुणज होता है।
गणितीय रूप से,पथ अंतर $\Delta x$ को $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति मुक्त स्थान की पारगम्यता $(\mu_0)$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$ से मैक्सवेल के संबंध द्वारा संबंधित है:
प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ है।
दिए गए मान $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ और $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N m}^2)$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(B) हबल का नियम बताता है कि किसी आकाशगंगा का दूर हटने का वेग $(v)$,प्रेक्षक से उसकी दूरी $(r)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $v = H_0 r$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $H_0$ हबल स्थिरांक है।
अतः,हबल का नियम आकाशगंगा की गति से संबंधित है।

(A) विद्युत बल रेखाएं किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा को दर्शाती हैं।
यदि दो विद्युत बल रेखाएं एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं,तो उस बिंदु पर दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएं होंगी,जिसका अर्थ है कि एक ही स्थान पर विद्युत क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं हैं।
हालाँकि,किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सभी व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक एकल अद्वितीय परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश प्राप्त होता है।
चूँकि अध्यारोपण का सिद्धांत यह सुनिश्चित करता है कि कई क्षेत्र मिलकर एक परिणामी क्षेत्र बनाते हैं,इसलिए दो बल रेखाओं का प्रतिच्छेद करना भौतिक रूप से असंभव है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) समांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_P = C_1 + C_2 + C_3$ होती है।
चूंकि $C_1, C_2, C_3 > 0$,इसलिए $C_P > C_1$,$C_P > C_2$,और $C_P > C_3$ होता है।
श्रेणी क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_S$ का मान $\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा दिया जाता है।
यह एक ज्ञात गुण है कि किसी भी संधारित्रों के समूह के लिए,$C_P > C_S$ होता है।
अतः,कथन सही है।
दिया गया कारण $\frac{1}{C_P} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ श्रेणी संयोजन का सूत्र है,न कि समांतर संयोजन का। इसलिए,कारण गलत है।

(D) बैटरी का धनात्मक टर्मिनल उच्चतम विभव वाला बिंदु होता है,न कि निम्नतम। इसलिए,कथन गलत है।
बाह्य परिपथ में,धारा धनात्मक टर्मिनल (उच्च विभव) से ऋणात्मक टर्मिनल (निम्न विभव) की ओर बहती है। कारण में कहा गया है कि धारा उच्च विभव वाले बिंदु की ओर बहती है,जो कि गलत है। अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(D) कथन गलत है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) अलग-थलग अस्तित्व में नहीं होते हैं,और चुंबकीय क्षेत्र विन्यास में वास्तव में कई ध्रुव शामिल हो सकते हैं (उदाहरण के लिए,जटिल व्यवस्थाओं में तीन ध्रुवों की प्रणाली सैद्धांतिक रूप से संभव है)।
कारण भी गलत है क्योंकि एक छड़ चुंबक अपने स्वयं के चुंबकीय क्षेत्र के कारण स्वयं पर कोई नेट टॉर्क नहीं लगाता है। चुंबक के भीतर के आंतरिक बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,और चुंबक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र स्वयं चुंबक को घुमा नहीं सकता है।

(C) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम हैं। यदि ऐसा नहीं होता,तो हम शून्य से ऊर्जा उत्पन्न कर सकते थे,जो भौतिकी के मूलभूत नियमों का उल्लंघन करता है।
एक शुद्ध प्रतिरोधक $A.C.$ परिपथ में,धारा और $e.m.f.$ (वोल्टेज) समान कला में होते हैं। उनके बीच का कला अंतर $0$ होता है। यह कथन कि धारा $e.m.f.$ से पीछे रहती है,गलत है,क्योंकि ऐसा केवल प्रेरक (inductive) परिपथ में होता है।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(C) पानी में हवा का बुलबुला एक सघन माध्यम (पानी) और विरल माध्यम (हवा) के बीच एक गोलाकार लेंस जैसी सीमा के रूप में कार्य करता है।
जब प्रकाश की किरणें पानी से हवा के बुलबुले की ओर जाती हैं,तो वे अंतरापृष्ठ पर क्रांतिक कोण से बड़े कोण पर आपतित होती हैं।
इसके परिणामस्वरूप पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना होती है,जिससे बुलबुला चमकदार या चांदी जैसा दिखाई देता है।
अपवर्तन इस घटना का मुख्य कारण नहीं है; बल्कि,यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।
इसलिए,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(A) मलमल का कपड़ा धागों की एक महीन जाली से बना होता है,जो बड़ी संख्या में छोटी और पास-पास स्थित झिर्रियां (slits) बनाती है।
जब सफेद प्रकाश इन महीन झिर्रियों से गुजरता है,तो इसका विवर्तन (diffraction) होता है।
चूंकि विवर्तन पैटर्न प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है,इसलिए अलग-अलग रंग अलग-अलग कोणों पर विवर्तित होते हैं।
सफेद प्रकाश का उसके घटक रंगों में यह विभाजन रंगीन स्पेक्ट्रम के अवलोकन का कारण बनता है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) कथन सही है क्योंकि सफेद प्रकाश द्वारा प्रकाशित होने पर पतली फिल्में व्यतिकरण पैटर्न प्रदर्शित करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंग दिखाई देते हैं।
हालाँकि,कारण अधूरा है और इसलिए गलत है। पतली फिल्मों में व्यतिकरण की घटना केवल ऊपरी सतह से ही नहीं,बल्कि पतली फिल्म की ऊपरी सतह और निचली सतह दोनों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण के कारण होती है। इन दो परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर विभिन्न तरंग दैर्ध्य के लिए संपोषी या विनाशी व्यतिकरण की ओर ले जाता है,जो देखे गए रंगों का निर्माण करता है।