sumlimits_{k = 1}^infty {frac{{3{k^2} + 3k + | vedclass

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Question

(D) हम देखते हैं कि अंश $3k^2 + 3k + 1$ को $(k+1)^3 - k^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \frac{(k+1)^3 - k^3}{k^3(k+1)^3}

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(D) हम देखते हैं कि अंश $3k^2 + 3k + 1$ को $(k+1)^3 - k^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \frac{(k+1)^3 - k^3}{k^3(k+1)^3}$ है।इसे सरल करने पर $T_k = \frac{(k+1)^3}{k^3(k+1)^3} - \frac{k^3}{k^3(k+1)^3} = \frac{1}{k^3} - \frac{1}{(k+1)^3}$ प्राप्त होता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।योग $S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k^3} - \frac{1}{(k+1)^3} ight) = \left( \frac{1}{1^3} - \frac{1}{2^3} ight) + \left( \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3} ight) + \dots + \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} ight)$ है।सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)^3}$ शेष रहता है।जब $n 	o \infty$ लेते हैं,तो $S = \lim_{n 	o \infty} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^3} ight) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।

$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3{k^2} + 3k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^3}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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