अनंत श्रेणी frac{1}{9} + frac{1}{18} + frac{1 | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + ..........\infty$ है। हम पदों को $S = \frac{1}{3} (\fr

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$\frac{1}{3}$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + ..........\infty$ है। हम पदों को $S = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + ..........\infty)$ के रूप में लिख सकते हैं। $2$ से गुणा करने पर,हमें $2S = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + ..........\infty)$ प्राप्त होता है। ध्यान दें कि हर त्रिकोणीय संख्याएँ $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ हैं। अतः,अंदर की श्रेणी $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2 \sum_{n=2}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ है। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $2 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ..........] = 2 (\frac{1}{2}) = 1$। इसलिए,$2S = \frac{2}{3} (1)$,जिससे $S = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

अनंत श्रेणी $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + ..........\infty$ का योग किसके बराबर है?

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