यदि एक A.P. के प्रथम n पदों का योग cn(n - 1) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = cn(n-1) = cn^2 - cn$ है।$n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।$S_{n-1} = c(n-1)(n-2)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}c^2n(n-1)(2n-1)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = cn(n-1) = cn^2 - cn$ है।$n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।$S_{n-1} = c(n-1)(n-2) = c(n^2 - 3n + 2)$.$t_n = (cn^2 - cn) - (cn^2 - 3cn + 2c) = 2cn - 2c = 2c(n-1)$.हमें इन पदों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,अर्थात $\sum_{k=1}^{n} (t_k)^2$.$t_k = 2c(k-1)$.$(t_k)^2 = 4c^2(k-1)^2 = 4c^2(k^2 - 2k + 1)$.योग $= \sum_{k=1}^{n} 4c^2(k^2 - 2k + 1) = 4c^2 [\sum k^2 - 2\sum k + \sum 1]$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:योग $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n]$.योग $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 6n}{6}]$.योग $= \frac{4c^2}{6} [n(2n^2 + 3n + 1 - 6n - 6 + 6)] = \frac{2c^2}{3} [n(2n^2 - 3n + 1)]$.योग $= \frac{2c^2}{3} [n(n-1)(2n-1)] = \frac{2}{3}c^2n(n-1)(2n-1)$.

यदि एक $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $cn(n - 1)$ है,जहाँ $c \neq 0$,तो इन पदों के वर्गों का योग क्या है?

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