यदि log _{10} 2, log _{10} (2^x - 1), log _{1 | vedclass

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Question

(D) यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।दिए गए पद $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ हैं।शर्त

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$x = \log _{2} 5$

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(D) यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।दिए गए पद $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ हैं।शर्त लागू करने पर: $2 \log _{10} (2^x - 1) = \log _{10} 2 + \log _{10} (2^x + 3)$.लघुगणक के गुणों $\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर:$\log _{10} (2^x - 1)^2 = \log _{10} [2(2^x + 3)]$.दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$.माना $2^x = y$. तब $(y - 1)^2 = 2(y + 3)$.$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$.$y^2 - 4y - 5 = 0$.$(y - 5)(y + 1) = 0$.अतः,$y = 5$ या $y = -1$.चूंकि $y = 2^x$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $y = 5$.$2^x = 5 \Rightarrow x = \log _{2} 5$.

यदि $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो :-

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यदि $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $(a + b)(b + c)(c + a)$ है

$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ पद} =$

श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$50$ और $500$ के बीच उन सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $7$ से विभाज्य हैं।

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