एक G.P. (गुणोत्तर श्रेणी) के अनंत पदों का योग | vedclass

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Question

(C) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $|r| < 1$ है।अनंत पदों का योग $x = \frac{a}{1 - r} \implies a = x(1 - r) \dots (i)$ है।जब प्रत्येक पद का

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$\frac{x^2 - y}{x^2 + y}$

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(C) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $|r| अनंत पदों का योग $x = \frac{a}{1 - r} \implies a = x(1 - r) \dots (i)$ है।जब प्रत्येक पद का वर्ग किया जाता है,तो नई श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ प्राप्त होती है,जो प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ वाली एक $G.P.$ है।इस नई श्रेणी का योग $y = \frac{a^2}{1 - r^2} = \frac{a^2}{(1 - r)(1 + r)} \dots (ii)$ है।समीकरण $(i)$ से $a = x(1 - r)$ का मान $(ii)$ में रखने पर:$y = \frac{[x(1 - r)]^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)}{1 + r}$ प्राप्त होता है।$r$ के लिए हल करने पर:$y(1 + r) = x^2(1 - r)$$y + yr = x^2 - x^2r$$yr + x^2r = x^2 - y$$r(x^2 + y) = x^2 - y$$r = \frac{x^2 - y}{x^2 + y}$।

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