यदि $SACHIN$ शब्द के अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जाए और इन शब्दों को शब्दकोश (dictionary) के अनुसार लिखा जाए,तो $SACHIN$ शब्द का क्रम संख्या क्या होगी?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में $2$ प्रशिक्षु और $3$ अनुसंधान सहयोगी होने चाहिए,तो इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

$15$ व्यक्तियों के समूह में से $11$ सदस्यों की एक टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

$3$ लड़के $B_1, B_2, B_3$ और $6$ लड़कियाँ $G_1, G_2, . . . , G_6$ को एक पंक्ति में बैठाना है। उन्हें कितनी तरह से बैठाया जा सकता है ताकि $B_1, B_2$ अलग-अलग रहें और $G_1, G_2$ भी अलग-अलग रहें?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {}^{52-r}C_3 = $

यदि कोई व्यक्ति ग्रिड लाइनों पर केवल दाईं ओर या ऊपर की ओर यात्रा कर सकता है,तो बिंदु $A(0,0)$ से बिंदु $B(3,3)$ तक जाने के संभावित कुल तरीकों की संख्या क्या है?