यदि $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$ है,तो $n$ का मान क्या होगा?

$8$ पुरुषों और $5$ महिलाओं में से $11$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि $m$ कम से कम $6$ पुरुषों के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है और $n$ कम से कम $3$ महिलाओं के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है,तो:

ऐसी कितनी $3$-अंकीय संख्याएँ हैं जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?

$3$ भिन्न अंग्रेजी वर्णमालाओं का उपयोग करके कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं?

एक परीक्षा में $8$ छात्र उपस्थित हो रहे हैं,जिनमें से $3$ को गणित के पेपर में और शेष $5$ को अलग-अलग विषयों में परीक्षा देनी है। यदि गणित के छात्र एक-दूसरे के बगल में न बैठें,तो उन्हें एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

$1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ अंकों का उपयोग करके $8$ अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें विषम अंक विषम स्थानों पर न हों?