अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का उपयोग करके $24000$ से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति न हो?

एक परीक्षा में तीन बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे एक छात्र सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल हो सकता है:

दस छात्र एक दौड़ में भाग ले रहे हैं। प्रथम $3$ पुरस्कार कितने तरीकों से जीते जा सकते हैं?

$5$ अंकों के उन टेलीफोन नंबरों की संख्या क्या है जिनमें कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति होती है?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ अंकों का उपयोग करके $10$ और $1000$ के बीच कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (पुनरावृत्ति की अनुमति है)

"$LETTER$" शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके ऐसे कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं जिनमें स्वर कभी भी एक साथ न आएं?