Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(C) गोले की त्रिज्या $(r_s)$ $6/2 = 3 \, cm$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, cm^3$ होता है।
तार बेलनाकार आकार का है। तार की त्रिज्या $(r_w)$ $0.2/2 = 0.1 \, cm$ है।
मान लीजिए तार की लंबाई $l$ है। तार का आयतन $V = \pi r_w^2 l = \pi (0.1)^2 l = 0.01 \pi l \, cm^3$ होता है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाया गया है,इसलिए दोनों के आयतन समान होंगे:
$36 \pi = 0.01 \pi l$
$l = \frac{36}{0.01} = 3600 \, cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने पर: $3600 \, cm = 36 \, m$।

(B) माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है,आधार की परिधि $= 2 \pi r = 44 \, m$.
$\therefore r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7 \, m$.
शंकु की ऊँचाई $h = 9 \, m$ है।
तंबू में समाहित हवा का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होता है।
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 9$.
आयतन $= 22 \times 7 \times 3 = 462 \, m^3$.

(C) माना गोले की मूल त्रिज्या $r$ है।
मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r^2$ है।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ होगी।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi (4r^2) = 16 \pi r^2$ होगा।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $A_2 - A_1 = 16 \pi r^2 - 4 \pi r^2 = 12 \pi r^2$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\text{वृद्धि}}{\text{मूल क्षेत्रफल}} \times 100 = \frac{12 \pi r^2}{4 \pi r^2} \times 100 = 3 \times 100 = 300 \%$ होगी।

(C) बेलन का आयतन $V$ सूत्र $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
चूँकि त्रिज्या $r$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए आयतन $V$ ऊँचाई $h$ के सीधे समानुपाती होता है $(V \propto h)$।
यदि ऊँचाई $h$ में $8 \%$ की कमी की जाती है,तो नई ऊँचाई $h'$ का मान $h' = h - 0.08h = 0.92h$ होगा।
नया आयतन $V'$ का मान $V' = \pi r^2 (0.92h) = 0.92 V$ होगा।
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{V' - V}{V} \times 100 \%$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= \frac{0.92V - V}{V} \times 100 \% = -0.08 \times 100 \% = -8 \%$.
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है।
अतः,बेलन के आयतन में $8 \%$ की कमी होती है।

(B) मान लीजिए कि मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊँचाई $h$ है। मूल आयतन $V_1 = \pi r^2 h$ है।
नई त्रिज्या $r' = r + 0.20r = 1.2r$ हो जाती है। ऊँचाई $h$ समान रहती है।
नया आयतन $V_2 = \pi (1.2r)^2 h = \pi (1.44r^2) h = 1.44 \pi r^2 h$ होगा।
आयतन में वृद्धि = $V_2 - V_1 = 1.44 \pi r^2 h - \pi r^2 h = 0.44 \pi r^2 h$।
प्रतिशत वृद्धि = $\left( \frac{\text{वृद्धि}}{\text{मूल आयतन}} \right) \times 100 = \left( \frac{0.44 \pi r^2 h}{\pi r^2 h} \right) \times 100 = 44 \%$।

(B) माना शंकु की कुल ऊँचाई $H = 21\, cm$ और आधार की त्रिज्या $R = 9\, cm$ है। तिर्यक ऊँचाई $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{9^2 + 21^2} = 3\sqrt{58}\, cm$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,शीर्ष से $h$ ऊँचाई पर त्रिज्या $r = (R/H)h$ और तिर्यक ऊँचाई $l = (L/H)h$ होती है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r l = \pi (R L / H^2) h^2$ होता है।
शीर्ष से ऊँचाइयाँ $h_1 = 7\, cm$,$h_2 = 14\, cm$,और $h_3 = 21\, cm$ हैं।
ऊपरी भाग का क्षेत्रफल $S_1 = k(7^2) = 49k$,जहाँ $k = \pi R L / H^2$ है।
ऊपरी दो भागों का कुल क्षेत्रफल $S_2 = k(14^2) = 196k$ है।
पूरे शंकु का क्षेत्रफल $S_3 = k(21^2) = 441k$ है।
ऊपरी भाग का क्षेत्रफल $A_1 = 49k$ है।
मध्य भाग का क्षेत्रफल $A_2 = S_2 - S_1 = 147k$ है।
निचले भाग का क्षेत्रफल $A_3 = S_3 - S_2 = 245k$ है।
अनुपात $A_1 : A_2 : A_3 = 49 : 147 : 245 = 1 : 3 : 5$ है।

(B) शेष भाग का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित है:
$1$. मूल बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2\pi Rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 15 = 1320\, cm^2$.
$2$. मूल बेलन के दो आधारों का क्षेत्रफल माइनस दो वृत्ताकार कट का क्षेत्रफल: $2 \times (\pi R^2 - \pi r^2) = 2 \times \pi \times (14^2 - 7^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times (196 - 49) = 2 \times \frac{22}{7} \times 147 = 924\, cm^2$.
$3$. काटे गए दो छोटे बेलनों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2 \times (2\pi rh) = 2 \times (2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 5) = 880\, cm^2$.
$4$. दो छोटे बेलनों के आंतरिक वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल: $2 \times (\pi r^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 308\, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1320 + 924 + 880 + 308 = 3432\, cm^2$.

(D) अर्धगोले का व्यास $d = 28\, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = d / 2 = 28 / 2 = 14\, cm$ होगी।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2 \pi r^{2}$ है।
मान रखने पर,$CSA = 2 \times (22 / 7) \times 14 \times 14$.
$CSA = 2 \times 22 \times 2 \times 14$.
$CSA = 44 \times 28 = 1232\, cm^{2}$.

(D) माना त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2\pi rh$,आयतन $(V) = \pi r^2h$.
दिया है $\frac{2\pi rh}{\pi r^2h} = \frac{1}{7} \Rightarrow \frac{2}{r} = \frac{1}{7} \Rightarrow r = 14$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.
दिया है $\frac{2\pi r(h+r)}{\pi r^2h} = \frac{187}{770}$.
$r = 14$ रखने पर:
$\frac{2(h+14)}{14h} = \frac{187}{770} \Rightarrow \frac{h+14}{7h} = \frac{187}{770}$.
$\frac{h+14}{7h} = \frac{17}{70} \Rightarrow 10(h+14) = 17h$.
$10h + 140 = 17h \Rightarrow 7h = 140 \Rightarrow h = 20$.
त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $r:h = 14:20 = 7:10$ है।

(B) माना घन की भुजा $a$ है और अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है। चूँकि अर्धगोला घन पर रखा गया है,अर्धगोले का व्यास घन की भुजा के बराबर है,इसलिए $2r = a$,या $r = a/2$.
आकृति की कुल ऊँचाई $a + r = 21 \ cm$ है (प्रश्न में टाइपिंग त्रुटि हो सकती है,गणना के अनुसार $21$ लेने पर).
$r = a/2$ प्रतिस्थापित करने पर,$a + a/2 = 21$,जिसका अर्थ है $3a/2 = 21$,इसलिए $a = 14 \ cm$ और $r = 7 \ cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^2$ है और घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ है।
अनुपात $\frac{2\pi r^2}{6a^2} = \frac{11}{42}$ दिया गया है।
$r = a/2$ रखने पर,$\frac{2\pi (a/2)^2}{6a^2} = \frac{\pi}{12} = \frac{11}{42}$ प्राप्त होता है।
$\pi \approx 22/7$ लेने पर,$\frac{22/7}{12} = \frac{11}{42}$ होता है,जो सही है।
कुल आयतन $V$ घन और अर्धगोले के आयतन का योग है:
$V = a^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = 14^3 + \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = 2744 + 718.67 = 3462.67 \ cm^3$.

(D) एक गोलाकार गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जहाँ $r = 3 \text{ cm}$ है।
$10$ गेंदों का कुल आयतन $= 10 \times \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 10 \times \frac{4}{3} \pi (27) = 360 \pi \text{ cm}^3$.
चूंकि $20 \%$ पदार्थ नष्ट हो जाता है,इसलिए नए गोले का आयतन $V_{new}$ कुल प्रारंभिक आयतन का $80 \%$ होगा।
$V_{new} = 0.80 \times 360 \pi = 288 \pi \text{ cm}^3$.
माना नए गोले की त्रिज्या $R$ है। अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288 \pi$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने और $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.

(B) मूल बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $2 \pi r(r + h)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $TSA_{original} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 18) = 44 \times 25 = 1100 \, cm^2$.
जब बेलन को आधार के समानांतर $2$ कट लगाकर $3$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए बेलन की ऊँचाई $h' = \frac{18}{3} = 6 \, cm$ और त्रिज्या $r = 7 \, cm$ रहती है।
एक छोटे बेलन का $TSA = 2 \pi r(r + h') = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 6) = 44 \times 13 = 572 \, cm^2$.
तीनों छोटे बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $3 \times 572 = 1716 \, cm^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $1716 - 1100 = 616 \, cm^2$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{616}{1100} \times 100 = 56 \%$ है।

(A) माना शंकु के आधार की त्रिज्या $R = 8\, cm$ और ऊँचाई $H = 15\, cm$ है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$ है।
माना शंकु के अंदर रखे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले की त्रिज्या $r$ है।
शंकु में अंतर्निहित गोले की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{R \cdot H}{R + L}$ होता है।
मान रखने पर: $r = \frac{8 \cdot 15}{8 + 17} = \frac{120}{25} = 4.8\, cm$।
हमें शंकु के आधार की त्रिज्या $(R)$ और गोले की त्रिज्या $(r)$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= R : r = 8 : 4.8$।
सरल करने के लिए,दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $80 : 48$।
$16$ से विभाजित करने पर: $80/16 : 48/16 = 5 : 3$।
अतः,अनुपात $5:3$ है।

(A) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $TSA = 3\pi r^2$ है।
दिया गया है कि $TSA = 41.58 \text{ cm}^2$,इसलिए $3\pi r^2 = 41.58$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\pi r^2 = \frac{41.58}{3} = 13.86 \text{ cm}^2$ प्राप्त होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2\pi r^2$ है।
$\pi r^2$ का मान रखने पर,हमें $CSA = 2 \times 13.86 = 27.72 \text{ cm}^2$ प्राप्त होता है।

(B) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi rh$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 14 \, cm$ और ऊँचाई $h = 10 \, cm$ दी गई है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2 \times 10$
$CSA = 880 \, cm^2$.

(B) लंबवृत्तीय शंकु के आधार की परिधि $2 \pi r = 132 \, cm$ द्वारा दी जाती है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$.
$r = \frac{132 \times 7}{44} = 21 \, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{72^2 + 21^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ = $\pi r(l + r)$.
$TSA = \frac{22}{7} \times 21 \times (75 + 21) = 22 \times 3 \times 96 = 66 \times 96 = 6336 \, cm^2$.

(C) बेलनाकार बर्तन का आयतन $V_{cyl} = \pi r_1^2 h_1 = \pi \times 5^2 \times 8 = 200\pi\, cm^3$.
ठोस शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 7 = \frac{112}{3}\pi\, cm^3$.
आवश्यक पानी का आयतन = $V_{cyl} - V_{cone} = 200\pi - \frac{112}{3}\pi = \frac{600\pi - 112\pi}{3} = \frac{488}{3}\pi\, cm^3$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,आयतन $\approx \frac{488}{3} \times 3.14159 \approx 511.03\, cm^3$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $511.24\, cm^3$ है।

(D) नहर की अधिकतम क्षमता नहर के आयतन के बराबर होती है,जो अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और नहर की लंबाई का गुणनफल है।
अनुप्रस्थ काट एक समद्विबाहु समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ $a = 4 \ m$ और $b = 5 \ m$ हैं,और ऊँचाई (गहराई) $h = 2 \ m$ है।
समलंब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4 + 5) \times 2 = 9 \ m^2$
आयतन (क्षमता) $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{लंबाई} = 9 \times 120 = 1080 \ m^3$.

(B) अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi r^2$ है।
दिया गया है $CSA = 27.72 \text{ cm}^2$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 27.72$
$r^2 = \frac{27.72 \times 7}{44} = 0.63 \times 7 = 4.41$
$r = \sqrt{4.41} = 2.1 \text{ cm}$.
आयतन के साथ सत्यापन करने पर: अर्धगोले के आयतन $(V)$ का सूत्र $\frac{2}{3} \pi r^3$ है।
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 9.261 = 44 \times 0.441 = 19.404 \text{ cm}^3$.
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए त्रिज्या $2.1 \text{ cm}$ है।

(C) वर्गाकार आधार का विकर्ण $d = 6\sqrt{2}\, cm$ दिया गया है।
चूंकि $a$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2}$ होता है,इसलिए $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$,जिससे $a = 6\, cm$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल $A = a^{2} = 6^{2} = 36\, cm^{2}$ है।
पिरामिड का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 12$.
$V = 12 \times 12 = 144\, cm^{3}$.

(C) ठोस शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 24 = 512 \pi \, cm^3$ है।
बनाए गए ठोस बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r_2^2 h_2 = \pi \times 6^2 \times 6 = 216 \pi \, cm^3$ है।
बर्बाद हुई सामग्री का आयतन $V_{wasted} = V_{cone} - V_{cylinder} = 512 \pi - 216 \pi = 296 \pi \, cm^3$ है।
बर्बाद हुई सामग्री का प्रतिशत $\frac{V_{wasted}}{V_{cone}} \times 100 = \frac{296 \pi}{512 \pi} \times 100 = \frac{296}{512} \times 100 = 57.8125 \% \approx 57.8 \%$ है।

(B) मूल ठोस बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ सूत्र $TSA = 2 \pi r(r + h)$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 7 \, cm$ और $h = 20 \, cm$ का मान रखने पर:
$TSA_{original} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 20) = 44 \times 27 = 1188 \, cm^2$.
जब बेलन को उसकी ऊँचाई से दो भागों में काटा जाता है,तो हमें दो समान बेलन मिलते हैं,जिनकी ऊँचाई $h' = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ होती है।
प्रत्येक नए बेलन का $TSA = 2 \pi r(r + h') = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10) = 44 \times 17 = 748 \, cm^2$.
दोनों नए बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2 \times 748 = 1496 \, cm^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में हुई वृद्धि: $1496 - 1188 = 308 \, cm^2$.
प्रतिशत वृद्धि: $\frac{308}{1188} \times 100 \approx 25.93 \%$.

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तीनों गोलों का कुल आयतन $= \frac{4}{3} \pi (2^3 + 4^3 + 6^3) = \frac{4}{3} \pi (8 + 64 + 216) = \frac{4}{3} \pi (288) = 384 \pi \, cm^3$.
चूंकि $25 \%$ सामग्री का नुकसान होता है,इसलिए नई गेंद का आयतन कुल प्रारंभिक आयतन का $75 \%$ होगा।
नई गेंद का आयतन $= 0.75 \times 384 \pi = 288 \pi \, cm^3$.
मान लीजिए नई गेंद की त्रिज्या $R$ है। अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288 \pi$.
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (9)^2 (36) = \frac{1}{3} \pi (81) (36) = 972 \pi \, cm^3$.
बेलन का आयतन $V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (9)^2 (9) = 729 \pi \, cm^3$.
बर्बाद हुई सामग्री का आयतन $= V_1 - V_2 = 972 \pi - 729 \pi = 243 \pi \, cm^3$.
बर्बाद हुई सामग्री का प्रतिशत $= \left( \frac{\text{बर्बाद आयतन}}{\text{मूल आयतन}} \right) \times 100 = \left( \frac{243 \pi}{972 \pi} \right) \times 100$.
$= \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.

(B) पहिये की परिधि वह दूरी है जो वह एक पूर्ण चक्कर में तय करता है,जिसे सूत्र $C = 2 \pi r$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ के लिए,परिधि है:
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 = 2 \times 22 \times 0.5 = 22 \, cm$.
$20$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करने के लिए,हम परिधि को चक्करों की संख्या से गुणा करते हैं:
$\text{कुल दूरी} = \text{परिधि} \times \text{चक्करों की संख्या} = 22 \, cm \times 20 = 440 \, cm$.

(B) एक कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई घनाभ के विकर्ण (space diagonal) की लंबाई के बराबर होती है।
घनाभ के विकर्ण का सूत्र $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ है,जहाँ $l$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $l = 2 \text{ m}$,$b = 2 \text{ m}$,$h = 6 \text{ m}$.
सबसे लंबी छड़ $= \sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2}$
$= \sqrt{4 + 4 + 36}$
$= \sqrt{44}$
$= \sqrt{4 \times 11}$
$= 2 \sqrt{11} \text{ m}$.

(B) एक चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है।
पहिये की परिधि $= 2 \pi r$
दिया गया है,त्रिज्या $r = 21 \, cm$ है।
परिधि $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$।
$10$ चक्करों में तय की गई दूरी $= 10 \times (\text{परिधि})$
$= 10 \times 132 = 1320 \, cm$।

(B) सुरंग एक लंबवृत्तीय बेलन है। आवश्यक लोहे की चादर का क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिया गया है: व्यास $d = 5\, m$,इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 2.5\, m$.
लंबाई (ऊंचाई) $h = 10\, m$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh$.
मान रखने पर: क्षेत्रफल $= 2 \times \pi \times 2.5 \times 10 = 50\pi\, m^2$.
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $50\pi\, m^2$ है।

(D) $1$. सभी इकाइयों को मीटर और घंटे में बदलें:
टंकी के आधार का क्षेत्रफल = $80 \, m \times 40 \, m = 3200 \, m^2$.
पाइप के मुख का क्षेत्रफल = $40 \, cm^2 = 40 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.004 \, m^2$.
पानी की गति = $10 \, km/h = 10000 \, m/h$.
समय = $0.5 \, h$.
$2$. $0.5 \, h$ में टंकी में आने वाले पानी का आयतन:
आयतन = $\text{पाइप का क्षेत्रफल} \times \text{गति} \times \text{समय} = 0.004 \, m^2 \times 10000 \, m/h \times 0.5 \, h = 20 \, m^3$.
$3$. पानी के स्तर में वृद्धि $(h)$ की गणना करें:
आयतन = $\text{आधार का क्षेत्रफल} \times h$
$20 \, m^3 = 3200 \, m^2 \times h$
$h = 20 / 3200 \, m = 1 / 160 \, m$.
$4$. $h$ को सेमी में बदलें:
$h = (1 / 160) \times 100 \, cm = 100 / 160 \, cm = 5/8 \, cm$.

(A) बेलन का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (10.5)^2 \times 38 = 4189.5\pi\, cm^3$.
एक आइसक्रीम कोन का आयतन (शंकु + अर्धगोला) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$.
यहाँ $r = 3.5\, cm$ और $h = 12\, cm$ है।
आयतन $= \frac{1}{3}\pi (3.5)^2 (12) + \frac{2}{3}\pi (3.5)^3 = \pi (49) + \pi (\frac{343}{12}) = \frac{931}{12}\pi\, cm^3$.
कोन की संख्या $= \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक कोन का आयतन}} = \frac{4189.5\pi}{931\pi / 12} = \frac{4189.5 \times 12}{931} = 54$.

(B) मछलीघर का कुल आयतन मछलियों की संख्या और प्रति मछली आवश्यक पानी के आयतन के गुणनफल के बराबर होता है।
दिया गया है:
मछलियों की संख्या $= 11$
प्रति मछली आवश्यक आयतन $= 1.54 \, m^3$
कुल आयतन $= 11 \times 1.54 \, m^3$
कुल आयतन $= 16.94 \, m^3$

(B) प्रिज्म का आयतन $V = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 100\, cm^3$ और ऊँचाई $h = 25\, cm$ दी गई है।
अतः, $\text{आधार का क्षेत्रफल} = \frac{V}{h} = \frac{100}{25} = 4\, cm^2$.
आधार एक समकोण त्रिभुज है। मान लीजिए छोटी भुजाएँ $x$ और $2x$ हैं।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{लंब} = \frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2$ होता है।
क्षेत्रफल की तुलना करने पर, $x^2 = 4$, जिससे $x = 2\, cm$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज की भुजाएँ $x = 2\, cm$ और $2x = 4\, cm$ हैं।
सबसे लंबी भुजा (कर्ण) $\sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\, cm$ है।

(D) खोखले अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ बाहरी त्रिज्या है और $r$ आंतरिक त्रिज्या है।
यहाँ $R = 8\, cm$ और $r = 4\, cm$ दिया गया है,इसलिए आयतन $V = \frac{2}{3} \pi (8^3 - 4^3) = \frac{2}{3} \pi (512 - 64) = \frac{2}{3} \pi (448) = \frac{896}{3} \pi\, cm^3$ है।
जब कटोरे को पिघलाकर एक ठोस शंकु बनाया जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h$ होता है,जहाँ $r_c = 8\, cm$ शंकु की त्रिज्या है और $h$ उसकी ऊंचाई है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{896}{3} \pi = \frac{1}{3} \pi (8^2) h$.
$\frac{896}{3} = \frac{64}{3} h$.
$896 = 64h$.
$h = \frac{896}{64} = 14\, cm$.

(A) माना ठोस गोले की त्रिज्या $r_1$ है और ठोस अर्धगोले की त्रिज्या $r_2$ है।
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 4 \pi r_1^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 3 \pi r_2^2$.
दिया गया है कि उनके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं:
$4 \pi r_1^2 = 3 \pi r_2^2$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अब,उनके आयतनों का अनुपात है:
$\frac{V_{\text{sphere}}}{V_{\text{hemisphere}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{2}{3} \pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का मान रखने पर:
अनुपात $= 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

(C) जब वस्तुओं को पिघलाकर पुनः आकार दिया जाता है,तो कुल आयतन स्थिर रहता है।
माना कि नए गोले की त्रिज्या $R$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
तीनों छोटे गोलों के आयतन का योग नए बड़े गोले के आयतन के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} + \frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r_{1}^{3} + r_{2}^{3} + r_{3}^{3} = R^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,नए गोले की त्रिज्या होगी:
$R = (r_{1}^{3} + r_{2}^{3} + r_{3}^{3})^{1/3}$

(A) शंक्वाकार बर्तन का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 = \frac{200\pi}{3}\, cm^3$ है।
बाहर निकले पानी का आयतन शंक्वाकार बर्तन के कुल आयतन का $25\%$ है,जो बर्तन में डाली गई गोलाकार गेंदों के कुल आयतन के बराबर है।
बाहर निकले पानी का आयतन $= \frac{1}{4} \times V_{cone} = \frac{1}{4} \times \frac{200\pi}{3} = \frac{50\pi}{3}\, cm^3$.
$r_b = \frac{1}{2}\, cm$ त्रिज्या वाली एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{8} = \frac{\pi}{6}\, cm^3$ है।
मान लीजिए गेंदों की संख्या $n$ है। अतः,$n \times V_{ball} = \text{बाहर निकले पानी का आयतन}$.
$n \times \frac{\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}$.
$n = \frac{50\pi}{3} \times \frac{6}{\pi} = 50 \times 2 = 100$.
अतः,गेंदों की संख्या $100$ है।

(B) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2 \pi r h$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ है।
अनुपात $CSA : TSA = 4 : 5$ दिया गया है।
$\frac{2 \pi r h}{2 \pi r h + 2 \pi r^2} = \frac{4}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{4}{5}$
$5h = 4h + 4r \implies h = 4r$.
दिया है $CSA = 1232 \, cm^2$,इसलिए $2 \pi r h = 1232$.
समीकरण में $h = 4r$ रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times (4r) = 1232$
$8 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 1232$
$r^2 = 1232 \times \frac{7}{8 \times 22}$
$r^2 = 1232 \times \frac{7}{176} = 49$
$r = 7 \, cm$.
अतः $h = 4r = 4 \times 7 = 28 \, cm$.

(A) माना कि छोटे शंकु (ऊपरी भाग) का आयतन $V_1$ है और बड़े शंकु का आयतन $V_2$ है।
चूँकि समतल शंकु को समान आयतन वाले दो भागों में विभाजित करता है,इसलिए छोटे शंकु का आयतन बड़े शंकु के आयतन का आधा है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2}$।
जब किसी शंकु को उसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा जाता है,तो छोटे शंकु और बड़े शंकु के आयतन का अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के अनुपात के घन के बराबर होता है:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$h_1$ छोटे शंकु की ऊँचाई है और $h_2$ बड़े शंकु की ऊँचाई है।
छिन्नक (निचला भाग) की ऊँचाई $h_2 - h_1$ है।
ऊँचाई जिस अनुपात में विभाजित होती है वह $h_1 : (h_2 - h_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,त्रिभुजाकार आधार का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\, cm$
इसके बाद,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{27(27 - 13)(27 - 20)(27 - 21)}$
$= \sqrt{27 \times 14 \times 7 \times 6}$
$= \sqrt{15876} = 126\, cm^2$
सम प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणनफल होता है:
$\text{आयतन} = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$
$= 126\, cm^2 \times 9\, cm = 1134\, cm^3$

(C) जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है,तो आयतन समान रहता है।
बेलन का आयतन = $\pi r_1^2 h_1 = \pi \times (8)^2 \times 2 = 128\pi\, cm^3$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times r_2^2 \times 6 = 2\pi r_2^2$.
चूंकि आयतन समान हैं: $128\pi = 2\pi r_2^2$.
दोनों पक्षों को $2\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r_2^2 = 64$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = \sqrt{64} = 8\, cm$।

(C) खाई का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 48 \ m \times 16.5 \ m \times 4 \ m = 3168 \ m^3$.
सुरंग बेलनाकार है जिसका व्यास $d = 4 \ m$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 2 \ m$ और लंबाई $h = 56 \ m$ है।
सुरंग से निकली मिट्टी और पत्थरों का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (2)^2 \times 56 = 22 \times 4 \times 8 = 704 \ m^3$.
खाई का भरा गया भाग $= \frac{\text{मिट्टी का आयतन}}{\text{खाई का आयतन}} = \frac{704}{3168}$.
दोनों को $352$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{704 \div 352}{3168 \div 352} = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ द्वारा दिया जाता है।
शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ $LSA = \pi r l$ होता है,जहाँ $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ तिर्यक ऊँचाई है।
प्रश्न के अनुसार,आयतन और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के संख्यात्मक मान समान हैं:
$\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{1}{3} r h = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{r^{2} h^{2}}{9} = r^{2} + h^{2}$
दोनों पक्षों को $r^{2} h^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{9} = \frac{r^{2} + h^{2}}{r^{2} h^{2}}$
$\frac{1}{9} = \frac{r^{2}}{r^{2} h^{2}} + \frac{h^{2}}{r^{2} h^{2}}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{r^{2}}$
अतः,$\frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{r^{2}}$ का मान $\frac{1}{9}$ है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों ठोस गोलों का कुल आयतन $= \frac{4}{3} \pi (1^3 + 6^3) = \frac{4}{3} \pi (1 + 216) = \frac{4}{3} \pi (217) \, cm^3$.
माना खोखले गोले की आंतरिक त्रिज्या $r \, cm$ है। खोखले गोले के पदार्थ का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ होता है,जहाँ $R = 9 \, cm$ बाहरी त्रिज्या है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{4}{3} \pi (217) = \frac{4}{3} \pi (9^3 - r^3)$.
$217 = 729 - r^3$.
$r^3 = 729 - 217 = 512$.
$r = \sqrt[3]{512} = 8 \, cm$.
खोखले गोले की मोटाई $=$ बाहरी त्रिज्या $-$ आंतरिक त्रिज्या $= 9 \, cm - 8 \, cm = 1 \, cm$.

(A) माना $R$ अर्धगोले की त्रिज्या है और $r$ प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या है।
अर्धगोले का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi R^3$ होता है।
एक गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,अर्धगोले को पिघलाकर समान आयतन के चार गोले बनाए जाते हैं:
$V_h = 4 \times V_s$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{3} \pi R^3 = 4 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2}{3} R^3 = \frac{16}{3} r^3$
$R^3 = 8 r^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = 2r$
अतः,$r = \frac{R}{2}$,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गोले की त्रिज्या अर्धगोले की त्रिज्या का $1/2$ भाग होगी।

(B) गोले से काटे गए सबसे बड़े संभव घन के लिए,घन का विकर्ण गोले के व्यास के बराबर होता है।
माना गोले की त्रिज्या $r = 6 \sqrt{3} \text{ cm}$ है।
गोले का व्यास $D = 2r = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \text{ cm}$ है।
माना घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन का विकर्ण $\sqrt{3}a$ होता है।
घन के विकर्ण को गोले के व्यास के बराबर रखने पर:
$\sqrt{3}a = 12 \sqrt{3}$
$a = 12 \text{ cm}$।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \text{ cm}^2$।

(B) टंकी शुरू में पूरी तरह भरी हुई है, और पानी निकालने के बाद, टंकी का $1/3$ भाग भरा रहता है। इसलिए, निकाले गए पानी का आयतन टंकी के कुल आयतन का $1 - 1/3 = 2/3$ भाग है।
घनाकार टंकी का आयतन $V = (\text{भुजा})^3 = (1.2\, m)^3 = 1.728\, m^3$ है।
चूंकि $1\, m^3 = 1000\, \text{लीटर}$ होता है, इसलिए टंकी का कुल आयतन $1.728 \times 1000 = 1728\, \text{लीटर}$ है।
$64$ बाल्टियों द्वारा निकाले गए पानी का आयतन कुल आयतन का $2/3$ है: $V_{\text{removed}} = 1728 \times (2/3) = 1152\, \text{लीटर}$।
प्रत्येक बाल्टी का आयतन कुल निकाले गए आयतन को बाल्टियों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: $V_{\text{bucket}} = 1152 / 64 = 18\, \text{लीटर}$।

(C) आधार का क्षेत्रफल $= 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2$.
आधार का परिमाप $= 4 \times 10 = 40 \text{ cm}$.
पिरामिड की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना ऊँचाई $(h = 12 \text{ cm})$ और आधार की भुजा के आधे $(a/2 = 5 \text{ cm})$ का उपयोग करके की जाती है:
$l = \sqrt{(a/2)^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$.
पिरामिड का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(C.S.A.)$ $= \frac{1}{2} \times \text{आधार का परिमाप} \times \text{तिर्यक ऊँचाई}$
$C.S.A. = \frac{1}{2} \times 40 \times 13 = 20 \times 13 = 260 \text{ cm}^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(T.S.A.)$ $= C.S.A. + \text{आधार का क्षेत्रफल}$
$T.S.A. = 260 \text{ cm}^2 + 100 \text{ cm}^2 = 360 \text{ cm}^2$.

(A) दिया गया है: शंकु की ऊँचाई $h = 14 \, m$,आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2} = 346.5 \, m^{2}$.
सबसे पहले,त्रिज्या $r$ ज्ञात करें:
$\frac{22}{7} \times r^{2} = 346.5$
$r^{2} = \frac{346.5 \times 7}{22} = 110.25$
$r = \sqrt{110.25} = 10.5 \, m$.
अब,तिर्यक ऊँचाई $l$ ज्ञात करें:
$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{10.5^{2} + 14^{2}} = \sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5 \, m$.
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 22 \times 1.5 \times 17.5 = 577.5 \, m^{2}$.
कैनवास की चौड़ाई $= 75 \, cm = 0.75 \, m$.
कैनवास की लंबाई $= \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} = \frac{577.5}{0.75} = 770 \, m$.

(D) प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{आयतन} = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
दिया गया है:
$\text{आधार का क्षेत्रफल} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} P^{2} \, \text{cm}^{2}$
$\text{ऊँचाई} = 100 \sqrt{3} \, \text{cm}$
$\text{आयतन} = 7200 \, \text{cm}^{3}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$7200 = \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} P^{2} \right) \times (100 \sqrt{3})$
$7200 = \frac{3 \times 100 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})}{2} \times P^{2}$
$7200 = \frac{300 \times 3}{2} \times P^{2}$
$7200 = 450 \times P^{2}$
$P^{2} = \frac{7200}{450}$
$P^{2} = 16$
$P = 4$.

(D) माना गोले की त्रिज्या $r \, cm$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का मान बराबर है:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^2$
दोनों पक्षों को $4 \pi r^2$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{r}{3} = 1$
$r = 3 \, cm$.
गोले का व्यास $d = 2r = 2 \times 3 = 6 \, cm$ है।