Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(B) माना अर्धगोले के आधार की त्रिज्या $r$ इकाई है। चूंकि आधार समान हैं,इसलिए शंकु की त्रिज्या भी $r$ इकाई होगी।
यह दिया गया है कि ऊँचाइयाँ समान हैं,इसलिए शंकु की ऊँचाई $h = r$ होगी (क्योंकि अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है)।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^2$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl = \pi r(r\sqrt{2}) = \pi r^2\sqrt{2}$ है।
अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $2\pi r^2 : \pi r^2\sqrt{2} = 2 : \sqrt{2}$ है।

(C) माना सामान्य ऊंचाई $h$ है। अर्धगोले के लिए,ऊंचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $h = r_3$। दिया गया है कि शंकु,बेलन और अर्धगोले की ऊंचाइयां समान हैं,इसलिए $h = h_{cone} = h_{cylinder} = r_{hemisphere}$।
माना त्रिज्याएं $r_1 = 2x$,$r_2 = 3x$,और $r_3 = 1x = x$ हैं। चूंकि अर्धगोले की ऊंचाई उसकी त्रिज्या है,इसलिए $h = x$।
शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h = \frac{1}{3} \pi (2x)^2 (x) = \frac{4}{3} \pi x^3$।
बेलन का आयतन $V_2 = \pi r_2^2 h = \pi (3x)^2 (x) = 9 \pi x^3$।
अर्धगोले का आयतन $V_3 = \frac{2}{3} \pi r_3^3 = \frac{2}{3} \pi (x)^3 = \frac{2}{3} \pi x^3$।
अनुपात $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{4}{3} \pi x^3 : 9 \pi x^3 : \frac{2}{3} \pi x^3$।
$\frac{3}{\pi x^3}$ से गुणा करने पर,हमें $4 : 27 : 2$ प्राप्त होता है।

(C) वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल उसके विकर्ण $d$ का उपयोग करके इस प्रकार निकाला जा सकता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$.
यहाँ $d = 24 \sqrt{2} \text{ m}$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (24 \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 576 \times 2 = 576 \text{ m}^2$ होगा।
पिरामिड के आयतन $V$ का सूत्र है: $V = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} (h)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $1728 = \frac{1}{3} \times 576 \times h$.
$1728 = 192 \times h$.
$h = \frac{1728}{192} = 9 \text{ m}$.

(B) माना मूल शंकु की ऊँचाई $H = 9 \, cm$ और उसके आधार की त्रिज्या $R = 3 \, cm$ है।
माना छिन्नक की ऊपरी वृत्ताकार सतह की त्रिज्या $r$ है और ऊपर से काटे गए छोटे शंकु की ऊँचाई $h'$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात स्थिर रहता है: $\frac{r}{h'} = \frac{R}{H} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$,अतः $h' = 3r$.
मूल शंकु का आयतन $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^2 \times 9 = \frac{22 \times 27}{7} = \frac{594}{7} \, cm^3$.
ऊपर के छोटे शंकु का आयतन $V_{small} = \frac{1}{3} \pi r^2 h' = \frac{1}{3} \pi r^2 (3r) = \pi r^3$.
शंकु के छिन्नक का आयतन $V_{frustum} = V_{total} - V_{small} = 44 \, cm^3$.
मान रखने पर: $\frac{594}{7} - \frac{22}{7} r^3 = 44$.
$7$ से गुणा करने पर: $594 - 22r^3 = 308$.
$22r^3 = 594 - 308 = 286$.
$r^3 = \frac{286}{22} = 13$.
अतः,$r = \sqrt[3]{13} \, cm$.

(A) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ क्रमशः $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 2 : 3$ और ऊँचाइयों का अनुपात $h_1 : h_2 = 5 : 4$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है।
दोनों बेलनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2 \pi r_1 h_1}{2 \pi r_2 h_2}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपातों के मान रखने पर: $\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$।
अतः,उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $5:6$ है।

(C) माना बेलन की ऊँचाई $h \, cm$ और आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 462 \, cm^2 \dots (1)$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का $\frac{1}{3}$ है:
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h = \frac{1}{3} \times 462 = 154 \, cm^2$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 \pi r^2 + 154 = 462$
$2 \pi r^2 = 462 - 154 = 308$
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 308$
$r^2 = \frac{308 \times 7}{44} = 49$
$r = 7 \, cm$.
अब,$2 \pi r h = 154$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 154$
$44 \times h = 154$
$h = \frac{154}{44} = 3.5 \, cm$ (या $\frac{7}{2} \, cm$).
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 3.5 = 539 \, cm^3$ है।

(D) माना त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi rh$ होता है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है,जहाँ $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ है।
दिया गया है कि उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $8:5$ है:
$\frac{2 \pi rh}{\pi r \sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{8}{5}$
$\frac{2h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{8}{5}$
$\frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{4}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{h^2}{h^2 + r^2} = \frac{16}{25}$
$25h^2 = 16h^2 + 16r^2$
$9h^2 = 16r^2$
$\frac{r^2}{h^2} = \frac{9}{16}$
$\frac{r}{h} = \frac{3}{4}$
अतः,उनकी त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $3:4$ है।

(D) माना आधार की त्रिज्या $r$ इकाई है और शंकु की ऊँचाई $h$ इकाई है।
अर्धगोलाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^2$ है।
शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ है,जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ तिर्यक ऊँचाई है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों भागों के पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं:
$2 \pi r^2 = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$2r = \sqrt{r^2 + h^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4r^2 = r^2 + h^2$
$3r^2 = h^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{3}r = h$
अतः,त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जो कि $1: \sqrt{3}$ है।

(D) समबाहु त्रिभुज के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{side}^2$ है।
दी गई भुजा $6 \, cm$ का मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3} \, cm^2$.
समकोण प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Volume} = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
चूँकि आयतन $108 \sqrt{3} \, cm^3$ दिया गया है:
$108 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \times h$.
दोनों पक्षों को $9 \sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$h = \frac{108 \sqrt{3}}{9 \sqrt{3}} = 12 \, cm$.

(A) माना कि आवश्यक सिक्कों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक सिक्के का आयतन (जो एक बेलन है) $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक सिक्के के लिए,$r = 0.75\, cm$ और $h = 0.2\, cm$ है।
$x$ सिक्कों का कुल आयतन $= x \times \pi \times (0.75)^2 \times 0.2$ है।
लक्षित बेलन का आयतन $V = \pi R^2 H$ है।
यहाँ,$R = 3\, cm$ और $H = 8\, cm$ है।
बेलन का आयतन $= \pi \times (3)^2 \times 8 = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi\, cm^3$ है।
आयतन की तुलना करने पर:
$x \times \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = 72\pi$
$x \times (0.5625) \times 0.2 = 72$
$x \times 0.1125 = 72$
$x = \frac{72}{0.1125}$
$x = \frac{720000}{1125} = 640$ है।
अतः,आवश्यक सिक्कों की संख्या $640$ है।

(D) माना मूल गोले की त्रिज्या $r \, m$ है।
नई त्रिज्या $(r + 2) \, m$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $704 \, m^2$ है:
$4 \pi (r + 2)^2 - 4 \pi r^2 = 704$
$4 \pi$ से विभाजित करने पर:
$(r + 2)^2 - r^2 = \frac{704}{4 \pi}$
$(r^2 + 4r + 4) - r^2 = \frac{176}{\pi}$
$4r + 4 = \frac{176}{22/7}$
$4(r + 1) = \frac{176 \times 7}{22}$
$4(r + 1) = 8 \times 7$
$4(r + 1) = 56$
$r + 1 = 14$
$r = 13 \, m$.

(C) एक लंबवृत्तीय बेलन एक अर्धगोले को इस प्रकार परिबद्ध करता है कि उनके आधार समान हैं।
माना अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि बेलन अर्धगोले को परिबद्ध करता है,इसलिए बेलन की त्रिज्या भी $r$ होगी और बेलन की ऊंचाई अर्धगोले की त्रिज्या के बराबर यानी $r$ होगी।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3$.
अर्धगोले के आयतन और बेलन के आयतन का अनुपात $\frac{\frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^3} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:3$ है।

(C) गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
तीनों गोलाकार गेंदों का कुल आयतन $= \frac{4}{3} \pi (1^3 + 2^3 + 3^3) = \frac{4}{3} \pi (1 + 8 + 27) = \frac{4}{3} \pi (36) \, cm^3$.
दिया गया है कि पिघलाने की प्रक्रिया के दौरान $25\%$ सामग्री का नुकसान होता है।
शेष आयतन $= \frac{4}{3} \pi (36) \times (1 - 0.25) = \frac{4}{3} \pi (36) \times 0.75 = \frac{4}{3} \pi (36) \times \frac{3}{4} = \frac{4}{3} \pi (27) \, cm^3$.
मान लीजिए कि नई गोलाकार गेंद की त्रिज्या $R$ है।
अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (27)$.
$R^3 = 27$.
$R = 3 \, cm$.

(B) घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = a\sqrt{3}$ होता है, जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = 6 \text{ cm}$ है।
अतः, $a\sqrt{3} = 6 \text{ cm}$.
$a$ का मान ज्ञात करने पर, $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$.
घन का आयतन $V$ का सूत्र $V = a^3$ होता है।
$a$ का मान रखने पर, $V = (2\sqrt{3})^3 = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 = 8 \times 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$.

(C) जब $r$ त्रिज्या वाले एक गोले को $4$ समान भागों में विभाजित किया जाता है (केंद्र से गुजरने वाले दो लंबवत तलों द्वारा काटकर),तो प्रत्येक भाग एक गोलाकार वेज (spherical wedge) बन जाता है।
$1$. मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ है। चूँकि गोले को $4$ समान भागों में विभाजित किया गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times 4 \pi r^{2} = \pi r^{2}$ होगा।
$2$. सभी $4$ भागों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \times \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ होगा।
$3$. प्रत्येक $4$ भागों में कटान के कारण दो सपाट अर्ध-वृत्ताकार सतहें होती हैं। चूँकि कुल $4$ भाग हैं,इसलिए कुल $4 \times 2 = 8$ अर्ध-वृत्ताकार सतहें होंगी।
$4$. एक अर्ध-वृत्ताकार सतह का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^{2}$ होता है।
$5$. इन $8$ सपाट सतहों का कुल क्षेत्रफल $8 \times \frac{1}{2} \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ होगा।
$6$. $4$ भागों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल सपाट पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^{2} + 4 \pi r^{2} = 8 \pi r^{2}$ वर्ग इकाई।