Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(A) सिक्के की त्रिज्या $r = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, cm = \frac{3}{4} \, cm$.
सिक्के की मोटाई $h = 2 \, mm = 0.2 \, cm = \frac{1}{5} \, cm$.
एक सिक्के का आयतन $= \pi r^2 h = \pi \times (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{5} = \pi \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{5} = \frac{9\pi}{80} \, cm^3$.
बेलन की त्रिज्या $R = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
बेलन की ऊंचाई $H = 8 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (3)^2 \times 8 = 72\pi \, cm^3$.
सिक्कों की संख्या $= \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक सिक्के का आयतन}} = \frac{72\pi}{\frac{9\pi}{80}} = 72 \times \frac{80}{9} = 8 \times 80 = 640$.

(B) माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
चूंकि ढलाई के दौरान पदार्थ का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए अर्धगोले का आयतन = शंकु का आयतन।
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi R^3$,जहाँ $R = 6 \, cm$ है।
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$,जहाँ $h = 75 \, cm$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $\frac{2}{3} \pi (6)^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (75)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3} \pi$ को हटाने पर: $2 \times 216 = r^2 \times 75$.
$r^2 = \frac{432}{75} = 5.76$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{5.76} = 2.4 \, cm$.

(B) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 231 \, cm^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का $(2/3)$ है:
$CSA = 2 \pi r h = (2/3) \times 231 = 154 \, cm^2$.
चूंकि $TSA = CSA + 2 \pi r^2$,हमारे पास $231 = 154 + 2 \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $2 \pi r^2 = 77 \, cm^2$.
अतः,$\pi r^2 = 77/2 = 38.5 \, cm^2$.
$\pi = 22/7$ का उपयोग करते हुए,$(22/7) \times r^2 = 38.5$,इसलिए $r^2 = (38.5 \times 7) / 22 = 12.25$.
इसलिए,$r = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$ (या $7/2 \, cm$).
अब,$r$ का मान $CSA$ सूत्र में रखने पर: $2 \times (22/7) \times (7/2) \times h = 154$.
$22 \times h = 154$,इसलिए $h = 154 / 22 = 7 \, cm$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = (22/7) \times (7/2) \times (7/2) \times 7 = 269.5 \, cm^3$ है।

(B) टंकी को भरने के लिए आवश्यक पानी का आयतन $10 \ min$ में $440 \ m^3$ है।
अतः,पाइप से प्रति मिनट बहने वाले पानी का आयतन $\frac{440}{10} = 44 \ m^3/min$ है।
एक वृत्ताकार पाइप से प्रति मिनट बहने वाले पानी का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ पानी की प्रति मिनट गति है और $r$ आंतरिक त्रिज्या है।
यहाँ $h = 7 \ m/min$ और $V = 44 \ m^3/min$ दिया गया है,इसलिए:
$44 = \frac{22}{7} \times r^2 \times 7$
समीकरण को सरल करने पर:
$44 = 22 \times r^2$
$r^2 = \frac{44}{22} = 2$
$r = \sqrt{2} \ m$.

(B) शेष ठोस का आयतन बेलन के आयतन में से शंकु के आयतन को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 10 = 360\pi \ cm^3$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = 120\pi \ cm^3$.
शेष आयतन = $360\pi - 120\pi = 240\pi \ cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,आयतन = $240 \times \frac{22}{7} \approx 754.28 \ cm^3$,जो लगभग $754.3 \ cm^3$ है।

(A) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1 = 2x$ और $r_2 = 3x$ हैं।
माना कि दो बेलनों की ऊँचाइयाँ $h_1 = 5y$ और $h_2 = 3y$ हैं।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi (2x)^2 (5y)}{\pi (3x)^2 (3y)}$.
$= \frac{\pi (4x^2) (5y)}{\pi (9x^2) (3y)}$.
$= \frac{20 \pi x^2 y}{27 \pi x^2 y}$.
$= \frac{20}{27}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $20:27$ है।

(A) बेलन के आधार की त्रिज्या $r = \frac{28}{2} = 14 \, m$ है।
माना टंकी की गहराई (ऊंचाई) $h$ है।
टंकी की क्षमता (आयतन) $V = \pi r^2 h = 6160 \, m^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 6160$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 6160 \implies 616 \times h = 6160 \implies h = 10 \, m$.
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 10 = 880 \, m^2$ है।
आंतरिक वक्र सतह को ₹ $2.8$ प्रति $m^2$ की दर से पेंट करने का खर्च $880 \times 2.8 = ₹ 2464$ है।

(C) दिया है: $r + h = 37\, m$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA) = 2\pi r(r + h) = 1628\, m^2$.
$TSA$ सूत्र में $(r + h)$ का मान रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 37 = 1628$
$r = \frac{1628 \times 7}{2 \times 22 \times 37} = \frac{1628 \times 7}{1628} = 7\, m$.
चूँकि $r + h = 37$,इसलिए $h = 37 - 7 = 30\, m$.
आधार की परिधि $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\, m$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 30 = 22 \times 7 \times 30 = 4620\, m^3$.
अतः,आधार की परिधि $44\, m$ और बेलन का आयतन $4620\, m^3$ है।

(B) जब कागज को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़ा जाता है,तो कागज की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और कागज की चौड़ाई बेलन की ऊँचाई बन जाती है।
दिया गया है: परिधि $(2 \pi r) = 22 \text{ cm}$ और ऊँचाई $(h) = 10 \text{ cm}$।
$2 \pi r = 22$ से,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$,जिससे $r = \frac{7}{2} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
बेलन का आयतन $(V)$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 10$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10 = 22 \times \frac{7}{4} \times 10 = 11 \times 7 \times 5 = 385 \text{ cm}^3$.

(D) बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r(h + r)$ है।
बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi rh$ है।
अनुपात $\frac{2 \pi r(h + r)}{2 \pi rh}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{h + r}{h}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 80 \text{ cm}$ और $h = 20 \text{ cm}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{20 + 80}{20} = \frac{100}{20} = 5$.
अतः,अनुपात $5:1$ है।

(B) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और उसकी ऊँचाई $h$ है। बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ है।
समान त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ वाले शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
माना बेलन से पानी को रखने के लिए आवश्यक शंकुओं की संख्या $x$ है।
अतः,$x \times V_{cone} = V_{cylinder}$.
मान रखने पर,$x \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) = \pi r^{2} h$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या $r = \frac{28}{2} = 14\, cm$ है।
बाल्टी की ऊँचाई $h = 72\, cm$ है।
बाल्टी में पानी का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 72 = 22 \times 2 \times 14 \times 72 = 44,352\, cm^3$।
मान लीजिए कि आयताकार टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई $H$ है।
टैंक में पानी का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times H = 66 \times 28 \times H$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $66 \times 28 \times H = 44,352$।
$H = \frac{44,352}{66 \times 28} = \frac{44,352}{1,848} = 24\, cm$।

(C) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
दिया गया है: लंबाई $(h)$ = $70\, cm$,व्यास = $2\, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r)$ = $1\, cm$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times (1)^2 \times 70 = 220\, cm^3$.
$1\, cm^3$ लोहे का वजन = $10\, grams$.
कुल वजन = $220 \times 10 = 2200\, grams$.
$kg$ में बदलने के लिए,$1000$ से भाग देने पर: $\frac{2200}{1000} = 2.2\, kg$.

(A) माना बेलन की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
मूल बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 2 \pi r h$ है।
नए बेलन के लिए,त्रिज्या $r' = 2r$ और ऊँचाई $h' = \frac{h}{2}$ है।
नए बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 2 \pi r' h' = 2 \pi (2r) \left( \frac{h}{2} \right) = 2 \pi r h$ है।
अतः,नए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और पिछले वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \frac{2 \pi r h}{2 \pi r h} = 1:1$ होगा।

(D) बेलनाकार जार की त्रिज्या $R = 24/2 = 12\, cm$ है।
पानी के स्तर में हुई वृद्धि $h = 67.5\, mm = 6.75\, cm$ है।
गोलाकार गेंद का आयतन उसके द्वारा विस्थापित पानी के आयतन के बराबर होता है।
विस्थापित पानी का आयतन $= \pi R^2 h = \pi \times (12)^2 \times 6.75\, cm^3$.
मान लीजिए गेंद की त्रिज्या $r$ है। गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi \times 144 \times 6.75$.
$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4} = 36 \times 6.75 \times 3 = 108 \times 6.75 = 729$.
$r^3 = 9^3$,जिसका अर्थ है $r = 9\, cm$.
गेंद का व्यास $= 2r = 2 \times 9 = 18\, cm$.

(B) एक ठोस शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}$ द्वारा दिया जाता है।
एक ठोस बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h_{cylinder}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि शंकु के पदार्थ को बेलन में परिवर्तित किया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे: $V_{cone} = V_{cylinder}$।
अतः,$\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone} = \pi r^2 h_{cylinder}$।
चूंकि त्रिज्याएँ समान हैं,हम दोनों पक्षों से $\pi r^2$ को काट सकते हैं:
$\frac{1}{3} h_{cone} = h_{cylinder}$।
दिया गया है कि $h_{cylinder} = 5\,cm$,इसलिए $\frac{1}{3} h_{cone} = 5\,cm$।
इस प्रकार,$h_{cone} = 3 \times 5\,cm = 15\,cm$।

(B) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ और ऊँचाई $h_1$ है। अतः $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 3850\, mm^3$ है।
नए बेलन के लिए,लंबाई दोगुनी कर दी जाती है $(h_2 = 2h_1)$ और व्यास आधा कर दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या भी आधी हो जाती है $(r_2 = r_1 / 2)$।
नया आयतन $V_2 = \pi r_2^2 h_2$ द्वारा प्राप्त होता है।
नए मान रखने पर: $V_2 = \pi (r_1 / 2)^2 (2h_1) = \pi (r_1^2 / 4) (2h_1) = \frac{1}{2} \pi r_1^2 h_1$।
चूँकि $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 3850$ है,इसलिए $V_2 = \frac{1}{2} \times 3850 = 1925\, mm^3$ होगा।

(C) प्रत्येक बेलनाकार स्तंभ की त्रिज्या $(r)$ व्यास की आधी होती है: $r = \frac{50\, cm}{2} = 25\, cm = 0.25\, m = \frac{1}{4}\, m.$
प्रत्येक स्तंभ की ऊँचाई $(h)$ $4\, m$ है।
एक बेलनाकार स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $2\pi rh$ है।
एक स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times 3.14 \times \frac{1}{4} \times 4 = 6.28\, m^{2}.$
ऐसे $50$ स्तंभों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 50 \times 6.28\, m^{2} = 314\, m^{2}.$
सफाई की दर $50$ पैसे प्रति $m^{2}$ है,जो कि $₹ 0.50$ प्रति $m^{2}$ के बराबर है।
कुल मजदूरी खर्च $= 314\, m^{2} \times ₹ 0.50/m^{2} = ₹ 157.$

(A) माना कि मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊँचाई $h$ है। मूल आयतन $V = \pi r^2 h$ है।
यदि नई त्रिज्या $R = 2r$ है और नई ऊँचाई $H$ है,तो नया आयतन $V'$ मूल आयतन $V$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$V' = \pi R^2 H = \pi (2r)^2 H = \pi (4r^2) H = 4 \pi r^2 H$।
चूँकि $V' = V$,इसलिए $4 \pi r^2 H = \pi r^2 h$।
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $4H = h$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $H = \frac{1}{4} h$।
अतः,ऊँचाई को मूल ऊँचाई का $1/4$ होना चाहिए।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
बड़ी गेंद की त्रिज्या $R = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$ है।
तीन छोटी गेंदों की त्रिज्याएँ $r_1, r_2,$ और $r_3$ हैं।
दिया गया है कि $r_1 = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, cm$ और $r_2 = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ है।
पिघलाने और पुनः ढालने पर आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
$(1.5)^3 = (0.75)^3 + (1)^3 + r_3^3$
$3.375 = 0.421875 + 1 + r_3^3$
$3.375 = 1.421875 + r_3^3$
$r_3^3 = 3.375 - 1.421875 = 1.953125$
$r_3 = \sqrt[3]{1.953125} = 1.25 \, cm$.
तीसरी गेंद का व्यास $2 \times r_3 = 2 \times 1.25 = 2.5 \, cm$ है।

(D) माना शंकु और बेलन दोनों के आधार की त्रिज्या $r$ है। चूँकि उनके आधार का क्षेत्रफल समान है,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ भी समान हैं।
माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ है और बेलन की ऊँचाई $h = 2 \, m$ है।
शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $A_{cone} = \pi r l$ होता है।
बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $A_{cylinder} = 2 \pi r h$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$A_{cone} = A_{cylinder}$ है।
इसलिए,$\pi r l = 2 \pi r h$।
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर (चूँकि $r \neq 0$),हमें $l = 2h$ प्राप्त होता है।
$h = 2 \, m$ रखने पर,हमें $l = 2 \times 2 = 4 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $4 \, m$ है।

(B) माना कि बेलन और शंकु दोनों की त्रिज्या $r$ है।
माना कि बेलन की ऊँचाई $h$ है और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ है।
दिया गया है कि बेलन की ऊँचाई शंकु की तिर्यक ऊँचाई के बराबर है,अतः $h = l$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$ होता है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l$ होता है।
चूँकि $h = l$ है,इसलिए शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $l$ के स्थान पर $h$ रखने पर: $CSA_{cone} = \pi r h$ प्राप्त होता है।
बेलन और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{2 \pi r h}{\pi r h} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:1$ है।

(A) $1 \, m$ भुजा वाले घन का आयतन $V_{cube} = (1)^3 = 1 \, m^3$ है।
इस घन से काटे गए सबसे बड़े संभव आयतन वाले बेलन के लिए,आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर ($d = 1 \, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \, m$) और ऊँचाई घन की भुजा के बराबर $(h = 1 \, m)$ होनी चाहिए।
बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (0.5)^2 \times 1 = \frac{\pi}{4} \, m^3$ है।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर,बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \frac{22}{7 \times 4} = \frac{11}{14} \, m^3$ है।
शेष लकड़ी का आयतन $V_{remaining} = V_{cube} - V_{cylinder} = 1 - \frac{11}{14} = \frac{3}{14} \, m^3$ है।

(C) बेलन का आयतन $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है,$h = 3 \text{ cm}$,इसलिए $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 (3) = 3 \pi r^2 \text{ cm}^3$.
शंकु का आयतन $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $H$ शंकु की ऊँचाई है।
चूँकि बेलन को समान त्रिज्या वाले शंकु में ढाला गया है,इसलिए उनके आयतन बराबर होंगे।
अतः,$3 \pi r^2 = \frac{1}{3} \pi r^2 H$.
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $3 = \frac{1}{3} H$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,$H = 9 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(C) वर्षा के पानी का कुल आयतन = क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई।
दिया गया है,क्षेत्रफल = $1\, km^2 = (1000\, m)^2 = 1,000,000\, m^2$.
ऊँचाई = $2\, cm = 0.02\, m$.
कुल आयतन = $1,000,000\, m^2 \times 0.02\, m = 20,000\, m^3$.
एकत्रित पानी का आयतन = $20,000\, m^3$ का $50\% = 0.5 \times 20,000 = 10,000\, m^3$.
पूल के आधार का क्षेत्रफल = $100\, m \times 10\, m = 1,000\, m^2$.
जल स्तर में वृद्धि = $\frac{\text{एकत्रित आयतन}}{\text{पूल के आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{10,000\, m^3}{1,000\, m^2} = 10\, m$.
अतः,पूल में जल स्तर $10\, m$ बढ़ जाएगा।

(B) दिया गया है: लंबवत ऊँचाई $h = 4 \frac{2}{3} \text{ m} = \frac{14}{3} \text{ m}$.
आधार का व्यास $d = 6 \text{ m}$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 3 \text{ m}$.
शंक्वाकार तंबू का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times \frac{14}{3}$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times \frac{14}{3} = 22 \times 2 = 44 \text{ m}^3$.
चूंकि तंबू में $11$ व्यक्ति सो सकते हैं,इसलिए प्रति व्यक्ति हवा का औसत आयतन $= \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{व्यक्तियों की संख्या}} = \frac{44}{11} = 4 \text{ m}^3$.

(A) दिया गया है,शंक्वाकार तंबू की ऊँचाई,$h = 9\, m$।
आधार की परिधि $= 2\pi r = 44\, m$।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$।
$r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7\, m$।
तंबू में निहित हवा का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होता है,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 9$।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 9$।
$V = 22 \times 7 \times 3 = 462\, m^3$।

(C) शंक्वाकार बर्तन का आयतन सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों $r = 2 \ cm$ और $h = 3 \ cm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (2)^2 \times 3 = 4\pi \ cm^3$.
जब इस तरल को $R = 2 \ cm$ त्रिज्या वाले बेलनाकार जार में स्थानांतरित किया जाता है,तो मान लीजिए कि केरोसिन के स्तर की ऊँचाई $h_{jar}$ है।
तरल का आयतन समान रहता है,इसलिए बेलन में आयतन $V = \pi R^2 h_{jar}$ होगा।
$4\pi = \pi \times (2)^2 \times h_{jar}$.
$4\pi = 4\pi \times h_{jar}$.
अतः,$h_{jar} = 1 \ cm$।

(B) माना कि ठोस बेलन की त्रिज्या $r\,cm$ है और इसकी ऊंचाई $H = 9\,cm$ है।
खोखले बेलन का आयतन $V = \pi(R^2 - r_{in}^2)h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = 4.3\,cm$,$r_{in} = 1.1\,cm$,और $h = 3\,cm$ है।
$V = \pi(4.3^2 - 1.1^2) \times 3 = \pi(18.49 - 1.21) \times 3 = \pi(17.28) \times 3 = 51.84\pi\,cm^3$.
ठोस बेलन का आयतन $V = \pi r^2 H$ होता है। यहाँ $H = 9\,cm$ दिया गया है:
$51.84\pi = \pi r^2 \times 9$.
$r^2 = \frac{51.84}{9} = 5.76$.
$r = \sqrt{5.76} = 2.4\,cm$.

(C) माना बेलन की ऊँचाई $H$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूँकि शंकु बेलन पर सटीक बैठता है,इसलिए इसकी त्रिज्या भी $r$ होगी।
बेलन का आयतन $V_{cyl} = \pi r^2 H$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
ठोस का कुल आयतन $V_{total} = V_{cyl} + V_{cone} = \pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
प्रश्न के अनुसार,$V_{total} = 3 \times V_{cone}$.
अतः,$\pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\pi r^2 H + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \pi r^2 h$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ घटाने पर:
$\pi r^2 H = \pi r^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$\pi r^2 H = \frac{2}{3} \pi r^2 h$.
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $H = \frac{2}{3} h$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. कुएँ से खोदी गई मिट्टी का आयतन ज्ञात करें:
कुएँ की त्रिज्या $(r)$ = $11.2 / 2 = 5.6 \, m$.
कुएँ की गहराई $(h)$ = $8 \, m$.
आयतन $(V)$ = $\pi r^2 h = (22/7) \times (5.6)^2 \times 8 = 788.48 \, m^3$.
$2$. वृत्ताकार चबूतरे का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
चबूतरे की चौड़ाई $7 \, m$ है। आंतरिक त्रिज्या $r = 5.6 \, m$ और बाहरी त्रिज्या $(R)$ = $5.6 + 7 = 12.6 \, m$ है।
चबूतरे का क्षेत्रफल = $\pi (R^2 - r^2) = \pi (12.6^2 - 5.6^2) = \pi (7)(18.2) = 400.4 \, m^2$.
$3$. चबूतरे की ऊँचाई $(H)$ ज्ञात करें:
मिट्टी का आयतन = चबूतरे का क्षेत्रफल $\times$ चबूतरे की ऊँचाई $(H)$.
$788.48 = 400.4 \times H$.
$H = 788.48 / 400.4 \approx 1.97 \, m$.

(A) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A_{cylinder} = 2 \pi r h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A_{cone} = \pi r l$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
यहाँ दिया गया है कि शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 2h$ है और बेलन के आधार की त्रिज्या $r$ समान है,इसलिए शंकु का क्षेत्रफल:
$A_{cone} = \pi \times r \times (2h) = 2 \pi r h$ होगा।
दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात लेने पर:
अनुपात $= A_{cylinder} : A_{cone} = 2 \pi r h : 2 \pi r h = 1 : 1$।

(B) शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h_1$ शंकु की ऊँचाई है।
बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h_2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h_2$ बेलन की ऊँचाई है।
चूँकि पदार्थ को एक आकार से दूसरे आकार में परिवर्तित किया जाता है,इसलिए उनका आयतन समान रहता है: $V_{cone} = V_{cylinder}$.
$\frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \pi r^2 h_2$.
चूँकि त्रिज्या समान है और बेलन की ऊँचाई $h_2 = 5\, cm$ दी गई है,दोनों पक्षों से $\pi r^2$ को काटने पर:
$\frac{1}{3} h_1 = 5$.
$h_1 = 5 \times 3 = 15\, cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $15\, cm$ है।

(A) घन का आयतन $V_{cube} = a^3 = 343 \, c.c.$ है।
अतः,घन की भुजा की लंबाई $a = \sqrt[3]{343} = 7 \, cm$ है।
चूंकि शंकु को घन के अंदर इस प्रकार फिट किया गया है कि उसका आधार घन के एक फलक के किनारों को छूता है,इसलिए शंकु के आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा,$d = 7 \, cm$। अतः,त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ है।
शंकु की ऊंचाई घन की भुजा के बराबर होगी,$h = 7 \, cm$।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 7$.
$V_{cone} = \frac{1}{3} \times 22 \times 12.25 = \frac{269.5}{3} \approx 89.83 \, c.c.$
निकटतम पूर्णांक में,आयतन लगभग $90 \, c.c.$ है।

(C) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 50 \ cm$ और $h = 25 \ cm$ दिया गया है,इसलिए आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (50)^2 (25) = \frac{62500 \pi}{3} \ cm^3$ है।
जब शंकु को पिघलाकर गोले में बदला जाता है,तो आयतन समान रहता है। मान लीजिए गोले की त्रिज्या $R$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{62500 \pi}{3}$।
$4 R^3 = 62500 \Rightarrow R^3 = 15625$।
घनमूल लेने पर,$R = \sqrt[3]{15625} = 25 \ cm$ प्राप्त होता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ है।
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (25)^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 625 = \frac{55000}{7} \approx 7857.14 \ cm^2$।

(A) माना त्रिज्या $r = 5x$ और ऊँचाई $h = 12x$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है $V = 314 \frac{3}{7} = \frac{2200}{7} \text{ m}^3$.
मान रखने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5x)^2 \times (12x) = \frac{2200}{7}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25x^2 \times 12x = \frac{2200}{7}$.
$\frac{22}{7} \times 100x^3 = \frac{2200}{7}$.
$100x^3 = 100$.
$x^3 = 1$,अतः $x = 1$.
इसलिए,त्रिज्या $r = 5x = 5 \times 1 = 5 \text{ m}$ है।

(A) माना आधार की त्रिज्या $r$ है। चूँकि उनकी ऊँचाई समान है,इसलिए शंकु और बेलन की ऊँचाई $h = r$ होगी।
$1$. शंकु का आयतन: $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r) = \frac{1}{3} \pi r^3$.
$2$. अर्धगोले का आयतन: $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$3$. बेलन का आयतन: $V_3 = \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3$.
अनुपात $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \pi r^3$.
$\frac{1}{3} \pi r^3$ से भाग देने पर,हमें $1 : 2 : 3$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(C) शंक्वाकार तंबू का व्यास $12 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{12}{2} = 6 \ m$ है।
तिर्यक ऊँचाई $l = 6.3 \ m$ है।
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r l$ है।
मान रखने पर: $A = \frac{22}{7} \times 6 \times 6.3 = 22 \times 6 \times 0.9 = 118.8 \ m^2$.
कैनवास आयताकार है जिसकी चौड़ाई $w = 2 \ m$ है। मान लीजिए लंबाई $L$ है।
चूँकि कैनवास का क्षेत्रफल तंबू के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए: $L \times w = A$.
$L \times 2 = 118.8$.
$L = \frac{118.8}{2} = 59.4 \ m$.

(C) माना कि बेलन की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
प्रारंभिक आयतन $V_{1}$ का सूत्र $V_{1} = \pi r^{2} h$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = 2r$ और नई ऊँचाई $h' = \frac{h}{2}$ है।
नया आयतन $V_{2} = \pi (r')^{2} h' = \pi (2r)^{2} \left(\frac{h}{2}\right)$ होगा।
$V_{2}$ के व्यंजक को सरल करने पर,हमें $V_{2} = \pi (4r^{2}) \left(\frac{h}{2}\right) = 2 \pi r^{2} h$ प्राप्त होता है।
नए आयतन और पिछले आयतन का अनुपात $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{2 \pi r^{2} h}{\pi r^{2} h} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) तंबू के आधार की त्रिज्या $r = 105/2 = 52.5\, m$ है।
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh = 2 \times (22/7) \times 52.5 \times 3 = 990\, m^2$ है।
शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl = (22/7) \times 52.5 \times 53 = 8745\, m^2$ है।
आवश्यक कैनवास का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इन दोनों क्षेत्रफलों का योग है: $990 + 8745 = 9735\, m^2$।
चूंकि कैनवास की चौड़ाई $5\, m$ दी गई है,इसलिए कैनवास की लंबाई: $\text{लंबाई} = \text{कुल क्षेत्रफल} / \text{चौड़ाई} = 9735 / 5 = 1947\, m$ होगी।

(A) माना शंकु की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और प्रारंभिक तिर्यक ऊँचाई $l$ है।
शंकु का प्रारंभिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = \pi rl$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = r + 0.20r = 1.2r$ है।
नई तिर्यक ऊँचाई $l' = 2l$ है।
शंकु का नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = \pi r' l' = \pi (1.2r)(2l) = 2.4 \pi rl$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $\Delta A = A_2 - A_1 = 2.4 \pi rl - \pi rl = 1.4 \pi rl$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta A}{A_1} \times 100 = \frac{1.4 \pi rl}{\pi rl} \times 100 = 140 \%$ है।
अतः,शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में $140 \%$ की वृद्धि होगी।

(C) शंकु के आधार की त्रिज्या $r = 5 \, m$ और ऊँचाई $h = 12 \, m$ है।
सबसे पहले,हम $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ सूत्र का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना करेंगे।
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
शंक्वाकार तंबू के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\pi r l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \pi \times 5 \times 13 = 65 \pi \, m^2$.
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $65 \pi \, m^2$ है।

(A) $1$. आयताकार ब्लॉक का आयतन ज्ञात करें: $V_{\text{block}} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 10 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^3$.
$2$. शंकु का आयतन ज्ञात करें: $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3 \text{ cm})^2 \times 7 \text{ cm} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 7 = 66 \text{ cm}^3$.
$3$. बर्बाद हुई लकड़ी का आयतन ज्ञात करें: $V_{\text{wasted}} = V_{\text{block}} - V_{\text{cone}} = 100 \text{ cm}^3 - 66 \text{ cm}^3 = 34 \text{ cm}^3$.
$4$. बर्बाद हुई लकड़ी का प्रतिशत ज्ञात करें: $\text{प्रतिशत} = \left( \frac{V_{\text{wasted}}}{V_{\text{block}}} \right) \times 100 = \left( \frac{34}{100} \right) \times 100 = 34 \%$.

(B) दिया गया है:
शंक्वाकार मकबरे का व्यास $(d)$ = $28\, m$.
त्रिज्या $(r)$ = $d / 2 = 28 / 2 = 14\, m$.
तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $50\, m$.
शंकु की वक्र सतह का क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र:
$CSA = \pi r l$
$CSA = (22 / 7) \times 14 \times 50$
$CSA = 22 \times 2 \times 50 = 2200\, m^2$.
सफेदी कराने की दर $80$ पैसे प्रति $m^2$ है,जो $Rs. 0.80$ प्रति $m^2$ के बराबर है।
कुल खर्च = $CSA \times \text{दर}$
कुल खर्च = $2200 \times 0.80 = Rs. 1760$.

(A) दिया गया है: आयताकार शीट का क्षेत्रफल $= 264 \text{ cm}^2$,चौड़ाई $= 11 \text{ cm}$।
शीट की लंबाई $= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} = \frac{264}{11} = 24 \text{ cm}$।
जब शीट को उसकी चौड़ाई के अनुदिश मोड़ा जाता है,तो शीट की चौड़ाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और शीट की लंबाई बेलन की ऊँचाई बन जाती है।
परिधि $= 2\pi r = 11 \text{ cm}$।
$r = \frac{11}{2\pi} = \frac{11 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{4} \text{ cm}$।
ऊँचाई $(h) = 24 \text{ cm}$।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 24$।
आयतन $= \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 24 = 22 \times \frac{7}{16} \times 24 = 231 \text{ cm}^3$।

(C) माना कि बेलन और शंकु की ऊँचाइयाँ क्रमशः $h_1 = 2x$ और $h_2 = 3x$ हैं।
माना कि बेलन और शंकु की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 3y$ और $r_2 = 4y$ हैं।
बेलन का आयतन $V_1 = \pi r_1^2 h_1$ होता है।
शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$ होता है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \frac{3 r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \times (3y)^2 \times (2x)}{(4y)^2 \times (3x)} = \frac{3 \times 9y^2 \times 2x}{16y^2 \times 3x} = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $9:8$ है।

(A) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
माना मूल आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
यदि ऊँचाई को दोगुना कर दिया जाए,तो नई ऊँचाई $h' = 2h$ होगी।
नया आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 2V_1$ होगा।
आयतन में वृद्धि $V_2 - V_1 = 2V_1 - V_1 = V_1$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\text{वृद्धि}}{\text{मूल आयतन}} \times 100 = \frac{V_1}{V_1} \times 100 = 100 \%$ होगी।

(B) भुजा वाले घन का आयतन $V = a^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
तीनों घनों का आयतन क्रमशः $3^3 = 27 \text{ cm}^3$,$4^3 = 64 \text{ cm}^3$ और $5^3 = 125 \text{ cm}^3$ है।
जब इन घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है,तो नए घन का कुल आयतन तीनों व्यक्तिगत घनों के आयतन के योग के बराबर होता है।
कुल आयतन $= 27 + 64 + 125 = 216 \text{ cm}^3$.
माना कि नए घन की भुजा $S$ है। अतः $S^3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$S = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.

(D) माना शंकु की मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊँचाई $h$ है।
शंकु का मूल आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
चूँकि त्रिज्या और ऊँचाई दोनों में $100 \%$ की वृद्धि की जाती है,इसलिए नई त्रिज्या $r' = r + 100 \% \text{ of } r = 2r$ और नई ऊँचाई $h' = h + 100 \% \text{ of } h = 2h$ होगी।
शंकु का नया आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi (r')^2 (h') = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (2h)$ होगा।
$V_2 = \frac{1}{3} \pi (4r^2) (2h) = 8 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 8 V_1$.
अतः,शंकु का आयतन मूल आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(C) माना गोले की मूल त्रिज्या $r$ है।
मूल आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $R = 2r$ होगी।
नया आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 8V_1$ होगा।
आयतन में वृद्धि $V_2 - V_1 = 8V_1 - V_1 = 7V_1$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\text{वृद्धि}}{\text{मूल आयतन}} \times 100 = \frac{7V_1}{V_1} \times 100 = 700 \%$ होगी।