Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(D) माना कि प्रत्येक घन की भुजा $x$ इकाई है।
एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6x^2$ होता है।
तीनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग $3 \times 6x^2 = 18x^2$ है।
जब $3$ घनों को एक साथ रखा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं जिसके आयाम हैं:
लंबाई $= 3x$,चौड़ाई $= x$,ऊँचाई $= x$।
नए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $2(lb + bh + lh)$ द्वारा दिया जाता है:
$= 2(3x \cdot x + x \cdot x + x \cdot 3x)$
$= 2(3x^2 + x^2 + 3x^2)$
$= 2(7x^2) = 14x^2$।
नए घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल और तीनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग का अनुपात है:
$= \frac{14x^2}{18x^2} = \frac{7}{9}$।

(B) घन के विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{3}$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = \sqrt{300} \text{ cm}$ है।
अतः,$a\sqrt{3} = \sqrt{300}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3a^2 = 300$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,$a^2 = 100$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 10 \text{ cm}$।
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,$6 \times (10)^2 = 6 \times 100 = 600 \text{ cm}^2$ प्राप्त होता है।

(B) लोहे के घन का आयतन $V = (\text{भुजा})^3 = 10\, cm \times 10\, cm \times 10\, cm = 1000\, cm^3$ है।
जब घन को पीटकर एक आयताकार शीट बनाई जाती है, तो आयतन स्थिर रहता है।
माना कि आयताकार शीट की भुजाएँ $x$ और $5x$ हैं (क्योंकि अनुपात $1:5$ है)।
शीट की मोटाई $0.5\, cm$ है।
आयताकार शीट का आयतन = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{मोटाई} = x \times 5x \times 0.5 = 2.5x^2$ होता है।
आयतन की तुलना करने पर: $2.5x^2 = 1000$.
$x^2 = \frac{1000}{2.5} = 400$.
$x = \sqrt{400} = 20\, cm$.
अतः, भुजाएँ $x = 20\, cm$ और $5x = 5 \times 20 = 100\, cm$ हैं।

(C) कमरे का आयतन इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 12\, m \times 8\, m \times 6\, m = 576\, m^3$.
आने वाले बॉक्स की संख्या कमरे के कुल आयतन को प्रत्येक बॉक्स द्वारा घेरे गए स्थान से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$\text{बॉक्स की संख्या} = \frac{576\, m^3}{1.5\, m^3} = 384$.
अतः,कमरे में $384$ बॉक्स आ सकते हैं।

(A) माना कमरे की चौड़ाई $b$ मीटर है।
दिया गया है कि लंबाई चौड़ाई की डेढ़ गुनी है,इसलिए लंबाई $l = b + 0.5b = 1.5b = \frac{3}{2}b$ है।
ऊंचाई $h = 3.3\, m = \frac{33}{10}\, m$ है।
कमरे का आयतन $V = l \times b \times h = 123 \frac{3}{4}\, m^3 = \frac{495}{4}\, m^3$ है।
मान रखने पर: $(\frac{3}{2}b) \times b \times \frac{33}{10} = \frac{495}{4}$.
$\frac{99}{20} b^2 = \frac{495}{4}$.
$b^2 = \frac{495}{4} \times \frac{20}{99}$.
$b^2 = 5 \times 5 = 25$.
$b = 5\, m$.
लंबाई $l = \frac{3}{2} \times 5 = 7.5\, m$.
अतः,लंबाई $7.5\, m$ और चौड़ाई $5\, m$ है।

(C) टंकी से खोदी गई मिट्टी का आयतन $= (3 \times 2 \times 1.5) \, m^3 = 9 \, m^3$ है।
खेत का कुल क्षेत्रफल $= (22 \times 14) \, m^2 = 308 \, m^2$ है।
टंकी का क्षेत्रफल $= (3 \times 2) \, m^2 = 6 \, m^2$ है।
वह क्षेत्रफल जिस पर मिट्टी फैलाई जाती है $= (308 - 6) \, m^2 = 302 \, m^2$ है।
मान लीजिए कि खेत के स्तर में वृद्धि $h$ मीटर है।
फैलाई गई मिट्टी का आयतन = क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई
$9 = 302 \times h$
$h = \frac{9}{302} \, m$ होगा।
इसे $cm$ में बदलने के लिए $100$ से गुणा करें:
$h = \frac{9}{302} \times 100 \, cm = \frac{900}{302} \, cm \approx 2.98 \, cm$.

(B) दिया गया है:
बच्चों की संख्या = $70$
प्रति बच्चा फर्श का क्षेत्रफल = $2.2\, m^2$
प्रति बच्चा आयतन (Volume) = $11\, m^3$
कमरे की लंबाई $(l)$ = $14\, m$
$1$. चौड़ाई $(b)$ की गणना:
कुल आवश्यक फर्श का क्षेत्रफल = $70 \times 2.2 = 154\, m^2$
चूंकि फर्श का क्षेत्रफल = $l \times b$ होता है:
$14 \times b = 154$
$b = \frac{154}{14} = 11\, m$
$2$. ऊंचाई $(h)$ की गणना:
कुल आवश्यक आयतन = $70 \times 11 = 770\, m^3$
चूंकि आयतन = $l \times b \times h$ होता है:
$14 \times 11 \times h = 770$
$154 \times h = 770$
$h = \frac{770}{154} = 5\, m$
अतः,चौड़ाई $11\, m$ और ऊंचाई $5\, m$ है।

(A) डाली गई रेत का आयतन $V = 210\, m^{3}$ है।
टंकी की लंबाई $l = 12\, m$ और चौड़ाई $w = 5\, m$ है।
जब रेत को टंकी में डाला जाता है,तो यह टंकी के आधार के क्षेत्रफल और जल स्तर में हुई वृद्धि $(h_{rise})$ के गुणनफल के बराबर आयतन घेरती है।
अतः,$V = l \times w \times h_{rise}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $210 = 12 \times 5 \times h_{rise}$.
$210 = 60 \times h_{rise}$.
$h_{rise} = \frac{210}{60} = \frac{21}{6} = 3.5\, m$.
इस प्रकार,जल स्तर $3.5\, m$ ऊपर उठ जाएगा।

(D) मान लीजिए कि लंबाई,चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः $6x, 5x$ और $4x$ मीटर हैं।
आयताकार समानांतर षट्फलक के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + lh) = 33,300$ है।
मान रखने पर: $2(6x \cdot 5x + 5x \cdot 4x + 4x \cdot 6x) = 33,300$.
$2(30x^{2} + 20x^{2} + 24x^{2}) = 33,300$.
$2(74x^{2}) = 33,300$.
$148x^{2} = 33,300$.
$x^{2} = \frac{33,300}{148} = 225$.
$x = \sqrt{225} = 15$.
अतः,आयाम इस प्रकार हैं:
लंबाई $= 6 \times 15 = 90\, m$.
चौड़ाई $= 5 \times 15 = 75\, m$.
ऊंचाई $= 4 \times 15 = 60\, m$.

(C) धातु का आयतन $1 \, m^3$ है और इसका वजन $90 \, Kg$ है।
धातु को $L = 9 \, m$ लंबाई के वर्गाकार बार में रोल किया जाता है।
मान लीजिए कि वर्गाकार अनुप्रस्थ काट (cross-section) की भुजा $s$ है। बार का आयतन $s^2 \times L = 1 \, m^3$ द्वारा दिया जाता है।
$s^2 \times 9 = 1 \implies s^2 = \frac{1}{9} \implies s = \frac{1}{3} \, m$.
इस बार से एक घन काटा जाता है,जिसका अर्थ है कि घन की भुजा वर्गाकार अनुप्रस्थ काट की भुजा के बराबर है,यानी $s = \frac{1}{3} \, m$.
इस घन का आयतन $V_{cube} = s^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27} \, m^3$ है।
चूंकि धातु का घनत्व समान है,इसलिए घन का वजन उसके आयतन के समानुपाती होता है: $\text{वजन} = \text{आयतन} \times \text{घनत्व}$.
घन का वजन $= \frac{1}{27} \times 90 \, Kg = \frac{90}{27} \, Kg = \frac{10}{3} \, Kg = 3 \frac{1}{3} \, Kg$.

(B) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6e^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $6e^{2} = 24\, cm^{2}$,जिससे $e^{2} = 4\, cm^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = 2\, cm$।
बड़े घन की भुजा $1\, m = 100\, cm$ है।
बड़े घन का आयतन $(100\, cm)^{3} = 1000000\, cm^{3}$ है।
प्रत्येक छोटे घन का आयतन $(2\, cm)^{3} = 8\, cm^{3}$ है।
ऐसे घनों की कुल संख्या $\frac{1000000}{8} = 125000$ होगी।

(D) माना कि तीनों घनों की भुजाएँ $a_1 = 6 \, cm$,$a_2 = 8 \, cm$ और $a_3 = 10 \, cm$ हैं।
घन का आयतन $V = a^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
तीनों घनों का कुल आयतन $V_{total} = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3$ होगा।
$V_{total} = 6^3 + 8^3 + 10^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728 \, cm^3$.
माना कि नए घन की भुजा $A$ है। चूँकि आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $A^3 = 1728$.
$A = \sqrt[3]{1728} = 12 \, cm$.
अतः,नए घन की भुजा $12 \, cm$ है।

(C) घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
$6 \ cm$ किनारे वाले मूल घन का आयतन $V_1 = (6 \ cm)^3 = 216 \ cm^3$ है।
$2 \ cm$ किनारे वाले प्रत्येक छोटे घन का आयतन $V_2 = (2 \ cm)^3 = 8 \ cm^3$ है।
बनने वाले छोटे घनों की संख्या कुल आयतन और एक छोटे घन के आयतन का अनुपात है:
$\text{घनों की संख्या} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{216}{8} = 27$.
वैकल्पिक रूप से,किनारों के अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\text{घनों की संख्या} = \left(\frac{\text{मूल किनारा}}{\text{नया किनारा}}\right)^3 = \left(\frac{6}{2}\right)^3 = 3^3 = 27$.

(C) घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
$20\, cm$ भुजा वाले बड़े घनाकार ब्लॉक का आयतन $= (20\, cm)^3 = 8000\, cm^3$ है।
$5\, cm$ भुजा वाले एक छोटे घनाकार ब्लॉक का आयतन $= (5\, cm)^3 = 125\, cm^3$ है।
काटे जा सकने वाले छोटे घनों की संख्या आयतनों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
घनों की संख्या $= \frac{\text{बड़े घन का आयतन}}{\text{छोटे घन का आयतन}} = \frac{8000}{125} = 64$.

(C) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $6 \times (\text{भुजा})^{2}$ है।
दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल $600\, cm^{2}$ है,इसलिए:
$6 \times (\text{भुजा})^{2} = 600$
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$(\text{भुजा})^{2} = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\text{भुजा} = \sqrt{100} = 10\, cm$।
घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $\sqrt{3} \times \text{भुजा}$ है।
भुजा का मान रखने पर:
$\text{विकर्ण} = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3}\, cm$।

(A) $8\,\text{घंटे}$ में टंकी में एकत्रित पानी का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V = 30\,m \times 20\,m \times 1\,m = 600\,m^3$.
अतः,$1\,\text{घंटे}$ में एकत्रित पानी का आयतन $\frac{600}{8} = 75\,m^3$ है।
वर्गाकार पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 5\,cm \times 5\,cm = 25\,cm^2$ है।
क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलने पर: $A = \frac{25}{10000}\,m^2 = 0.0025\,m^2$.
$1\,\text{घंटे}$ में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और पानी की गति $(v)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $V = A \times v$.
$75\,m^3 = 0.0025\,m^2 \times v$.
$v = \frac{75}{0.0025}\,m/h = 30000\,m/h$.
चूंकि $1\,km = 1000\,m$,इसलिए गति $v = \frac{30000}{1000}\,km/h = 30\,km/h$ है।

(NONE) दीवार का कुल आयतन $= 19 \, m \times 4 \, m \times 5 \, m = 380 \, m^3$.
मसाले (मोर्टार) का आयतन $= 380 \, m^3$ का $10 \% = 0.10 \times 380 = 38 \, m^3$.
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 380 \, m^3 - 38 \, m^3 = 342 \, m^3$.
एक ईंट का आयतन $= 25 \, cm \times 15 \, cm \times 8 \, cm = 3000 \, cm^3$.
ईंट के आयतन को $m^3$ में बदलने पर: $3000 \div (100 \times 100 \times 100) = 0.003 \, m^3$.
आवश्यक ईंटों की संख्या $= \frac{342}{0.003} = 114000$.

(A) माना कि तीनों घनों की भुजाएँ क्रमशः $3k, 4k,$ और $5k$ मीटर हैं।
घन का आयतन $(\text{भुजा})^3$ द्वारा दिया जाता है। अतः,तीनों घनों के आयतन $(3k)^3 = 27k^3$,$(4k)^3 = 64k^3$,और $(5k)^3 = 125k^3$ हैं।
इन तीनों को पिघलाकर बनाए गए एकल घन का कुल आयतन उनके व्यक्तिगत आयतनों का योग होगा:
$V = 27k^3 + 64k^3 + 125k^3 = 216k^3$.
यदि नए घन की भुजा $a$ है,तो $a^3 = 216k^3$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt[3]{216k^3} = 6k$.
$a$ भुजा वाले घन का विकर्ण $a\sqrt{3}$ होता है।
दिया गया है कि नए घन का विकर्ण $48\sqrt{3} \text{ m}$ है,इसलिए:
$a\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \implies a = 48 \text{ m}$.
चूंकि $a = 6k$,इसलिए $6k = 48$,जिससे $k = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,तीनों घनों की भुजाओं की लंबाई:
$3k = 3 \times 8 = 24 \text{ m}$
$4k = 4 \times 8 = 32 \text{ m}$
$5k = 5 \times 8 = 40 \text{ m}$.

(C) मूल सीसे के घन की भुजा $6\, cm$ है।
मूल घन का आयतन $V = (\text{भुजा})^3 = 6^3 = 216\, cm^3$ है।
माना कि प्रत्येक $27$ नए छोटे घनों की भुजा $x\, cm$ है।
$27$ नए घनों का कुल आयतन मूल घन के आयतन के बराबर होना चाहिए।
$27 \times x^3 = 216$.
दोनों पक्षों को $27$ से विभाजित करने पर, हमें $x^3 = \frac{216}{27} = 8$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $x = \sqrt[3]{8} = 2\, cm$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 729 \, cm^3$ दिया गया है,इसलिए $a^3 = 729$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$a = \sqrt[3]{729} = 9 \, cm$ प्राप्त होता है।
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $TSA = 6a^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ का मान रखने पर,$TSA = 6 \times (9)^2 = 6 \times 81 = 486 \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दो घनों की भुजाओं की लंबाई क्रमशः $a_1$ और $a_2$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{1}{27}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
घन के एक फलक का क्षेत्रफल $a^2$ होता है।
अतः,एक घन के फलक के क्षेत्रफल का दूसरे घन के फलक के क्षेत्रफल से अनुपात $\frac{a_1^2}{a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ होगा।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $1:9$ है।

(B) जब $a = 12\, cm$ भुजा वाले दो घनों को एक-दूसरे से जोड़ा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं।
परिणामी घनाभ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $12 + 12 = 24\, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $12\, cm$
ऊंचाई $(h)$ = $12\, cm$
घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: $2(lb + bh + lh)$।
मान रखने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(24 \times 12 + 12 \times 12 + 24 \times 12)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(288 + 144 + 288)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(720)$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1440\, cm^2$।

(D) एक घन के सभी फलक वर्गाकार होते हैं। मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
एक फलक का परिमाप $4a = 20\, cm$ दिया गया है।
$a$ का मान ज्ञात करने पर,$a = 20 / 4 = 5\, cm$ प्राप्त होता है।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $V = 5^3 = 125\, cm^3$ प्राप्त होता है।

(A) घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
पहले घन के लिए,$a_1 = 3\, cm$,इसलिए $V_1 = 3^3 = 27\, cm^3$.
दूसरे घन के लिए,$a_2 = 12\, cm$,इसलिए $V_2 = 12^3 = 1728\, cm^3$.
आयतन का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1728}{27} = 64$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए वजन आयतन के सीधे आनुपातिक होता है।
दूसरे घन का वजन = $64 \times \text{पहले घन का वजन}$.
वजन = $64 \times 12\, gm = 768\, gm$.

(B) कोर लंबाई वाले घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए वजन $W$ आयतन $V$ के सीधे आनुपातिक है,अतः $W \propto a^3$ है।
पहले घन के लिए,$a_1 = 1 \, cm$ और $W_1 = 17 \, gm$ है।
दूसरे घन के लिए,$a_2 = 3 \, cm$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{a_2}{a_1} \right)^3$।
$\frac{W_2}{17} = \left( \frac{3}{1} \right)^3 = 27$।
$W_2 = 27 \times 17 = 459 \, gm$।

(A) माना $16\, m$ लंबी वर्गाकार छड़ के आधार की भुजा $x$ है।
चूंकि चांदी का आयतन $1\, m^3$ है,इसलिए $16 \times x^2 = 1\, m^3$ होगा।
अतः,$x^2 = \frac{1}{16}$,जिससे $x = \frac{1}{4}\, m$ प्राप्त होता है।
इस छड़ से काटे गए सटीक घन की भुजा की लंबाई $x = \frac{1}{4}\, m$ होगी।
इस घन का आयतन $V = x^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\, m^3$ होगा।
यह दिया गया है कि $1\, m^3$ चांदी का वजन $900\, Kg$ है,इसलिए घन का वजन $\frac{900}{64}\, Kg$ होगा।
गणना करने पर: $\frac{900}{64} = 14.0625\, Kg$.
$14.0625\, Kg = 14\, Kg + 0.0625 \times 1000\, g = 14\, Kg\, 62.5\, g$ या $14\, Kg\, 62\frac{1}{2}\, g$।

(A) बड़े घन का आयतन $V_L = 4^3 = 64\, cm^3$ है।
एक छोटे घन का आयतन $V_s = 1^3 = 1\, cm^3$ है।
प्राप्त छोटे घनों की संख्या $n = \frac{64}{1} = 64$ है।
बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_L = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96\, cm^2$ है।
एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_s = 6 \times (1)^2 = 6\, cm^2$ है।
$64$ छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 64 \times 6 = 384\, cm^2$ है।
छोटे घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और बड़े घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{384}{96} = 4:1$ है।

(D) तीन छोटे घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग $6 \times (3^2 + 4^2 + 5^2) = 6 \times (9 + 16 + 25) = 6 \times 50 = 300 \, cm^2$ है।
इन्हें पिघलाकर बनाए गए बड़े घन का आयतन उनके आयतनों के योग के बराबर होता है: $V = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216 \, cm^3$।
माना बड़े घन की भुजा $a$ है। अतः $a^3 = 216$,जिसका अर्थ है $a = 6 \, cm$।
बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 \times a^2 = 6 \times 6^2 = 6 \times 36 = 216 \, cm^2$ है।
छोटे घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और बड़े घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $300 : 216$ है।
दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक $12$ से विभाजित करने पर,हमें $300/12 : 216/12 = 25 : 18$ प्राप्त होता है।

(A) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
छोटे घन के लिए: $6a_{s}^{2} = 96 \implies a_{s}^{2} = 16 \implies a_{s} = 4\,cm$.
छोटे घन का आयतन $V_{s} = a_{s}^{3} = 4^{3} = 64\,cm^{3}$ है।
बड़े घन के लिए: $6a_{L}^{2} = 384 \implies a_{L}^{2} = 64 \implies a_{L} = 8\,cm$.
बड़े घन का आयतन $V_{L} = a_{L}^{3} = 8^{3} = 512\,cm^{3}$ है।
बनाए जा सकने वाले छोटे घनों की संख्या $\frac{V_{L}}{V_{s}} = \frac{512}{64} = 8$ है।

(B) घनाकार टंकी का आयतन $V = \text{भुजा}^3 = 30 \times 30 \times 30 = 27000 \, cm^3$ है。
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{litre}$, टंकी की कुल क्षमता $27000 / 1000 = 27 \, \text{litres}$ है。
जब $2.7 \, \text{litres}$ पानी निकाल लिया जाता है, तो शेष पानी का आयतन $27 - 2.7 = 24.3 \, \text{litres}$ होता है。
इसे $cm^3$ में बदलने पर, हमें $24.3 \times 1000 = 24300 \, cm^3$ प्राप्त होता है。
टंकी के आधार का क्षेत्रफल $30 \times 30 = 900 \, cm^2$ है。
माना शेष पानी की गहराई $h$ है। अतः, $\text{आधार का क्षेत्रफल} \times h = \text{शेष आयतन}$.
$900 \times h = 24300$.
$h = 24300 / 900 = 27 \, cm$.

(A) दिया गया है: लंबाई $(h)$ = $28\, cm$,मोटाई = $0.5\, cm$,आंतरिक व्यास $(d_i)$ = $8\, cm$.
आंतरिक त्रिज्या $(r)$ = $\frac{8}{2} = 4\, cm$.
बाह्य त्रिज्या $(R)$ = आंतरिक त्रिज्या + मोटाई = $4 + 0.5 = 4.5\, cm$.
सीसे का आयतन = बाह्य आयतन - आंतरिक आयतन = $\pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times 28 \times (4.5^2 - 4^2) = 22 \times 4 \times (20.25 - 16) = 88 \times 4.25 = 374\, cm^3$.
सीसे का वजन = आयतन $\times$ घनत्व = $374 \times 11.4 = 4263.6\, g = 4.2636\, kg$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,यदि आंतरिक त्रिज्या $3.5\, cm$ ली जाए तो उत्तर $3.762\, kg$ प्राप्त होता है।

(C) बेलन के आयतन का सूत्र है: $V = A \times h$,जहाँ $A$ आधार का क्षेत्रफल है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है,आयतन $V = 1650\, m^3$ और आधार का क्षेत्रफल $A = 78 \frac{4}{7}\, m^2$.
सबसे पहले,मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें: $78 \frac{4}{7} = \frac{78 \times 7 + 4}{7} = \frac{546 + 4}{7} = \frac{550}{7}\, m^2$.
अब,सूत्र $h = \frac{V}{A}$ का उपयोग करें:
$h = \frac{1650}{550 / 7} = 1650 \times \frac{7}{550}$.
$h = 3 \times 7 = 21\, m$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $21\, m$ है।

(B) माना बाहरी त्रिज्या $R \, cm$ है और आंतरिक त्रिज्या $r = 8 \, cm$ है। पाइप की लंबाई (ऊंचाई) $h = 28 \, cm$ है।
पाइप को ढालने के लिए उपयोग की गई धातु का आयतन खोखले बेलन के आयतन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \pi h (R^2 - r^2)$
यहाँ $V = 1496 \, cm^3$,$h = 28 \, cm$,और $r = 8 \, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$1496 = \frac{22}{7} \times 28 \times (R^2 - 8^2)$
$1496 = 22 \times 4 \times (R^2 - 64)$
$1496 = 88 \times (R^2 - 64)$
$R^2 - 64 = \frac{1496}{88}$
$R^2 - 64 = 17$
$R^2 = 17 + 64 = 81$
$R = \sqrt{81} = 9 \, cm$.
अतः,पाइप की बाहरी त्रिज्या $9 \, cm$ है।

(C) यह ठोस एक अर्ध-बेलनाकार प्रिज्म है जिसकी ऊँचाई $h = 10\, cm$ और आधार की त्रिज्या $r = 7\, cm$ है।
अर्ध-बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r h = \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 220\, cm^2$ होता है।
आधार में दो अर्धवृत्ताकार फलक (ऊपर और नीचे) और एक आयताकार फलक (अर्ध-बेलन का सपाट हिस्सा) शामिल हैं।
दो अर्धवृत्ताकार फलकों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\, cm^2$ होता है।
आयताकार फलक का क्षेत्रफल $= (2r) \times h = (2 \times 7) \times 10 = 140\, cm^2$ होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (दो अर्धवृत्ताकार फलकों का क्षेत्रफल) + (आयताकार फलक का क्षेत्रफल)
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 220 + 154 + 140 = 514\, cm^2$ होता है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है और बेलन की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि बेलन की ऊँचाई $h = 4 \frac{1}{2} r = \frac{9}{2} r$ है।
चूँकि गोले को पिघलाकर बेलन बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे।
गोले का आयतन = $\frac{4}{3} \pi R^3$.
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h = \pi r^2 (\frac{9}{2} r) = \frac{9}{2} \pi r^3$.
आयतन को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{9}{2} \pi r^3$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{4}{3} R^3 = \frac{9}{2} r^3$.
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{R^3}{r^3} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R}{r} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.
अतः,गोले की त्रिज्या और बेलन की त्रिज्या का अनुपात $3:2$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है और बेलन की त्रिज्या भी $r$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
दिया गया है कि गोले का आयतन बेलन के आयतन के बराबर है।
गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
बेलन का आयतन $V_c = \pi r^2 h$ होता है।
दोनों आयतनों को बराबर रखने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$.
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $h = \frac{4}{3} r$.
अतः,बेलन की ऊँचाई उसकी त्रिज्या की $4/3$ गुनी है।

(C) खोदी गई मिट्टी का आयतन बेलनाकार कुएँ के आयतन के बराबर होता है।
कुएँ की त्रिज्या $r = \frac{3.5}{2} = 1.75\,m$.
कुएँ की गहराई $h = 12\,m$.
मिट्टी का आयतन = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 12 = 115.5\,m^3$.
मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई $H$ है।
चबूतरे का आयतन खोदी गई मिट्टी के आयतन के बराबर होगा।
चबूतरे का आयतन = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 10.5 \times 8.8 \times H = 92.4 \times H$.
आयतन की तुलना करने पर: $92.4 \times H = 115.5$.
$H = \frac{115.5}{92.4} = 1.25\,m$.

(A) माना बेलनाकार कुएं की त्रिज्या $r$ और गहराई $h$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h = 264 \, m^2$ है $... (1)$
आयतन $\pi r^2 h = 924 \, m^3$ है $... (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\pi r^2 h}{2 \pi r h} = \frac{924}{264}$
$\frac{r}{2} = 3.5$
$r = 7 \, m$
अतः,व्यास $d = 2r = 14 \, m$ होगा।
समीकरण $(1)$ में $r = 7$ रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 264$
$44 \times h = 264$
$h = \frac{264}{44} = 6 \, m$.
इस प्रकार,कुएं का व्यास $14 \, m$ और गहराई $6 \, m$ है।

(A) दिया गया है: $r + h = 37 \, m$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r(r + h) = 1628 \, m^2$।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $(r + h)$ का मान रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 37 = 1628$
$r = \frac{1628 \times 7}{44 \times 37} = \frac{1628}{1628} \times 7 = 7 \, m$।
अब,ऊँचाई $h$ ज्ञात करें:
$h = 37 - r = 37 - 7 = 30 \, m$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 30 = 22 \times 7 \times 30 = 4620 \, m^3$।

(A) चरण $1$: दीवार का आयतन घन मीटर $(m^3)$ में ज्ञात कीजिए।
दीवार का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{ऊँचाई} \times \text{मोटाई} = 25 \, m \times 2 \, m \times 0.75 \, m = 37.5 \, m^3$.
चरण $2$: एक ईंट का आयतन घन मीटर $(m^3)$ में ज्ञात कीजिए।
ईंट के आयाम $20 \, cm = 0.2 \, m$,$10 \, cm = 0.1 \, m$,और $7.5 \, cm = 0.075 \, m$ हैं।
एक ईंट का आयतन $= 0.2 \, m \times 0.1 \, m \times 0.075 \, m = 0.0015 \, m^3$.
चरण $3$: आवश्यक ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए।
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{37.5}{0.0015} = 25000$.

(A) माना आधार की त्रिज्या $r$ है और ऊँचाई $h = 6 \, m$ है।
एक वृत्तीय फलक का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है। दो वृत्तीय फलकों के क्षेत्रफलों का योग $2 \pi r^2$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h$ है।
प्रश्न के अनुसार,$3 \times (2 \pi r^2) = 2 \times (2 \pi r h)$.
$h = 6$ रखने पर,हमें $6 \pi r^2 = 4 \pi r (6)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2 \pi r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए),$3r = 2(6)$ प्राप्त होता है।
$3r = 12$.
$r = 4 \, m$.

(B) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊंचाई $h$ है। मूल आयतन $V_1 = \pi r^2 h$ है।
यदि नई त्रिज्या $r' = 2r$ है,तो मान लीजिए कि नई ऊंचाई $h'$ है।
आयतन समान रहने के लिए $V_2 = V_1$,इसलिए $\pi (r')^2 h' = \pi r^2 h$ होगा।
$r' = 2r$ रखने पर: $\pi (2r)^2 h' = \pi r^2 h$।
$\pi (4r^2) h' = \pi r^2 h$।
$4 h' = h$।
इसलिए,$h' = \frac{1}{4} h$।
ऊंचाई को मूल ऊंचाई का $\frac{1}{4}$ भाग कर देना चाहिए।

(D) माना कि बेलन और शंकु दोनों की त्रिज्या $r$ है।
माना कि बेलन की ऊँचाई $h$ है और शंकु की ऊँचाई $H$ है।
बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ द्वारा दिया जाता है।
लंब वृत्तीय शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} H$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों के आयतन समान हैं,इसलिए:
$\pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi r^{2} H$
दोनों पक्षों को $\pi r^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{1}{3} H$
अतः,बेलन की ऊँचाई और शंकु की ऊँचाई का अनुपात:
$\frac{h}{H} = \frac{1}{3} = 1:3$ है।

(B) बेलनाकार डिब्बे का आयतन $V_{cyl} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 21\, cm$ और व्यास $d = 10\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 5\, cm$ है।
$V_{cyl} = \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 21 = 22 \times 25 \times 3 = 1650\, cm^3$.
वर्गाकार आधार वाले डिब्बे का आयतन $V_{sq} = (\text{भुजा})^2 \times h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ भुजा $= 10\, cm$ और $h = 21\, cm$ है।
$V_{sq} = (10)^2 \times 21 = 100 \times 21 = 2100\, cm^3$.
उनकी क्षमताओं के बीच का अंतर $V_{sq} - V_{cyl} = 2100 - 1650 = 450\, cm^3$ है।

(D) दिया गया है: रोलर की लंबाई $(h)$ = $120 \, cm = 1.2 \, m$.
रोलर का व्यास = $84 \, cm$,अतः त्रिज्या $(r)$ = $42 \, cm = 0.42 \, m$.
एक चक्कर में समतल किया गया क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है:
$CSA = 2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2 \, m^2$.
$CSA = 2 \times 22 \times 0.06 \times 1.2 = 3.168 \, m^2$.
$500$ चक्करों में समतल किया गया कुल क्षेत्रफल = $500 \times 3.168 = 1584 \, m^2$.
समतल करने का खर्च = $1584 \times 30 \, \text{paise} = 47520 \, \text{paise}$.
रुपये में बदलने पर: $47520 / 100 = Rs. 475.20$.

(B) माना कि छिन्नक के दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
दी गई परिधियाँ $C_1 = 2\pi r_1 = 48\, cm$ और $C_2 = 2\pi r_2 = 34\, cm$ हैं।
अतः,$r_1 = \frac{48}{2\pi}$ और $r_2 = \frac{34}{2\pi}$ है।
छिन्नक की ऊँचाई $h = 10\, cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3}\pi (10) \left[ \left(\frac{48}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{34}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{48}{2\pi}\right) \left(\frac{34}{2\pi}\right) \right]$
$V = \frac{10\pi}{3} \left[ \frac{2304}{4\pi^2} + \frac{1156}{4\pi^2} + \frac{1632}{4\pi^2} \right]$
$V = \frac{10\pi}{3} \times \frac{1}{4\pi^2} (2304 + 1156 + 1632)$
$V = \frac{10}{12\pi} (5092) \approx 1351.2\, cm^3$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1350$ है।

(D) दिया गया है कि वृत्ताकार आधार की परिधि $2\pi r = 8.8\, m$ है।
बेलनाकार खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh = 17.6\, m^2$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को परिधि से विभाजित करने पर: $\frac{2\pi rh}{2\pi r} = \frac{17.6}{8.8} = 2$. अतः,ऊँचाई $h = 2\, m$ है।
$2\pi r = 8.8$ का उपयोग करने पर,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 8.8$,जिससे $r = \frac{8.8 \times 7}{44} = 0.2 \times 7 = 1.4\, m$ प्राप्त होता है।
आवश्यक कंक्रीट की मात्रा बेलन के आयतन के बराबर होती है,$V = \pi r^2 h$.
$V = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 2 = \frac{22}{7} \times 1.96 \times 2 = 22 \times 0.28 \times 2 = 12.32\, m^3$.
$12.32$ को भिन्न में बदलने पर: $12.32 = 12 + \frac{32}{100} = 12 + \frac{8}{25} = 12 \frac{8}{25}\, m^3$.

(C) मान लीजिए कि घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और गहराई क्रमशः $l$,$b$ और $h$ हैं।
दिया गया है कि विमाओं का योग $l + b + h = s$ है।
घनाभ का विकर्ण $\sqrt{l^{2} + b^{2} + h^{2}} = d$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $l^{2} + b^{2} + h^{2} = d^{2}$।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(l + b + h)^{2} = l^{2} + b^{2} + h^{2} + 2(lb + bh + hl)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $s^{2} = d^{2} + 2(lb + bh + hl)$।
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ होता है।
इसलिए,$2(lb + bh + hl) = s^{2} - d^{2}$।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल $s^{2} - d^{2}$ है।

(D) बेलन का व्यास $d = 5 \, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 2.5 \, m$ है।
बेलन की ऊँचाई $h = 14 \, m$ है।
बेलन की वक्र सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 2 \pi r h$ है।
मान रखने पर: $A = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 14$.
$A = 2 \times 22 \times 2.5 \times 2 = 220 \, m^{2}$.
सफेदी कराने का खर्च $50$ पैसे प्रति $m^{2}$ है,जो $₹ 0.50$ प्रति $m^{2}$ के बराबर है।
कुल खर्च $= 220 \times 0.50 = ₹ 110$.

(B) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि लोहे के टुकड़े को पिघलाकर गोला बनाने पर आयतन समान रहता है,इसलिए गोले का आयतन = घनाभ का आयतन।
घनाभ का आयतन = $49 \times 33 \times 24 \text{ cm}^3$.
गोले का आयतन = $\frac{4}{3} \pi r^3$.
दोनों आयतनों को बराबर रखने पर:
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 49 \times 33 \times 24$.
$r^3 = \frac{49 \times 33 \times 24 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$.
$r^3 = 7^3 \times 3^3$.
$r = 7 \times 3 = 21 \text{ cm}$.