Measurement of Volume and Surface Area Questions in Hindi

(A) $5$ व्यक्तियों के लिए आवश्यक कुल फर्श का क्षेत्रफल $= 16 \times 5 = 80\, m^2$.
$5$ व्यक्तियों के लिए आवश्यक हवा का कुल आयतन $= 100 \times 5 = 500\, m^3$.
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ है,जहाँ $A$ आधार का क्षेत्रफल है और $h$ ऊँचाई है।
सबसे छोटे तंबू के लिए,हम आधार का क्षेत्रफल $A = 80\, m^2$ और आयतन $V = 500\, m^3$ लेते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $500 = \frac{1}{3} \times 80 \times h$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{500 \times 3}{80} = \frac{1500}{80} = \frac{150}{8} = 18.75\, m$.

(B) माना बड़े शंकु की ऊँचाई $H = 30 \, cm$ है और छोटे शंकु की ऊँचाई $h$ है।
माना बड़े शंकु का आयतन $V$ है और छोटे शंकु का आयतन $v$ है।
चूँकि छोटा शंकु आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा गया है,इसलिए छोटा शंकु और बड़ा शंकु समरूप हैं।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात उनकी ऊँचाइयों के अनुपात के घन के बराबर होता है:
$\frac{v}{V} = \left( \frac{h}{H} \right)^3$
दिया गया है कि $\frac{v}{V} = \frac{1}{27}$,इसलिए:
$\frac{1}{27} = \left( \frac{h}{30} \right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{h}{30}$
$h = \frac{30}{3} = 10 \, cm$
यह खंड आधार से कितनी ऊँचाई पर बनाया गया है,यह बड़े शंकु की ऊँचाई और छोटे शंकु की ऊँचाई के बीच का अंतर है:
आधार से ऊँचाई $= H - h = 30 - 10 = 20 \, cm$.

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $A = 4 \pi r^{2}$ है।
यहाँ $A = 346.5 \, cm^{2}$ और $\pi = \frac{22}{7}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 346.5$
$\Rightarrow r^{2} = \frac{346.5 \times 7}{4 \times 22}$
$\Rightarrow r^{2} = \frac{2425.5}{88}$
$\Rightarrow r^{2} = 27.5625$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{27.5625} = 5.25 \, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $5.25 \, cm$ है।

(A) पिरामिड का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \frac{1}{3} \times A \times h$,जहाँ $V$ आयतन है,$A$ आधार का क्षेत्रफल है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $V = 500\, m^{3}$ और $A = 30\, m^{2}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$500 = \frac{1}{3} \times 30 \times h$
$500 = 10 \times h$
$h = \frac{500}{10} = 50\, m$।
अतः,पिरामिड की ऊँचाई $50\, m$ है।

(A) आधार एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $a = 5 \, cm$ और $b = 12 \, cm$ हैं।
कर्ण $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
आधार का परिमाप $P = 5 + 12 + 13 = 30 \, cm$.
प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= P \times \text{ऊँचाई} = 30 \times 10 = 300 \, cm^2$.
त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल $A_{base} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, cm^2$.
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times A_{base} = 300 + 2(30) = 300 + 60 = 360 \, cm^2$.

(A) माना समबाहु त्रिभुजाकार आधार की भुजा $a$ है और प्रिज्म की ऊँचाई $h$ है।
प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \times a \times h = 120 \, cm^2$.
$\therefore a \times h = \frac{120}{3} = 40 \, cm^2 \dots (1)$
प्रिज्म का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h = 40 \sqrt{3} \, cm^3$.
$\Rightarrow a^2 \times h = \frac{40 \sqrt{3} \times 4}{\sqrt{3}} = 160 \, cm^3 \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2 \times h}{a \times h} = \frac{160}{40}$
$a = 4 \, cm$.
अतः,आधार की भुजा $4 \, cm$ है।

(D) सीसे की गेंद का व्यास $4\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 2\, cm$ है।
सीसे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi (8) = \frac{32}{3} \pi\, cm^3$.
मान लीजिए सोने की परत की मोटाई $x\, cm$ है।
गेंद की कुल त्रिज्या (सीसा + सोना) $(2 + x)\, cm$ हो जाती है।
सोने की परत का आयतन कुल आयतन और सीसे की गेंद के आयतन के बीच का अंतर है:
सोने का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (2 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (2)^3$.
प्रश्न के अनुसार,सोने का आयतन सीसे के आयतन के बराबर है:
$\frac{4}{3} \pi ((2 + x)^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (2^3)$.
$(2 + x)^3 - 8 = 8$.
$(2 + x)^3 = 16$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$2 + x = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2 \times \sqrt[3]{2}$.
दिया गया है $\sqrt[3]{2} = 1.259$,इसलिए:
$2 + x = 2 \times 1.259 = 2.518$.
$x = 2.518 - 2 = 0.518\, cm$.

(D) माना बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है।
बड़े गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R$ त्रिज्या और $R$ ऊँचाई वाले शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^3$.
माना एक शंकु को पिघलाकर बने छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है।
छोटे गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi R^3$.
$4r^3 = R^3 \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{4} \Rightarrow r = \frac{R}{4^{1/3}} = \frac{R}{2^{2/3}}$.
छोटे गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और बड़े गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = \frac{r^2}{R^2}$ है।
$r$ का मान रखने पर: $\frac{(R / 2^{2/3})^2}{R^2} = \frac{R^2 / 2^{4/3}}{R^2} = \frac{1}{2^{4/3}}$.
अतः,अनुपात $1 : 2^{4/3}$ है।

(A) आइसक्रीम का कुल आयतन अर्धगोले के आयतन और शंकु के आयतन का योग है।
दिया गया है,अर्धगोले की त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है।
चूँकि अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या शंकु की ऊँचाई के बराबर है,इसलिए शंकु की ऊँचाई $h = 7 \, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} \, cm^3$।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 49 = \frac{1078}{3} \, cm^3$।
कुल आयतन $= \frac{2156}{3} + \frac{1078}{3} = \frac{3234}{3} = 1078 \, cm^3$।

(C) माना घन की मूल भुजा $s$ है। मूल आयतन $V_1 = s^3$ है।
यदि भुजा में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई भुजा $s' = s + 0.1s = 1.1s$ होगी।
नया आयतन $V_2 = (1.1s)^3 = 1.331s^3$ होगा।
आयतन में वृद्धि $V_2 - V_1 = 1.331s^3 - s^3 = 0.331s^3$ है।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{0.331s^3}{s^3} \times 100 \% = 33.1 \%$ है।

(D) आयताकार भूखंड $LMNO$ का क्षेत्रफल $= 36 \times 28 = 1008 \, m^{2}$ है।
सड़कों का क्षेत्रफल = लंबाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल + चौड़ाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल - सामान्य प्रतिच्छेदन वर्ग $PQRS$ का क्षेत्रफल।
सड़कों का क्षेत्रफल $= (36 \times 5) + (28 \times 5) - (5 \times 5) = 180 + 140 - 25 = 295 \, m^{2}$ है।
सड़कों द्वारा कवर किए गए क्षेत्र को छोड़कर आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $= 1008 - 295 = 713 \, m^{2}$ है।
भूखंड में बजरी बिछाने की कुल लागत $= 713 \times 3.60 = ₹ 2566.80$ है।

(A) दिया गया है: शंकु की ऊंचाई $h = 12\, cm$ और शंकु की त्रिज्या $R = 6\, cm$ है।
माना अर्धगोले की त्रिज्या (जो गोले की त्रिज्या के समान है) $r\, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$8$ अर्धगोलाकार कटोरे शंक्वाकार बर्तन को भरते हैं:
$8 \times V_h = V_c$
$8 \times \left( \frac{2}{3} \pi r^3 \right) = \frac{1}{3} \pi R^2 h$
मान रखने पर:
$8 \times \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (12)$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{3} \pi$ से विभाजित करने पर:
$16 r^3 = 36 \times 12$
$16 r^3 = 432$
$r^3 = \frac{432}{16} = 27$
$r = \sqrt[3]{27} = 3\, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $3\, cm$ है।

(A) समकोण $\Delta DAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\, cm$.
$\Delta DAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\, cm^2$.
$\Delta BCD$ के लिए,भुजाएँ $BC = 14\, cm$,$CD = 13\, cm$ और $BD = 15\, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $S = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $\Delta DAB$ का क्षेत्रफल + $\Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $54 + 84 = 138\, cm^2$.
प्रिज्म का आयतन = आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई।
$2070 = 138 \times h \implies h = \frac{2070}{138} = 15\, cm$.
पार्श्व सतह का क्षेत्रफल $(LSA)$ = आधार का परिमाप $\times$ ऊँचाई।
परिमाप = $AB + BC + CD + DA = 9 + 14 + 13 + 12 = 48\, cm$.
$LSA$ = $48 \times 15 = 720\, cm^2$.

(D) माना बेलन की त्रिज्या $r$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।
माना गोले की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है कि बेलन की त्रिज्या गोले के व्यास के बराबर है,इसलिए $r = 2R$,जिसका अर्थ है $R = r/2$।
बेलन का आयतन $V_c = \pi r^2 h$ है।
गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
चूँकि आयतन समान हैं,$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi R^3$।
समीकरण में $R = r/2$ रखने पर:
$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi (r/2)^3$
$\pi r^2 h = \frac{4}{3} \pi (r^3 / 8)$
$r^2 h = \frac{4}{24} r^3$
$r^2 h = \frac{1}{6} r^3$
दोनों पक्षों को $r^2$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$h = \frac{1}{6} r$
अतः,बेलन की ऊँचाई और त्रिज्या का अनुपात $h/r = 1/6$ है।

(C) जब एक आयताकार शीट को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है,तो शीट की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और शीट की चौड़ाई बेलन की ऊँचाई बन जाती है।
दिया गया है: शीट की लंबाई $= 12 \, cm$,शीट की चौड़ाई $= 5 \, cm$.
बेलन के आधार की परिधि $= 2 \pi R = 12 \, cm$.
$R = \frac{12}{2 \pi} = \frac{6}{\pi} \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h) = 5 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 h = \pi \left( \frac{6}{\pi} \right)^2 \times 5$.
आयतन $= \pi \times \frac{36}{\pi^2} \times 5 = \frac{180}{\pi} \, cm^3$.

(A) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi r(r + l)$,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है: ऊँचाई $h = 24 \text{ cm}$,त्रिज्या $r = 7 \text{ cm}$.
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तिर्यक ऊँचाई $l$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}$.
अब,सूत्र में मान रखने पर: $\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 25)$.
$= 22 \times 32 = 704 \text{ cm}^2$.

(D) मान लीजिए ईंटों की संख्या $n$ है।
ढेर का आयतन $= 20 \, m^3 = 20 \times 100 \times 100 \times 100 \, cm^3 = 20,000,000 \, cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 25 \, cm \times 12.5 \, cm \times 8 \, cm$.
$25 \times 12.5 = 312.5$.
$312.5 \times 8 = 2500 \, cm^3$.
चूंकि ईंटों के बीच कोई खाली जगह नहीं है, इसलिए ढेर का कुल आयतन $n$ ईंटों के कुल आयतन के बराबर होगा:
$n \times (\text{एक ईंट का आयतन}) = \text{ढेर का आयतन}$.
$n \times 2500 = 20,000,000$.
$n = \frac{20,000,000}{2500} = \frac{200,000}{25} = 8000$.
अतः, ईंटों की संख्या $8000$ है।

(C) लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
पहले शंकु के लिए:
त्रिज्या $r_1 = 1.6 \ cm$,ऊँचाई $h_1 = 3.6 \ cm$ है।
आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi (1.6)^2 (3.6) = \pi \times 1.6 \times 1.6 \times 1.2 \ cm^3$ है।
जब शंकु को पिघलाकर पुनः ढाला जाता है,तो आयतन समान रहता है। मान लीजिए नए शंकु की ऊँचाई $H$ है।
दूसरे शंकु के लिए:
त्रिज्या $r_2 = 1.2 \ cm$,ऊँचाई $H$ है।
आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi (1.2)^2 H$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर $(V_1 = V_2)$:
$\frac{1}{3} \pi (1.2)^2 H = \pi (1.6)^2 (1.2)$
$H = \frac{1.6 \times 1.6 \times 1.2 \times 3}{1.2 \times 1.2}$
$H = \frac{2.56 \times 3}{1.2} = \frac{7.68}{1.2} = 6.4 \ cm$.

(D) माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ इकाई है।
आयतन $v = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $c = \pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक $3 \pi v h^{3} - c^{2} h^{2} + 9 v^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \pi v h^{3} = 3 \pi (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) h^{3} = \pi^{2} r^{2} h^{4}$.
$c^{2} h^{2} = (\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}})^{2} h^{2} = \pi^{2} r^{2} (h^{2} + r^{2}) h^{2} = \pi^{2} r^{2} h^{4} + \pi^{2} r^{4} h^{2}$.
$9 v^{2} = 9 (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)^{2} = 9 (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \pi^{2} r^{4} h^{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\pi^{2} r^{2} h^{4}) - (\pi^{2} r^{2} h^{4} + \pi^{2} r^{4} h^{2}) + (\pi^{2} r^{4} h^{2}) = \pi^{2} r^{2} h^{4} - \pi^{2} r^{2} h^{4} - \pi^{2} r^{4} h^{2} + \pi^{2} r^{4} h^{2} = 0$.

(D) दिया गया है: शंकु का आयतन $V = 1232 \, m^3$,आधार का क्षेत्रफल $A = 154 \, m^2$,कैनवास की चौड़ाई $w = 2 \, m$.
चरण $1$: त्रिज्या $r$ ज्ञात कीजिए।
$A = \pi r^2 = 154$
$\frac{22}{7} \times r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 49 \Rightarrow r = 7 \, m$.
चरण $2$: ऊँचाई $h$ ज्ञात कीजिए।
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1232$
$\frac{1}{3} \times 154 \times h = 1232 \Rightarrow h = \frac{1232 \times 3}{154} = 8 \times 3 = 24 \, m$.
चरण $3$: तिर्यक ऊँचाई $l$ ज्ञात कीजिए।
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \, m$.
चरण $4$: कैनवास का क्षेत्रफल (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) ज्ञात कीजिए।
$CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550 \, m^2$.
चरण $5$: कैनवास की लंबाई ज्ञात कीजिए।
$Length = \frac{Area}{Width} = \frac{550}{2} = 275 \, m$.

(D) मान लीजिए शंक्वाकार गिलास की ऊंचाई $h \text{ cm}$ है।
चूंकि ऊंचाई रिम के व्यास के बराबर है,इसलिए रिम की त्रिज्या $r = \frac{h}{2} \text{ cm}$ होगी।
शंक्वाकार गिलास का आयतन $V_{\text{glass}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{2})^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$ है।
पानी की गोलाकार बूंद का व्यास $\frac{1}{10} \text{ cm}$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_d = \frac{1}{20} \text{ cm}$ होगी।
एक बूंद का आयतन $V_{\text{drop}} = \frac{4}{3} \pi r_d^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{20})^3 = \frac{4 \pi}{3 \times 8000} = \frac{\pi}{6000} \text{ cm}^3$ है।
यह दिया गया है कि $32,000$ बूंदें गिलास को भरती हैं,इसलिए $V_{\text{glass}} = 32000 \times V_{\text{drop}}$.
$\frac{\pi h^3}{12} = 32000 \times \frac{\pi}{6000}$.
$\frac{h^3}{12} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.
$h^3 = \frac{16}{3} \times 12 = 16 \times 4 = 64$.
$h = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ cm}$.

(B) आयताकार ब्लॉक का आयतन $= 11 \times 10 \times 5 = 550 \text{ m}^3$.
चूँकि $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$,इसलिए $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$.
ब्लॉक का कुल आयतन $= 550 \times 1000 = 550,000 \text{ dm}^3$.
प्रत्येक गोलाकार गोली का व्यास $= 5 \text{ dm}$,इसलिए त्रिज्या $r = 2.5 \text{ dm} = \frac{5}{2} \text{ dm}$.
एक गोलाकार गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{5}{2})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{125}{8} = \frac{125\pi}{6} \text{ dm}^3$.
दिया गया है कि $\pi > 3$,इसलिए एक गोली का आयतन $V_b = \frac{125\pi}{6} > \frac{125 \times 3}{6} = 62.5 \text{ dm}^3$.
गोलियों की संख्या $n = \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} = \frac{550,000}{V_b} < \frac{550,000}{62.5} = 8800$.
चूँकि प्रत्येक गोली का आयतन $62.5 \text{ dm}^3$ से अधिक है,इसलिए गोलियों की कुल संख्या $8800$ से कम होगी।

(A) आयताकार ब्लॉक का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 21 \times 77 \times 24 \, cm^3$ है।
माना गोले की त्रिज्या $r \, cm$ है।
चूंकि ब्लॉक को पिघलाकर गोला बनाया गया है, इसलिए गोले का आयतन आयताकार ब्लॉक के आयतन के बराबर होगा।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन को बराबर रखने पर: $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 21 \times 77 \times 24$.
$r^3$ के लिए हल करने पर: $r^3 = \frac{21 \times 77 \times 24 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $r^3 = \frac{21 \times 77 \times 24 \times 21}{88} = 21 \times 7 \times 3 \times 21 = 21 \times 21 \times 21 = 21^3$.
अतः, $r = 21 \, cm$.

(A) माना शंकु की त्रिज्या $r\, cm$ है।
दिया गया है कि ऊँचाई $h = 24\, cm$ और आयतन $V = 1232\, cm^{3}$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{2} \times 24 = 1232$.
$r^{2} = \frac{1232 \times 3 \times 7}{22 \times 24} = 49$.
अतः,$r = \sqrt{49} = 7\, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{24^{2} + 7^{2}} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 22 \times 25 = 550\, cm^{2}$ है।

(A) माना घन की मूल भुजा $a$ है।
मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1 = 6a^2$ है।
नई भुजा की लंबाई $a' = a + 0.50a = 1.5a$ है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2 = 6(1.5a)^2 = 6(2.25a^2) = 13.5a^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $= S_2 - S_1 = 13.5a^2 - 6a^2 = 7.5a^2$ है।
प्रतिशत वृद्धि $= \left(\frac{7.5a^2}{6a^2}\right) \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल में परिवर्तन के लिए क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{प्रतिशत परिवर्तन} = (x + y + \frac{xy}{100}) \%$,जहाँ $x = y = 50$ है।
प्रतिशत वृद्धि $= (50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100}) \% = (100 + 25) \% = 125 \%$ है।

(C) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात: $\frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{4}{9}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $8:27$ है।

(D) माना घन का मूल किनारा $a$ है। मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1 = 6a^2$ है।
यदि किनारे को $50 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नया किनारा $a' = a + 0.5a = 1.5a$ होगा।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2 = 6(1.5a)^2 = 6(2.25a^2) = 13.5a^2$ होगा।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $S_2 - S_1 = 13.5a^2 - 6a^2 = 7.5a^2$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{7.5a^2}{6a^2} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $x + y + \frac{xy}{100} = 50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100} = 100 + 25 = 125 \%$।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया व्यास $= 18 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 9 \, cm$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 729 = 972 \pi \, cm^3$.
तार एक बेलन है जिसकी लंबाई $h = 108 \, m = 10800 \, cm$ है।
माना तार की त्रिज्या $R \, cm$ है।
तार का आयतन $\pi R^2 h = \pi R^2 \times 10800$ है।
चूँकि आयतन स्थिर रहता है,$\pi R^2 \times 10800 = 972 \pi$.
$R^2 = \frac{972}{10800} = 0.09$.
$R = \sqrt{0.09} = 0.3 \, cm$.
तार का व्यास $2R = 2 \times 0.3 = 0.6 \, cm$ है।

(B) अर्धवृत्ताकार शीट का व्यास $28 \, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 14 \, cm$ है।
जब इस शीट को एक शंकु में मोड़ा जाता है,तो अर्धवृत्त की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ बन जाती है,इसलिए $l = 14 \, cm$ है।
शंकु के आधार की परिधि अर्धवृत्त की चाप की लंबाई के बराबर होती है।
आधार की परिधि $= \pi R = \frac{22}{7} \times 14 = 44 \, cm$ है।
माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है। तब $2 \pi r = 44$ है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \implies r = 7 \, cm$ है।
शंकु की ऊँचाई $h$ का मान $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \, cm$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करते हुए,$h \approx 7 \times 1.732 = 12.124 \, cm$ है।
कप की धारिता (आयतन) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\sqrt{3} = \frac{1078\sqrt{3}}{3} \approx 622.36 \, cm^3$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^{2}$ होता है।
$r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
हमें $\frac{S^{3}}{V^{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$S^{3} = (4 \pi r^{2})^{3} = 64 \pi^{3} r^{6}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$V^{2} = (\frac{4}{3} \pi r^{3})^{2} = \frac{16}{9} \pi^{2} r^{6}$ ज्ञात करें।
अब,$S^{3}$ को $V^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{S^{3}}{V^{2}} = \frac{64 \pi^{3} r^{6}}{\frac{16}{9} \pi^{2} r^{6}} = \frac{64 \pi^{3} r^{6} \times 9}{16 \pi^{2} r^{6}} = \frac{64 \times 9}{16} \times \frac{\pi^{3}}{\pi^{2}} = 4 \times 9 \times \pi = 36 \pi$.
अतः,सही मान $36 \pi$ है।

(C) बर्फ के घन की भुजा $a = 14 \, cm$ है।
इस घन से सबसे बड़ा बेलन बनाने के लिए,बेलन का व्यास घन की भुजा के बराबर और बेलन की ऊँचाई भी घन की भुजा के बराबर होनी चाहिए।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{a}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, cm$ होगी।
ऊँचाई $h = a = 14 \, cm$ होगी।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 14$.
$V = 22 \times 7 \times 14 = 154 \times 14 = 2156 \, cm^3$.

(D) माना घन की प्रारंभिक भुजा $x$ है। प्रारंभिक आयतन $V_1 = x^3$ है।
यदि भुजा को $100 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नई भुजा $x + 1.00x = 2x$ हो जाती है।
नया आयतन $V_2 = (2x)^3 = 8x^3$ है।
आयतन में वृद्धि $V_2 - V_1 = 8x^3 - x^3 = 7x^3$ है।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = \frac{7x^3}{x^3} \times 100 = 700 \%$ है।

(D) ठोस गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ $r = 1 \, cm$ दिया गया है,इसलिए आयतन $V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \, cm^3$ है।
तार बेलनाकार आकार का होता है। बेलन का आयतन $V = \pi r_w^2 h$ होता है,जहाँ $r_w$ तार की त्रिज्या है और $h$ तार की लंबाई है।
यहाँ $h = 100 \, cm$ दिया गया है,इसलिए तार का आयतन $V = \pi r_w^2 (100) = 100 \pi r_w^2 \, cm^3$ है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाया जाता है,इसलिए दोनों के आयतन समान होने चाहिए:
$100 \pi r_w^2 = \frac{4}{3} \pi$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर:
$100 r_w^2 = \frac{4}{3}$
$r_w^2 = \frac{4}{300} = \frac{1}{75}$
$r_w = \sqrt{\frac{1}{75}} = \frac{1}{\sqrt{25 \times 3}} = \frac{1}{5 \sqrt{3}}$
$\sqrt{3} = 1.732$ का उपयोग करने पर:
$r_w = \frac{1}{5 \times 1.732} = \frac{1}{8.66} \approx 0.115 \, cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,त्रिज्या लगभग $0.11 \, cm$ है।

(C) निकाली गई मिट्टी का आयतन $= (7.5 \times 6 \times 0.8) \, m^3 = 36 \, m^3$.
खेत के शेष भाग का क्षेत्रफल $= (18 \times 15) - (7.5 \times 6) \, m^2 = 270 - 45 = 225 \, m^2$.
माना खेत के स्तर में हुई वृद्धि $h$ मीटर है।
चूंकि निकाली गई मिट्टी को शेष क्षेत्रफल पर फैलाया गया है,इसलिए:
$225 \times h = 36$.
$h = \frac{36}{225} \, m = 0.16 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.16 \times 100 = 16 \, cm$.

(C) आधार का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से किसी भी भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r = \frac{1}{3} \times \text{माध्यिका} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \text{ cm}$ है।
माना पिरामिड की ऊँचाई $h$ है और तिर्यक ऊँचाई $l$ है। दिया गया है कि $h = \frac{l}{2}$,इसलिए $l = 2h$.
ऊँचाई,दूरी $r$ और तिर्यक ऊँचाई $l$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$l^2 = h^2 + r^2$ होता है।
$l = 2h$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2h)^2 = h^2 + (\frac{2 \sqrt{3}}{3})^2$ प्राप्त होता है।
$4h^2 - h^2 = \frac{4 \times 3}{9} \Rightarrow 3h^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow h^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow h = \frac{2}{3} \text{ cm}$.
आयतन $= \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times h = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{9} \text{ cm}^3$.

(A) सबसे पहले,पानी की गति को $km/h$ से $m/h$ में बदलें: $15\, km/h = 15000\, m/h$.
इसके बाद,पाइप के अनुप्रस्थ काट के आयामों को $dm$ से $m$ में बदलें: $2\, dm = 0.2\, m$ और $1.5\, dm = 0.15\, m$.
एक घंटे में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन: $V_{pipe} = 0.2\, m \times 0.15\, m \times 15000\, m/h = 450\, m^3/h$.
टंकी में आवश्यक पानी का आयतन: $V_{tank} = 150\, m \times 100\, m \times 3\, m = 45000\, m^3$.
टंकी को $3\, m$ की गहराई तक भरने में लगा समय: $\text{Time} = \frac{V_{tank}}{V_{pipe}} = \frac{45000\, m^3}{450\, m^3/h} = 100\, \text{घंटे}$.

(C) बेलनाकार भाग की ऊँचाई $h_1 = 3\, m$ है।
तंबू की कुल ऊँचाई $H = 13.5\, m$ है।
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $h_2 = H - h_1 = 13.5 - 3 = 10.5\, m$ है।
आधार की त्रिज्या $r = 14\, m$ है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{14^2 + 10.5^2} = \sqrt{196 + 110.25} = \sqrt{306.25} = 17.5\, m$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 14 \times 17.5 = 22 \times 2 \times 17.5 = 770\, m^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 3 = 2 \times 22 \times 2 \times 3 = 264\, m^2$.
पेंट किए जाने वाले कुल क्षेत्रफल $= 770 + 264 = 1034\, m^2$.
पेंट करने का कुल खर्च $= 1034 \times 2 = ₹ 2068$.

(C) माना मूल व्यास $D$ है। त्रिज्या $r = D/2$ है।
गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$ होता है।
यदि व्यास को $25 \%$ कम किया जाता है,तो नया व्यास $D' = D - 0.25D = 0.75D$ होगा।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi (D')^2 = \pi (0.75D)^2 = 0.5625 \pi D^2$ होगा।
क्षेत्रफल में कमी $A - A' = \pi D^2 - 0.5625 \pi D^2 = 0.4375 \pi D^2$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{0.4375 \pi D^2}{\pi D^2} \times 100 \% = 43.75 \%$ होगी।

(A) माना बेलन की त्रिज्या $r = 10\, cm$ और ऊँचाई $h = 4\, cm$ है।
माना त्रिज्या या ऊँचाई में जोड़ी जाने वाली संख्या $x\, cm$ है।
स्थिति $1$: जब त्रिज्या में $x$ जोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $(10+x)\, cm$ हो जाती है और ऊँचाई $4\, cm$ रहती है।
नया आयतन $V_1 = \pi(10+x)^2 \times 4$.
स्थिति $2$: जब ऊँचाई में $x$ जोड़ा जाता है,तो त्रिज्या $10\, cm$ रहती है और नई ऊँचाई $(4+x)\, cm$ हो जाती है।
नया आयतन $V_2 = \pi(10)^2 \times (4+x)$.
प्रश्न के अनुसार,आयतन में वृद्धि समान है,जिसका अर्थ है $V_1 = V_2$.
$\pi(10+x)^2 \times 4 = \pi(10)^2(4+x)$
$(10+x)^2 \times 4 = 100(4+x)$
$4(100 + 20x + x^2) = 400 + 100x$
$400 + 80x + 4x^2 = 400 + 100x$
$4x^2 - 20x = 0$
$4x(x - 5) = 0$
चूंकि $x$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x = 5\, cm$ प्राप्त होता है।

(C) माना शंकु की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 27\, \pi\, cm^3$ दिया गया है।
समान त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ वाले बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ होता है।
शंकु को बेलन में रखने के बाद शेष खाली स्थान का आयतन,बेलन के आयतन और शंकु के आयतन का अंतर है।
खाली स्थान का आयतन $= V_{cylinder} - V_{cone} = \pi r^2 h - \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^2 h$.
चूँकि $\frac{1}{3} \pi r^2 h = 27\, \pi$ है,इसलिए $\pi r^2 h = 3 \times 27\, \pi = 81\, \pi$ होगा।
अतः,आवश्यक पानी का आयतन $= 81\, \pi - 27\, \pi = 54\, \pi\, cm^3$ होगा।

(B) भूमि का क्षेत्रफल $= 1 \, Km^2 = (1000 \, m) \times (1000 \, m) = 1,000,000 \, m^2$ है।
वर्षा की ऊँचाई $= 2 \, cm = 0.02 \, m$ है।
वर्षा का कुल आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} = 1,000,000 \, m^2 \times 0.02 \, m = 20,000 \, m^3$ है।
पूल में एकत्रित जल का आयतन $= 20,000 \, m^3 \text{ का } 50 \% = 0.5 \times 20,000 = 10,000 \, m^3$ है।
पूल के आधार का क्षेत्रफल $= 100 \, m \times 10 \, m = 1,000 \, m^2$ है।
जल स्तर में वृद्धि $= \frac{\text{एकत्रित आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{10,000 \, m^3}{1,000 \, m^2} = 10 \, m$ है।

(C) माना बेलन के आधार की त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ है।
चूंकि गोला पात्र में बिल्कुल फिट बैठता है,इसलिए गोले की त्रिज्या भी $r = 3.5 \, cm$ है और गोला डालने के बाद पानी का स्तर $H = 2r = 7 \, cm$ हो जाता है।
पात्र में पानी का आयतन $H$ ऊंचाई तक के बेलन के कुल आयतन में से गोले का आयतन घटाने के बराबर है।
पानी का आयतन $= \pi r^2 (2r) - \frac{4}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
माना पानी की प्रारंभिक गहराई $h$ है। इस पानी का आयतन $\pi r^2 h$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{2}{3} r = \frac{2}{3} \times 3.5 = \frac{7}{3} \, cm$.

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। प्रारंभिक पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 2 \pi r h$ है।
नई ऊँचाई $h' = 6h$ है। आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है। नया आधार क्षेत्रफल $\frac{1}{9} \pi r^2 = \pi (r')^2$ है,जिसका अर्थ है कि $(r')^2 = \frac{1}{9} r^2$,इसलिए $r' = \frac{1}{3} r$ है।
नया पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 2 \pi r' h' = 2 \pi (\frac{1}{3} r) (6h) = 2 \pi r h \times (\frac{1}{3} \times 6) = 2 \pi r h \times 2$ है।
अतः,पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में $2$ के गुणक से वृद्धि होती है।

(B) माना शंकु की त्रिज्या $r\, cm$ है।
दिया है,आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1232\, cm^3$ और ऊँचाई $h = 24\, cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 24 = 1232$.
$r^2 = \frac{1232 \times 3 \times 7}{22 \times 24} = 49$.
अतः,$r = \sqrt{49} = 7\, cm$.
अब,तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi rl$ द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.

(C) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x\, cm$ है।
प्रिज्म की ऊँचाई $h = 15\, cm$ है।
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{आधार का क्षेत्रफल}.$
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{आधार का परिमाप} \times h = (4x) \times 15 = 60x.$
आधार का क्षेत्रफल $= x^2.$
दिया गया है,$\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 608\, cm^2.$
अतः,$60x + 2x^2 = 608.$
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + 30x - 304 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 38x - 8x - 304 = 0 \Rightarrow x(x + 38) - 8(x + 38) = 0.$
$(x - 8)(x + 38) = 0.$
चूँकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 8\, cm.$
प्रिज्म का आयतन $= \text{आधार का क्षेत्रफल} \times h = x^2 \times h = 8^2 \times 15 = 64 \times 15 = 960\, cm^3.$

(A) एक ठोस अर्धगोले का आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 19404 \, cm^3$,अतः $\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 19404$ है।
$r^3$ के लिए हल करने पर: $r^3 = \frac{19404 \times 3 \times 7}{2 \times 22} = 9261$ प्राप्त होता है।
घनमूल लेने पर: $r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$ है।
ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $TSA = 3 \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$TSA = 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158 \, cm^2$ है।

(A) $1$. पाइप की त्रिज्या $(r)$ = $14/2 = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$.
$2$. पानी की गति = $5 \text{ km/h} = 5000 \text{ m/h}$.
$3$. $1$ घंटे में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन = $\pi r^2 h = (22/7) \times (0.07)^2 \times 5000 = (22/7) \times 0.0049 \times 5000 = 22 \times 0.0007 \times 5000 = 77 \text{ m}^3$.
$4$. टैंक में आवश्यक पानी का आयतन = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 50 \text{ m} \times 44 \text{ m} \times (7/100) \text{ m} = 50 \times 44 \times 0.07 = 154 \text{ m}^3$.
$5$. लगा समय = $\text{कुल आवश्यक आयतन} / \text{प्रति घंटा आयतन} = 154 / 77 = 2$ घंटे।

(D) माना घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $x, y$ और $z$ cm है।
दिए गए तीन क्रमागत फलकों के क्षेत्रफल:
$xy = 12 \, cm^2$
$yz = 20 \, cm^2$
$zx = 15 \, cm^2$
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर:
$(xy) \cdot (yz) \cdot (zx) = 12 \cdot 20 \cdot 15$
$x^2 y^2 z^2 = 3600$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$xyz = \sqrt{3600}$
$xyz = 60$
चूँकि घनाभ का आयतन $V = xyz$ होता है,इसलिए आयतन $60 \, cm^3$ है।

(B) $1$. टंकी का आयतन ज्ञात करें: टंकी बेलनाकार है,जिसकी त्रिज्या $r = 5 \, m$ और ऊँचाई $h = 2 \, m$ है। आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50\pi \, m^3$.
$2$. पाइप से प्रति घंटे बहने वाले पानी का आयतन ज्ञात करें: पाइप की त्रिज्या $r_p = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है। पानी की गति $3 \, km/h = 3000 \, m/h$ है। प्रति घंटे बहने वाले पानी का आयतन $V_p = \pi r_p^2 \times \text{गति} = \pi \times (0.1)^2 \times 3000 = \pi \times 0.01 \times 3000 = 30\pi \, m^3/h$.
$3$. आवश्यक समय ज्ञात करें: समय = $\frac{\text{टंकी का आयतन}}{\text{प्रति घंटे बहने वाला पानी}} = \frac{50\pi}{30\pi} = \frac{5}{3} \, \text{घंटे}$.
$4$. घंटे और मिनट में बदलें: $\frac{5}{3} \, \text{घंटे }= 1 \, \text{घंटा }+ \frac{2}{3} \times 60 \, \text{मिनट }= 1 \, \text{घंटा }\, 40 \, \text{मिनट}$.

(B) बेलनाकार बीकर में विस्थापित पानी का आयतन डूबे हुए कंचों के कुल आयतन के बराबर होता है।
बीकर की त्रिज्या $R = \frac{7}{2} = 3.5\, cm$ है।
पानी के स्तर में वृद्धि $h = 5.6\, cm$ है।
ऊपर उठे पानी का आयतन $= \pi R^2 h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 5.6 = 215.6\, cm^3$ है।
एक कंचे की त्रिज्या $r = \frac{1.4}{2} = 0.7\, cm$ है।
एक कंचे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = \frac{4}{3} \times 22 \times 0.1 \times 0.49 = \frac{4.312}{3}\, cm^3$ है।
माना कंचों की संख्या $n$ है।
$n \times (\text{एक कंचे का आयतन}) = \text{ऊपर उठे पानी का आयतन}$
$n \times \frac{4.312}{3} = 215.6$
$n = \frac{215.6 \times 3}{4.312} = 50 \times 3 = 150$ है।
अतः,बीकर में $150$ कंचे डाले गए थे।